Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m ="

Transcriptie

1 Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging van de recte volledig vastleggen. Voorbeeld : Teken en bepaal de recte door de punten (,) en (4,7) Metode : vertrek van algemene vergelijking ym*+q en eis dat beide punten voldoen aan deze vergelijking; we verkrijgen et volgende stelsel: m * + q met als oplossing: m en q-. De recte wordt dus bepaald door y- 7 m* 4 + q y Metode : we maken gebruik van de formules: y m en y-y m(- ). 7 In ons geval verkrijgen we: (,y )(,) en (,y )(4,7) m en y-(-). 4 Na inspectie van formules en bijorende tekening merken we dat de parameter m te maken eeft met de elling van de recte: mrictingscoëfficiëntoeveel je omoog moet als je naar rects gaat. De parameter q geeft et snijpunt met de y-as aan: dit snijpunt is (0,q) Voorbeeld : Teken en bepaal de recte door et punt (5,) met ricting : We maken gebruik van de formule y-y m(- ): y-(-)(-5) of y(-)+8. Inleiding en definitie Als een functie dient bestudeerd te worden is et in sommige gevallen gebruikelijk om een stuk van de kromme van die functie te gaan benaderen door een zogenaamde koorde. Hiernaast zie je de recte door de punten (a,f(a)) en (b,f(b)). f(b) f(a) a b Van de lessen meetkunde weet je dat de vergelijking van de recte wordt f( b) f ( a) gegeven door: y f( a) ( a ) b a De rictingscoëfficiënt van deze recte wordt gegeven door m f ( b ) f ( a ) b a Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

2 Afgeleiden Heel interessant wordt et nu als je et punt b dicter en dicter bij a brengt. In de limiet zal de koorde de kromme slects in punt snijden in de buurt van et punt (a,f(a)). In dit geval spreken we van de raaklijn. f(b) De rictingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (a,f(a)) is : f m raaklijn lim ( b ) f ( a ) b a b a f(a) a b Opmerking: Het is meer gebruikelijk om de bovenstaande limiet te erscrijven in functie van een kleine toename vanuit a: ba+. f m raaklijn lim ( a+ ) f ( a ) 0 Definitie :Afgeleide van een functie. Zij f() een reële functie en bescouw een punt a uit et domein van f (dwz. f(a) bestaat). f a f a f'( a) lim ( + ) ( ) is dan de afgeleide van de functie f in et punt a. Als deze limiet 0 bestaat en eindig is zeggen we dat de functie f afleidbaar is in et punt a. Meetkundig betekent dit dat de kromme van de functie f een raaklijn eeft in et punt (a,f(a)) en de rictingscoëfficiënt van deze raaklijn is f (a). Als we et punt a opnieuw als veranderlijke kunnen bescouwen spreken we van de afgeleide functie f (), ook wel genoteerd als D(f()). Voorbeeld Neem f()+ f f f'( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + ( + ). 0 0 Dit is vrij logisc want de raaklijn aan een recte is die recte zelf natuurlijk. De rictingscoëfficiënt is onafankelijk van. Op gelijkaardige manier verkrijg je dat de afgeleide van de constante functie f()7, steeds 0 is end dat de functie f() als afgeleide eeft. Voorbeeld 4 Bescouw de parabool f() + in et punt (,9) Volgens de vorige definitie is de afgeleide van f in et punt : f f f'( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + 9 lim ( ) 8 + lim In et algemeen kunnen we afleiden: f f f' ( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + ( + ) lim ( + + ) + ( + ) Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

3 Afgeleiden. Rekenregels In principe zou de afgeleide van een willekeurige functie kunnen bepaald worden volgens de bovenstaande definitie, gebaseerd op de limiet. Via eigenscappen van limieten kan men ecter aantonen dat et berekenen van de afgeleide voldoet aan een aantal regels die et mogelijk maken om ineens volledige klassen van functies te bestuderen. Deze rekenregels staan ieronder in kader vermeld, maar je kan ze ook terugvinden op uw formularium... Veeltermen en rationale functies In et onderstaande zijn f() en g() twee reële afleidbare functies en c is een constant getal. Met beulp van eigenscappen van limieten kan men aantonen dat (f+g) ()f ()+g () (cf) ()c*f () (f*g) f *g+f*g f g f f g ' g * ' * ' g Toepassing: Uit voorbeeld aalden we reeds dat c 0 en dat (). Met beulp van bovenstaande rekenregels is et mogelijk om de afgeleide van een willekeurige veelterm te gaan bepalen: ( ) (*) () *+*() *+*, en ook ( +) *( ) +() *()+04. (zoals we trouwens ook uitrekenden in voorbeeld m.b.v. limieten) Voor een willekeurige mact n van kan men aantonen dat ( n )' n * n Deze uitdrukking is zelfs geldig voor macten die geen positief geeel getal zijn (breuken in de eponent of negatieve macten zijn ook toegelaten). Opgaven: Bereken de volgende afgeleiden: D(*(+5)) D ( + )( ) D 4 D De kettingregel D 7 D( + ) De laatste opgave kan je ook op een andere manier oplossen omdat de functie f()( + ) een samenstelling is van twee elementaire functies. Inderdaad om f() uit te rekenen zal je in eerste instantie + evalueren en dit resultaat zal je verder gaan kwadrateren. Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

4 Afgeleiden 4 In dergelijke gevallen kan je beroep doen op de zogenaamde kettingregel voor afgeleiden: Voor ons voorbeeld wordt dit: ( ) f + f + D + *( +)*(+) ( go f )'( ) ( g'( f ( )) * f'( ) g(x) ( ) + + g (X) Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies: (-5) D ( +-) (4-5) (5 ).. Goniometrisce functies 4 ( + ) 4 sin ()cos() cos ()-sin() tg'() cos ( ) cotg'() - sin ( ) Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies: sin( ) tg(cos()) sin( ) sin( ) + * cos( ) Bg sin'( ) Bg cos'( ) Bgtg'( ) + Bg cot g'( ) + Oefeningen: Bereken de afgeleide van volgende functies! sin(5) cos( ) tg( 4 + ) +cos ( ) sin( ) + sin( ) + Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

5 Afgeleiden 5 4. Eigenscappen van functies.4. Raaklijnen In de omgeving van een punt wordt een functie goed benaderd door de raaklijn aan de kromme De vergelijking van de raaklijn in et punt (a,f(a)) aan de kromme van de functie f() is: y - f(a) f'(a)( - a) Voorbeeld 5 Bepaal de raaklijn aan de kromme y in et punt. Als, dan is f()f()8. De afgeleide f ()4. Bijgevolg is de rictingscoëfficiënt van de raaklijn f (). De vergelijking van de raaklijn is dan y-8(-) of ook y Stijgen en dalen Uit de voorgaande gelijkenis tussen kromme en raaklijn, kunnen we ook afleiden of een kromme nu bergop of bergaf zal gaan. Immers een positieve afgeleide, betekent dat de raaklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft en dus bergop zal wijzen. Gelijkaardige conclusies kunnen worden getrokken bij een negatieve afgeleide. Iets formeler maak je gebruik van de volgende definitie: Definitie : Stijgen en dalen. Een functie f() is stijgend als voor elk koppel y geldt dat ook f() f(y) Een functie f() is dalend als voor elk koppel y geldt dat ook f() f(y) Eigenscap: Als f (a)>0 en f is continu in a dan is f stijgend in de omgeving van a. Als f (a)<0 en f is continu in a dan is f dalend in de omgeving van a. Stelling(verband tussen afgeleide en maima en minima): Als f continu is in [ a, b] en f is afleidbaar in ] a, b[,dan als de afgeleide functie f () van teken verandert in m, dan bereikt f een etremum in m. Als in de buurt van m geldt dat voor <c, f ()>0 en voor >c, f ()<0, dan bereikt de functie een maimum in m, dwz. dat f()<f(m) in de buurt van m Als in de buurt van m geldt dat voor <c, f ()<0 en voor >c, f ()>0, dan bereikt de functie een minimum in m, dwz. dat f()>f(m) in de buurt van m Dit betekent dat uit een tekenonderzoek van de eerste afgeleide je de etrema van een functie kan bepalen.: Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

6 Afgeleiden 6 voorbeeld 6 We weten dat de grafiek van de functie y een parabool is. De eerste afgeleide f () vertoont een nulpunt in et punt 0. Het tekenonderzoek van deze afgeleide leert ons dat 0 een minimum is voor deze parabool(top). Bescouwen we ecter de functie y met f (). Dan is ook ier de eerste afgeleide gelijk aan nul. Noctans bij inspectie van de grafiek is in de oorsprong noc een maimum noc een minimum te bespeuren. Het tekenonderzoek van de eerste afgeleide zegt ons dat de functie steeds stijgend blijft en niet verandert van teken in de oorsprong. Dit laatste leert ons dat nulpunten van de eerste afgeleiden niet noodzakelijk duiden op etrema van de bijorende grafiek. voorbeeld 7 Bescouw de functie f() De afgeleide functie is dan : f () -+9(-)(-) f () f() ma min Stelling (verband tussen tweede afgeleide en kromming van een grafiek): Als f continu is en afleidbaar in a,dan eeft de grafiek een positieve kromming in de omgeving van a als f (a)>0. De grafiek eeft een negatieve kromming als f (a)<0. Een punt waar de tweede afgeleide 0 is en waar deze links een ander teken eeft dan rects, noemen we een buigpunt. Stelling(Etrema via eerste en tweede afgeleide): Als een functie f afleidbaar is in et interval ] a b[ als f (c)0 en als f (c)<0 ( ), dan bereikt f een maimum in c of als f (c)>0 ( )dan bereikt f een minimum in c., waartoe et punt c beoort voorbeeld 7(vervolg) Zij f() , dan is f ()6- f () f () f() ma Bgpt min Opgepast: Wij spreken af dat in elk buigpunt tevens de raaklijn wordt bepaald. De rictingscoëfficciën van deze lijn bekom je via de eerste afgeleide: mf ()-. De vergelijking van de raaklijn is dan y-(-)(-) f() f() Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

7 Afgeleiden 7 Opgave: Zoek de maima, minima en buigpunten van onderstaande functies! f( ) f( ) f( ) + 8 ( ) + 6 f( ) 9 5 f( ) 5 f ( ) ( ) 5. Het verloop van functies. Domein en continuiteit Wat betreft et domein en de continuiteit moet je vooral uitkijken naar de nulpunten van de noemers en zorgen dat wat onder even wortels staat positief is. De logaritme van negatieve getallen kan ook niet en tangens van recte oeken (veelvouden van π/) zijn ook uit den boze.. Snijpunten met de assen en andere speciale punten. Zoek waar de functie nul is (snijpunt met -as) (nulpunten van de teller): soms moet je eerst alles op gelijke noemer zetten Wat is de functiewaarde voor 0 (snijpunt met y-as)? Bereken ier later ook de functiewaarden van maima, minima en buigpunten. Asymptoten 4. Eerste Afgeleide 5. Tweede Afgeleide 6. Tekenonderzoek van de afgeleiden + interpretatie Nulpunten van de afgeleiden leveren speciale punten waarvan zeker de functiewaarde dienen onderzoct te worden Maimum: eerste afgeleide is nul en gaat van positief naar negatief of tweede afgeleide is negatief Minimum: eerste afgeleide is nul en gaat van negatief naar positief of tweede afgeleide is positief Buigpunt: tweede afgeleide is nul en verandert van teken. Bereken de afgeleide in de buigpunten en bepaal zo de raaklijn. 7. Grafiek Een grafiek vat op een visuele wijze alle informatie samen die uit de vorige onderwerpen is bekomen. Oefeningen: Bespreek de volgende functies f( ) + 9 f( ) f( ) f () 4 + f( ) 4 f () 4 f( ) + f( ) ( + ) ( ) f () Hier gaan wij niet op in tijdens deze cursus Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

8 Afgeleiden 8 6. Metode van Newton Herinner je dat de raaklijn in een punt (a,g(a)) een goede benadering is van de functie in de omgeving van dat punt. De vergelijking van de raaklijn wordt gegeven door yg(a)+g (a)(-a). Als uw punt a nu voldoende dict bij een nulpunt zal gekozen worden zal et snijpunt van de raaklijn met de -as een goede benadering zijn voor et ecte nulpunt van deze functie. g a Dat snijpunt wordt gegeven door a ( ) (tenminste als g (a) niet gelijk is aan 0). g' ( a) Dit suggereert een nieuw algoritme (metode van Newton) Kies 0 a (opelijk niet al te ver van een nulpunt) g( ) i Bereken i i g'( i ) Heraal de vorige stap totdat i - i <ε* voorbeeld 8: Bescouw de functie g() +- g( i ) i + i i i i g'( ) + i + i i i + + i + + i i i i i i g( i ) Stelling: Als g(a).g(b)<0, g () en g () continu zijn en veranderen niet van teken in et interval [a,b] M Dan w i w i m met 0 < m g'( ) M en 0 m g"( ) M < + voorbeeld 8: g() +- g () + g () 6 neem a0.4 en b0.6 dan g(a)-0. en g(b)0.4 Neem m g (a).48 M M g (b) m Uit de middelwaardestelling en bovenstaande observaties kunnen we afleiden dat w- 0 <0.:ε 0 Dus ε 0 0. noemen we een bovengrens op de fout Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

9 Afgeleiden 9 Uit de stelling kunnen we ecter ook een scatting maken op de bovengrens voor de fout van de i-de M benadering ε i εi. Dit kan in de volgende tabel m worden samengevat: i i ε Implementatie in Ecel Deze metode leent zic uitstekend om uitgevoerd te worden in een rekenblad zoals Ecel. Maak vooreerst een visgraad bestaande uit twee rijen: de -waarden en de overeenkomstige functiewaarden. Een grafiek (type spreiding) zorgt voor een eenvoudige visuele interpretatie. Kies nu met beulp van grafiek en visgraad twee waarden a en b zodat un overeenkomstige functiewaarden verscillen van teken. Zet er voor alle zekereid un functiewaarde g(a) en a + b g(b) nog eens naast. Bereken et midden van a en b: m en diens functiewaarde g(m). Bereken ε 0 als de elft van et interval [a,b] via de formule abs(b-a) Vervolgens bereken je voor de betreffende functie de eerste afgeleide g () en de tweede afgeleide g () en zoekt voor beide afgeleiden wat de uiterste waarden zijn binnen et interval [a,b]: 0 < m g'( ) M en 0 m g"( ) M < + en bereken tenslotte de M M termen en ε 0. Indien deze tweede term niet kleiner is dan ε0. Dan eraal je de m m vorige stap en deze met a en b, dicter bijeen, waardoor deze afscatting kleiner zal worden. Nu kan je de metode van Newton opstarten met als start waarde (stap 0) de waarde m en eerste afscatting van de fout: ε 0. Bereken in de eerste en volgende stappen de waarde g(i ) M i i alsook de waarde ε i εi g'(i ) m Heraal deze laatste stap totdat de afscatting van de fout een beoogde grens eeft beaald door deze tweede rij gewoon door te voeren. Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

10 Afgeleiden 0 Uitgewerkt voorbeeld 9 Benader de reële nulpunten van de functie f() Maak (vooraf) een foutenanalyse. Eerst en vooral kijken we een paar punten na: f(0)- en f(). We zijn dus al zeker dat er een nulpunt ligt tussen de waarden 0 en. Dit suggereert ons om de metode van Newton toe te passen met als startwaarde Hiervan weten we ook dat de fout ε 0 op deze benadering zeker kleiner is dan 0.5. Als we de metode van Newton gaan gebruiken dan wordt ons gegarandeerd dat de fout op de nieuwe benadering: ε M ( ε0) waarbij M de maimale absolute waarde is die de tweede m afgeleide bereikt in et te onderzoeken interval (in ons geval I[ 0, ] ), en m is de kleinste absolute waarde van de eerste afgeleide over datzelfde interval I. f() , f () , f () , f () Merk op dat al deze afgeleiden positief zijn tussen 0 en, zodat de functie, de eerste en tweede afgeleide stijgende functies zijn (bergop lopen); dit is belangrijk als we de maimale en minimale waarden over een interval willen nagaan; deze liggen immers op de uiteinden. m min f '() f '(0) 0 I Hieruit moeten we concluderen dat et interval I zeker niet goed is om een foutenanalyse op uit te voeren. Uit et feit dat f(0.5)-0.97, kunnen we besluiten dat er zeker een nulpunt tussen 0.5 en moet liggen. Neem bijgevolg voor I[0.5,]. De initiële fout ε 0 is in dit geval kleiner dan 0.5. m min f' () f' (0.5) 0.9 I M ma f"() f"() 7 I M 7 Dit zou betekenen dat ε ( ε0 ) ( 0.5) Dit gaat duidelijk nog niet m *0.9 de goede kant op. Opgelet, als je de metode van Newton zou uitproberen met als startwaarde zal deze uiteindelijk toc et juiste resultaat gaan benaderen maar et is de bovengrens op de fout die absoluut niet nauwkeurig genoeg is. Na nog een paar stappen blijkt dat f(0.75) en f(0.9) Dus in et interval I[0.75,0.9] ligt zeker een nulpunt. Als je als eerste benadering neemt dan is ε m min f '() f '(0.75).67 I en ε ( ε0 ) 8.( 0.075) M ma f"() f"(0.9) m I We voeren tenslotte nog even de metode van Newton uit: iteratie f() f'() ε 0 0,85-0,4458 4, ,075 0,9947 0, ,6690 0, , , ,588 0,0897 0,898658,4E-05 7,055 0, , ,9E-0 7,04 6,48 E , ,04,5 E -08 Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

11 Afgeleiden 7. Min-ma problemen Voorbeeld 0 Bescouw twee getallen a en b zodat un som gelijk is aan 50. Voor welke waarden van a en b zal a*b maimaal zijn? Het is nu goed mogelijk om enkele combinaties voor a en b te proberen, bijvoorbeeld 0 en 0 (0*0600) of 0 en 40 (0*40400). En via deze weg van proberen en uittesten kom je misscien tot de eindconclusie dat 5 en 5 wellict de beste oplossing is. Maar ect bewijzen kan je dit niet op deze manier. Uit et gegeven blijkt ecter dat de twee getallen a en b niet onafankelijk zijn van elkaar. Als je a kent, vind je b50-a of omgekeerd is a50-b. Met deze wetenscap is a.ba.(50-a)50a-a. Dit is een kwadratisce uitdrukking in a, die je als een functie f(a) kan bescouwen. De grafiek van deze functie is trouwens een parabool. De functie zal een maimum kennen als f (a)0 en als f (a)<0. De voorwaarde f (a)50-a0 impliceert dat a5. Het feit dat f (5)- bevestigt dat a5 en b5 een maimaal produkt zullen ebben. Min-ma probleem: Dit is een vraagstuk waarbij een aantal onbekende parameters worden gezoct die een zekere doelfunctie gaan etremaliseren (maimum of minimum). Uit de gegevens kan ecter vaak een verband tussen de verscillende grooteden worden afgeleid waardoor de doelfunctie eigenlijk alleen nog zal afangen van één veranderlijke. De optimale oplossing wordt dan gevonden door et zoeken van et nulpunt van de eerste afgeleide. Een bijkomende controle van de tweede afgeleide (of een tekenonderzoek van de eerste afgeleide) zal bevestigen of et ier om een maimum (f <0) dan wel om een minimum (f >0) gaat. Oefeningen. Vindt een getal tussen 0 en waarvoor de functie - een etremum bereikt. Is dit een minimum of een maimum?. Voor welke waarden van a en b zal a+b etreem zijn als a.b00. Van een vierkant stuk karton (zijde m), maakt men een doos (zonder deksel) door in elke oek een vierkantje met zijde weg te snijden en de randen om te plooien. Bepaal zodat de inoud van de doos maimaal is. 4. Een fabrikant wil cilindervormige bussen maken met een inoud van 0 cm Wat zijn de afmetingen als ij een minimum aan materiaal wil gebruiken. 5. Er wordt gevraagd een gesloten doos te construeren met een vierkant grondvlak en een inoud van l. Bepaal de afmetingen opdat een minimum aan karton zou worden gebruikt. 6. Vind de cilinder met et grootste volume dat kan ingescreven worden in een kegel met straal 5cm en oogte cm. 7. Gegeven een punt (,y) op de cirkel +y. Vanuit dit punt kan je een rectoek contrueren door een loodrecte op de -as, een loodrecte op de y-as tot aan et punt (-,y) en een loodrecte vanuit dit punt (-,y) op de -as. De vierde zijde wordt gevormd door de -as zelf. Bepaal et punt (,y) zodat de grootst mogelijke rectoek wordt bescreven. Hoe groot is deze rectoek? Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

12 Afgeleiden RIVIER 8. Een boer wil een stuk land omeinen aan de rand van een rivier. Omeining van et type X kost 800fr/m en deze van et type Y kost 00fr/m. De boer eeft een totaal budget van 60000fr. Hoe kan ij best en y nemen opdat de wei zo groot mogelijk zal zijn? 9. Een draad moet in stukken worden gesneden; één stuk moet dienen om een vierkant te vormen, et andere zou een cirkelomtrek bescrijven. De totale oppervlakte van beide figuren moet 6m bedragen. Wat is et langst mogelijke touw dat kan gebruikt worden. 0. In een gelijkbenige drieoek abc is d(c,b)0cm en is de oogte 0cm vanuit et oekpunt a. Men construeert een rectoek waarvan één oekpunt tot de recte ab beoort en één ander tot ac. Den andere oekpunten liggen op et lijnstuk tussen b en c. Wanneer is de oppervlakte van de rectoek maimaal? 40.Een gang eeft de volgende vorm: Zoek de lengte van de langste ladder die men evenwijdig met de vloer om de oek kan draaien. b X a Y 0 0 c X 80.Na de ontdekking van een nieuw olieveld dient er een 400km nieuwe pijpleiding aangelegd te worden tussen de oofdaven (A) en de oofdstad (B). Om communautaire perikelen te omzeilen dient dit te 500km gebeuren met een beperkt budget (minimaal). De (O) pijpleiding langs de kust(oa) kost 500freulo/km, landinwaarts is de pijpleiding ecter duurder 000freulo/km. Hoe zal et goedkoopste traject eruitzien en welk prijskaartje angt daaraan? (A) (B) Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen 7 2.1 Basis (A- en B-programma)........................

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Opdracht 1 bladzijde 8

Opdracht 1 bladzijde 8 Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÒÁÒ ÓÖÑ Ø ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÇÒ ÖÛ Ò Ö ÒØ Ð¹ Ò ÒØ Ö ÐÖ Ò Ò È Ø Ö Ù Ò HZS-OE5-NW4 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie.4 4 maart 29 2 Differentiaal- en integraalrekening

Nadere informatie

1 Continuïteit en differentieerbaarheid.

1 Continuïteit en differentieerbaarheid. 1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie