Hoe horen wij Zwevingen?

Transcriptie

1 Willem Chr. Heerens, 22 augustus 2013 Hoe horen wij Zwevingen? Ja dan heb ik nu de volgende heel grappige reeks geluidsexperimenten volledig uitgewerkt: 1. Als je de drieklank met frequenties: Hz, met 1/f amplitude relatie en allemaal sinusfuncties als geluidsfragment berekent, dan hoor je een sterke zweving van 2 Hz. 2. Als je in die drieklank de frequentie van 1487 Hz niet een sinus, maar een minus sinus functie [minus sinus betekent faseverschuiving van 180 ] geeft, hoor je exact hetzelfde resultaat. Eenzelfde toon met 2Hz zweving. 3. Maar als je in diezelfde drieklank de combinatie: sinus cosinus sinus of cosinus sinus cosinus gebruikt, dan hoor je een zweving van 4 Hz in plaats van 2 Hz. Wat ook geldt voor het geval dat je i.p.v. cosinus respectievelijk sinus voor de middelste frequentie de minus cosinus respectievelijk minus sinus invult. 4. Als je aan de eerste frequentiereeks en nog altijd onder de 1/f amplitude relatie regel de reeks met frequentie: Hz met opnieuw zuivere sinus functies toevoegt en het daarbij behorende geluidssignaal berekent, dan hoor je een vibrerende lagere toon met een zweving van 2 Hz. 5. Als je hetzij de frequentie van 1487 Hz, hetzij die van 1607 Hz in plaats van met een sinus nu met een minus sinus invoert, hoor je dezelfde vibrerende lagere toon maar dan met een dominerende zweving van 4 Hz. En dat totale gedrag bij die vijf situaties is op geen enkele manier met lineaire combinaties te symboliseren, laat staan te verklaren. Bovendien wil ik er nog op wijzen dat alleen de frequenties 1485 en 1605 nog deelbaar zijn en geschreven kunnen worden als 1485 = en 1605 = Alle andere frequenties zijn priemgetallen, dus alleen door zichzelf en door 1 deelbaar. Ze vormen dus geen enkele harmonische reeks van tonen. En als je het geluidsenergiefrequentiespectrum uitrekent van alleen maar sinus bijdragen, dan kom je uit op het volgende spectrum:

2 Met de volgende reeks frequenties bij uitsluitend sinustonen in het geluidsdruksignaal: Verschiltonen Somtonen 1 e triplet Tweede reeks verschiltonen Somtonen 2 e triplet Constante bijdrage Somtonen combinatie tripletten

3 Duidelijk is in deze tabel nu te zien dat de sterkst klinkende frequentie die van 2 Hz is. Daarop volgt een frequentie van 4 Hz met de halve relatieve amplitude. De tweede reeks verschiltonen, symmetrisch rond de 120 Hz centerfrequentie gegroepeerd, kunnen samengevoegd worden tot een 120 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 2 Hz als 4 Hz. [6 + 8 cos(2π2t) + 4 cos(2π4t)] cos(2π120t) Maar omdat de modulatiediepte (relatief 8) opgewekt door de 2 Hz frequentie, groter is dan de constante amplitude (relatief 6) van de draaggolf van 120 Hz, wordt er geen 2 Hz zweving door geproduceerd. De somtonen horend bij het 1 e triplet, symmetrisch rond de centerfrequentie van 2974 Hz gegroepeerd, leveren een 2974 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 2 Hz als 4 Hz. [3 + 4 cos(2π2t) + 2 cos(2π4t)] cos(2π2974t) Ook nu weer een groter modulatiediepte dan de constante bijdrage tot de toon van2974 Hz, waardoor er geen 2 Hz zweving wordt geproduceerd. De somtonen horend bij het 2 e triplet, symmetrisch rond de centerfrequentie van 3214 Hz gegroepeerd, leveren een 3214 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 2 Hz als 4 Hz. [3 + 4 cos(2π2t) + 2 cos(2π4t)] cos(2π3214t) Hetzelfde verhaal weer voor de modulatie. Ook weer geen 2 Hz zweving. De somtoon van de combinatie van die twee tripletten, symmetrisch rond de centerfrequentie van 3094 Hz gegroepeerd, leveren een 3094 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 2 Hz als 4 Hz. [6 + 8 cos(2π2t) + 4 cos(2π4t)] cos(2π3094t) Ook weer hetzelfde verhaal voor de modulatie, waarbij geen 2 Hz zweving gehoord kan worden. Alles bij elkaar genomen vertoont geen van die gemoduleerde tonen een zweving van 2 Hz.

4 Dus als wij de 2 Hz zweving met ons gehoor waarnemen als een modulatie van het aangeboden totale signaal kan dat alleen maar als ons gehoor die 2 Hz trilling gebruikt om het volume van het totale signaal te regelen. Ga je nu die combinatie veranderen door bij de 1487 Hz bijdrage een minus teken in te voeren, dan kom je op het volgende geluidsenergie frequentiespectrum: Verschiltonen Somtonen 1 e triplet Tweede reeks verschiltonen Somtonen 2 e triplet Constante bijdrage Somtonen combinatie tripletten

5 Nu is de sterkst klinkende frequentie die van 4 Hz. De 2 Hz bijdrage is volledig verdwenen. Onder de laagste verschilfrequenties wordt geen 2 Hz signaal meer opgewekt. De tweede reeks verschiltonen is nu een drieklank geworden want de 118 en 122 Hz tonen worden gecanceld. De overblijvende bijdragen zijn symmetrisch rond de 120 Hz centerfrequentie gegroepeerd, zodat we die kunnen samenvoegen tot een 120 Hz toon, die gemoduleerd is met alleen 4 Hz. [2 + 4 cos(2π4t)] cos(2π120t) De somtonen horend bij het 1 e triplet, symmetrisch rond de centerfrequentie van 2974 Hz gegroepeerd, leveren een 2974 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 2 Hz als 4 Hz. [3 4 cos(2π2t) + 2 cos(2π4t)] cos(2π2974t) Ook nu weer is de modulatiediepte (relatief 4) van de 2 Hz modulatiefrequentie groter dan de constante amplitude (relatief 3) van de 2974 Hz draaggolf en wordt er geen 2 Hz zweving geproduceerd. De somtonen horend bij het 2 e triplet, symmetrisch rond de centerfrequentie van 3214 Hz gegroepeerd, leveren een 3214 Hz toon, die gemoduleerd is met zowel 4 Hz als 8 Hz. [3 + 4 cos(2π4t) + 2 cos(2π8t)] cos(2π3214t) De somtoon van de combinatie van die twee tripletten, symmetrisch rond de centerfrequentie van 3094 Hz gegroepeerd, bestaat nog slechts uit een triplet met gelijke amplitudes voor de drie bijdragen met als kleinste onderlinge verschilfrequentie 4 Hz. Dat triplet levert een 3094 Hz toon op, die gemoduleerd is met 4 Hz. [2 + 4 cos(2π4t)] cos(2π3094t) Dit met 4 Hz gemoduleerde signaal heeft weer een modulatiediepte, die groter is dan de amplitude van de draaggolf en kan dus geen 4 Hz zweving produceren. Geen enkele van die gemoduleerde tonen in het geluidsenergiefrequentiespectrum produceert een zweving van 2 Hz. En de sterkste bijdrage is de 4 Hz verschilfrequentie. Die horen wij dan net als eerder de 2 Hz als een volumeverandering van het totale signaal, maar nu met 4 Hz.