7. Tweedimensionale grafieken

Transcriptie

1 7. Tweedimensionale grafieken 7.1. Grafieken van functies Maxima beschikt over meerdere opdrachten om grafieken te laten tekenen. Grafieken kunnen met wxplotd in de wxmaxima-omgeving ingebed worden (inline). Bij het tekenen van grafieken kan van diverse opties via parameters in de plotopdracht gebruik gemaakt worden. Een uitdrukking met één variabele plotten met wxplot Voorbeeld: Notatie: x 4x + 1 wxplotd ( <expressie>, <x-bereik>, <y-bereik>, <opties>) Een uitdrukking met één variabele plotten met gnuplot In beginsel maakt Maxima bij het tekenen van grafieken gebruik van externe programma s (standaard is dat GnuPlot), waarbij de grafiek in een eigen venster getoond wordt. 1

2 Tweedimensionale grafieken *x^-4*x x Deze grafiek (via gnuplot verkregen) kunt u desgewenst ook exporteren naar een ander document:

3 Meerdere uitdrukkingen met één variabele Meerdere expressies kunnen in een lijst worden samengevat en daarmee gelijktijdig geplot worden. In dit voorbeeld wordt het externe programma gnuplot gebruikt. Voorbeeld: f ( x) = 4x + 7x + 9 en g x x x ( ) = Notatie: plotd ( [<expressie1>, <expressie>],<x-bereik>, <y-bereik>,<opties>) De optie [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"] zorgt ervoor dat de assen getekend worden *x^+7*x+9-3*x^+9*x x Opgave 7.1 Teken de grafieken van 3 x x x + 1, 3 4 x 5x + 1 en 7 5 x in het venster [ 3, 7] [ 6, 7]. 3

4 Tweedimensionale grafieken 7.. Grafieken van impliciet gedefinieerde functies x + 1 y + 1 Stel dat u de grafiek van de ellips + = 1 wilt tekenen, dan kan dat niet 3 4 eenvoudig via plotd omdat y niet zo eenvoudig in x kan worden uitgedrukt. In Maxima kunnen we in dit soort gevallen beschikken over het pakket implicit_plot dat geladen kan worden via de opdracht load( implicit_plot ). Notatie voor de impliciete plotopdracht : implicit_plot (<expr>,< x-bereik>,< y-bereik>, <opties>) 6 4 (y+1)^/16+(x+1)^/9 = Opgave 7. Teken in één figuur de elliptische krommen venster [ 3,3] [ 4, 4]. 3 y x x = en 3 y x x = in het 7.3. Tekenen van punten en lijnstukken 4

5 Het is met Maxima ook mogelijk om punten en lijnstukken te tekenen. Punten en lijnstukken worden daarbij als lijsten ingevoerd. Een punt correspondeert daarbij met een tweedimensionale vector. Voorbeeld : We tekenen de driehoek met de hoekpunten A(1,9), B(0,1) en C(7,5) Opmerking: Om ervoor te zorgen dat de veelhoek gesloten wordt getekend, moet in Maxima het beginpunt ook nog eens als eindpunt worden ingevoerd. Vervolgens tekenen we de puntenlijst. Belangrijk daarbij is de toevoeging discrete bij de plotopdracht! Het is ook mogelijk alleen de hoekpunten van de driehoek te tekenen door toevoeging van de optie [style,points] : 5

6 Tweedimensionale grafieken Andere plotopties zijn nog : [style, [points,5,,6]] [style, [lines,3,3]] Punten worden met speciale instellingen getekend (5 = puntomvang, = kleur rood, 6 = soort opvulling) Lijnstuk met dikte 3 wordt getekend met kleur 3(Magenta) 7.4. Tekenen van parameterkrommen Rechte lijn Naast de normale vorm van xy-grafieken is het in Maxima ook mogelijk parametervoorstellingen van een kromme te plotten. Hierbij zijn x en y functies van een parameter t. f(t) := [f 1 (t), f (t)] x = f(t)[1] y = f(t)[] Voorbeeld : We definiëren een rechte in parametervorm g : X = punt + t. vector (kortweg g: X = P + t. v), waarbij de parameter t een scalaire grootheid is. We kiezen het punt P(1,) als plaatsvector en de vector v= (1,1) als richtingsvector. 6

7 De algemene gedaante van een tweedimensionale parameter plotopdracht : plotd([parametric,f x (t),f y (t),<[nticks,getal]>,[t,min,max]],...) parametric geeft aan dat het hier een parameterplot betreft f x geeft aan hoe x van de parameter t afhangt f y geeft aan hoe y van de parameter t afhangt [nticks, getal] legt in getal het aantal te tekenen punten vast; voor een behoorlijke plotkwaliteit is het raadzaam getal niet te klein te kiezen [t,min, max] bereik van de parameter t, van min tot max Onze plotopdracht met f(t)[1] = t+1 en f(t)[] = t+ ziet er dan als volgt uit wxplotd([parametric,f(t)[1], f(t)[], [nticks,100], [t,-7,7]], [x,-5,5], [y,-5,5]); Ellips x + 1 y + 1 We beschouwen de ellips met vergelijking + = In paragraaf 7. hebben we gezien hoe we via de opdracht implicit_plot de grafiek van de ellips hebben getekend. We kiezen als parametervoorstelling: 7

8 Tweedimensionale grafieken x + 1 = cos( t ) 3 y + 1 = sin( t ) 4 of x = 1+ 3cos( t) y = 1 + 4sin( t) Opgave 7.3 Maak een parameterplot van de zogenaamde cardioïde :[cos(t)-cos(t),sin(t)-sin(t)] Lissajousfiguren Jules-Antoine Lissajous ( ) was een Frans fysicus die baanbrekend werk heeft verricht op het gebied van licht en geluid. Hij gebruikte hierbij de later naar hem genoemde trillingsfiguren. Lissajous-krommen worden toegepast bij natuurkunde, sterrenkunde en andere wetenschappen. Ze kunnen het best zichtbaar gemaakt worden op een oscilloscoop en worden gebruikt om een onbekende frequentie op te sporen door deze te vergelijken met een bekende. In de figuur hiernaast ziet u een trillingsfiguur van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan periodieke bewegingen langs de x-as en de y-as. De trilling langs de x-as wordt beschreven door de formule: x( t) = 3 sin( πt / ) en de trilling langs de y-as door de formule: y( t) = 5 sin( πt / 3) 8

9 Een Lissajousfiguur is een kromme die wordt beschreven door een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee periodieke bewegingen langs verschillende assen. De hierbij behorende algemene gedaante van de parametervoorstelling ziet er als volgt uit: Opgave 7.4 x( t) = a + b sin ( c( t d)) y( t) = p + q sin ( r( t s)) Een punt P doorloopt een Lissajousfiguur K met parametervoorstelling x( t) = 100 sin( t) K : y( t) = A sin ( ωt + α) a. Om het effect van de verandering in het faseverschil α na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A = 100, ω =1 en α = 0, π / 4, π /, 3 π / 4, π b. Om het effect van de verandering in de hoekfrequentie ω na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A=100, α = 0 en ω = 0.5, 0.50, c. Om het effect van de verandering in de amplitude A na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval ω =1, α = 0 en A = 5, 50, 75. 9