De wiskunde achter een routeplanner

Transcriptie

1 De wiskunde achter een routeplanner Les 1: Euler en het ophalen van huisvuil Les 2: Over kleuren, kaarten en verkeerslichten Les 3: Hoe werkt een routeplanner? Veerle Fack Cursusnota s voor lessen UniMath (editie )

2 Hoofdstuk 1 Euler en het ophalen van huisvuil Onlangs stond ik aan een verkeerslicht te wachten tot het groen werd en zag ik de mannen van de vuilkar de vuilniszakken in de publieke vuilnisbakken aan de tramhalte vervangen. De wiskundige in mij vroeg zich af hoe ze hun ronde voor dit werk (die alle publieke vuilnisbakken aandoet) zouden bepalen zo zie je maar, een wiskundige hoeft zich nooit te vervelen... Uit mijn studie van grafentheorie weet ik hoe het ophalen van het huisvuil in alle straten van een stad als een wiskundig probleem kan worden geformuleerd (en opgelost!) Maar hoe zit dat met de publieke vuilnisophaling? Figuur 1.1: Een stratenplan (Bron: Google Maps) In deze lessenreeks laten we je kennismaken met de theorie van grafen. Je zult zien hoe we een stratenplan zoals dat in figuur 1.1 als graaf kunnen voorstellen en hoe de problemen van het ophalen van huisvuil met gebruik van grafen kunnen worden opgelost. En, misschien enigszins verrassend, zal blijken dat het bepalen van een goede ronde voor de publieke vuilnisbakken moeilijker is dan het bepalen van een goede ronde voor al het huisvuil! 2

3 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 3 Wat zijn grafen? Een graaf G =(V(G), E(G)) bestaat uit een eindige verzameling V(G) van objecten, toppen genoemd, en een verzameling E(G) van paren van elementen uit V(G), bogen genoemd. De verzameling V(G) wordt de toppenverzameling van G genoemd, en de verzameling E(G) is de bogenverzameling. Elke boog van een graaf is geassocieerd met een verzameling van twee toppen, die de eindpunten van de boog worden genoemd. Een boog {u,v} van een graaf G wordt dikwijls ook als uv genoteerd. Eenboog verbindt zijn eindpunten. Adjacente toppen zijn twee toppen die verbonden zijn door een boog. Wanneer twee toppen u en v adjacent zijn, noteren we dit door u v. Adjacente bogen zijn twee bogen die een eindpunt gemeen hebben. Wanneer een top v een eindpunt is van een boog e, dan noemen we v incident met e en e incident met v. (a) Een stratenplan (b) De corresponderende graaf Figuur 1.2: Een stratenplan als graaf voorstellen Beschouw het stratenplan in figuur 1.2(a). We stellen (een deel van) dit stratenplan als volgt als graaf voor. De kruispunten worden de toppen van onze graaf; deze heb ik in het stratenplan met een aangeduid. De straten tussen de kruispunten worden de bogen tussen de corresponderende toppen. In figuur 1.2(b) zie je de bekomen graaf. Het aantal toppen in een graaf G wordt de orde van de graaf genoemd, en wordt dikwijls als n genoteerd. Het aantal bogen is zijn grootte en wordt dikwijls als m genoteerd. Wanneer we toelaten dat toppen in een graaf door meer dan één boog worden verbonden, dan bekomen we een multigraaf. Twee of meer bogen met dezelfde eindpunten worden parallelle bogen genoemd; een collectie van twee of meer parallelle bogen wordt een multiboog genoemd. Een simpele graaf is een graaf die geen multibogen bevat. Dikwijls zullen we de term graaf zonder meer gebruiken om een simpele graaf aan te duiden. Voor een top v van een graaf G wordt de nabuurschap N G (v) gedefinieerd als N G (v) ={u V (G) vu E(G)}. Degraad deg G (v) is het aantal toppen dat adjacent is met v, of ook het aantal

4 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 4 bogen incident met v, m.a.w. deg G (v)= N G (v). Wanneer de graaf G duidelijk is uit de context kunnen we ook N(v) en deg(v) schrijven. De gradenrij van een graaf G is de rij die gevormd wordt door de graden van de toppen in nietdalende volgorde te rangschikken. De kleinste waarde uit de gradenrij wordt de minimumgraad van G genoemd, en wordt doorgaans genoteerd als δ(g). De grootste waarde uit de gradenrij wordt de maximumgraad van G genoemd, en wordt doorgaans genoteerd als Δ(G). Enkele eigenschappen Stelling 1.1. Een graaf G van orde n > 1 heeft minstens één paar toppen waarvan de graden gelijk zijn. Bewijs. Het is gemakkelijk in te zien dat voor een graaf G van orde n en een top v van G geldt dat 0 deg(v) n 1. Er dus zijn n mogelijke waarden voor de graad van een top, nl. 0,...,n 1. Er kan echter niet zowel een top van graad 0 als een top van graad n 1 zijn, omdat de aanwezigheid van een top van graad 0 impliceert dat elk van de n 1 andere toppen met hoogstens n 2 toppen adjacent kan zijn. De n toppen van G kunnen dus hoogstens n 1 mogelijke waarden voor hun graad realiseren. Gebruik makend van het zgn. pigeonhole principle volgt hieruit dat minstens twee van de n toppen dezelfde graad hebben. Stelling 1.2 (Euler). Zij G een graaf met orde n en grootte m, en zij V(G)={v 1,v 2,...,v n }.Dan geldt dat n i=1 deg(v i)=2m. Bewijs. Wanneer de som van de graden van de toppen berekend wordt, wordt elke boog tweemaal meegerekend, nl. eenmaal voor elk van zijn twee incidente toppen. Oefening: Handen schudden Gegeven een groep van negen personen, is het mogelijk dat elke persoon precies drie andere personen de hand drukt? Oefening: Op een feestje Veronderstel dat Tom en zijn vrouw Jane op een feestje zijn met drie andere koppels. Bij de begroeting worden verscheidene handen gegeven. Niemand drukt zichzelf de hand, niemand drukt ook zijn of haar partner de hand. Bovendien heeft niemand meerdere keren dezelfde persoon de hand gedrukt. Na afloop heeft Tom aan iedereen, inclusief Jane, gevraagd hoeveel personen hij of zij de hand gedrukt heeft. Elke persoon gaf een verschillend antwoord. (a) Hoeveel personen heeft Tom de hand gedrukt? (b) Hoeveel personen heeft Jane de hand gedrukt?

5 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 5 De bruggen van Königsberg A B D C (a) Königsberg (1651) (b) corresponderende multigraaf Figuur 1.3: De bruggenvan Königsberg Het ontstaan van de grafentheorie wordt doorgaans gesitueerd in de achttiende eeuw, toen de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het probleem van de zeven bruggen van Königsberg oploste. Een voorstelling van Königsberg, gebaseerd op een kaart uit 1651, wordt gegeven in figuur 1.3(a). Door de stad stroomt de rivier Pregel, die een eiland Kneiphof omringt, en die verderop in twee armen opsplitst. Om de verschillende stadsdelen met elkaar te verbinden, waren er zeven bruggen over de rivier. Het verhaal wil dat de stadsbewoners zich als ontspanning bezighielden met het proberen uitstippelen van een wandelroute die elke brug precies eenmaal bevatte. Aangezien al hun pogingen bleven falen, geloofden velen dat er geen dergelijke wandeling bestond. Het probleem van het bepalen van een dergelijke route, was gekend als het probleem van de bruggen van Königsberg, en werd niet opgelost vooraleer Euler in 1736 een wiskundige oplossing gaf. We labelen de verschillende stadsdelen A, B, C en D, zoals Euler zelf deed. De multigraaf M in figuur 1.3(b) is een andere voorstelling van Königsberg: de toppen corresponderen met de stadsdelen en de bogen stellen de bruggen voor. Maar om het probleem van de bruggen van Königsberg als een grafenprobleem te vertolken, hebben we eerst nog wat bijkomende definities nodig. Bijkomende definities In een graaf G is een wandeling van top v 0 naar top v l een rij met afwisselend toppen en bogen, van de vorm W =(v 0,e 1,v 1,e 2,...,v l 1,e l,v l ), zodanig dat de eindpunten van elke boog e i uit de rij v i 1 en v i zijn, voor elke i = 1,...,l. Een wandeling van een top x naar een top y wordt ook een x-y-wandeling genoemd. Een x-y-wandeling wordt een gesloten wandeling genoemd als x en y dezelfde top zijn; anders wordt ze een open wandeling genoemd.

6 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 6 Een spoor is een wandeling waarin geen herhalende bogen voorkomen. Een pad is een wandeling waarin geen herhalende toppen voorkomen, behalve eventueel het begin- en eindpunt. Een gesloten spoor wordt een circuit genoemd. Een gesloten pad wordt een cykel genoemd. De lengte van een wandeling, spoor of pad (evt. gesloten) is het aantal bogen in deze wandeling, spoor of pad. Een top v van een graaf G is bereikbaar vanuit een top u van G als er een wandeling van u naar v is. Een graaf G is samenhangend als er voor elk paar toppen u en v een wandeling van u naar v is, m.a.w. als elke top bereikbaar is vanuit elke andere top. Een euleriaans spoor in een graaf G is een open spoor dat elke boog van G bevat. Een euleriaans circuit is een gesloten spoor dat elke boog van G bevat. Een euleriaanse graaf is een graaf die een euleriaans circuit bevat. Een traverseerbare graaf is een graaf die een euleriaans spoor bevat. Het probleem van de bruggen van Königsberg is dus herleid tot het nagaan of de multigraaf M uit figuur 1.3(b) traverseerbaar is, m.a.w. een euleriaans spoor bevat. Karakterisatie van Euleriaanse grafen Het is niet moeilijk om na te gaan wanneer een samenhangende multigraaf euleriaans of traverseerbaar is. De volgende stelling was door Euler gekend, maar een volledig bewijs werd pas in 1873 door Hierholzer gegeven. Deze stelling levert een eenvoudige manier om te controleren of een samenhangende multigraaf euleriaans is. Het voordeel van het bewijs dat we hier bespreken, is het feit dat het constructief is en aanleiding geeft tot een methode voor het bepalen van een euleriaans circuit. Stelling 1.3. Een samenhangende multigraaf G is euleriaans als en slechts als de graad van elke top even is. Bewijs. Veronderstel dat G een euleriaanse multigraaf is. Dan bevat G een euleriaans circuit C, dat begint en eindigt in een top v. We tonen aan dat elke top van G even graad heeft. Beschouw eerst een top u v. Aangezien u noch de eerste noch de laatste top van C is, wordt de top u bij ieder voorkomen in C binnengekomen door een bepaalde boog en verlaten door een andere boog. M.a.w. ieder voorkomen van u in C draagt precies 2 bij tot de graad van u, zodat u even graad heeft. Voor de top v draagt elk van de voorkomens aan het begin en het einde van het circuit C precies 1 bij tot de graad van v, zodat dus ook de top v even graad heeft. Omgekeerd, veronderstel dat elke top van G even graad heeft. We tonen aan dat G euleriaans is door een euleriaans circuit te construeren. Selecteer een top v van G en start een spoor T in v. We bouwen dit spoor zo ver mogelijk op, totdat we een top w bereiken zodanig dat de enige bogen incident met w reeds tot T behoren. We beweren dat w = v. Veronderstel dat w v. Iedere keer als w optreedt in T vóór de laatste keer wordt één boog gebruikt om w binnen te komen en wordt een andere boog gebruikt om w te verlaten. De voorkomens van w in T vóór de laatste keer komen dus overeen met een even aantal bogen incident met w. Wanneer w echter voor de laatste

7 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 7 keer in T optreedt, wordt slechts één boog incident met w gebruikt. M.a.w. het spoor T bevat een oneven aantal bogen incident met w. Aangezien w even graad heeft, moet er dus minstens één boog incident met w zijn die niet tot T behoort. Dit is in strijd met het feit dat alle bogen incident met w in T voorkomen. Dus, de bewering dat w = v is correct, en T is dus eigenlijk een circuit. Als T alle bogen van G bevat, dan is T een euleriaans circuit en is G dus een euleriaanse graaf. Veronderstel nu dat T niet alle bogen van G bevat. Aangezien G samenhangend is, bestaat er een top u in T die incident is met bogen die niet tot T behoren. Beschouw de multigraaf H bekomen door de bogen van T uit G te verwijderen. Aangezien T niet alle bogen van G bevat, is de multigraaf H niet-leeg. Bovendien is elke top van T incident met een even aantal bogen van T, zodat elke top in H ook even graad heeft. Zij H 1 de component van H diedetopu bevat. Wanneer we een spoor T in u beginnen, en dit zo ver mogelijk opbouwen, dan bekomen we net zoals voordien dat T eindigt in u, zodat T een circuit is. Wanneer we het circuit T tussenvoegen in T op een plaats waar u voorkomt, dan bekomen we een circuit T 1 dat begint en eindigt in v,en dat meer bogen dan T bevat. Als T 1 alle bogen van G bevat, dan is T 1 een euleriaans circuit en is G een euleriaanse multigraaf. In het andere geval, wanneer T 1 niet alle bogen van G bevat, dan herhalen we bovenstaande procedure totdat we een euleriaans circuit bekomen. Volgende stelling karakteriseert traverseerbare multigrafen. Het bewijs ervan verloopt analoog aan het bewijs van stelling 1.3. Stelling 1.4. Een samenhangende multigraaf G bevat een euleriaans spoor als en slechts als G precies twee toppen met oneven graad heeft. Bovendien begint het euleriaans spoor dan in een van de toppen met oneven graad en eindigt het in de andere top met oneven graad. Bekijken we opnieuwdemultigraafin in figuur 1.3(b). Elk van de vier toppen heeft oneven graad. De multigraaf is dus noch euleriaans, noch traverseerbaar. M.a.w. het vermoeden van de stadsbewoners dat ze geen wandeling doorkönigsberg kondenmaken waarbij elke brug precies eenmaal overgestoken werd, was juist. Controleronde door je huis In figuur 1.4(a) zie je de plattegrond van een huis met meerdere deuren tussen de verschillende kamers, evenals enkele deuren naar buiten. Is het mogelijk om ergens te starten (ofwel in een kamer, ofwel buiten) en precies eenmaal door elke deur te passeren? We gebruiken een multigraaf als wiskundig model voor deze situatie. Met elke kamer associëren we een top in de graaf; ook de ruimte buiten correspondeert met een top. Twee toppen zijn met elkaar verbonden wanneer er een deur tussen de corresponderende ruimtes is. Het aantal bogen tussen twee toppen komt overeen met het aantal deuren tussen deze ruimtes. Bovenstaande vraag wordt nu herleid tot het bepalen of deze graaf euleriaans of traverseerbaar is. In figuur 1.4(b) zie je de multigraaf die met de plattegrond correspondeert. Aangezien er meer dan twee toppen met oneven graad zijn, is deze graaf dus noch euleriaans noch traverseerbaar. Het is dus niet mogelijk om door dit huis te wandelen en elke deur precies eenmaal te passeren.

8 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 8 D E A B C O (a) Plattegrond (b) Multigraaf Figuur 1.4: Plattegrond van een huis Het autowegennet controleren Figuur 1.5: Een netwerk van autowegen Je werkt bij de Regie der Wegen. Een van jouw taken bestaat erin om regelmatig langs alle snelwegen te rijden en ze te controleren op mogelijke schade. Figuur 1.5 toont een voorbeeld van een dergelijk netwerk van autowegen. Veronderstel dat je in stad A woont. Is het dan mogelijk om een rondrit te vinden die vertrekt en eindigt in A en die elke stukje autoweg precies eenmaal aandoet? En als je zou verhuizen naar stad E, zou het dan mogelijk zijn om je rondrit te beginnen en te eindigen in E? Om ditprobleem op te lossen, volstaat het om het wegennetwerk als een graaf te bekijken. Merk op dat de graaf in figuur 1.5 samenhangend is en dat elke top even graad heeft. De graaf heeft dus een euleriaans circuit. Dat circuit bevat elke boog van de graaf precies eenmaal, zodat de corresponderende rondrit elk stukje autoweg precies eenmaal aandoet. Omdat een circuit in om het even welke van zijn toppen mag beginnen, zijn er dus zowel voor A als voor E rondritten die er starten en eindigen. Merk echter wel op dat een rondrit startend in E er tussentijds ook eens zal passeren alvorens er te eindigen.

9 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 9 Oefening: Een misdaad oplossen bar slaapk. kleedk. wijn bureau eetk. zitkamer biljart keuken Figuur 1.6: Plattegrond van de plaats van de misdaad Je bent detective en wordt gevraagd om de moord op graaf Kassel op te lossen. In figuur 1.6 zie je de plattegrond van het buitenverblijf van de graaf. De graaf is vermoord in de zitkamer. De butler beweert dat hij gezien heeft hoe de tuinman de zitkamer binnenkwam en die even later weer verliet door dezelfde deur. Maar de tuinman beweert dat hij niet de man kan zijn die de butler zag, want nadat hij het huis binnenging, ging hij precies eenmaal door elke deur en verliet vervolgens het huis. Gelukkig ben je een detective die ook wat van grafentheorie afweet en kun je dus deze moordzaak zonder problemenoplossen. oplossen. Wieheeft degraaf vermoord? Oefening: Ontsnappen uit de spiegelhal ingang Figuur 1.7: Een spiegelhal uitgang Figuur1.7toont het plattegrondvaneen spiegelhalineenamusementspark. Als bezoeker start je bij de ingangsdeur en passeer je dan door elke deur, totdat je de uitgangsdeur bereikt. Wanneer je een toegangsdeur gepasseerd bent, sluit deze deur automatisch. Veronderstel dat je de weg uit een kamer steeds kunt vinden zolang nog niet alle deuren gesloten zijn. Is het altijd mogelijk om

10 Hoofdstuk 1. Euler en het ophalen van huisvuil 10 je weg uit het doolhof te vinden, of bestaat het risico dat je voor altijd in de spiegelhal opgesloten geraakt? Oefening: Plannen van vergaderingen Anna Bart Chris Dina Eric Fons Anna - X - X X - Bart X - X X - X Chris - X - - X - Dina X X - - X X Eric X - X X - X Fons - X - X X - Figuur 1.8: Plannen van vergaderingen Veronderstel dat verscheidene paren werknemers van een afdeling met 6 personen een privévergadering moeten plannen in één enkele beschikbare vergaderruimte. In de tabel in figuur 1.8 geeft elke X een paar personen aan dat een vergadering moet hebben. Is het mogelijk om een schema voorde vergaderingen op te stellen, zodanig dat één van de deelnemers aan elke vergadering (behalve de laatste) ook aan de volgende vergadering deelneemt, maar geen enkele persoon deelneemt aan drie opeenvolgende vergaderingen? Zo ja, stel een vergaderschema op. En wat met het ophalen van huisvuil? Bekijk opnieuw het stratenplan en de corresponderende graaf in figuur 1.2. Voor de eenvoud veronderstellen we dat de vuilniswagen beide kanten van een straat tegelijk bedienen kan. Om al het huisvuil in deze straten op te halen, moet de vuilniswagen dus eenmaal door elke straat rijden. We zoeken dus een ronde die elke boog in de graaf eenmaal aandoet, m.a.w. we zoeken een euleriaans circuit. Of, als we niet vereisen dat de ronde geslotenis, zoeken we een euleriaans spoor. Als we de corresponderende graaf bekijken, zien we dat er meer dan twee toppen met oneven graad zijn. De graaf heeft dus noch een euleriaans spoor, noch een euleriaans circuit. Wat nu? Uiteraard heeft de vuilniswagen nog steeds de opdracht om al het vuil op te halen. Als dit had gekund door precies eenmaal door elke straat te rijden, was dat ideaal geweest. Maar de uiteindelijke opdracht is minstens eenmaal door elke straat rijden, want dan zijn we gegarandeerd dat in elke straat het vuil opgehaald is. Het probleem is dus herleid tot het zoeken van een circuit of een spoor dat elke boog van de graaf minstens eenmaal aandoet. Er is een heel eenvoudige oplossing voor dit probleem: twee keer door elke straat rijden. In de graaf komt dat neer op het verdubbelen van elke boog (zie figuur 1.9(a)). Dit levert een multigraaf waar elke top even graad heeft, zodat deze graaf dus een euleriaans circuit heeft.