Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Transcriptie

1 Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging van de recte volledig vastleggen. Voorbeeld : Teken en bepaal de recte door de punten (,) en (4,7) Metode : vertrek van algemene vergelijking ym*+q en eis dat beide punten voldoen aan deze vergelijking; we verkrijgen et volgende stelsel: m * + q met als oplossing: m en q-. De recte wordt dus bepaald door y- 7 m* 4 + q y Metode : we maken gebruik van de formules: y m en y-y m(- ). 7 In ons geval verkrijgen we: (,y )(,) en (,y )(4,7) m en y-(-). 4 Na inspectie van formules en bijorende tekening merken we dat de parameter m te maken eeft met de elling van de recte: mrictingscoëfficiëntoeveel je omoog moet als je naar rects gaat. De parameter q geeft et snijpunt met de y-as aan: dit snijpunt is (0,q) Voorbeeld : Teken en bepaal de recte door et punt (5,) met ricting : We maken gebruik van de formule y-y m(- ): y-(-)(-5) of y(-)+8. Inleiding en definitie Als een functie dient bestudeerd te worden is et in sommige gevallen gebruikelijk om een stuk van de kromme van die functie te gaan benaderen door een zogenaamde koorde. Hiernaast zie je de recte door de punten (a,f(a)) en (b,f(b)). f(b) f(a) a b Van de lessen meetkunde weet je dat de vergelijking van de recte wordt f( b) f ( a) gegeven door: y f( a) ( a ) b a De rictingscoëfficiënt van deze recte wordt gegeven door m f ( b ) f ( a ) b a Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

2 Afgeleiden Heel interessant wordt et nu als je et punt b dicter en dicter bij a brengt. In de limiet zal de koorde de kromme slects in punt snijden in de buurt van et punt (a,f(a)). In dit geval spreken we van de raaklijn. f(b) De rictingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (a,f(a)) is : f m raaklijn lim ( b ) f ( a ) b a b a f(a) a b Opmerking: Het is meer gebruikelijk om de bovenstaande limiet te erscrijven in functie van een kleine toename vanuit a: ba+. f m raaklijn lim ( a+ ) f ( a ) 0 Definitie :Afgeleide van een functie. Zij f() een reële functie en bescouw een punt a uit et domein van f (dwz. f(a) bestaat). f a f a f'( a) lim ( + ) ( ) is dan de afgeleide van de functie f in et punt a. Als deze limiet 0 bestaat en eindig is zeggen we dat de functie f afleidbaar is in et punt a. Meetkundig betekent dit dat de kromme van de functie f een raaklijn eeft in et punt (a,f(a)) en de rictingscoëfficiënt van deze raaklijn is f (a). Als we et punt a opnieuw als veranderlijke kunnen bescouwen spreken we van de afgeleide functie f (), ook wel genoteerd als D(f()). Voorbeeld Neem f()+ f f f'( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + ( + ). 0 0 Dit is vrij logisc want de raaklijn aan een recte is die recte zelf natuurlijk. De rictingscoëfficiënt is onafankelijk van. Op gelijkaardige manier verkrijg je dat de afgeleide van de constante functie f()7, steeds 0 is end dat de functie f() als afgeleide eeft. Voorbeeld 4 Bescouw de parabool f() + in et punt (,9) Volgens de vorige definitie is de afgeleide van f in et punt : f f f'( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + 9 lim ( ) 8 + lim In et algemeen kunnen we afleiden: f f f' ( ) lim ( + ) ( ) lim ( + ) + ( + ) lim ( + + ) + ( + ) Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

3 Afgeleiden. Rekenregels In principe zou de afgeleide van een willekeurige functie kunnen bepaald worden volgens de bovenstaande definitie, gebaseerd op de limiet. Via eigenscappen van limieten kan men ecter aantonen dat et berekenen van de afgeleide voldoet aan een aantal regels die et mogelijk maken om ineens volledige klassen van functies te bestuderen. Deze rekenregels staan ieronder in kader vermeld, maar je kan ze ook terugvinden op uw formularium... Veeltermen en rationale functies In et onderstaande zijn f() en g() twee reële afleidbare functies en c is een constant getal. Met beulp van eigenscappen van limieten kan men aantonen dat (f+g) ()f ()+g () (cf) ()c*f () (f*g) f *g+f*g f g f f g ' g * ' * ' g Toepassing: Uit voorbeeld aalden we reeds dat c 0 en dat (). Met beulp van bovenstaande rekenregels is et mogelijk om de afgeleide van een willekeurige veelterm te gaan bepalen: ( ) (*) () *+*() *+*, en ook ( +) *( ) +() *()+04. (zoals we trouwens ook uitrekenden in voorbeeld m.b.v. limieten) Voor een willekeurige mact n van kan men aantonen dat ( n )' n * n Deze uitdrukking is zelfs geldig voor macten die geen positief geeel getal zijn (breuken in de eponent of negatieve macten zijn ook toegelaten). Opgaven: Bereken de volgende afgeleiden: D(*(+5)) D ( + )( ) D 4 D De kettingregel D 7 D( + ) De laatste opgave kan je ook op een andere manier oplossen omdat de functie f()( + ) een samenstelling is van twee elementaire functies. Inderdaad om f() uit te rekenen zal je in eerste instantie + evalueren en dit resultaat zal je verder gaan kwadrateren. Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

4 Afgeleiden 4 In dergelijke gevallen kan je beroep doen op de zogenaamde kettingregel voor afgeleiden: Voor ons voorbeeld wordt dit: ( ) f + f + D + *( +)*(+) ( go f )'( ) ( g'( f ( )) * f'( ) g(x) ( ) + + g (X) Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies: (-5) D ( +-) (4-5) (5 ).. Goniometrisce functies 4 ( + ) 4 sin ()cos() cos ()-sin() tg'() cos ( ) cotg'() - sin ( ) Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies: sin( ) tg(cos()) sin( ) sin( ) + * cos( ) Bg sin'( ) Bg cos'( ) Bgtg'( ) + Bg cot g'( ) + Oefeningen: Bereken de afgeleide van volgende functies! sin(5) cos( ) tg( 4 + ) +cos ( ) sin( ) + sin( ) + Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

5 Afgeleiden 5 4. Eigenscappen van functies.4. Raaklijnen In de omgeving van een punt wordt een functie goed benaderd door de raaklijn aan de kromme De vergelijking van de raaklijn in et punt (a,f(a)) aan de kromme van de functie f() is: y - f(a) f'(a)( - a) Voorbeeld 5 Bepaal de raaklijn aan de kromme y in et punt. Als, dan is f()f()8. De afgeleide f ()4. Bijgevolg is de rictingscoëfficiënt van de raaklijn f (). De vergelijking van de raaklijn is dan y-8(-) of ook y Stijgen en dalen Uit de voorgaande gelijkenis tussen kromme en raaklijn, kunnen we ook afleiden of een kromme nu bergop of bergaf zal gaan. Immers een positieve afgeleide, betekent dat de raaklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft en dus bergop zal wijzen. Gelijkaardige conclusies kunnen worden getrokken bij een negatieve afgeleide. Iets formeler maak je gebruik van de volgende definitie: Definitie : Stijgen en dalen. Een functie f() is stijgend als voor elk koppel y geldt dat ook f() f(y) Een functie f() is dalend als voor elk koppel y geldt dat ook f() f(y) Eigenscap: Als f (a)>0 en f is continu in a dan is f stijgend in de omgeving van a. Als f (a)<0 en f is continu in a dan is f dalend in de omgeving van a. Stelling(verband tussen afgeleide en maima en minima): Als f continu is in [ a, b] en f is afleidbaar in ] a, b[,dan als de afgeleide functie f () van teken verandert in m, dan bereikt f een etremum in m. Als in de buurt van m geldt dat voor <c, f ()>0 en voor >c, f ()<0, dan bereikt de functie een maimum in m, dwz. dat f()<f(m) in de buurt van m Als in de buurt van m geldt dat voor <c, f ()<0 en voor >c, f ()>0, dan bereikt de functie een minimum in m, dwz. dat f()>f(m) in de buurt van m Dit betekent dat uit een tekenonderzoek van de eerste afgeleide je de etrema van een functie kan bepalen.: Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

6 Afgeleiden 6 voorbeeld 6 We weten dat de grafiek van de functie y een parabool is. De eerste afgeleide f () vertoont een nulpunt in et punt 0. Het tekenonderzoek van deze afgeleide leert ons dat 0 een minimum is voor deze parabool(top). Bescouwen we ecter de functie y met f (). Dan is ook ier de eerste afgeleide gelijk aan nul. Noctans bij inspectie van de grafiek is in de oorsprong noc een maimum noc een minimum te bespeuren. Het tekenonderzoek van de eerste afgeleide zegt ons dat de functie steeds stijgend blijft en niet verandert van teken in de oorsprong. Dit laatste leert ons dat nulpunten van de eerste afgeleiden niet noodzakelijk duiden op etrema van de bijorende grafiek. voorbeeld 7 Bescouw de functie f() De afgeleide functie is dan : f () -+9(-)(-) f () f() ma min Stelling (verband tussen tweede afgeleide en kromming van een grafiek): Als f continu is en afleidbaar in a,dan eeft de grafiek een positieve kromming in de omgeving van a als f (a)>0. De grafiek eeft een negatieve kromming als f (a)<0. Een punt waar de tweede afgeleide 0 is en waar deze links een ander teken eeft dan rects, noemen we een buigpunt. Stelling(Etrema via eerste en tweede afgeleide): Als een functie f afleidbaar is in et interval ] a b[ als f (c)0 en als f (c)<0 ( ), dan bereikt f een maimum in c of als f (c)>0 ( )dan bereikt f een minimum in c., waartoe et punt c beoort voorbeeld 7(vervolg) Zij f() , dan is f ()6- f () f () f() ma Bgpt min Opgepast: Wij spreken af dat in elk buigpunt tevens de raaklijn wordt bepaald. De rictingscoëfficciën van deze lijn bekom je via de eerste afgeleide: mf ()-. De vergelijking van de raaklijn is dan y-(-)(-) f() f() Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

7 Afgeleiden 7 Opgave: Zoek de maima, minima en buigpunten van onderstaande functies! f( ) f( ) f( ) + 8 ( ) + 6 f( ) 9 5 f( ) 5 f ( ) ( ) 5. Het verloop van functies. Domein en continuiteit Wat betreft et domein en de continuiteit moet je vooral uitkijken naar de nulpunten van de noemers en zorgen dat wat onder even wortels staat positief is. De logaritme van negatieve getallen kan ook niet en tangens van recte oeken (veelvouden van π/) zijn ook uit den boze.. Snijpunten met de assen en andere speciale punten. Zoek waar de functie nul is (snijpunt met -as) (nulpunten van de teller): soms moet je eerst alles op gelijke noemer zetten Wat is de functiewaarde voor 0 (snijpunt met y-as)? Bereken ier later ook de functiewaarden van maima, minima en buigpunten. Asymptoten 4. Eerste Afgeleide 5. Tweede Afgeleide 6. Tekenonderzoek van de afgeleiden + interpretatie Nulpunten van de afgeleiden leveren speciale punten waarvan zeker de functiewaarde dienen onderzoct te worden Maimum: eerste afgeleide is nul en gaat van positief naar negatief of tweede afgeleide is negatief Minimum: eerste afgeleide is nul en gaat van negatief naar positief of tweede afgeleide is positief Buigpunt: tweede afgeleide is nul en verandert van teken. Bereken de afgeleide in de buigpunten en bepaal zo de raaklijn. 7. Grafiek Een grafiek vat op een visuele wijze alle informatie samen die uit de vorige onderwerpen is bekomen. Oefeningen: Bespreek de volgende functies f( ) + 9 f( ) f( ) f () 4 + f( ) 4 f () 4 f( ) + f( ) ( + ) ( ) f () Hier gaan wij niet op in tijdens deze cursus Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

8 Afgeleiden 8 6. Metode van Newton Herinner je dat de raaklijn in een punt (a,g(a)) een goede benadering is van de functie in de omgeving van dat punt. De vergelijking van de raaklijn wordt gegeven door yg(a)+g (a)(-a). Als uw punt a nu voldoende dict bij een nulpunt zal gekozen worden zal et snijpunt van de raaklijn met de -as een goede benadering zijn voor et ecte nulpunt van deze functie. g a Dat snijpunt wordt gegeven door a ( ) (tenminste als g (a) niet gelijk is aan 0). g' ( a) Dit suggereert een nieuw algoritme (metode van Newton) Kies 0 a (opelijk niet al te ver van een nulpunt) g( ) i Bereken i i g'( i ) Heraal de vorige stap totdat i - i <ε* voorbeeld 8: Bescouw de functie g() +- g( i ) i + i i i i g'( ) + i + i i i + + i + + i i i i i i g( i ) Stelling: Als g(a).g(b)<0, g () en g () continu zijn en veranderen niet van teken in et interval [a,b] M Dan w i w i m met 0 < m g'( ) M en 0 m g"( ) M < + voorbeeld 8: g() +- g () + g () 6 neem a0.4 en b0.6 dan g(a)-0. en g(b)0.4 Neem m g (a).48 M M g (b) m Uit de middelwaardestelling en bovenstaande observaties kunnen we afleiden dat w- 0 <0.:ε 0 Dus ε 0 0. noemen we een bovengrens op de fout Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

9 Afgeleiden 9 Uit de stelling kunnen we ecter ook een scatting maken op de bovengrens voor de fout van de i-de M benadering ε i εi. Dit kan in de volgende tabel m worden samengevat: i i ε Implementatie in Ecel Deze metode leent zic uitstekend om uitgevoerd te worden in een rekenblad zoals Ecel. Maak vooreerst een visgraad bestaande uit twee rijen: de -waarden en de overeenkomstige functiewaarden. Een grafiek (type spreiding) zorgt voor een eenvoudige visuele interpretatie. Kies nu met beulp van grafiek en visgraad twee waarden a en b zodat un overeenkomstige functiewaarden verscillen van teken. Zet er voor alle zekereid un functiewaarde g(a) en a + b g(b) nog eens naast. Bereken et midden van a en b: m en diens functiewaarde g(m). Bereken ε 0 als de elft van et interval [a,b] via de formule abs(b-a) Vervolgens bereken je voor de betreffende functie de eerste afgeleide g () en de tweede afgeleide g () en zoekt voor beide afgeleiden wat de uiterste waarden zijn binnen et interval [a,b]: 0 < m g'( ) M en 0 m g"( ) M < + en bereken tenslotte de M M termen en ε 0. Indien deze tweede term niet kleiner is dan ε0. Dan eraal je de m m vorige stap en deze met a en b, dicter bijeen, waardoor deze afscatting kleiner zal worden. Nu kan je de metode van Newton opstarten met als start waarde (stap 0) de waarde m en eerste afscatting van de fout: ε 0. Bereken in de eerste en volgende stappen de waarde g(i ) M i i alsook de waarde ε i εi g'(i ) m Heraal deze laatste stap totdat de afscatting van de fout een beoogde grens eeft beaald door deze tweede rij gewoon door te voeren. Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

10 Afgeleiden 0 Uitgewerkt voorbeeld 9 Benader de reële nulpunten van de functie f() Maak (vooraf) een foutenanalyse. Eerst en vooral kijken we een paar punten na: f(0)- en f(). We zijn dus al zeker dat er een nulpunt ligt tussen de waarden 0 en. Dit suggereert ons om de metode van Newton toe te passen met als startwaarde Hiervan weten we ook dat de fout ε 0 op deze benadering zeker kleiner is dan 0.5. Als we de metode van Newton gaan gebruiken dan wordt ons gegarandeerd dat de fout op de nieuwe benadering: ε M ( ε0) waarbij M de maimale absolute waarde is die de tweede m afgeleide bereikt in et te onderzoeken interval (in ons geval I[ 0, ] ), en m is de kleinste absolute waarde van de eerste afgeleide over datzelfde interval I. f() , f () , f () , f () Merk op dat al deze afgeleiden positief zijn tussen 0 en, zodat de functie, de eerste en tweede afgeleide stijgende functies zijn (bergop lopen); dit is belangrijk als we de maimale en minimale waarden over een interval willen nagaan; deze liggen immers op de uiteinden. m min f '() f '(0) 0 I Hieruit moeten we concluderen dat et interval I zeker niet goed is om een foutenanalyse op uit te voeren. Uit et feit dat f(0.5)-0.97, kunnen we besluiten dat er zeker een nulpunt tussen 0.5 en moet liggen. Neem bijgevolg voor I[0.5,]. De initiële fout ε 0 is in dit geval kleiner dan 0.5. m min f' () f' (0.5) 0.9 I M ma f"() f"() 7 I M 7 Dit zou betekenen dat ε ( ε0 ) ( 0.5) Dit gaat duidelijk nog niet m *0.9 de goede kant op. Opgelet, als je de metode van Newton zou uitproberen met als startwaarde zal deze uiteindelijk toc et juiste resultaat gaan benaderen maar et is de bovengrens op de fout die absoluut niet nauwkeurig genoeg is. Na nog een paar stappen blijkt dat f(0.75) en f(0.9) Dus in et interval I[0.75,0.9] ligt zeker een nulpunt. Als je als eerste benadering neemt dan is ε m min f '() f '(0.75).67 I en ε ( ε0 ) 8.( 0.075) M ma f"() f"(0.9) m I We voeren tenslotte nog even de metode van Newton uit: iteratie f() f'() ε 0 0,85-0,4458 4, ,075 0,9947 0, ,6690 0, , , ,588 0,0897 0,898658,4E-05 7,055 0, , ,9E-0 7,04 6,48 E , ,04,5 E -08 Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

11 Afgeleiden 7. Min-ma problemen Voorbeeld 0 Bescouw twee getallen a en b zodat un som gelijk is aan 50. Voor welke waarden van a en b zal a*b maimaal zijn? Het is nu goed mogelijk om enkele combinaties voor a en b te proberen, bijvoorbeeld 0 en 0 (0*0600) of 0 en 40 (0*40400). En via deze weg van proberen en uittesten kom je misscien tot de eindconclusie dat 5 en 5 wellict de beste oplossing is. Maar ect bewijzen kan je dit niet op deze manier. Uit et gegeven blijkt ecter dat de twee getallen a en b niet onafankelijk zijn van elkaar. Als je a kent, vind je b50-a of omgekeerd is a50-b. Met deze wetenscap is a.ba.(50-a)50a-a. Dit is een kwadratisce uitdrukking in a, die je als een functie f(a) kan bescouwen. De grafiek van deze functie is trouwens een parabool. De functie zal een maimum kennen als f (a)0 en als f (a)<0. De voorwaarde f (a)50-a0 impliceert dat a5. Het feit dat f (5)- bevestigt dat a5 en b5 een maimaal produkt zullen ebben. Min-ma probleem: Dit is een vraagstuk waarbij een aantal onbekende parameters worden gezoct die een zekere doelfunctie gaan etremaliseren (maimum of minimum). Uit de gegevens kan ecter vaak een verband tussen de verscillende grooteden worden afgeleid waardoor de doelfunctie eigenlijk alleen nog zal afangen van één veranderlijke. De optimale oplossing wordt dan gevonden door et zoeken van et nulpunt van de eerste afgeleide. Een bijkomende controle van de tweede afgeleide (of een tekenonderzoek van de eerste afgeleide) zal bevestigen of et ier om een maimum (f <0) dan wel om een minimum (f >0) gaat. Oefeningen. Vindt een getal tussen 0 en waarvoor de functie - een etremum bereikt. Is dit een minimum of een maimum?. Voor welke waarden van a en b zal a+b etreem zijn als a.b00. Van een vierkant stuk karton (zijde m), maakt men een doos (zonder deksel) door in elke oek een vierkantje met zijde weg te snijden en de randen om te plooien. Bepaal zodat de inoud van de doos maimaal is. 4. Een fabrikant wil cilindervormige bussen maken met een inoud van 0 cm Wat zijn de afmetingen als ij een minimum aan materiaal wil gebruiken. 5. Er wordt gevraagd een gesloten doos te construeren met een vierkant grondvlak en een inoud van l. Bepaal de afmetingen opdat een minimum aan karton zou worden gebruikt. 6. Vind de cilinder met et grootste volume dat kan ingescreven worden in een kegel met straal 5cm en oogte cm. 7. Gegeven een punt (,y) op de cirkel +y. Vanuit dit punt kan je een rectoek contrueren door een loodrecte op de -as, een loodrecte op de y-as tot aan et punt (-,y) en een loodrecte vanuit dit punt (-,y) op de -as. De vierde zijde wordt gevormd door de -as zelf. Bepaal et punt (,y) zodat de grootst mogelijke rectoek wordt bescreven. Hoe groot is deze rectoek? Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts

12 Afgeleiden RIVIER 8. Een boer wil een stuk land omeinen aan de rand van een rivier. Omeining van et type X kost 800fr/m en deze van et type Y kost 00fr/m. De boer eeft een totaal budget van 60000fr. Hoe kan ij best en y nemen opdat de wei zo groot mogelijk zal zijn? 9. Een draad moet in stukken worden gesneden; één stuk moet dienen om een vierkant te vormen, et andere zou een cirkelomtrek bescrijven. De totale oppervlakte van beide figuren moet 6m bedragen. Wat is et langst mogelijke touw dat kan gebruikt worden. 0. In een gelijkbenige drieoek abc is d(c,b)0cm en is de oogte 0cm vanuit et oekpunt a. Men construeert een rectoek waarvan één oekpunt tot de recte ab beoort en één ander tot ac. Den andere oekpunten liggen op et lijnstuk tussen b en c. Wanneer is de oppervlakte van de rectoek maimaal? 40.Een gang eeft de volgende vorm: Zoek de lengte van de langste ladder die men evenwijdig met de vloer om de oek kan draaien. b X a Y 0 0 c X 80.Na de ontdekking van een nieuw olieveld dient er een 400km nieuwe pijpleiding aangelegd te worden tussen de oofdaven (A) en de oofdstad (B). Om communautaire perikelen te omzeilen dient dit te 500km gebeuren met een beperkt budget (minimaal). De (O) pijpleiding langs de kust(oa) kost 500freulo/km, landinwaarts is de pijpleiding ecter duurder 000freulo/km. Hoe zal et goedkoopste traject eruitzien en welk prijskaartje angt daaraan? (A) (B) Cursus Wiskunde 004 Eerste Jaar Bouw Hogescool Sint-Lukas W.Mommaerts