Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels die je soms nodig hebt om goniovergelijkingen op te lossen: (1) sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 (2) sin(x) = sin (x + π) (3) cos(x) = cos (x + π) (4) sin(x) = cos(x - ½π) { ½π naar rechts } (5) cos(x) = sin(x + ½π) { ½π naar links } (6) tan(x) = sin(x) / cos(x) Regels oplossen gonio-vergelijking (i) De Standaardtabel (ii) De Gonio Vergelijkings Regels : (1) sin(a) = sin(b) (2) cos(a) = cos(b) A=B+k 2π v A= π-b+k 2π A=B+k 2π v A= -B+k 2π (iii) Stappenplan Stappenplan Gonio-vergelijking oplossen (1) Zorg dat er links geen getal voor de sin of cos staat (2) Zet de rechtse waarde om in een sin/cos-waarde m.b.v. de standaardtabel (3) Gebruik bovenstaande regel om de vergelijking verder op te lossen (4) Schrijf alle oplossingen op die binnen het domein liggen

2 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 2 van 8 Los exact op a. sin(x + π) = 1 b. sin(x) cos 2 (x) = 1 a. (1) sin(x + π) = 1 sin(x) = 1 sin(x) = 1 (2) sin(x) = sin ( 1 2 π) (3) x = 1 π + k 2π v x = π 1 π + k 2π (zelfde) 2 2 x = 1 π + k 2π 2 b. sin(x) cos 2 (x) = 1 sin(x) (1 sin 2 (x)) = 1 sin(x) 1 + sin 2 (x)) = 1 sin(x) + sin 2 (x) = 0 sin(x)[1 + sin(x)] = 0 sin(x) = 0 v 1 + sin(x) = 0 (1) sin(x) = 0 v sin(x) = 1 (2) sin(x) = sin(0) v sin(x) = sin (1 1 2 π) (3) x = 0 + k 2π v x = π 0 + k 2π v x = 1 1 π 0 + k 2π v x = π 1 1 π + k 2π 2 2 x = 0 + k 2π v x = π + k 2π v x = 1 1 π + k 2π v x = 1 π + k 2π 2 2

3 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 3 van 8 Les 3 Verdubbelingsformules en Somformules Definitie verdubbelingsformules (1) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (2) cos(2x) = cos 2 (x) - sin 2 (x) (3) cos(2x) = 2cos 2 (x) - 1 (4) cos(2x) = 1-2sin 2 (x) Definitie som- en verschilformules (5) cos(t+u) = cos(t)cos(u) sin(t)sin(u) (6) cos(t u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u) (7) sin(t+u) = sin(t)cos(u) + sin(u)cos(t) (8) sin(t u) = sin(t)cos(u) sin(u)cos(t) a. Herleid sin(2x) cos(x) tot een vorm met alleen sinus-en b. Herleid cos(3x) tot cos(x) 4sin 2 (x)cos(x) a. sin(2x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) cos(x) = 2sin(x) cos 2 (x) = 2sin(x) cos 2 (x) = 2sin(x) [ 1 sin 2 (x) ] = 2sin(x) 2sin 3 (x) b. cos(3x) = cos(x+2x) = cos(x)cos(2x) sin(x)sin(2x) = cos(x)cos(2x) sin(x)sin(2x)= = cos(x) (1 2sin 2 (x)) sin(x) 2sin(x)cos(x) = cos(x) 2 sin 2 (x)cos(x) 2sin 2 (x)cos(x) = cos(x)-4 sin 2 (x)cos(x)

4 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 4 van 8 Paragraaf 12.2 : Symmetrie en Primitiveren Les 1 Lijn- en Puntsymmetrie Definitie Lijnsymmetrisch = { Trek een lijn waarbij linkerkant en rechterkant gespiegeld zijn} Lijnsymmetrisch in x=a f(a-p) = f(a+p) VB : y = x 2 Puntsymmetrisch = { Draai de grafiek rond het punt 180 graden. De grafiek is dan gelijk } Puntsymmetrisch in (a,b) f(a-p) + f(a+p) =2b VB : y = x 3 Gegeven is de formule y = sin(x). a. Toon aan dat de formule lijnsymmetrisch in x= ½π. b. Toon aan dat de formule f(x) = sin(x) + 3 puntsymmetrisch in (2π,3). a. Gebruik de somformules : (1) sin(x+ ½ π) = sin(x)cos( ½π) + sin(½π)cos(x) = sin(x) cos(x) = cos(x) (2) cos(x+ ½ π) = sin(x)cos(½π) - sin(½π)cos(x) = sin(x) 0 1 cos(x) = cos(x) (3) Aangezien deze gelijk zijn is y = sin(x) lijnsymmetrisch in x = ½ π.

5 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 5 van 8 b. Gebruik de somformules : (1) f(2π-p) = sin(2π-p) + 3 = sin(2π)cos(p) - sin(p)cos(2π) +3 = = 0 cos(p) - sin(p) = -sin(p) + 3 (2) f(2π+p) = sin(2π+p) + 3 = sin(2π)cos(p) + sin(p)cos(2π) +3 = = 0 cos(p) + sin(p) = sin(p) + 3 (3) f(2π-p) + f(2π+p) = (-sin(p) + 3) + (sin(p) + 3) = 6 = 2 3 Aangezien deze gelijk is aan 2b is de formule puntsymmetrisch in (2π,3). Les 2 Integreren van sin(x) en cos(x) Definitie Integreren f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) f(x) = sin(x) F(x) = -cos(x) Denk ook aan de kettingregel bij primitiveren : F(x) = F(u) U met U = 1 / u. Integreer a. f(x) = cos(5x) + 10 b. f(x) = 2 sin(3x + ½ π ) c. f(x) = cos 2 (x) a. u = 5x u = 5 U = 1/5 F(x) = 1/5 sin(5x) b. u = 3x+ ½π u = 3 U = 1/3 F(x) = -2/3 cos(3x + ½ π ) c. cos(2x) = 2 cos 2 (x) 1 2 cos 2 (x) = cos(2x) + 1 cos 2 (x) = ½ cos(2x) + ½ Dus f(x) = cos 2 (x) = ½ cos(2x) + ½ F(x) = ¼ sin(2x) + ½x

6 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 6 van 8 Paragraaf 12.3 : Cirkelbewegingen en Trillingen Les 1 Krommen Definities Kromme = { figuur waarbij de x en de y coördinaten afhankelijk zijn van een 3 e variabele t } x = a + r cos(ωt) Cirkelbeweging = { Kromme van de volgende vorm { y = b + r sin(ωt) } o Middelpunt cirkel = (a, b) o Periode = 2π Trillingstijd (T) = 2π c ω o Frequentie : F = 1 (in Hertz) T o r = straal van de cirkel o Startpunt cirkel = (a + r, b) o Hierbeneden zie je een voorbeeld : Als je deze kromme wilt tekenen, kun je ook verschillende punten voor t invullen en daarmee de x en y coördinaten berekenen { bijv t = 0 / ¼π / ½π etc. }

7 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 7 van 8 Les 2 Harmonische trilling Definitie Harmonische trilling = { De beweging van de trilling gaat alleen van boven naar beneden } Gegeven is punt Q dat een harmonische trilling uitvoert. De vergelijking is : Q(t) = 3 cos (30πt 1 π). Hierbij is t in seconden en Q in cm. 6 a. Bereken de trillingstijd en de frequentie. b. Bereken de afstand die de trilling aflegt in 2 minuten. Gegeven is ook punt P die de volgende trilling uitvoert : P(t) = 3 cos(12πt). De samengestelde trilling u = P + Q. c. Bepaal de gezamenlijke periode. a. T = 2π = 1 en F = 15 (Hz) 30π 15 b. (1) Hij trilt 15 keer per seconde. (2) Per trilling legt hij 4 keer de amplitude af = 4 3 = 12cm. (3) In 2 minuten = 120 seconden zijn dat = = cm. c. Periode Q = 2π 30π = 1 15 = T Q Periode P = 2π 12π = 1 6 = T P Gezamenlijke periode = KGV { 1, 1 } = KGV { 5, 2 10 } = =

8 Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 8 van 8 Paragraaf 12.4 : Bewegingsvergelijkingen Les 1 Lissajous figuren Definitie Lissajousfiguur = { Kromme met x en y een goniometrische functie } Gegeven is de kromme op [0,π] x = sin (t) { y = cos (2t) a. Teken de kromme. b. Bereken de snijpunten met de assen. c. Toon aan dat de kromme ligt op de parabool y = -2x a. Maak een tabel (of GR : Mode Par Tmin=0 / Tmax=π / x en y tussen -1 en 1. t 0 1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π π x 0 ½ ½ 3 1 ½ 3 ½ 0 y 1 ½ - ½ -1 - ½ ½ 1 b. Snijpunten met de y-as : x=0 sin(t) = 0 t=0 v t = π (0, 1) Snijpunten met de x-as : y=0 cos(2t) = 0 t= ¼π v t = ¾π (½ 2,0) v (½ 2,0) c. y = -2x cos(2t) = -2 sin 2 (t) + 1 = 1-2 sin 2 (t) klopt!!! Les 2 Formule opstellen bij bewegende punten Zie voorbeeld blz. 178