Vectoren, matrices en beeld. Figuur: Lena. Albert-Jan Yzelman

Transcriptie

1 Vectoren, matrices en beeld Figuur: Lena

2 Vectoren, matrices en beeld Hoe coderen we foto s zodat ze te gebruiken zijn op computers? Wat verwachten we van de bestandsgrootte? Hoe verkleinen we de benodigde opslagruimte?

3 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Outline 1 Vectoren 2 Matrices 3 Opslagruimte

4 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren De reële getallen in R op een lijn: e π 4 2 R, 0 R, 1 R, e R, π R, et cetera.

5 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Het reële vlak R 2 = R R: π e e π 2 2

6 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Coördinaten in het reële vlak (x, y) R 2 : ( 2, e) π e 2 1 (e, 1) e π 2 2 (π, 2)

7 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Coördinaatparen in R 2 noemen we ook wel vectoren. Er bestaan ook vectoren uit hogere dimensies: (x, y, z) R 3,

8 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Coördinaatparen in R 2 noemen we ook wel vectoren. Er bestaan ook vectoren uit hogere dimensies: (x, y, z) R 3, (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4, (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5, (x 1, x 2,..., x d ) R d.

9 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Optellen van twee vectoren v, w R 2. Figuur: v = (x 1, y 1 ) Figuur: w = (x 2, y 2 )

10 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Optellen van twee vectoren v, w R 2. Figuur: v = (x 1, y 1 ) Figuur: w = (x 2, y 2 ) Figuur: v + w = (x 1 +x 2, y 1 +y 2 )

11 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren In plaats van de reële getallen R, kunnen we ook een ander startpunt nemen, zoals alle gehele getallen Z (ook wel integers): {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Figuur: Z e π 4 Figuur: R

12 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren In het vlak: 0 Figuur: Z 2 = Z Z

13 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Ook hier hebben we vectoren: ( 4, 4) (3, 2) 0 ( 1, 2) Figuur: Vectoren in Z 2

14 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Elke kleur is een principe een combinatie van een van de drie primaire kleuren: Rood Groen Blauw Elke pixel kan elk van deze drie kleuren apart aansturen. Elke kleur heeft een intensiteit in gehele stappen varierend van 0 (uit) tot 255 (aan): In totaal zijn er dus = (= 2 24 ) verschillende kleuren mogelijk.

15 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Elke kleur is een vector k = (r, g, b): (0, 0, 0) zwart (255, 0, 0) rood (0, 255, 0) groen (0, 0, 255) blauw (255, 255, 255) wit (127, 127, 127) grijs (255, 255, 0) geel (0, 255, 255) paars

16 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Digitaal geluid kunnen we ook zien als een vector. 1 Trilling van een C noot (~261 Hz) in 0.1 seconden Amplitude Tijd (seconden) Figuur: De C.

17 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Om geluid te digitaliseren, bekijken we de amplitude op regelmatige tijdsintervallen: 1 Trilling van een C noot (~261 Hz) in 0.1 seconden, gesampled op 1024 Hz Amplitude Tijd (seconden) Figuur: C 1024 keer per seconde gesampled.

18 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Deze waardes uitgelezen levert één grote vector op (102 elementen): 0,0.9994, , , , , , Nemen we aan dat elk element uit de vector kan worden opgeslagen in 2 bytes, en dat we keer per seconde in stereo samplen, dan kost 60 seconden geluid ons = bytes, ofwel ongeveer 10 Megabyte.

19 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Fourier-transformatie van tijdsdomein naar frequentiedomein: 800 Amplitude spectrum of signal Amplitude Frequency (Hz) Figuur: Frequentieplaatje van C gesampled op 8192 Hz.

20 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Een echte geluidssample: 0.8 Handel s Hallelujah Amplitude Tijd (seconden) Figuur: 9 seconden van Hadel s Hallelujah.

21 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Een echte geluidssample, in frequentiedomein: 1800 Amplitude spectrum of signal Amplitude Frequency (Hz) Figuur: 9 seconden van Hadel s Hallelujah, de frequenties.

22 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Compressie Idee: We gooien frequenties met lage amplitudes weg; ofwel, degenen met een amplitude onder t procent van het maximum. Alternatief: niet-hoorbare frequenties verwijderen. Alternatief: de hoogste van dichtbij elkaar liggende frequenties kiezen. Maar, muziek is niet opgebouwd uit continu dezelfde tonen (frequenties); deel het hele muziekstuk op in n stukjes.

23 Vectoren, matrices en beeld > Vectoren Wat hoort bij elkaar? n = 1, t = 0 % n = 1, t = 1 % n = 1, t = 5 % n = 1, t = 50 % n = 100, t = 5 % n = 1000, t = 5 % n = 1000, t = 10 % Goede kwaliteit met redelijke compressie Op zich goede kwaliteit, maar stotterend Geen kwaliteitsverlies; perfect geluid Schel geluid boven de (goed klinkende) muziek uit Goede kwaliteit met redelijke compressie Muziek gereduceerd tot één accoord Gedempt geluid; veel detail verloren

24 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Outline 1 Vectoren 2 Matrices 3 Opslagruimte

25 Vectoren, matrices en beeld > Matrices π e e π 2 2 Figuur: Een foto in het vlak R 2

26 Vectoren, matrices en beeld > Matrices 0 Figuur: Een foto over Z 2.

27 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Voor elk gridblok kiezen we één kleur: 0 Figuur: Een foto over Z 2. Natuurlijk leidt dit niet tot een mooi resultaat...

28 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Figuur: Lena in resolutie, uitvergroot. We moeten de foto spreiden over een zo n groot mogelijk grid, om een goed resultaat op het scherm te krijgen. Stel dat een foto m pixels in de verticale richting beslaat, en n pixels in de horizontale, dan projecteren we de foto over [0, m] [0, n].

29 Vectoren, matrices en beeld > Matrices De foto verspreid over een fijner grid: Figuur: Lena over [0, 256] 2.

30 Vectoren, matrices en beeld > Matrices We gaan nu tijdelijk over naar alleen grijswaarden; dit versimpelt kleurcoderingen: k is nu een geheel getal tussen 0 en 255, in plaats van een vector. Figuur: Lena in grijswaarden

31 Vectoren, matrices en beeld > Matrices 0 Figuur: Lena over Z 2. Bij elke pixel (i, j), hoort een grijswaarde A ij.

32 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Alle A bij elkaar genomen krijgen we een blok getallen, wat we een matrix noemen. In ons geval hebben we = getallen in een blok:

33 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Onderstaande is ook een voorbeeld van een matrix: A = π e

34 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Onderstaande is ook een voorbeeld van een matrix: A = π e Matrices kunnen van elke grootte zijn. In dit geval zien we dat we 3 rijen hebben, en 4 kolommen; we spreken dan van een m bij n matrix.

35 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Sommatie van twee n m matrices A + B. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + a 41 a 42 a 43 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 b 41 b 42 b 43 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 a 41 + b 41 a 42 + b 42 a 43 + b 43 =

36 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging 1 n en n 1 matrices: A B. b 11 ( ) a11 a 12 a 13 a 14 b 21 b 31 = b 41 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + a 14 b 41 = n a 1k b k1 k=1

37 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m 1 en 1 n matrices. a 11 a 21 a 31 ( b 11 b 12 b 13 ) = a 41 a 11 b 11 a 11 b 12 a 11 b 13 a 21 b 11 a 21 b 12 a 21 b 13 a 31 b 11 a 31 b 12 a 31 b 13 a 41 b 11 a 41 b 12 a 41 b 13

38 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m n en n m matrices. ( a11 a 12 a ) b 11. b 21. b 31. = waar c 11 = ( ) a 11 a 12 a 13 ( ) c b 11 b 21 b 31

39 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m n en n m matrices. ( a11 a 12 a ). b 12. b 22. b 32 = (... c12 waar c 12 = ( ) a 11 a 12 a b 12 b 22 b 32 )

40 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m n en n m matrices. ( ) b a11 a 12 a 11 b 12 ( 13 b a 21 a 22 a 21 b 22 c11 c = c b 31 b 21 c c 11 = ( ) a 11 a 12 a 13 c 12 = ( ) a 11 a 12 a 13 b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 = = n a 1k b k1 k=1 n a 1k b k2 k=1 )

41 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m n en n m matrices. ( ) b a11 a 12 a 11 b 12 ( 13 b a 21 a 22 a 21 b 22 c11 c = c b 31 b 21 c c 11 = ( ) a 11 a 12 a 13 c 12 = ( ) a 11 a 12 a 13 c ij = b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 n a ik b kj k=1 = = n a 1k b k1 k=1 n a 1k b k2 k=1 )

42 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Vermenigvuldiging m n en n p matrices. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 = c 11 c 12 c 21 c 22 c 31 c 32 c 41 c 42 n c ij = a ik b kj k=1

43 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Veelgebruikt is matrix-vector vermenigvuldiging; ofwel vermenigvuldigingen tussen m n en n 1 matrices. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 b 11 b 21 b 31 = c 11 c 21 c 31 c 41

44 Vectoren, matrices en beeld > Matrices Een voorbeeld is spiegeling; bedenk wat de volgende matrix doet met vectoren uit R 2 : ( 1 0 ) 0 1

45 Vectoren, matrices en beeld > Opslagruimte Outline 1 Vectoren 2 Matrices 3 Opslagruimte

46 Vectoren, matrices en beeld > Opslagruimte Één bit is een 0 of een 1. Met 1 bit kunnen we dus twee waardes onderscheiden. Met twee bits worden dit er 2 2 = 4. En met k bits kunnen we = 2 k waardes onderscheiden. In [0, 255] zitten 256 = 2 8 waarden, dus om één grijswaarde te onthouden hebben we 8 bits nodig. Om een RGB-vector te onthouden hebben we er 3 8 = 24 nodig. We hebben echter ook 8 bits nodig om de doorzichtigheid van het plaatje op te slaan; we komen dus op een totaal van 32 = 2 5 bits.

47 Vectoren, matrices en beeld > Opslagruimte Één bit is een 0 of een 1. Met 1 bit kunnen we dus twee waardes onderscheiden. Met twee bits worden dit er 2 2 = 4. En met k bits kunnen we = 2 k waardes onderscheiden. In [0, 255] zitten 256 = 2 8 waarden, dus om één grijswaarde te onthouden hebben we 8 bits nodig. Om een RGB-vector te onthouden hebben we er 3 8 = 24 nodig. We hebben echter ook 8 bits nodig om de doorzichtigheid van het plaatje op te slaan; we komen dus op een totaal van 32 = 2 5 bits. Als we een foto hebben van 512 bij 512 moeten we dus = (2 9 ) 2 = 2 18 kleuren onthouden, en dus hebben we = 2 23 bits nodig. Een byte staat gelijk aan 8 = 2 3 bits, dus het opslaan van Lena kost ons = 220 bytes.

48 Vectoren, matrices en beeld > Opslagruimte Herinnering: we hebben 2 20 bytes nodig voor Lena. Omdat we continu in machten van 2 werken, defeniëren we een kilobyte als 1024 = 2 10 bytes, in plaats van 1000 bytes; dit deelt makkelijker. Zo hebben we namelijk dat, om een foto op te slaan, we de volgende hoeveelheid kilobytes nodig hebben: = 210 = we hebben dus 1 Megabyte nodig om zo n klein plaatje op te slaan. Digitale fototoestellen maken plaatjes van minstens 1024 bij 768 pixels, dit komt dan neer op: = b, = 3072 kb, = 3 Mb; De meeste plaatjes van die afmetingen zijn echter in de orde van 500 tot 600 kilobyte groot. Dit is bijna een zesde van de originele grootte!