(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

Transcriptie

1 Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na te gaan en afspraken te maken wat nu ect de betekenis van enkele begrippen is. We zullen ons beperken tot reële functies, dus functies die op (een deel van) de reële getallen gedefinieerd zijn.. Functies Een reële functie is een voorscrift die aan elk element D van een deelverzameling D R een functiewaarde f() R toevoegt. We noemen D et domein van de functie f en de verzameling {f() D} van alle functiewaarden et bereik van de functie f. Merk op dat we ier nog niets over de structuur van et domein D ebben geëist, dit kan inderdaad een willekeurige deelverzameling van R zijn. Belangrijke voorbeelden zijn: (i) alle reële getallen, dus D = R, (ii) alle reële getallen bealve één, bijvoorbeeld R \ {0}, (iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, ] := { R 0 }, open intervallen zoals D = (0, ) := { R 0 < < }, en alfopen intervallen zoals D = (0, ] := { R 0 < }, (v) de vereniging van (afgesloten, open of alfopen) intervallen. Een speciaal type van alfopen intervallen zijn de niet-negatieve reële getallen D = { R 0}. Deze worden vaak met D = [0, ) genoteerd. Er zijn trouwens ook rare domeinen mogelijk, bijvoorbeeld D = {a + b 2 a, b Q}. Dit is (net als de rationale getallen Q) een deelverzameling van R waar tussen elke twee punten van D overaftelbaar veel punten uit R liggen die niet in D zijn. Aan de andere kant liggen al de punten van D willekeurig dict bij elkaar, dus geldt dit ook voor D. Een functie f wordt bescreven door zijn domein D en een afbeeldingsvoorscrift, die zegt oe je aan een D zijn functiewaarde f() toevoegt. Dit 48

2 wordt vaak gescreven als f : D R, y als y de waarde van f in et punt is, dus als y = f(). Hier zijn een paar voorbeelden van functies, die laten zien dat et soms om redelijk gekke dingen gaat: (i) D = R, f : 2, als < 0 (ii) D = R, f() := 0 als = 0 als > 0 (dit et soms ook de signum-functie), (iii) D = R, f() := { als Q 0 als R \ Q (iv) D = R \ {, }, f : nooit nul wordt), (merk op dat voor D de noemer (v) D = R \ {n π n Z}, f : sin(), (vi) D = R, f() := n als n et aantal van 7en in de decimale ontwikkeling van is, f() := π als er oneindig veel 7en in de decimale ontwikkeling zitten. 0 8 y Figuur II.: f() := sin() Om ingewikkeldere functies te bouwen worden vaak eenvoudigere functies gecombineerd. Hierbij wordt bealve van et optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van functies ook de samenstelling van functies gebruikt. Voor een functie f met domein D f en bereik B f en een functie g met domein D g waarvoor D g B f geldt, definiëren we de samengestelde functie g f met domein D f door g f : D f R, g(f()). Bijvoorbeeld kunnen we de functie f : R R, + 2 bescrijven als f = g met : R R, en g : R R, + 2, maar ook door 49

3 f = 2 g 2 met 2 : R R, + en g 2 : R R, 2 en zelfs door f = g 3 g 2 met g 3 : R R, +. Merk op dat 2 = g 3 en g = g 3 g 2, dus is ( g 3 ) g 2 = (g 3 g 2 ). Omdat ook in et algemeen geldt dat de samenstelling van functies associatief is, d.w.z. dat ( g) f = (g f), oeven we in de samenstelling van drie of meer functies niet op aakjes te letten. Om bij een functie f een punt te vinden die een gegeven waarde y oplevert, ebben we een soort van omkering van f nodig. We willen namelijk de vergelijking f() = y naar oplossen. Dit kan, als we bij de functie f een functie g kunnen vinden, zo dat g f() = voor alle in et domein van f. Dan geldt namelijk = g(f()) = g(y). Als zo n functie g bestaat noemen we g de inverse functie van f en noteren deze als f. Merk op dat et domein van f et bereik van f is. Verder kan de inverse functie f alleen maar bestaan als f aan verscillende punten y ook verscillende waarden f() f(y) toevoegt. Voor f() = f(y) is namelijk = f (f()) = f (f(y)) = y, dus zou voor f() = f(y) met y de inverse functie twee verscillende waarden aan f() moeten toevoegen, en dat kan niet. Een functie met f() = f(y) = y et een injectieve functie. We ebben dus gezien dat alleen maar injectieve functies een inverse functie ebben. We kunnen de grafiek van de inverse functie gemakkelijk uit de grafiek van f afleiden: de grafiek van f bestaat uit de punten (, f()) in et y-vlak, en omdat f (f()) =, bestaat de grafiek van f uit de punten (f(), ). Dit is dus de gespiegelde van de grafiek van f in de diagonaal = y. We zien nu ook meteen in dat f injectief moet zijn, want anders is er een orizontale lijn = a die twee (of meer) snijpunten met de grafiek van f eeft, en dan eeft de verticale lijn y = a twee snijpunten met de grafiek van f en dit kan niet voor een functie. 2 f() := ^ f^( )() y Figuur II.2: f() := 2 eeft de inverse functie f () := 50

4 .2 Continue functies Een belangrijke klasse van functies zijn functies die we intuïtief glad zouden noemen, omdat we un grafiek kunnen tekenen zonder de pen af te zetten. Dit wil zeggen, dat er geen sprongen in de grafiek zijn. Omdat wiskundige soms eel rare functies verzinnen, waar we niet eens weten oe we un grafiek kunnen tekenen, ebben we een iets algemenere definitie van gladeid nodig. De functie f() := sin( ) scommelt bijvoorbeeld in de buurt van 0 sneller en sneller tussen en en we kunnen niet zeggen wat voor een waarde we aan 0 moeten toewijzen Figuur II.3: f() := sin( ) in de buurt van = 0 We zeggen dat een functie f : D R continu in et punt a D is, als de functiewaarden in een klein stukje om a een allemaal dict bij f(a) liggen. Dit wordt door de beroemde ε δ-definitie uitgedrukt: II. Definitie Een functie f : D R eet continu in et punt a D als er voor alle ε > 0 een δ > 0 bestaat, zo dat uit a < δ volgt, dat f() f(a) < ε is. Deze definitie betekent, dat er voor een in a continue functie f voor een willekeurig klein interval (f(a) ε, f(a) + ε) om de functiewaarde f(a) een interval I = (a δ, a + δ) om a een bestaat, zo dat alle functiewaarden f() voor I in et gekozen ε-interval om f(a) liggen. In et voorbeeld van de functie f() := sin( ) neemt de functie tussen n en n elke waarde tussen en aan, dus kunnen we al voor ε = geen δ > 0 vinden, zo dat we f naar een in 0 continue functie kunnen voortzetten. 5

5 Aan de andere kant is de functie { sin( f : R R, ) als 0 0 als = 0. wel continu, want sin(), en dus is f() f(0) = sin( ), dus kunnen we altijd δ = ε kiezen Figuur II.4: f() := sin( ) Omgekeerd zien we dat een functie in een punt, waar een sprong is, niet continu is. We kijken als voorbeeld naar de signum-functie als < 0 sign : R R, 0 als = 0. als > 0 Als we ε = 2 kiezen, zien we dat sign() niet continu in 0 is, want voor elk δ > 0 is sign( δ 2 ) = en sign( δ 2 ) =, dus liggen de functiewaarden niet in et ε-interval om f(0) = 0. We ebben nu gezien wat et betekent dat een functie continu in een punt is. We noemen een functie een continue functie als ij continu in elk punt van zijn domein is. In toepassingen ebben we et meestal met continue functies te maken, maar er zijn ook situaties waar we functies met sprongen nodig ebben. Een voorbeeld iervoor is et volgende eperiment: we willen de intensiteit van et lict op een lijn bescrijven, waar in = een gloeilamp staat en in = 0 een niet-transparante muur. De intensiteit van et lict in een afstand r van de lamp is /r 2. Dus wordt de intensiteit bescreven door de functie 52

6 { 0 als 0 I : R \ {} R,. Voor de bescrijving van dit soort als > 0 ( ) 2 { 0 als 0 functies is de Heaviside-functie H andig: H : R R, als > 0. We kunnen de functie I dan bescrijven als I() =.3 De afgeleide van een functie H() ( ) 2 voor. Het meest belangrijke bij een functie zijn natuurlijk de waarden, maar soms zijn we ook nog in andere dingen geïnteresseerd, bijvoorbeeld of een functie rond een gegeven punt afneemt of toeneemt. Bijvoorbeeld willen we weten of de temperatuur stijgend of dalend is en vragen we ons af of et eelal eeuwig epandeert of uiteindelijk weer in elkaar stort. (Eigenlijk willen we zelfs weten of de sneleid van de epansie afneemt of toeneemt.) Als we naar de grafiek van een functie kijken, kunnen we natuurlijk in de meeste gevallen meteen zien, wat er met stijgen en dalen aan de and is. Maar soms is de voorscrift van een functie te ingewikkeld om er een grafiek van te maken, en soms zijn zelfs de grafieken zo comple, dat we niet kunnen zeggen of een functie stijgt of daalt. Daarom ebben we ook ier (net als bij de continue functies) en precieze definitie nodig. Het idee is, dat we een functie in een punt a door een lijn benaderen, die de grafiek van de functie in et punt a raakt. Als deze raaklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft, noemen we de functie stijgend, als ij negatief is noemen we de functie dalend. Maar oe vinden we de rictingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt? Hiervoor kijken we naar de functiewaarden van f in de buurt van a, dus we kijken naar f(a + ) voor kleine waarden van. Als we nu een lijn door de punten (a, f(a)) en (a +, f(a + )) leggen, eeft deze de rictingscoëfficiënt f(a+) f(a). Als we kleiner laten worden, lijkt de lijn door (a, f(a)) en (a +, f(a + )) altijd meer op een raaklijn in et punt a, dus vinden we de rictingscoëfficiënt als de limiet van f(a+) f(a) als naar 0 gaat. We moeten nu eerst definiëren, wat et betekent dat een functie een limiet voor gaat naar a eeft. Dit lijkt erg op de definitie van continue functies. II.2 Definitie Een functie f : D R eeft voor a de limiet b, als er voor alle ε > 0 een δ > 0 bestaat, zo dat uit a < δ volgt, dat f() b < ε is. We noteren dit als lim a f() = b. Merk op dat we niet eisen dat a in et domein van f ligt. Als de limiet lim a f() bestaat en de waarde b eeft, betekent dit, dat we door f(a) := b een functie definiëren die continu in a is. We kunnen et nu over limieten van functies ebben, en we gebruiken deze nieuwe definitie meteen voor de definitie van de afgeleide. II.3 Definitie Een functie f : D R eet in een punt a D differentieerbaar, als de limiet f(a + ) f(a) lim 0 53

7 bestaat. In dit geval noteren we de limiet met f (a) en noemen dit de afgeleide van f in et punt a. Een functie eeft dus de afgeleide f (a) in et punt a, als de functie { f(a+) f(a) : D R, als 0 f (a) als = 0 een in 0 continue functie is. Een functie f eet differentieerbaar als de afgeleide f (a) voor elk a D bestaat. In dit geval eet de functie f : D R, f () de afgeleide functie van f. We ebben gezien dat continue functies geen sprongen ebben. Dit is niet voldoende, om een differentieerbare functie te ebben. Bijvoorbeeld is de functie f : R R, continu, maar in et punt = 0 niet differentieerbaar. Er geldt namelijk f(a+) f(a) f(a+) f(a) bestaat lim 0 = voor > 0 en f(a+) f(a) = voor < 0, dus in dit geval niet. Het probleem ligt in et feit dat de absoluutwaarde-functie in et punt = 0 een knik eeft. Differentieerbare functies zijn dus functies die geen knikken ebben Figuur II.5: f() := is voor = 0 niet differentieerbaar Men zou misscien denken, dat continue functies, alleen maar een paar knikken kunnen ebben, maar in de meeste punten wel differentieerbaar zijn. Helaas is dit niet zo. Het is inderdaad mogelijk een functie aan te geven, die in elk punt continu, maar in geen punt differentieerbaar is. Zo n functie bestaat dus alleen maar uit knikken. Het idee voor zo n functie begint met een zaag-functie zo als in Figuur II.6. Vervolgens wordt elk lijnsegment tussen twee knikken in drie even grote delen onderverdeeld. Voor een lijnsegment met rictingscoëfficiënt c krijgt et eerste stuk de oude rictingscoëfficiënt c, et tweede de rictingscoëfficiënt c en et derde de rictingscoëfficiënt 3c. Op deze manier komen er twee nieuwe knikken in elk rect lijnsegment. Als we deze constructie oneindig vaak eralen, leidt dit tot een limiet-functie die inderdaad continu maar in geen punt differentieerbaar is. We komen nu terug op de vraag, of een functie stijgend of dalend is. In principe kunnen we dit ook voor functies definiëren, die niet continu zijn. Zij f : [a, b] R een functie: 54

8 Figuur II.6: Een zaag-functie (i) f eet stijgend, als 2 > f( 2 ) f( ). (ii) f eet strikt stijgend, als 2 > f( 2 ) > f( ). (iii) f eet dalend, als 2 > f( 2 ) f( ). (iv) f eet strikt dalend, als 2 > f( 2 ) < f( ). Voor differentieerbare functies kunnen we dit nu vertalen naar een criterium voor de afgeleide: Zij f op een interval [a, b] differentieerbaar: (i) Is f () 0 voor alle [a, b] dan is f stijgend op [a, b]. (ii) Is f () > 0 voor alle [a, b] dan is f strikt stijgend op [a, b]. (iii) Is f () 0 voor alle [a, b] dan is f dalend op [a, b]. (i) Is f () < 0 voor alle [a, b] dan is f strikt dalend op [a, b]. Merk op dat et voor een functie f, die in een punt a een knik eeft, ook niet zinvol is te zeggen of f in a stijgend of dalend is..4 Regels voor differentiatie Als we een functie f : D R ebben dan is f vaak verkregen uit eenvoudigere functies, die we door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en samenstellen combineren. Daarom zou et andig zijn om regels voor de afgeleide van dit soort combinaties te ebben. We gaan er nu van uit, dat de functies die we bekijken in de aangegeven punten ook inderdaad differentieerbaar zijn. (0) Constante functies f() = c ebben afgeleide 0, de functie f() = eeft de afgeleide. 55

9 () Optellen: (f + g) (a) = f (a) + g (a). Dit geldt omdat (f + g)(a + ) (f + g)(a) = (f(a + ) f(a)) + (g(a + ) g(a)) is. Hierbij ebben we nog nodig, dat lim a (f + g)() = lim a f()+lim a g() als de twee limieten op de recte zijde bestaan. (2) Vermenigvuldigen met een factor c R: (cf) (a) = cf (a). Hier gebruiken we dat (cf)(a + ) (cf)(a) = c(f(a + ) f(a)) is. Uit () en (2) volgt, dat de afbeelding f f een lineaire afbeelding op de vectorruimte van differentieerbare afbeeldingen is. (3) Vermenigvuldigen (productregel): (f g) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). We ebben f(a+)g(a+) f(a)g(a) = f(a+)g(a+) f(a)g(a+)+ f(a)g(a+) f(a)g(a) = (f(a+) f(a))g(a+)+f(a)(g(a+) g(a)), dus is f(a+)g(a+) f(a)g(a) = f(a+) f(a) g(a+)+f(a) g(a+) g(a), en dus lim 0 f(a+)g(a+) f(a)g(a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). (4) Delen: ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g 2. (a) Hiervoor laten we eerst zien dat ( g ) (a) = g (a) g 2 (a). 0 = (g g ) (a) = g (a) g(a) + g(a)( g ) (a), dus is g(a) g passen nu (3) op f g toe, dan geldt: ( f g ) (a) = f (a) geeft de bewering. (5) Samenstelling (kettingregel): g(f(a+)) g(f(a)) f(a+) f(a) Uit (3) volgt dat (a) = g (a) g(a). g(a) f(a)g (a) g 2 (a) (g f) (a)= (g f)(a)f (a) = g (f(a))f (a). = g(f(a)+(f(a+) f(a)) g(f(a)) f(a+) f(a) We, en dit In plaats van een voedzame 0 die we bij de productregel gebruikt ebben, (g f)(a+) (g f)(a) gebruiken we nu een voedzame : = g(f(a+)) g(f(a)) = f(a+) f(a) f(a+) f(a). Als we k := k() = f(a + ) f(a) definiëren, gaat wegens de continuïteit van f voor 0 ook k 0. Dus is lim 0 (g f)(a+) (g f)(a) lim 0 g(f(a)+k) g(f(a)) k f(a+) f(a) = g (f(a)) f (a). = We ebben ier op een plek gesjoemeld, want f(a+) f(a) kan ook voor 0 gelijk aan 0 zijn en dan mogen wie ier niet door delen. Maar dit kunnen we erstellen, door in et geval dat f(a+) f(a) = 0 de quotiënt g(f(a+)) g(f(a)) f(a+) f(a) te vervangen door g (f(a)). Het laat zic aantonen dat de zo gedefinieerde functie continu is en et argument gaat door. 56

10 We laten nog een paar voorbeelden van afgeleiden zien, de we eenvoudig kunnen bepalen. Voor n N is de afgeleide van f n () = n de functie f n () = nn. Dit is duidelijk voor n = en als we et voor een n ebben bewezen dan geldt f n+ () = (f nf ) () = f n()f () + f n ()f () = nn + n = (n + ) n. Dus klopt et ook voor n + en dus per volledige inductie voor alle n N. Maar dezelfde formule geldt ook voor f n () = n = voor n N. We n ebben f n() = ( f n ) () = nn = ( n) n. 2n En dezelfde formule klopt zelfs voor n = 2. Er geldt namelijk a+ a = 2 2 a+ a a++ a = a++ a, en dus is lim a+ a 0 = 2. Dus zien a we dat ook ier geldt, dat f () = Deze formule laat zic inderdaad voor willekeurige macten c R aantonen: f() = c f () = c c. Wij gaan dit ier alleen maar voor rationale macten c = m n aantonen. Hiervoor gebruiken we een trucje, waarmee we de afgeleide van de inverse functie kunnen bepalen. Er geldt namelijk: (f f )() =, dus volgt met de kettingregel dat f (f ())f () = en dus is f () = f (f ()). We weten dat f () = n = n de inverse functie van f() = n is, daarom geldt f () = = n n( n ) n n n = n n. We kunnen nu met de kettingregel de afgeleide van f() = m n = ( m ) n berekenen als f () = n (m ) n m m = m n m n m m = m n m n. Belangrijke begrippen in deze les functies, domein, bereik inverse functie continuïteit afgeleide van een functie stijgen en dalen van functies productregel, kettingregel afgeleide van de inverse functie 57

11 Opgaven 27. Bepaal de limiet n y n lim y y op twee manieren: rectstreeks en via afleiden. 28. Een functie f eet even als f() = f( ) voor alle geldt en oneven als f() = f( ) voor alle geldt. Laat zien dat voor een differentieerbare functie f, die even is, geldt, dat f () = f ( ) (dus de afgeleide van een even functie is oneven). Laat zien dat voor een differentieerbare functie f, die oneven is, geldt, dat f () = f ( ) (dus de afgeleide van een oneven functie is even). 29. Zij f : R R, Bepaal de inverse functie van f. 30. Bepaal de afgeleiden van: (i) f () := +, (ii) f 2 () :=