dt dy dt b. Teken het lijnelementenveld voor de roosterpunten met 0 t 3 en 0 y 2.

Transcriptie

1 Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 5 : Continue Dynamische Modellen Les Dynamische modellen opstellen Paragraaf overslaan. Les 3 Differentiaalvergelijking VB. Gegeven is de differentiaalvergelijking t + y + a. Bereken alle punten waar 0 b. Teken het lijnelementenveld voor de roosterpunten met 0 t 3 en 0 y. Opl a. 0 b. 0 t + y + y t. Dus op de lijn y t. Helling / y \ t

2 VB. Gegeven is nu de vergelijking ( y )( y 0) a. Maak het tekenoverzicht van het lijnelementenveld. b. Bereken de horizontale asymptoot. Opl. a. Helling 0 geeft ( y 3)( y 0) 0 y 3 v y 0 Voor y < 3 is > 0 Voor 3 < y < 0 is < 0 Voor y > 0 is > 0 (zie tekening) b. Er is een Horizontale Asymptoot (HA) als ( y 3)( y 0) 0. Dit geeft y 3 v y 0. Nu is er alleen een HA bij y 3 omdat voor y > 3 is de grafiek dalend en voor y < 3 is de grafiek stijgend (s asymptoot)

3 Bij y > 0 is grafiek stijgend (gaat van asymptoot af!!!!) Les 6 Differentiaalvergelijking oplossen VB. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijkingen : a. y 3 b. y c. ty + t Opl. a. t 3 ( t 3) {int y t 3t + c egreren } y b. y {int egreren } y ln( y ) t + c t + c c t y e e c. ty + t ( t y + ) ( t y + ) t {int egreren } y + ln( y + ) t + c y + e y e t + t + c c

4 Les 6 Eerste Orde Differentiaalvergelijking oplossen Een eerste orde differentiaalvergelijking is van de vorm ( f t ) y + ( g t ) Deze los je als volgt op :. Bepaal de homogene oplossing door ( f t ) y op te lossen.. Bepaal de particuliere oplossing door ( f t ) y + ( g t ) op te lossen. 3. Algemene oplossing homogene oplossing + particuliere oplossing Opmerking : Deze splitsing was bij de vorige opgaven nog niet nodig omdat er toen nog geen particuliere oplossing was!!! VB. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking : a. y 3 sin( t ). Probeer als particuliere oplossing y a cos(t) + b sin(t). Opl y. y {int egreren } y ln( y ) t + c t + c c t y e e. y 3sin( t ) Probeer als oplossing y a cos(t) + b sin(t). Dit geeft : a sin( t ) + b cos( t ) a cos( t ) + b sin( t ) 3 sin( t ) a b 3 b a Dus b b 3 b 3 b a Dus de particuliere oplossing is y ½ cos(t) + ½ sin(t). 3. De algemene oplossing is s : y e t+c + ½ cos(t) + ½ sin(t).

5 Om de particuliere oplossing te vinden kun je gebruik maken van de volgende regels: g(t) getal Probeer y c g(t) ct+d Probeer y at + b g(t) c cos(x) + d sin(x) Probeer y acos(x) + bsin(x) g(t) c e at Probeer y A e at Les 0 Differentiaalvergelijking van de vorm VB. Los op 3y + y ay + by Stappenplan voor oplossen vergelijking : ay + by Vul y in. Dit geeft s u u u Schrijf om en los op de oude manier op Opl. Vul y in. Dat geeft : u u 3( ) + ( ) u u 3 + { keer u } u u u 3 7u Dit kun je verder oplossen.. 7u De oplossing

6 7u 7u 7u 7 u ln( u ) t + c 7 ln( u ) 7t 7c u e 7t 7c c 7t {int egreren }. 3 7u. De particuliere oplossing is -3-7u 0 u -/ t u c 4. y u c c C 7t 7t 7t Les Tweede Orde Differentiaalvergelijking oplossen '' ' Een tweede orde differentiaalvergelijking is van de vorm : y + py + qy 0 Een oplossing is y e λt. Dit geeft : λ λt + pλ λt +q λt 0 Delen door e λt (>0) geeft de karakteristieke vergelijking : λ + pλ +q 0 Dit geeft de volgende: Als D > 0 met oplossingen λa en λb y A Als D < 0 oplossingen λa+bi en λa-bi y ( A cos( bt ) + B sin( bt )) Als D0 met oplossing λa at y ( A + Bt ) at at + B bt

7 VB. Los op '' ' 8 ' y + y y 0 met ( y 0 ) 5 en y( 0) 0 Opl. De karakteristieke vergelijking oplossen : λ + λ 8 0 (λ + 4)(λ ) 0 λ -4 v λ. Omdat D > 0 gel : y A 4t y ' 4A + B 4t t + B t Omdat ( y 0) 5 gel : ( y 0) A + B 5 A + B 5 { vgl } A 5 B { vgl } Omdat ( ' 4t t y 0 ) 0gel : y (' 0) 4A + B 0 4A + B 0 { vgl } Vul { vgl } in in {vgl } en je krijgt : -4(5-B) + B B + B 0 B 30 B 5 En s A Dus de oplossing is : y 4t e t