This item is the archived peer-reviewed author-version of:

Transcriptie

1 This item is the archived peer-reviewed author-version of: Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Reference: Levrie Paul, Penne Rudi.- Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Nieuw archief voor wisunde / Wisundig Genootschap [Amsterdam] - ISSN :2(205), p Handle: Institutional repository IRUA

2 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie en Rudi Penne Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen Universiteit Antwerpen en Voorwoord De titel van dit artiel is, zoals de lezer an meren, eerder ruim. Toen ons gevraagd werd om voor de syllabus van deze vaantiecursus een bijdrage te leveren over een onderwerp waar we net een boe [5] over hadden geschreven, lee het ons onzinnig om dubbel wer te leveren. Daarom grijpen we liever de ans om een nieuw hoofdstu te breien aan dit boe. Ons verhaal over de priemgetallen is een mix van wisunde, geschiedenis, en leue weetjes. Omdat het doelpublie anders is dan dat van het boe, mag het wat meer wisunde zijn, al zullen we de lezer onderweg verrassen met een heuse snit-en-naad-toepassing. Het begint allemaal met dit: Een priemgetal is een natuurlij getal groter dan dat enel deelbaar is door en door zichzelf. En we gaan het hebben over een stelling die ons vertelt wele priemgetallen te schrijven zijn als een som van twee wadraten. Maar eerst een beetje geschiedenis: 634 De minder beende Franse wisundige Albert Girard ( ) schrijft een opmering (rechts) in de Franse vertaling van het wer van Simon Stevin. 640 Pierre de Fermat (60-665) schrijft op erstdag in een brief

3 naar collega Marin Mersenne ( ): Fermat beweerde dat hij een onweerlegbaar bewijs had van deze stelling (zo ennen we hem). 742 Leonhard Euler ( ) schrijft op 30 juni in een brief aan Christian Goldbach: 749 Euler schrijft op 2 april naar Goldbach: 754 Euler publiceert een Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+ esse summam duorum quadratorum. 848 Charles Hermite (822-90) en Joseph-Alfred Serret (89-885) vinden tegelijertijd een efficiënt algoritme om een priemgetal van de vorm 4n + te schrijven als de som van twee wadraten. 855 Henry John Stephen Smith ( ) geeft een eerste eenvoudig bewijs van de stelling. 867 Édouard Lucas (842-89) ziet een toepassing van de de stelling van Fermat, die oo wel eens Fermat s Kerstmis-stelling wordt genoemd, bij het weven van satijn. 940 Godfrey Harold Hardy ( ) schrijft in zijn A Mathematician s Apology dit: Uit de laatste zin blijt dat Hardy het bewijs van zijn landgenoot Smith, die evenals hijzelf de Savilian Chair of Geometry beleedde in Oxford, niet ende. 984 Roger Heath-Brown (952) geeft een nieuw, ort bewijs van de stelling. 2 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

4 990 Don Zagier (95) publiceert zijn A One-Sentence Proof That Every Prime p (mod 4) Is a Sum of Two Squares. Paul Levrie en Rudi Penne 3

5 . Additieve getaltheorie en de stelling van Fermat Dat getaltheorie verslavend an zijn, an je nu oo lezen in de laatste editie van het beroemde boe An introduction to the theory of numbers, van Hardy en Wright [3]. Je vindt er namelij in de introductie: Bedoeld wordt natuurlij additive. De additieve getaltheorie behandelt eigenschappen van getallen waarbij men deze probeert te schrijven als som van andere speciale getallen. Een van de mooiste resultaten op dit gebied is de stelling van Fermat, die in haar meest ruwe vorm zegt: El priemgetal van de vorm 4n + is te schrijven als de som van twee wadraten. Iets meer verfijnd hebben we dit: Een getal an geschreven worden als de som van twee wadraten als alle priemfactoren van de vorm 4n + 3 in de priemfactorisatie van het gegeven getal vooromen met een even macht. Dat de stap van de ruwe naar de verfijnde versie niet zo groot is, volgt uit twee dingen. Eerst en vooral is het eenvoudig in te zien dat een priemgetal van de vorm 4n + 3 niet te schrijven is als een som van twee wadraten. Indien dit wel het geval zou zijn, dan moet het gaan om een wadraat van een even getal en een wadraat van een oneven getal. Een even getal unnen we voorstellen door 2 bijvoorbeeld, en een oneven getal door 2m +. We hebben dan voor de som van de wadraten: (2) 2 + (2m + ) 2 = (4m 2 + 4m + ) = 4( 2 + m 2 + m) + en dit geeft dus steeds een viervoud plus, en nooit plus 3. Verder unnen we gebrui maen van de wonderbaarlije eigenschap die ons toelaat een product van twee sommen van wadraten te schrijven als een som van wadraten: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 (eenvoudig te zien door uitwering). Voor een willeeurig getal dat voldoet aan de voorwaarden van de verfijnde stelling gaan we nu als volgt te wer: 4 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

6 de factoren 2 schrijven we als en de priemfactoren van de vorm 4n + schrijven we als som van twee wadraten, en met de vorige eigenschap unnen we dan het product van deze getallen voorstellen als som van twee wadraten: A 2 + B 2 ; de andere factoren hebben een even macht, en zijn samen te herschrijven in de vorm C 2, en die unnen we dan gewoon op de volgende manier binnenbrengen : (A 2 + B 2 )C 2 = (AC) 2 + (BC) 2. Onze bedoeling is om in de rest van dit artiel het bewijs te geven van Henry Smith uit 855 voor de ruwe vorm van de stelling van Fermat. We volgen in essentie de lijnen van [], hoewel Smith gebrui maate van continuanten, dingen waarvan de meeste mensen nooit gehoord hebben. In plaats daarvan zullen wij weren met ettingbreuen, die we o.a. ennen van [4]. Kettingbreuen hebben te maen met lineaire recursiebetreingen, en hierover is er een inleiding te vinden in appendix A. Het verband met de ettingbreuen lees je dan weer in appendix B. Dus als je alle details wil weten, lees dan de appendices. Soms verwijzen we naar een formule in een appendix, je herent die verwijzingen aan de vorm: (A.#) of (B.#). Maar je an het verhaal oo volgen zonder de details van de appendices. Eerst vertellen we wat meer over ettingbreuen, en in de volgende paragraaf geven we dan onze eigen versie van het bewijs van Smith. Daarna gaan we op zoe naar de twee wadraten, wisundig, met de ettingbreuen, maar oo grafisch, via de toepassing beschreven door Édouard Lucas in 867 (zie geschiedundig overzicht)..2 Eindige ettingbreuen Voor el niet-geheel rationaal getal an je wat men noemt een eindige ettingbreu vinden. We laten dit zien aan de hand van het voorbeeld We bepalen het grootste geheel getal dat in de breu in westie past, en schrijven 39 6 = = Met de noemer van de tweede term in het rechterlid gaan we dan op dezelfde manier verder: 39 6 = = = = Paul Levrie en Rudi Penne 5.

7 Dit proces eindigt altijd en de laatste noemer is steeds een geheel getal 2 (waarom an dit niet gelij zijn aan?). De ettingbreu van een positief niet-geheel rationaal getal heeft dus de volgende vorm: b + (.) b b waarbij alle b s positieve gehele getallen zijn. We zullen de notatie T en N gebruien voor de teller en de noemer van het rationaal getal dat we rijgen indien we deze ettingbreu uitweren: b + b = T N (.2) b + b (dus beteent dat de b s geordend zijn van b tot b ). Ele stap in deze uitwering is van de vorm b j + N = T N met T, N gehele getallen, waarbij T en N geen gemeenschappelije factor unnen hebben. In onze notatie veronderstellen we dus dat T en N onderling ondeelbaar zijn. Indien we de b s in de omgeeerde volgorde zetten, dan noteren we het resultaat zo: b + b = T N. (.3) b 2 + b Merwaardig genoeg is in beide gevallen de teller gelij, d.w.z. T = T. We ijen even terug naar het voorbeeld aan het begin van deze paragraaf. Als we de volgorde van de b s hierin omeren, dan rijgen we dit: = Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

8 met inderdaad dezelfde teller. Deze eigenschap van ettingbreuen blijt essentieel te zijn, en is een gevolg van (B.) en (B.2). Meer algemeen zullen we de notaties T i j en N i j gebruien voor de teller en de noemer van de (uitgewerte) ettingbreu waarbij de b s lopen van b i tot b j en waarbij T i j en N i j onderling ondeelbaar zijn..3 Het bewijs van de stelling van Fermat De stelling die we willen bewijzen zegt dit: El priemgetal van de vorm p = 4n + is te schrijven als de som van 2 wadraten. De essentie van het bewijs is het feit dat de tellers in (.2) en (.3) aan elaar gelij zijn, in combinatie met de volgende merwaardige formule: T = T j T j+ + N j N j+. (.4) Dit is formule (B.5) uit de appendix. We unnen ze oo zo schrijven (als j + 2 ): T = T j T j+ + N j T j+2 (.5) want we hebben natuurlij dat T j+ N j+ = b j+ + b j b = b j+ + T j+2 N j+2 en na uitwering van het rechterlid volgt hieruit door het onderling ondeelbaar zijn van T en bijhorende N dat N j+ = T j+2. We vertreen van een priemgetal p dat één meer is dan een viervoud, en we stellen de ettingbreu op voor breuen waarvan de teller gelij is aan p. Stel dat zo n ettingbreu opgebouwd is met de getallen b, b 2,..., b, dan worden (.4) en (.5) dus: p = T j T j+ + N j N j+ = T j T j+ + N j T j+2 We beperen ons hierbij tot het geval dat b 2, dat blijt voldoende te zijn voor het bewijs. Een gevolg van deze veronderstelling is dat de beide breuen in het rechterlid van (.2) en (.3) een noemer hebben die ligt Paul Levrie en Rudi Penne 7

9 tussen 2 en 2n (herinner je dat p = 4n + ). Inderdaad, we hebben dan dat p > 2 p = 4n + > 2 noemer. noemer Noemer sluiten we overigens uit, want dan hebben we geen breu. We beijen de verschillende breuen eens voor p = 3, dus n = 3. Het gaat dan om breuen met teller 3 en noemer respectievelij 2, 3, 4, 5, 6. Dit zijn de bijhorende ettingbreuen: 3 2 = 6 + 2, 3 3 = 4 + 3, 3 4 = 3 + 4, 3 5 = 2 + +, 3 6 = Let op het verband tussen de ettingbreuen die horen bij de breuen met noemers 2 en 6: de volgorde van de b s is omgewisseld. Oo die met noemers 3 en 4 omen op deze wijze met elaar overeen. De overblijvende breu, met noemer 5, valt op door het feit dat als je de volgorde van de b s in de ettingbreu omeert, dat deze niet verandert ten gevolge van een soort palindromisch effect. Dit zal oo meer algemeen zo zijn: met el getal uit {2, 3, 4,..., 2n} (=de mogelije noemers) unnen we een ander getal uit deze verzameling associëren op deze manier. Neem als getal j, bepaal de ettingbreu voor p j, eer de volgorde van de b s om zoals in (.2) en (.3), en dan is de noemer van de resulterende breu opnieuw een getal uit {2, 3, 4,..., 2n}. Omdat het aantal elementen in de verzameling {2, 3, 4,..., 2n} gelij is aan 2n, een oneven getal, en omdat we deze dus unnen verdelen in groepjes van 2 noemers die bij elaar horen, zal er altijd noemer overblijven, die dan oo deze palindromische eigenschap zal moeten hebben: b = b, b 2 = b,.... Hiermee weren we verder. We onderscheiden nu twee gevallen. Ofwel is het aantal b s voor deze ene speciale breu even, stel dus = 2j. Dan ziet de breu er zo uit: b b j + b j b = b b j + b j b 8 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

10 want inderdaad geldt: b j+ + Nu unnen we dit zo schrijven:... + b = b j b T j+ N j+ = T j N j (.6) en hieruit volgt wegens het onderling ondeelbaar zijn van tellers en noemers dat T j+ = T j, noem dit geheel getal a, en oo N j+ = N j, noem dit b. De eerste vergelijing in het adertje wordt dan: of nog p = T j T j+ + N j N j+ = (T j ) 2 + (N j ) 2 p = a 2 + b 2. In dit eerste geval is de zaa dus bewezen. Ofwel is het aantal b s voor de speciale breu oneven, stel dus = 2j +. Dan ziet de breu er zo uit: en dus geldt: b b j + b j+ + b j+2 + = b b j+2 + b j b b j+ + = b j + b j b... + b b Paul Levrie en Rudi Penne 9

11 Dit laatste unnen we nu zo schrijven: T j+2 N j+2 = T j N j en hieruit volgt dan onmiddellij dat T j+2 = T j. Uit het tweede deel van de vergelijing in het adertje volgt dan: p = T j T j+ + N j T j = T j (T j+ + N j ) waarbij T j niet gelij an zijn aan. Uit deze laatste uitdruing volgt dat p niet priem is, wat in strijd is met het gestelde. We zijn er dus nu zeer van dat p te schrijven is als de som van twee wadraten, en dat in dit geval even is. Hiermee is het bewijs laar..4 Op zoe naar de twee wadraten We willen natuurlij oo graag weten van wele twee wadraten het priemgetal p = 4n + de som is. Hiervoor proberen we meer te weten te omen over de noemer in de palindromische ettingbreu, we stellen deze noemer voor door d. Hierbij gebruien we de formule (B.4) uit de appendix: N T T N = ( ) = (.7) die we hier toepassen met even. Hierbij is T = p en N = d. Uit (.2): p d = T = b + = b + N T 2 N b b + b en uit het onderling ondeelbaar zijn van T en bijhorende N volgt dat d de teller is van de volgende ettingbreu: T 2 N 2 = b 2 + b b + b Maar we hebben vroeger gezien dat de teller van zo n ettingbreu niet verandert als we de volgorde van de b s omeren. We rijgen dan de 0 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

12 volgende ettingbreu, die we anders unnen schrijven door gebrui te maen van het palindromisch arater van de b s: b + b b 3 + b 2 = b + b b 2 + b vermits b = b, b = b 2 enzoverder. De teller van deze laatste ettingbreu is dus oo gelij aan d. Dit beteent dat T = d. De vergelijing (.7) wordt dan: d 2 pn = d 2 + = pn d 2 + is deelbaar door p Het is niet moeilij om in te zien dat er maar getal d an zijn tussen 2 en 2n met deze eigenschap. Stel namelij dat er zo twee zijn, d en d 2, met d > d 2, met zowel d 2 + als d deelbaar door p. Dan volgt onmiddellij dat oo het verschil d 2 d 2 2 = (d + d 2 )(d d 2 ) deelbaar zal zijn door het priemgetal p, maar beide factoren zijn leiner dan p, dus dat an niet. Voor het bepalen van de uniee noemer d gaan we dan als volgt tewer: bepaal het wadraat van de getallen 2, 3,... en tel er bij op. Indien het resultaat deelbaar is door p, dan heb je d gevonden. Voor p = 29 vinden we voor die wadraten plus het volgende, op veelvouden van 29 na: We besluiten dat d = 2. We bepalen nu de ettingbreu voor 29/2: 29 2 = (palindromisch!) en we bereenen dit deel ervan: = 2 5 Paul Levrie en Rudi Penne

13 en met de teller en de noemer unnen we 29 schrijven als een som van twee wadraten: 29 = Dit laatste volgt uit (.6), want we hebben bewezen dat teller en noemer van het rechterlid de twee getallen zijn die we zoeen..5 De methode van Édouard Lucas We unnen de getallen a en b oo op een andere manier bepalen. Édouard Lucas bracht in 867 de stelling van Fermat in verband met het weven van draden tot textiel. Hierbij worden verticale en horizontale draden met elaar vervlochten, zoals aan de linerant van de figuur: Het gaat hier om een zogenaamde satijnbinding. Bij satijn ruisen wat men noemt de etting- en de inslagdraden elaar op een speciale manier. Als de zwarte ettingdraad op een bepaalde plaats boven ligt, dan ligt bij minstens 4 van de volgende ruisingen de rode inslagdraad boven. Op de figuur zijn het er precies vier. Het patroon herhaalt zich, en an daarom voorgesteld wordt zoals rechts in de figuur, met wat in het blauwe vierant te zien is. Een vierant opgebouwd uit 5 5 leine vieranten, waarvan er als volgt een aantal zwart geleurd zijn: leur het vierantje linsonder in, ga dan olom opzij en 2 rijen omhoog en leur daar het vierantje in, ga weer naar rechts en 2 omhoog enzovoort. Kom je uit boven de 5, dan tel je van onderen te beginnen verder. Omdat de zijde van het vierant een priemgetal is, zal het toepassen van deze methode er steeds voor zorgen dat er op ele rij en olom precies vierant is ingeleurd, één per rij en één per olom. 2 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

14 Hier is een voorbeeld in het geval we niet 4 maar 2 opeenvolgende ruisingen hebben met de inslagdraad boven, het gaat dan om een vierant van 3 3. Dit an op verschillende manieren, zoals je an zien op de figuur hierboven. In de verschillende delen van de figuur gaat men respectievelij met stappen van, 2, 3, 4, 5 en 6 naar boven, steeds startend linsonder in een vierant. Zo ontstaan patronen. Lucas merte op dat het patroon in het midden onderaan het mooiste is omdat er allerlei vieranten in te zien zijn. Bovendien is het het enige dat niet verandert als je het een wartslag draait. Mer op dat we bij dit patroon stijgen in stappen van 5. En 5 was precies de noemer die hoorde bij het priemgetal 3 waarvan de ettingbreu palindromisch was! Lucas bewees oo dat een dergelije symmetrie niet vooromt indien het aantal vierantjes per zijde een priemgetal is van de vorm 4n + 3. We doen het nog even opnieuw voor p = 29, en de bijhorende noemer 2. Kleur in een vierant van het vierantje linsonder in, ga dan olom opzij en 2 rijen omhoog en leur daar het vierantje in, ga weer naar rechts en 2 omhoog enzovoort: (figuur lins) Opnieuw ontstaan er vieranten, waarvan er e e n is aangeduid op de Paul Levrie en Rudi Penne 3

15 figuur. Het wordt duidelijer indien we de blauwe vierantjes vervangen door roosterpunten in een rooster van (figuur rechts). Via de stelling van Pythagoras vinden we dan dat het wadraat van de zijde van het aangeduide vierant te schrijven is als Bijna 250 jaar na de eerste formulering van de stelling van Fermat door Girard, vond Lucas [6, 7] er zo een echte pratische toepassing van! Voor Lucas werd het zelfs een heel nieuwe ta van de meetunde, die hij Géométrie plane des tissus (Vlae meetunde van de stoffen) doopte. Hij vond hierbij navolging bij andere wisundigen, waarvan de meest beende Pafnuty Chebyshev (82-894) is, met zijn ongepubliceerd artiel Sur la coupe des vêtements uit 878 waarin hij bereent wele vorm je uit een stu stof moet uitnippen om er een boloppervla volledig mee te unnen aanleden. Voor de geïnteresseerde lezer, je doet het zoals op de figuren. Bovenaan zie je de vorm die je uit de stof moet snijden, onderaan het aanleden van de bol. (Met dan aan Étienne Ghys [2] voor de eerste figuur, en aan Jos Leys voor de andere.) 4 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

16 Paul Levrie en Rudi Penne 5

17 Appendix A. Lineaire recursiebetreingen Een lineaire recursiebetreing (van de tweede orde) is een vergelijing die het verband geeft tussen 3 opeenvolgende termen van een oneindige rij getallen y, y 0, y,..., y n,... Zo n vergelijing neemt de volgende vorm aan: y = b y + a y 2 voor =, 2, 3,... De getallen a, a 2, a 2,... en b, b 2, b 3,... zijn hierbij gegeven. Het beendste voorbeeld van een lineaire recursiebetreing is dit: y = y + y 2 voor =, 2, 3,... waarbij alle a s en b s gelij zijn aan. In feite staan hier oneindig veel vergelijingen, waarvan de eerste gegeven zijn door: y = y 0 + y, y 2 = y + y 0, y 3 = y 2 + y,.... Mer op dat je met deze vergelijingen inderdaad een oneindige rij getallen genereert, op voorwaarde dat je de eerste twee getallen y en y 0 vastlegt. Voor deze recursiebetreing is de standaardeuze y = y 0 = (we spreen van beginvoorwaarden). We rijgen dan de volgende rij getallen: y =, y 0 =, y = 2, y 2 = 3, y 3 = 5, y 4 = 8, y 5 = 3, y 6 = 2,.... Deze rij is beroemd en wordt de rij van Fibonacci genoemd. Als we andere beginvoorwaarden iezen, dan rijgen we een andere rij getallen. Een mooie eigenschap van dit soort recursiebetreingen is dat als je al twee oplossingen bereend hebt, dat alle andere oplossingen dan te vinden zijn uit die twee. Het is ideaal als je eerst deze twee specifiee oplossingen bereent: oplossing A met A =, A 0 = 0 oplossing B met B = 0, B 0 = In de volgende tabel zie je de eerste paar termen van beide rijen. Door de speciale euze van de beginvoorwaarden unnen we nu ele andere oplossing y van de recursiebetreing schrijven m.b.v. deze twee. Je ziet in de tabel dat als je de oplossing A vermenigvuldigt met y en daar B, vermenigvuldigd met y 0, bij optelt, dat je dan de eerste 2 waarden van y 6 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

18 rijgt. : n... A : 0 a b 2 a... A n... B : 0 b b 2 b + a 2... B n... y : y y 0 y y 2... y n... Door de lineariteit van de recursiebetreing is het dan eenvoudig in te zien dat voor ele geldt: y = y A + y 0 B. We hebben de volgende eigenschap nodig, eveneens een gevolg van de lineariteit: A B A B = ( ) a a 2... a. (A.) Dit unnen we bewijzen per inductie, en daarvoor gebruien we eigenschappen van determinanten: A A = b A + a A 2 A b B + a B 2 B = a A A 2 B B 2 B B met A 0 A B 0 B =. Vanaf nu zullen we enel nog weren met recursiebetreingen waarbij a = voor ele waarde van : y = b y + y 2 voor =, 2, 3,.... We definieren een aantal basisoplossingen zoals in de volgende tabel. De positie van de twee opeenvolgende waarden 0 en arateriseert de verschillende basisoplossingen waarvan je de naam an lezen in de eerste olom. Om te beginnen an je opmeren dat B () = B en B (2) = A, en dus wordt eigenschap (A.): B (2) B() B(2) B() = ( ). (A.2) Verder is er natuurlij voor ele waarde van j voldaan aan de recursiebetreing: B (j) = b B (j) + B(j) 2. (A.3) Paul Levrie en Rudi Penne 7

19 : j j j +... n... B () : 0 b B () 2... B () j B () j B () j+... B () n... B (2) : 0 b 2... B (2) j B (2) j B (2) j+... B (2) n... B (3) : 0... B (3) j B (3) j B (3) j+... B (3) n.... B (j) :... b j B (j) j+... B n (j)... B (j+) :... 0 b j+... B (j+) n... B (j+2) : B (j+2) n... Uit deze tabel unnen we twee interessante relaties tussen deze oplossingen aflezen. We baseren ons hiervoor op de waarden van B (j+) en B (j+2) in de blauwe rechthoe. Om te beginnen ijen we naar B (), en je ziet dan dat deze oplossing de volgende lineaire combinatie is van de twee onderste oplossingen: B () = B () j B (j+) + B () j B(j+2). (A.4) Voor B (j) n vinden we op dezelfde manier: B (j) n = b j B (j+) n + B (j+2) n. (A.5) Deze recursiebetreing verbindt drie onder elaar staande getallen in de tabel, en heeft als onmiddellij gevolg dat twee opeenvolgende elementen van een olom geen gemeenschappelije factor unnen hebben. Hadden ze wel een gemeenschappelije factor, dan volgt uit (A.5) dat deze factor de hele olom deelt, wat niet mogelij is door het vooromen van het getal in ele olom. 8 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

20 Appendix B. Verband met ettingbreuen Met de resultaten uit de vorige appendix unnen we laten zien dat we het volgende resultaat hebben (zie verder): T N = b + b = B() B (2) (B.) b + b waarbij de b s de coëfficiënten zijn in de recursiebetreing in appendix A. Uit het feit dat beide breuen (lins en rechts) niet te vereenvoudigen zijn, volgt dan dat T = B () en N = B (2). Verder hebben we oo: T N = b + b = B() B () (B.2) b 2 + b voor de ettingbreu waarin de b s in de omgeeerde volgorde staan. Dus T = B () en N = B (). Formule (B.) unnen we veralgemenen tot: T j+ N j+ = b j+ + b j b = B(j+) B (j+2). (B.3) De formules (B.) en (B.3) volgen uit (A.5). We herschrijven deze vergelijing als volgt: B (j) = b j B (j+) B(j) B (j+) + B (j+2) = b j +. B (j+) B (j+2) Paul Levrie en Rudi Penne 9

21 We starten nu met j = : B () B (2) = b + B (2) B (3) = b + b 2 + B (3) B (4) = b + b b + B () B (+) = b + b b + b De laatste stap volgt uit de beginvoorwaarden in combinatie met de recursiebetreing. We hebben namelij dat B () = b en B (+) =. Voor (B.2) vertreen we van de vergelijing (A.3) met j = en herschrijven deze als volgt:. B () = b B () + B() 2 B() B () = b + B () B () 2. We vervangen dan in de linse vergelijing door en herhalen het procedé. Formule (A.2) unnen we nu herschrijven als: N T T N = ( ). (B.4) Formule (A.4) wordt: T = T j T j+ + N j N j+. (B.5) 20 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat

22 Bibliografie [] Clare, F.W., Everitt, W.N., Littlejohn, L.L., Vorster, S.J.R., H.J.S. Smith and the Fermat two squares theorem, Amer. Math. Monthly 06 (999), 7, p [2] Ghys, É., Sur la coupe des vêtements: variation autour d un théorème de Tchebychev. [On the cutting of garments: variation on a theme of Chebyshev], Enseign. Math. (2) 57 (20), no. -2, p [3] Hardy, G.H. en Wright, E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, Edited by Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, and Andrew Wiles, Oxford University Press, [4] Kindt, M. en Lemmens, P., Ontwielen met ettingbreuen, Zebrarees 33, Epsilon Uitgaven Amsterdam, 20. [5] Levrie, P. en Penne, R., De pracht van priemgetallen, Prometheus Amsterdam, 204. [6] Lucas, É., Application de l arithmétique à la construction de l armure des satins réguliers, Paris: G. Retaux, 867. [7] Lucas, É., Les principes fondamentaux de la géométrie des tissus, Congrès de l Association française pour l avancement des sciences, 40, 2 (9), p