Elektronicapracticum. een toepassing van complexe getallen. Lesbrief

Transcriptie

1 Elektronicapracticum een toepassing van complexe getallen Lesbrief

2 2

3 Inleiding Bij wiskunde D heb je kennisgemaakt met complexe getallen. Je was al vertrouwd met de reële getallen, de getallen die je op de getallenlijn kunt plaatsen zoals 5, 1, 3/ 4 of 2. Zulke getallen kom je ook buiten de wiskunde tegen, bijvoorbeeld bij economie, aardrijkskunde of natuurkunde. Maar je hebt je vast wel eens afgevraagd hoe je complexe getallen kunt gebruiken buiten de wiskunde. Wat heb je aan getallen die niet op de getallenlijn staan, maar in een getallenvlak liggen? Wat heb je nou aan imaginaire getallen? Zijn complexe getallen een aardig verzinsel van wiskundigen, of kun je er ook echt iets mee? Als je nog wat verder gaat in de wiskunde krijg je te maken met differentiaalvergelijkingen. Dat zijn vergelijkingen waarin, door elkaar, variabelen en hun afgeleiden staan. Bijvoorbeeld: x, y, de afgeleide y' en de tweede afgeleide y' '. Het oplossen van zo n differentiaalvergelijking gaat heel handig als je kunt rekenen met complexe getallen. Maar differentiaalvergelijkingen komen pas aan bod in de zesde klas bij wiskunde D, dus daar hebben we nu niet zoveel aan. Om toch alvast kennis te maken met een toepassing van complex rekenen maken we een uitstapje naar de elektrotechniek, waar ingenieurs met complexe getallen rekenen aan elektrische netwerken van weerstanden, condensatoren en spoelen. Deze praktische opdracht bestaat uit twee delen. Ieder deel bestaat uit een stuk theorie en een practicum. In het eerste deel gaat het over de Wet van Ohm, weerstanden in serie en je maakt kennis met een nieuwe component: de OPAMP. Met deze onderdelen maken we een eenvoudige voorversterker voor een elektrische gitaar, bas of microfoon. In het tweede deel voegen we een condensator toe aan de schakeling en gaan we complex rekenen met de Wet van Ohm. Met een condensator kunnen we de klankkleur beïnvloeden, en door complex te rekenen kunnen we voorspellen hoe dat gebeurt. 3

4 Deel I voorversterker voor elektrische gitaar of bas De elektrische spanning uit een gitaar, bas of microfoon is te zwak om rechtstreeks aan te sluiten op je geluidsinstallatie. Het signaal moet eerst worden versterkt door een voorversterker. Met z n tweeën ga je een voorversterker maken voor een elektrische gitaar of bas. Eerst krijg je uitleg over de werking van de elektronische schakeling. Hierbij hebben we ook wat natuurkunde en wiskunde nodig: wet van Ohm, vergelijking opstellen en variabele vrijmaken. In het praktische deel ga je aan de slag met de elektrische componenten: een IC, weerstanden, condensatoren en diodes. Met z n tweeën maak je een voorversterker. Je test de voorversterker met een oscilloscoop en daarna met een elektrische gitaar of bas. Theorie I De eigenlijke versterker is een OPAMP (operational amplifier). Een OPAMP heeft twee ingangen (+ en ) en één uitgang. Een OPAMP vermenigvuldigt de waarde van het spanningsverschil tussen de ingangen met een constante A; de uitkomst ervan is de spanning op de uitgang van de OPAMP. De waarde van A, de versterkingsfactor van de OPAMP, is heel hoog: ergens tussen de 1. en 1.. Figuur 1: OPAMP Voor de OPAMP geldt de volgende formule: U u = A(U i U s ). In woorden: de OPAMP vermenigvuldigt het spanningsverschil U i U s met een factor A. Hieronder zie je de basisschakeling van een voorversterker met OPAMP. U i U u U s R1 R2 Figuur 2: voorversterker met OPAMP 4

5 We moeten nu U s bepalen om te weten wat de schakeling doet. Daarom kijken we eens wat nauwkeuriger naar de weerstanden R1 en R2. I U u R1 U s I R2 Figuur 3: Spanningsdeler De stroom door de ingangen van de OPAMP is te verwaarlozen (ongeveer,1 μa). Daarom nemen we aan dat de stroom I door weerstand R1 gelijk is aan de stroom door weerstand R2. Het weerstandsnetwerkje hierboven is een zogenaamde spanningsdeler. De weerstanden R1 en R2 verdelen de spanning U u in twee delen: de spanning over R2 is U s en de spanning over R1 is U u U s. We hebben U s nodig, dus we berekenen de spanning over R2. Opdracht 1. Zie figuur 3. Schrijf de stroom I als functie van U u (gebruik de Wet van Ohm). Opdracht 2. Schrijf de spanning U s als functie van U u (formule spanningsdeler met R1 en R2). 5

6 In opdracht 2 heb je de formule voor een spanningsdeler gevonden: U s = R 2 R 1 +R 2 U u. Nu we U s weten kunnen we aan de slag met de OPAMP. Opdracht 3. Vul de formule voor U s in in de vergelijking van de OPAMP: U u = A(U i U s ). Maak de variabele U u vrij en toon aan dat U u = A 1+ A R U i. 2 R 1 + R 2 De versterkingsfactor van de schakeling in figuur 2 is de verhouding tussen uitgangsspanning en ingangsspanning: U u A = U i 1+ A R. 2 R 1 + R 2 We weten dat de versterkingsfactor A van de OPAMP zeer groot is, laten we eens aannemen dat A oneindig groot is... Opdracht 4. Laat zien dat lim A A 1+ A R 2 R 1 +R 2 Stap I: deel teller en noemer door A. = R 1 R Maak je berekening in twee stappen: Stap II: vermenigvuldig teller en noemer met R 1 +R 2. Wat is je conclusie over de versterkingsfactor van de schakeling in figuur 2? 6

7 We bekijken onderstaande voorversterker en testen deze met een oscilloscoop. C +9 V U i U u -9 V R1 R R2 Figuur 4: voorversterker met OPAMP C R R1 (regelbaar) R2 OPAMP LM358 1 nf 1 MΩ 1 kω 3.3 kω 8-pin, inkeping tussen pin 1 en 8 De functie van condensator C1 met weerstand R3 is om het element van de elektrische gitaar te beschermen tegen ongelukjes met de batterij. 7

8 Figuur 6: Kleurcodes van weerstanden Figuur 5: OPAMP LM358 We gebruiken de onderste OPAMP met de aansluitingen op pin 1, 2 en 3. De voedingsspanning van 18 V komt uit twee batterijen van 9 volt in serie. Let er goed op dat je de + aansluit op pin 8 van de OPAMP, en de op pin 4 van de OPAMP. Vergeet ook niet om de aftakking in het midden van de batterijen in serie aan te sluiten op de -draad uit Figuur 4. Opdracht 5. Bereken de maximale versterking van de voorversterker. 8

9 Deel II voorversterker met klankkleur In deel II van het practicum herhalen we de berekening van de voorversterker met OPAMP, maar nu met complexe getallen. Door weerstand R1 of R2 uit de schakeling van figuur 4 te vervangen door een spoel of condensator, ontstaat een voorversterker die de hoge of lage tonen in het geluid extra versterken of juist wegfilteren. Met een spoel of condensator kunnen we dus de klankkleur van een gitaar of bas beïnvloeden. In de praktijk worden condensatoren vaker toegepast dan spoelen; condensatoren zijn namelijk kleiner, lichter, nauwkeuriger en goedkoper dan spoelen. Wij gaan het eerste practicum over de voorversterker herhalen waarbij we weerstand R2 vervangen door een condensator C2. De weerstandswaarde van deze condensator wordt uitgedrukt in een complex getal Z 2. Maar voor we de schakeling echt gaan maken bespreken we kort de werking van een condensator. Theorie II Laden van een condensator Een condensator bestaat uit twee metalen platen die tegenover elkaar zijn opgesteld. Tussen de metalen platen zit elektrisch isolatiemateriaal, bijvoorbeeld plastic of gewoon lucht (figuur 7). Voorbeeld van condensatoren zijn te zien in figuur 8: dunnen laagjes metaalfolie (de platen) met ertussen stukjes mica (isolatiemateriaal). Op de foto rechts zie je zo n condensator verpakt in een isolerend omhulsel. De twee pootjes zijn verbonden met de metalen condensatorplaten. Figuur 7: Condensator Figuur 8: Voorbeelden van condensatoren Als je een condensator verbindt met een spanningsbron, dan wordt de condensator geladen. De condensator dient nu als opslagplaats voor elektrische lading. Is een condensator geladen, dan is de hoeveelheid lading Q op de platen recht evenredig met de spanning U over de condensator. In een formule: Q U =C. De constante C is kenmerkend voor de betreffende condensator en wordt de capaciteit van de condensator genoemd. Capaciteit heeft de volgende betekenis: hoe groter de capaciteit van een condensator, des te meer lading in de condensator per volt spanning over de condensatorplaten. Als je een condensator verbindt met een spanningsbron, wordt de condensator geladen. Er loopt dan eventjes een stroom: de laadstroom. De laadstroom loopt tot de condensator geladen is, dat wil zeggen: de spanning over de condensatorplaten is dan gelijk aan de spanning van de spanningsbron. 9

10 Wet van Ohm met complexe getallen We gaan nu de schakeling van figuur 2 te lijf met complexe getallen. Maar eerst nog even een klein ongemak. Bij wiskunde D heb je geleerd dat z=a+ib. Hierbij is i het imaginaire eenheidsgetal. Helaas wordt in de elektrotechniek de letter i al gebruikt om de stroomsterkte van wisselstromen aan te geven. Om verwarring te voorkomen wordt in alle elektronicaboeken en in sommige wis- en natuurkundeboeken het imaginaire eenheidsgetal aangeduid met de letter j. Dat zullen wij hier ook doen, we schrijven dus: z=a+ j b. Als we een condensator aansluiten op een wisselspanningsbron met een sinusvormige wisselspanning met hoekfrequentie ω=2π f en amplitudespanning U, bijvoorbeeld u(t)=u sin(ωt ), dan gedraagt de condensator zich als een soort weerstand. Dit wil zeggen dat bij sinusvormige spanningen de Wet van Ohm geldt, met het verschil dat voor de weerstandswaarde een complex getal Z wordt gebruikt. Dus U =I R wordt U =I Z als we een condensator gebruiken in plaats van een weerstand. Als Z een complex getal is spreken we niet van weerstand maar van impedantie. Een complex getal z is een punt in het complexe vlak, maar het is ook een vector (pijl). Een complex getal z als vector wordt bepaald door twee eigenschappen: de grootte van de vector ( z ) en de richting van de vector ( arg(z) ). De impedantie van een condensator heeft precies deze eigenschappen: grootte en richting. We kijken nog eens naar de Wet van Ohm met een complexe impedantie Z voor de weerstand: U =I Z. Als de stroom I een sinusfunctie is van de tijd, noteren we deze met een kleine letter: i(t ). De Wet van Ohm is nu een complexe functie: u (t)=z i(t ) Deze functie beschrijft de spanning over een condensator u(t) als complexe functie van de sinusvormige wisselstroom i(t ), namelijk: vermenigvuldig de wisselstroom i(t ) door de condensator met de impedantie Z, en je hebt de spanning u(t) over de condensator. Voor we aan de slag kunnen met deze formule hebben we de waarde Z nodig, de complexe impedantie van een condensator. Deze hangt af van de hoekfrequentie ω van de sinusvormige wisselstroom door de condensator. De volgende formule geeft de impedantie van een condensator: Z C = 1 jωc C is de capaciteit van de condensator, ω is de hoekfrequentie van de sinusvormige wisselstroom, en j is het imaginaire eenheidsgetal. De Wet van Ohm beschrijft een condensator dan als volgt: u (t)=z C i(t)= 1 jωc i(t) Omdat Z C een complex getal is heeft het een grootte en een richting. Voor de grootte van de impedantie berekenen we de modulus van Z: Z C = 1 jωc = 1 jωc = 1 ωc (de grootte van de impedantie hangt af van de frequentie). 1 Im Figuur 9: vector z Z Re

11 Voor de richting van de vector Z berekenen we het argument van Z: arg(z C )=arg ( 1 jωc ) =arg(1) arg( jωc )= π 2 = π 2 De grootte van de impedantie van een condensator is dus frequentieafhankelijk: hoe hoger de hoekfrequentie ω, hoe lager de impedantie van de condensator. Maar de faseverschuiving tussen stroom en spanning is constant: de sinusspanning u(t) over een condensator loopt altijd π/2 achter op de stroom i(t ) door de condensator. Dit kunnen we ook fysisch verklaren. De spanning over de condensator is evenredig met de lading Q op de platen. Eerst moet er een stroom lopen voordat zich lading vormt op de platen. Door de lading is er spanning over de platen. Met andere woorden: de condensatorspanning u (t) ijlt na op de condensatorstroom i(t ). i(t) u(t) Figuur 1: faseverschil spanning en stroom condensator Conclusie. Bovenstaande grafiek maakt duidelijk waarom we de impedantie van een condensator uitdrukken in een complex getal. Reële getallen hebben alleen maar een grootte; complexe getallen hebben een grootte en een richting: de fasehoek met de reële as. De fasehoek vertelt hoe de spanning is verschoven ten opzichte van de stroom: de sinusspanning over een condensator loopt π/2 achter op de sinusstroom. Opdracht 6. a. De capaciteit van een condensator is 1μF. Bereken de modulus en het argument van de complexe impedantie van de condensator bij een sinusfrequentie van 5 Hz. b. Door de condensator loopt een wisselstroom i(t )=1 1 3 sin(1 π t). Bepaal de functie u(t). 11

12 We kijken nog eens naar onze voorversterker uit Deel I. Als we in plaats van een weerstand een condensator gebruiken wordt de impedantie een complex getal. We schrijven daarom Z1 in plaats van R1, en Z2 in plaats van R2. U i U u U s Z1 Z2 Figuur 11: schakeling met complexe impedanties Z1 en Z2 Voor de versterkingsfactor van deze schakeling geldt dus (ongeveer): Z 1 Z 2. Opdracht 7. Hoe gedraagt de schakeling zich als je voor Z1 een condensator C gebruikt en voor Z2 een weerstand R? En andersom? 12

13 Opdracht 8. Neem voor Z1 een weerstand R1, en voor Z2 de serieschakeling van een weerstand R2 en een condensator C2. We berekenen de versterking Z 1 Z 2 van de schakeling in twee stappen: Stap I: bereken de vervangingsimpedantie Z 2. Stap II: laat zien dat je de versterking Z 1 schrijven als ωr 1 C 2 1+(ω R 2 C 2 ) 2. Z 2 van de schakeling kunt R1 R2 C2 Z1 Z2 Opdracht 9. De volgende formule geeft de impedantie van een spoel: Z L = jωl L is de zelfinductie van de spoel; de eenheid is Henry (H). Neem nu voor Z1 een weerstand R1, en voor Z2 de serieschakeling van een condensator C2 en spoel L2. a. Bereken de vervangingsimpedantie Z 2 van de condensator C2 en spoel L2 in serie. b. laat zien dat de versterking Z 1 Z 2 = ωr 1 C 2 1 ω 2 L 2 C 2. Wat gebeurt er als ω= 1 L 2 C 2? 13

14 Een Bode-diagram is een dubbellogaritmische grafiek met op de horizontale as log ω en op de verticale as de versterkingsfactor in Decibel (db), dat is: 2 log Z 1 Z 2. Onderstaande grafiek is het Bode-diagram bij opdracht 8. De volgende waarden zijn gebruikt: R 1 =1 kω, R 2 =3.3 kω en C 2 =1 nf db 1,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, 2,2 2,4 2,6 2,8 3, 3,2 3,4 3,6 3,8 4, 4,2 4, log(f) Figuur 12: Bode-diagram bij bovenstaande schakeling. Opdracht 1. Bepaal met het Bode-diagram bij welke frequentie (Hz) de versterkingsfactor gelijk is aan 1. Bepaal het frequentiekantelpunt (Hz) van de schakeling met behulp van het Bode-diagram. Bepaal met het Bode-diagram de maximale versterking van de schakeling. Verklaar de uitkomst met de waarden van R1 en R2. 14

15 Deel III practicum We gaan twee voorversterkers achter elkaar schakelen. De eerste voorversterker produceert een distortion effect, de tweede voorversterker is een toonregeling die de hoge tonen versterkt. Je schakeling uit Practicum I gebruik je voor Schakeling A. Voor schakeling B gebruik je de tweede OPAMP op pin 5, 6 en 7. De uitgang van Schakeling A (pin 1) verbind je met de ingang van Schakeling B (pin 5). Schakeling A Schakeling A zorgt voor het distortion effect. C +9 V U i U u -9 V R1 R D D R2 Figuur 13: Schakeling A (distortion effect) C D (let op ring) R R1 (regelbaar) R2 OPAMP LM358 1 nf Diode of LED 1 MΩ 1 kω 3.3 kω 8-pin, inkeping tussen pin 1 en 8 Hiernaast zie je de spanning-stroom-grafiek van een diode of LED in schakeling A. Bij een negatieve spanning laat de diode bijna geen stroom door (sperrichting). Bij een positieve spanning van ongeveer.7 volt geleidt de diode de stroom juist heel goed (bijna kortsluiting). Boven de.7 volt kan de OPAMP de kortsluiting van de diode niet meer aan; de spanning U u komt niet niet voorbij de.7 volt. De diodes snijden de toppen van de sinusvormige spanning af, wat het gewenste vervormingseffect geeft (een soort blokgolf ). Figuur 14: spanning-stroom-grafiek diode 15

16 Schakeling B Schakeling B zorgt voor extra versterking van de hoge tonen in het signaal van schakeling A. +9 V U i U u -9 V C1 R1 C2 R2 Figuur 15: extra versterking van hoge tonen C1 C2 R1 R2 OPAMP LM nf 68 nf 1 kω 1 kω 8-pin, inkeping tussen pin 1 en 8 Zet schakeling A en B achter elkaar. Sluit een gitaar of bas aan op de ingang van schakeling A en sla een losse snaar aan. Bekijk met een oscilloscoop het signaal uit schakeling A en B. Opdracht 11. Schets hieronder het oscilloscoopbeeld op de uitgangen van schakeling A en B. Verklaar de beelden. Figuur 16: beeld oscilloscoop schakeling A Figuur 17: beeld oscilloscoop schakeling B 16

17 Opdracht 12. Bij schakeling B hoort onderstaand Bode-diagram db 6 4 2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, 2,2 2,4 2,6 2,8 3, 3,2 3,4 3,6 3,8 4, 4,2 4,4 Figuur 18: Bode-diagram bij schakeling B log(f) Laat zien dat de versterking Z 1 Z 2 kan worden geschreven als R 1 R 2 1+(ωR 2 C 2 ) 2 1+(ωR 1 C 1 ) 2. 17