Signalen en Transformaties

Transcriptie

1 Signalen en Transformaties Docent : Anton Stoorvogel A.A.Stoorvogel@utwente.nl /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Convolutie.f g/.t/ D Z f./g.t / d Goed gedefinieerd als f.t/ begrensd en g.t/ absoluut integreerbaar of omgekeerd. Convolutie is commutatief. 2/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Voorbeeld Bepaal de volgende convolutie:.rect a rect a /.t/ met 8 rect a.t/ D jtj < ˆ< a 2 0 jtj > a 2 ˆ: 2 jtj D a 2 3/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Z rect a./ rect a.t / d D Za=2 rect a.t / d a=2 4/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 t < a Za=2 rect a.t / d D 0 a=2 5/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 t > a Za=2 rect a.t / d D 0 a=2 6/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 0 < t < a Za=2 rect a.t / d D Za=2 d D a t a=2 t a=2 7/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 a < t < 0 Za=2 rect a.t / d D tca=2 Z d D t C a a=2 a=2 8/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 .rect a rect a /.t/ D a trian a.t/ 9/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Voorbeeld 2 Bepaal de volgende convolutie:.f g/.t/ met en f.t/ D e t ½.t/; g.t/ D e 2t ½.t/ ½.t/ D 8 t > 0 ˆ< 0 t < 0 ˆ: 2 t D 0 0/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Z f./g.t / d D Z e ½./e 2tC2 ½.t / d /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 t < 0 Z e ½./e 2tC2 ½.t / d D 0 2/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 t > 0 Z e ½./e 2tC2 ½.t / d D Z t e e 2tC2 d D Z t e 2tC d 0 0 en Z t 0 e 2tC d D e 2tC Dt D0 D e t e 2t 3/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 .f g/.t/ D e t e 2t ½.t/ 4/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 Voortschrijdend gemiddelde f swa.t/ D T tct=2 Z t T=2 f./ d f swa D f g met g.t/ D T rect T.t/ 5/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 Z f./g.t / d D Z f./ T rect T.t / d D T Z tct=2 f./ d t T=2 6/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 Voorbeeld 3 De luchttemperatuur in een destillatiekolom waarneming per minuut gedurende 8 dagen, tijdeenheid uur. 7/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 8 8 T= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 8 8 T= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 8 8 T= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 8 8 T= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 8 8 T= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 Causaliteit Een signaal heet causaal als f.t/ D 0 voor t < 0. Convolutie van causale signalen is weer causaal. 24/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Voorbeeld 4 De convolutie met de stapfunctie:.f ½/.t/ 25/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 Z f./ ½.t / d D Z t f./ d 26/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Delta-functie r n.t/ D 8 < n.jtj < 2n / ; : 0.jtj > 2n / : ı.t/ D lim n! r n.t/ Maar hoe moeten we hier mee rekenen? ı.t/ ı.t/ D ı.3t/ D 2 ı.t/ D 27/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 n - 2n 2n 28/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

29 Testfuncties Definitie Een functie '.t/ heet een testfunctie als '.t/ oneindig vaak differentieerbaar is en voor alle n lim t! tn '.t/ D lim t! tn '.t/ D 0: 29/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

30 Een gegeneraliseerde limiet wordt gedefinieerd als "lim" f a.t/ D f.t/ a! lim a! Z f a.t/'.t/ dt D Z f.t/'.t/ dt 30/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

31 Voorbeeld D "lim" a!0 sin.at/ at 3/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

32 Z sin.at/ '.t/ dt at Z T T D a a sin.at/ '.t/ dt at ZaT at ZaT sin./ '. a / d '. a / d D Z T at '.t/ dt T Z '.t/ dt 32/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

33 Gegeneraliseerde limieten "lim" a! sin.at/ t D ı.t/: "lim" a! eiat D 0: "lim" #0 p 2 e t2 = D ı.t/: De tweede limiet is in feite het Riemann-Lebesgue lemma. 33/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

34 Gegeneraliseerde functies indien: lim a! f.t/ D "lim" a! f a.t/ D "lim" a! g a.t/ D g.t/ Z f a.t/'.t/ dt D lim a! Z g a.t/'.t/ dt voor alle testfuncties '. 34/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

35 Delta functie ı.t/ D "lim" h!0 ½.t C h/ h ½.t/ ı.t/ D "lim" n! r n.t/ Z ı.t/'.t/ dt D '.0/ 35/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

36 Rekenregels en eigenschappen van de delta-functie Z ı.t /f.t/ dt D f./ f.t/ continu in t D f.t/ı.t / D f./ı.t / f.t/ continu in t D.f ı/.t/ D f.t/ convolutie 36/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

37 Rekenregels en eigenschappen van de delta-functie ı.at C b/ D jaj ı.t C b a / Z t ı./ d D ½.t/.t 0/ schaalverandering 37/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

38 De stapfunctie ½.t/ kunnen we zien als de limiet voor n! van: f n.t/ D 2 C arctan.nt/ 38/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

39 n= n=2 n= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

40 De afgeleide van f n.t/ is gelijk aan: f n./.t/ D n C.nt/ 2 40/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

41 3 n= n=2 n= /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

42 Z f./ n.t/dt D f n./ f n. / D : Het lijkt dus logisch om de afgeleide van ½.t/ te definiëren als ı.t/. 42/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

43 Gegeneraliseerde afgeleide g.t/ is de gegeneraliseerde afgeleide van f.t/ als: Z f.t/ d' dt.t/ dt D Z g.t/'.t/ dt voor alle testfuncties '.t/. 43/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

44 Z f.t/ d' dt.t/ dt D f.t/'.t/ Z g.t/'.t/ dt 44/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

45 Als de signalen f.t/ en g.t/ voldoen aan de betrekking f.t/ D f.a/ C Z t a g./d dan geldt dat in alle punten t waar g.t/ continu is, het signaal f.t/ differentieerbaar is en in die punten geldt f 0.t/ D g.t/. g.t/ niet continu dan noemen we het een gegeneraliseerde afgeleide. 45/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

46 Voorbeeld Afgeleide van: sgn.t/ D 8 t > 0 ˆ< 0 t D 0 ˆ: t < 0 46/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

47 Voorbeeld f.t/ D ½.t/ ½.t / C e t ½.t / f 0.t/ D ı.t/ ı.t / C e t ı.t / e t ½.t / 47/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

48 2 2 48/48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI