Rekenkunde, eenheden en formules voor HAREC. 10 april 2015 presentator : ON5PDV, Paul

Transcriptie

1 Rekenkunde, eenheden en formules voor HAREC 10 april 2015 presentator : ON5PDV, Paul

2 Vooraf : expectation management 1. Verwachtingen van deze presentatie (inhoud, diepgang) U = R= R. I = 8 Ω. 0,5 A = 4 V (*) 300 mv 0,2 µa 2. Verwachtingen van de presentator 3. Verwachting van het publiek *. Is het symbool voor vermenigvuldiging, om verwarring met letter x te vermijden

3 Agenda Getallen Wiskundige bewerkingen volgorde - breuken Vergelijkingen Regel van 3 Sinus en Cosinus Logaritme en decibel (db) Grootheden en eenheden Wetenschappelijke notatie Veelgebruikte formules Formules bij parallel en serie schakelingen (R)

4 Getallen Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid (cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven) Getalverzamelingen Natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ) Gehele getallen (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ) Reële getallen (6,34, -11,256, 1/3, π, ) Complexe getallen (6+i.7, -3-i.5, ) - elk decimaal getal met een eindig aantal decimalen is een rationaal getal - in wiskunde gebruikt men letter i, in elektronica letter j, bvb 6+j7

5 Wiskundige bewerkingen Optellen is een rekenkundige bewerking van de eerste orde : grondtal1 + grondtal2 = uitkomst 3+3 = = 6 Vermenigvuldigen is herhaald optellen = 5x3 Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen 3x3x3x3x3 = 3 5

6 Wiskundige bewerkingen Volgorde : Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere bewerkingen achtereenvolgens worden uitgevoerd, dan is de regel : eerst machtsverheffen en worteltrekken dan vermenigvuldigen en delen ten slotte optellen en aftrekken Voorbeeld : 7 x ( )

7 Wiskundige bewerkingen Iets over breuken : Breuken optellen à gelijknamig maken Breuken vermenigvuldigen à noemers moeten NIET hetzelfde zijn Breuken delen à vermenigvuldigen met het omgekeerde

8 Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld X = Y. Z 8 = 8 8 = = 2 10 = = = X = Y. Z X Y = Z X Z = Y balansmethode : de waarde voor en achter het is-teken moet in balans blijven. Anders gezegd: je mag links en rechts van het gelijkheidsteken dezelfde berekening toepassen.

9 Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld 8 = X = Y + Z 8-6 = = + 2 X Y = Z X Z = Y

10 Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld 8 = 64 (8) 2 = ( 64) 2 (8) 2 = 64

11 Regel van drie Toepasbaar wanneer er een verband (evenr./ omgek.evenr.) is tussen 2 grootheden Hoe werkt die regel van drie ook weer? Een doos ballonnen bevat 75 ballonnen en kost 10 euro. Hoeveel kosten 90 ballonnen dan? 75 ballonnen = 10 euro 1 ballon = 10:75 = 0,1333 euro 90 ballonnen = 90 x 0,1333 = 12 euro

12 Regel van drie toegepast De spanning over een weerstand bedraagt 100 V, de stroom door de weerstand bedraagt 0,3 A. Tot welke welke waarde moet de spanning verhoogd worden om een stroom van 5,5 A te hebben? 0,3 A = 100 V 1 A = 100:0,3 = 333,33 V 5,5 A= 333,33 V x 5,5 = 1833,33 V

13 Sinus en Cosinus Getal π : verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel : π = 3,1415 (omtrek is 2.π.r of π.d) Uit de formule voor de omtrek van een cirkel volgt dat een volledige cirkel overeenkomt met 2π radialen -> 1 rad 57,3

14 Logaritme De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen. Voor grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, dit omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = = 10 3 Logaritme (log) : wiskundige bewerking, heeft voordeel dat heel grote variaties in getallen met kleine getallen kunnen weergegeven worden. Bvb log(0, ) = -10 en log ( ) = 10 Logaritmische schaal : alle getallen met eenzelfde verhouding staan even ver van mekaar Logaritmisch Lineair

15 Werken met decibel (db) Bel is logaritmische verhouding tussen 2 vermogens (bvb uitgangsvermogen/ingangsvermogen) Decibel (db) = 10.log P2 P1 Voordeel van db waarden : kunnen we gewoon optellen i.p.v. vermenigvuldigen (bvb in een propagatiebudget ) Waarden om te onthouden : +3 db = dubbel vermogen (dus +6 db is 4-dubbel vermogen) - 3 db = halvering vermogen +10 db = vermogen x 10

16 Werken met decibel (db) Soms wordt bij de db waarde een referentie opgegeven : dbw, db ten opzichte van een vermogen van 1 W, waarbij 0 dbw = 1 W dbm, db ten opzichte van een vermogen van 1 mw, waarbij 0 dbm = 1 mw Bvb : 50 W = mw = 10.log(50000) = 46,99 dbm

17 Grootheden en eenheden Grootheid : Eenheid : Symbool (SI) : Lengte meter m Met voorzetsels (kilo, milli, ) : km, mm, cm,

18 Grootheden en eenheden Grootheid Eenheid Symbool eenheid (SI) Lading coulomb C Spanning volt V Stroom ampère A Weerstand ohm Ω Vermogen watt W Tijd seconde s Frequentie hertz Hz lengte meter m

19 Grootheden en eenheden Grootheid Eenheid Symbool eenheid (SI) Capaciteit farad F Inductie henry H

20 Wetenschappelijke notatie manier om zeer grote of zeer kleine getallen weer te geven als een aantal malen een gehele macht van 10 Bvb, 1, = 1,3 x Een positieve exponent zegt ons hoeveel nullen er staan achter de 1, of hoeveel plaatsen de komma naar rechts moet schuiven Een negatieve exponent zeg hoeveel plaatsen de komma naar links moet schuiven

21 Wetenschappelijke notatie Voorbeelden 3 GW = W 2,2 MΩ = 2, Ω 2,7 khz = 2, Hz 30 ma = A 0,16 µv = 0, V 30 nh = H 65 pf = F

22 Wetenschappelijke notatie Formules : getallen altijd noteren in de eenheid (zonder voorzetsel) = = 10 3 I = 3 kv 2 MΩ V = = Ω 3 V Ω = V 2 Ω = 1,5 ma R = 300 mv 0,2 µa V = 0, = V A 0,2 A = 1500 kω

23 Veelgebruikte formules Wet van Ohm : U = I. R Spanning (V) = stroomsterkte (A) x weerstand (Ω) I = U R R = U I (de wet van Ohm wordt zeer vaak toegepast!)

24 Veelgebruikte formules Wet van Ohm : toepassingen Berekening spanningsdeling R1=70 Ω U U 1 = I.R 1 U 2 = I.R 2 U2 R2=30 Ω U 1 = U. R 1 R 1 + R 2 U 2 = U. R 2 R 1 + R 2 In deze schakeling verdeelt de spanning zich evenredig met de grootte van de weerstand

25 Veelgebruikte formules Vermogen en energie Een weerstand warmt op door de stroom die erdoor vloeit. Het gedissipeerde vermogen hangt af van (is evenredig met) de spanning over de weerstand, en de stroom door de weerstand : P = U. I P = U 2 R P = I 2. R Wet van Joule Het vermogen is een grootheid, gedefinieerd als de opgewekte of verbruikte hoeveelheid energie (of arbeid) per tijdseenheid. In formulevorm 1 W = 1 Joule/s

26 Veelgebruikte formules Wet van Joule : toepassingen In R1 (100 Ω) wordt 100 W gedissipeerd, welk vermogen wordt in R2 (200 Ω) gedissipeerd? A. 200 W B. 400 W C. 300 W D. 225 W A P = I 2.R. Stroom kan berekend worden, maar is zelfde door R2, dus regel van drie is ook een mogelijkheid : à 100 Ω = 100 W à 1 Ω = 100 W / 100 = 1 W à 200 Ω = 1W.200 = 200 W

27 Veelgebruikte formules Vermogen en energie : toegepast Wanneer een toestel op 5 uur tijd een arbeid heeft verricht van Joule, hoe groot is dan het vermogen van het toestel? A W B. 100 W C. 10 W D. 1 W D Vermogen (W) = energie (J) / tijdsduur (s) à J / s = 1 W

28 Veelgebruikte formules Reactantie Condensator (wisselstroom weerstand of schijnweerstand ) X C = 1 2.Π.f.C Omgekeerd evenredig met frequentie en capaciteit : hoe hoger de frequentie, hoe lager de reactantie, hoe lager de frequentie, hoe hoger de reactantie. Voor DC, freq.=0, is de reactantie oneindig Reactantie Spoel X L = 2.Π.f.L evenredig met frequentie en capaciteit : hoe hoger de frequentie, hoe hoger reactantie, hoe lager de frequentie, hoe lager de reactantie. Voor DC, freq.=0, is de reactantie 0

29 Toepassing reactantie (impedantie) Bij welke van de gegeven frequenties zal de impedantie van een netwerk gevormd door een weerstand van 150 Ω in parallel met een condensator van 750 pf het kleinste zijn?: A. 1 MHz B. 1,41 MHz C. 2,82 MHz D. 4 MHz D Condensator : hoe hoger de frequentie, hoe lager de reactantie die parallel staat à dus bij hoogste freqentie, laagste impedantie. Berekenen is hier niet echt nodig.

30 Toepassing reactantie (impedantie) Bij welke van de gegeven frequenties zal de impedantie van een netwerk gevormd door een weerstand van 150 Ω in parallel met een spoel van 5 µh het grootste zijn? A. 1 MHz B. 2 MHz D C. 3 MHz D. 4 MHz Spoel : hoe hoger de frequentie, hoe hoger de reactantie die parallel staat à dus bij hoogste freqentie, hoogste impedantie. Berekenen is hier niet echt nodig.

31 Toepassing impedantie Bij een frequentie van 10 MHz is de impedantie van een weerstand van 100 Ω in parallel met een spoel van 2 µh gelijk aan: A. 56 Ω B. 78 Ω C. 161 Ω D. 226 Ω B Spoel : X L = 2.Π.f.L = 2. Π = 125,6 Ω à 1 = 1 1 Z R X L = 78 Ω

32 Veelgebruikte formules Periode versus frequentie f, frequentie in Hz T, periode van 1 cyclus in s Golflengte versus frequentie λ (m) = 300 f (indien frequentie in Mhz) λ, golflengte in m f, frequentie in Hz v, voortplantingssnelheid van de golf in m/s, bvb km/s of m/s

33 Veelgebruikte formules Waarden van een sinusvormige wisselspanning ogenblikkelijke waarde (op ogenblik t) Effectieve waarde (waarde van gelijkspanning die hetzelfde vermogen zou verbruiken). Voor een sinus: 0,707 U max

34 Veelgebruikte formules Indien de ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale wisselspanning met een frequentie van 1000 Hz gelijk is aan zijn amplitude en een waarde heeft van 10 V, wat is de ogenblikkelijke waarde 1 ms later? A. 0 V B. 10 V C. 5 V D. 7,1 V B Periode van een sinusoïdale wisselspanning van 1000 Hz = 1/1000Hz = 1 ms à Na 1 ms later is de ogenblikkelijke waarde dezelfde = 10V

35 Veelgebruikte formules Een sinusoïdale wisselspanning met een maximale waarde van 30 V wordt aangesloten op een weerstand van 10 Ω. Het opgenomen vermogen is A. 90 W B. 45 W B C. 21,2 W D. 42,4 W Ueff = 0,707.Umax = 21,21 V à P = U 2 /R = 450/10 = 45 W

36 Formules bij parallel en serie schakelingen Serieschakeling weerstanden : R tot = R 1 + R 2 + R 3 + Parallelschakeling weerstanden : = R tot R 1 R 2 R 3

37 Serie en parallelschakeling toegepast Wat is de totale weerstand van deze schakeling? A. 300 Ω B. 700 Ω C. 683 Ω D. 900 Ω C Om een totale weerstandswaarde van 2 Ω te bekomen moet men: A. de schakeling laten zoals ze is B. een weerstand van 2 Ω in parallel bijschakelen C. een weerstand van 4 Ω verwijderen D. een weerstand van 1 Ω in serie plaatsen met de schakeling D Belangrijke tip : onthou dat in een parallelschakeling van weerstanden, de totale weerstand steeds kleiner is dan de kleinste waarde van de individuele weerstanden

38 one more thing : Serie en parallel schakeling van condensatoren en spoelen Modulatie-index (FM) Kantelfrequentie van een filter

39 Vragen?