Convexe functies op R (niet in het boek)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Convexe functies op R (niet in het boek)"

Transcriptie

1 Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de graie met een recht lijnstuje verbindt, de graie tussen die punten nooit boven dit lijnstuje omt. De graie van een convee unctie is hol naar boven, bol naar beneden, bijvoorbeeld (. Een unctie : R R heet strit conve, als voor alle, R en ele λ ]0,[ geldt dat (λ + (-λ < λ( + (-λ(. Een unctie heet (strit concaa als (strit conve is. De graie van een concave unctie is bol naar boven, hol naar beneden. Een lineair unctie is de enige unctie die zowel conve als concaa is, maar is niet strit conve o strit concaa.

2 Voorbeeld: Bewijs met de deinitie dat ( / conve is als > 0. Hiervoor moeten we laten zien dat voor iedere, > 0 en λ [0,] geldt: λ λ λ + ( λ + λ + ( λ. Omdat, en λ + (-λ allemaal positie zijn unnen we de ongelijheid hiermee vermenigvuldigen en is dit equivalent met aantonen dat λ + λ(-λ( + + (-λ owel dat: -λ ( λ( Maar dit is hetzelde als λ(-λ( - 0 en dit is duidelij waar. Als je een net bewijs wilt moet je dit argument achterstevoren opschrijven! De graie van een unctie is de verzameling {(, R (} De epigraie van een unctie is de verzameling {(, R (}. Dat zijn alle punten die op o boven de graie liggen. Het is eenvoudig in te zien dat een unctie conve is precies dan als zijn epigraie een convee verzameling in R is.

3 Als conve is, dan is oo een veelvoud a conve, voor el getal a 0 (en a is concaa voor el getal a 0. Als en g conve zijn, dan oo + g (maar g meestal niet. Een constante unctie is conve, dus in het bijzonder blijt een unctie conve als je er een constante bij optelt. Als en h conve zijn en h bovendien monotoon niet-dalend, dan is h o weer conve. Bewijs: h((λ+(-λ h(λ(+(-λ(, want is conve en h is niet-dalend h(λ(+(-λ( λh((+(-λh((, want h is conve, dus h is conve. Conveiteit is een behoorlije bepering voor een unctie. Zo an een convee unctie eigenlij geen sprongen maen en is zo goed als continu. Alleen op de rand van het domein unnen er sprongen optreden:

4 Stelling: Als : C R conve is, dan is continu op het inwendige van C. Bewijs: Kies in het inwendige van C. Het interval [ - ε, + ε] is dan helemaal in C bevat voor een zeere ε >0. Neem voor het gema aan dat 0 en dat (0 0 (Dat is geen restrictie, door schuiven. Beij de uncties ( ( ε en ( ε ( ε ε De unctie ligt tussen deze twee uncties en dat zien we als volgt. Als [0, ε], dan is ( ( (. Dit volgt uit de conveiteitsongelijheid (λs + (-λt λ(s + (-λ(t als je iest: s -ε, t, λ /(+ε, voor de liner ongelijheid en s 0, t ε, - λ /ε voor de rechter. Op dezelde manier geldt dat ( ( ( als [-ε,0]. De graie van ligt dus eigenlij ingelemd tussen de twee rechte lijnen die de graieen van de uncties en vormen. Omdat en continu zijn met (0 (0 0 geldt dat ( (0 (0 0 (0 als 0, dus is continu in 0, waarmee we de stelling hebben bewezen.

5 De conveiteit van een unctie impliceert niet de continuïteit overal, omdat het op de rand van een gebied mis an gaan. Zo is de unctie waarvoor geldt: (0 ( en ( 0 als 0 < < niet continu in 0 en, maar wel conve. Als een dierentieerbare unctie conve is dan an de ageleide niet dalend zijn. Dat beteent dat de tweede ageleide nooit negatie is. Soms un je van een unctie eenvoudig laten zien dat de tweede ageleide positie is. Dat is dan een simpele manier om de conveiteit van de unctie aan te tonen. Stelling: C (R,R is conve dan en slechts dan als ( 0 voor alle. Bewijs: We moeten aantonen dat de tweede ageleide van een convee unctie overal niet-negatie is. Omdat conve is, geldt er (ies s - h, t + h, λ ½ dat : ½ (+h + ½ (-h ( ½ (+h + ½ (-h (. Voor de tweede ageleide gebruien we nu het volgende dierentiequotiënt, en zien met de vorige ongelijheid direct dat de tweede ageleide niet-negatie is: lim ( + h ( + ( h ''( h 0 h 0. (maa een Talorreesontwieling rond om te zien dat het dierentiequotiënt lopt

6 Nu laten zien dat een unctie met niet-negatieve tweede ageleide overal conve is. Integreer de tweede ageleide te integreren: '( '( ''( t dt. Als dan is de integraal niet-negatie omdat de integrand het is, dus ( (. We hebben hiermee aangetoond dat de ageleide van niet-dalend is. We halen nu dezelde truc uit en integreren : Als dan is ( ( '( t dt '( dt '( (. Dit lopt omdat niet-dalend is, dus (t ( als t. ( ( Als dan is. '( t dt '( t dt '( dt '( ( Gevolg: ( ( ((. De graie van ligt dus nooit onder de raalijn in het punt. Noem t λ λ + (-λ, dan is: ( (t λ (t λ ( - t λ, ( (t λ (t λ ( - t λ. Vermenigvuldig de eerste ongelijheid met - λ, de tweede met λ en tel ze op (deze getallen zijn niet-negatie: λ( + (-λ( (t λ (t λ (λ + (-λ - t λ 0, want t λ λ + (-λ. Hier staat dat (λ + (-λ (t λ λ( + (-λ(, dus is conve.

7 Voorbeelden: Door tweemaal te dierentiëren volgt: ( a + b + c is conve als a 0, ( e is conve op R, ( -log is conve als > 0, ( / is conve als > 0 (en concaa als < 0, ( log is conve als > 0, ( p is conve als > 0 en p, o p 0 (en concaa als > 0 en 0 p. Soms un je met de tweede ageleide de conveiteit van een unctie bewijzen en vervolgens via de deinitie van conveiteit ongelijheden opschrijven die op een andere manier veel moeilij o niet te bewijzen zijn. Uit de conveiteit van log volgt bijvoorbeeld dat λ -λ λ + (-λ Voor λ ½ staat hier: +. De linerant heet het meetundig gemiddelde van en, de rechterant is het gewone (reenundige gemiddelde. Het meetundig gemiddelde is dus altijd leiner dan o gelij aan het reenundig gemiddelde. Je unt oo nog een harmonisch gemiddelde deiniëren als + + Het is eenvoudig in te zien dat het harmonisch gemiddelde altijd leiner dan o gelij aan het meetundig gemiddelde is.

8 Een eenvoudig gevolg van conveiteit is: Stelling: Een minimum van een (strit convee unctie op een conve gebied is (strit absoluut. Strict convee uncties zijn dus simpel in de zin dat ze geen locale minima hebben, er is maar één minimum, dus iteratieve methoden die een locaal minimum vinden, vinden oo het globale minimum. Laat zien dat een convee unctie op een niet-convee verzameling wel locale minima an hebben.

9 Een unctie : R R heet midpuntconve, als voor alle, R geldt dat (( + / (( + (/. Een unctie die conve is, is duidelij midpuntconve (neem λ ½ Geldt het omgeeerde oo? Antwoord: Nee (Walgelij ingewield voorbeeld Voor de reële getallen bestaat er een Hamelbasis { α R α A} (een overatelbare verz. van reële getallen Voor el reëel getal zijn er eindig veel rationale getallen ξ i zodat ξ i α(i. Deze representatie is unie (basis. Deinieer nu een unctie op alle elementen van de Hamelbasis: α ( α, zodanig dat niet alle getallen ( α / α gelij zijn. Deinieer dan op heel R: ( ( ξ i α(i : ξ i α(i Deze unctie is bijna lineair, want voldoet aan: (+ ( + ( en (λ λ(, maar alleen als λ Q. Hierdoor is oo midpuntconve. is echter in geen enel punt continu:

10 Kies de unctie bijvoorbeeld zo dat α(0 voor één bepaalde α(0 en α 0 voor alle andere α. Kies R, dan is ξ 0 α(0 + ξ i α(i dus ( ξ 0. Kies nu een willeeurige R. Kies een ξ Q die minder dan ε van - ξ 0 a zit. Nu ligt R\{ α(0 Q} dicht in R, dus je unt oo een z R\{ α(0 Q} iezen die minder dan ε van ξ α(0 a ligt. Dan ligt + ξ α(0 z minder dan ε van a, terwijl ( + ξ α(0 z ( + ξ α(0 (z ξ 0 + ξ < ε. Gevolg: willeeurig dicht bij liggen punten waarvan de unctiewaarde willeeurig dicht bij een willeeurig geozen ligt. De graie ziet er dus ongeveer zo uit: Bij el punt uit het vla ligt een punt van de graie in de buurt, de graie is dus inderdaad helemaal zwart. is dus niet continu en an dus niet conve zijn.

11 Convee uncties op R n (niet in het boe Een unctie : R n R heet conve, als voor alle, R n en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Hetzelde geldt als de unctie op een conve deel van R n is gedeinieerd. De uitbreidingen naar strit conve en concaa zijn volledig analoog aan het ééndimensionale geval. Voorbeeld: We zullen bewijzen dat de euclidische normunctie ( conve is op R n. Er geldt dat (λ + (-λ λ + (-λ λ + (-λ + λ(-λ(, λ + (-λ + λ(-λ (λ + (-λ [(λ + (-λ(] want volgens de ongelijheid van Schwarz is (,. Hieruit volgt dat conve is. Als conve is, dan is oo a weer conve, voor ele scalar a 0. Als en g conve zijn, dan oo + g (maar g meestal niet. Een constante unctie is conve, dus in het bijzonder blijt een unctie conve als je er een constante bij optelt. Als : R n R en h: R R conve zijn en h bovendien monotoon niet-dalend, dan is h o weer conve.

12 Er geldt oo weer dat een convee unctie continu is op het inwendige van zijn domein, maar dat er op de rand sprongen unnen optreden. Voor de conveiteit van een tweemaal dierentieerbare unctie is er oo een criterium in termen van zijn tweede ageleide: Stelling: C (R n,r is conve dan en slechts dan als ( 0 voor alle. Hierbij is ( de tweede ageleide van de Hessematri en ( 0 beteent dat deze matri overal niet-negatie deiniet is. Een matri A heet niet-negatie deiniet als voor ele vector geldt dat (A, 0. Een matri A heet positie deiniet als voor ele vector 0 geldt dat (A, > 0. Een matri is positie (niet-negatie deiniet dan en slechts als al zijn eigenwaarden positie (niet-negatie zijn.

13 Voorbeeld: Beij de unctie ( 3 3,, + voor > 0. De eerste en tweede ageleiden zijn: ( 3 3,,, ( ,, 3 3 De eigenwaarden van de Hessematri zijn 0,, 3 +. Deze zijn allemaal niet-negatie, dus de matri is niet-negatie deiniet en de unctie is conve. Direct met de deinitie van niet-negatie deiniet is dit oo te zien: ,

14 Niet-lineaire Optimalisering (NLP (Boe H Lineaire doelunctie, niet-lineaire constraints Lineaire constraints, niet-lineaire doelunctie

15 Lineaire constraints, niet-lineaire doelunctie

16 Tpen NLP problemen (Boe H.3 - NLP zonder nevenvoorwaarden. Er is alleen een niet-lineaire unctie gegeven, zonder constraints, waarvoor een optimum moet worden gevonden. Noodzaelije voorwaarde is: D( 0. Dit zijn nietlineaire vergelijingen, meestal niet analtisch op te lossen. - NLP met lineaire voorwaarden. De doelunctie is lineair, de constraints zijn lineair. - Kwadratische programmering. De doelunctie is wadratisch, de constraints zijn lineair - Convee programmering. De doelunctie is conve o concaa, de constraints zijn van de vorm g i ( b i, met g i conve (het toegelaten gebied is dan conve. Een optimum is dan absoluut - Separabele programmering. Dit is een conve programmeringsprobleem waarin de doelunctie en de constraint uncties separabel zijn, een som van uncties van de azonderlije coördinaten. - Niet-convee programmering Alle andere niet-lineaire programmeringsproblemen. Er unnen veel locale optima optreden.

17 - Fractional Programming Doelunctie is van de vorm ( (/ ( Deze problemen unnen soms getransormeerd worden Voorbeeld: Ma ( z.d.d. A b en 0 c d T T + c 0 + d 0 Noem d + d Dan wordt het probleem: T 0, t d T + d 0 Ma Z c T + c 0 t z.d.d. A bt 0 d T + d 0 t en 0, t 0 Dit is een LP probleem en an met simple worden opgelost. - Complementariteitsproblemen Vind een toegelaten oplossing van w F(z, w 0, z 0 w T z 0 (complementariteitsconditie Er moet dan gelden: w i 0 o z i 0 Geen doelunctie.

18 Eéndimensionale zoemethoden (Boe H.4 De bisectiemethode. Als concaa en dierentieerbaar is met maimum in dan is ( > 0 als <, ( 0 als, ( < 0 als >. Kies nauweurigheid ε > 0. Vind ondergrens - < en bovengrens + >. Bereen nieuw punt ( /. Als ( 0, dan - : 3. Als ( 0, dan + : 4. Als + - ε dan stop, anders ga naar Invariant: ( - 0 en ( + 0, terwijl + - ele iteratie in lengte halveert. Dit convergeert naar.

19 Voorbeeld: ( ( ( 3 5 ( -( < 0, dus is concaa

20 Wat als niet concaa? Voorbeeld: ( 3 /3 /, - -, + 3 ( Neem - -, + 3, dan is, ( 0 - : + : Het algoritme vindt een maimum in, maar dat is een minimum. - -, + convergeert naar locaal maimum 0 - -, + 4 convergeert naar absoluut maimum 4

21 Methode van Newton ( j+ ( j + ( j ( j+ j + ( j ( j+ j / + O( j+ j 3 ( j+ ( j + ( j ( j+ j + O( j+ j Probeer een stationair punt te vinden: ( j+ 0, dus ( j + ( j ( j+ j 0 j+ : j ( j / ( j Voorbeeld: ( ( ( 3 5 ( -( < 0, dus is concaa

22 Orde van convergentie Hoe hard convergeert een rij? Lineaire convergentie: De out wordt na ele iteratie ongeveer met een vaste actor leiner: α α β α α + voor een zeere constante β. Kwadratische convergentie: α + α β α α voor een zeere constante β. Een rij ( α convergeert met orde p naar een limiet α als limsup α + α p sup q q α α. De convergentieactor bij deze orde is lim sup β α α + α α p. Als p heet de convergentie lineair. Als oo β 0, dan heet de convergentie superlineair (de out wordt telens verleind met een actor die zel steeds leiner wordt. Als daarentegen β, dan heet de convergentie sublineair (de out wordt telens verleind met een actor die steeds dichter bij omt, de convergentie gaat dus steeds trager.

23 Voorbeeld: De meetundige rij α a voor 0 < a <. Deze rij convergeert naar α 0, dus: α α + + α a a a a p p α a ( p + p ( Als p >, dan is a -p >, dus de rij is niet begrensd als. Als p, dan is a -p, dus de rij is constant a. Als p <, dan is a -p <, dus de rij nadert naar 0. De orde van convergentie is dus p, en de convergentieactor is β a, dus lineaire convergentie. Voorbeeld: De rij α a ( voor 0 < a <. Deze rij convergeert oo naar α 0, maar sneller dan de meetundige. We laten zien dat deze rij wadratisch convergeert door p te nemen: α α + α α ( a K ( a ( ( ( a K ( a ( De orde van convergentie is dus p, en de convergentieactor is β, dus wadratische convergentie. Voorbeeld: De rij α / convergeert naar α 0. Nu geldt: α α + α α +. De limiet van deze getallen is, de orde van convergentie is dus p, en de convergentieactor is β, dus we hebben te maen met (trage sublineaire convergentie...

24 Voorbeeld: Beij de rij α -. Nu is: ( ( ( ( ( p p p p α α α α. Er geldt dat e +. Als p >, dan is de bovenstaande rij niet begrensd als. Als p, nadert de bovenstaande rij naar 0. Als p <, nadert de bovenstaande rij naar 0. De orde van convergentie is dus p, en de convergentieactor is β 0, dus superlineaire convergentie. Voorbeeld: Bisectiemethode: lineaire convergentie met actor ½ Newtonmethode: wadratische convergentie met actor (/( ( + ( ( (( ( ( ( (( ( ( ( ( 3 O O ( ( (( ( (( / ( O O + +

25 Uniorm zoeen (Niet in het boe Voor de bisectiemethode is in ele iteratie de evaluatie van een ageleide nodig. Voor de Newtonmethode is in ele iteratie de evaluatie van een ageleide en een tweede ageleide nodig. Wat als er geen ageleiden beschibaar zijn, bijvoorbeeld omdat unctie-evaluaties uit computersimulaties omen. Uniorm zoeen: Verdeel in het interval [a,b] uniorm n nieuwe punten: b a a +,,..., n. n + Reen de unctiewaarde uit in el punt en zoe de leinste. Als die wordt aangenomen in vervang je het interval [a, b] door [ -, + ]. Het nieuwe interval heet als lengte ( b a. n + n unctie-evaluaties leveren dus een reductie van /(n+. Per unctie-evaluatie reduceert de lengte dus (worst case met een actor n + n. Deze actor is minimaal is als n 3. De reductieactor per evaluatie is dan -/ Convergentie is dus lineair met actor

26 Gulden snede zoemethode (Niet in het boe De gulden snede zoemethode (golden section search is eiciënter dan uniorm zoeen. Het idee is dat je in het interval [a,b] een etra punt c hebt waarvan de unctiewaarde beend is, en dat (a (c (b. Vervolgens wordt er een nieuw punt d geozen. We nemen aan dat dit tussen a en c ligt, maar tussen c en b gaat het analoog. Als (d (c, dan is (d (c (b. Als (d (c, dan is (a (d (c. Het interval [a,b] met tussenpunt c an worden vervangen door [d,b] met tussenpunt c, o door [a,c] met tussenpunt d, terwijl telens de waarde in het tussenpunt het leinst is. Kies nu de posities van c en d zo dat de lengtes van de nieuwe intervallen gelij zijn, dan is de reductie telens gelij. Kies d op verhouding λ en c op verhouding -λ op het interval [a,b], owel: d a + λ(b-a, d a + (-λ(b-a. De slimme truc van de methode bestaat er nu in dat je λ zo iest dat je na reductie het middelste punt weer unt gebruien. Het punt op verhouding λ an op verhouding (-λ liggen in het nieuwe interval. Omdat het nieuwe interval een actor (-λ leiner is geworden is de nieuwe actor van het tussenpunt nu λ/(-λ. Als deze verhouding gelij is aan -λ, dan is het punt weer te gebruien.

27 Dit is het geval als λ - λ - 0, dus als λ 0, , λ 0, Dit is de gulden snede verhouding. Met één unctie-evaluatie wordt het interval dus verleind met een actor -λ 0,68033, dat is beter dan bij de bovenstaande methode.

28 Meerdimensionale zoemethoden (Boe H.5 Steepest descent. Het idee van deze methode is dat je vanuit een startpunt de steilste richting opzoet en in deze richting een optimum zoet. Vanuit dat punt un je weer verder zoeen. De steilste richting wordt gegeven door de gradiënt: ( ( T, want (+h ( + (h + O( h Kies een startpunt 0. Vind de waarde t waarvoor t ( + t ( maimaal is. + : + t ( 3. Als stopcriterium voldaan, stop, anders :+, ga naar

29 Voorbeeld: (, + (, ( + 4 Startpunt 0 (0,0 Iteratie : (0,0 (0, Vind het maimum van ((0,0 + t(0, (0, t 4t-8t t ¼ (0,0 + ¼(0, (0,/ Iteratie : (0,/ ( 0 Vind het maimum van ((0,/ + t(,0 (t, / ½ + t t t / (0,/ + /(,0 (/,/

30 Methode van Newton: + ( ( - ( Voorbeeld: (, + (, ( + 4 ( 4, Startpunt 0 (0, De Newtonmethode is met één iteratie laar (want een wadratische unctie! Nadeel van Newton: Per iteratie een ageleide en een tweede ageleide n + n unctie-evaluaties. Andere aanpa: wer met een goedoper te bereenen inverse van tweede ageleide: Quasi-Newtonmethoden.

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

5. berekenen van limieten en asymptoten

5. berekenen van limieten en asymptoten hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie,

Nadere informatie

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25). DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen

1 Stelsels lineaire vergelijkingen 1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm 0 0 0 Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden

Nadere informatie

METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.)

METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) 1. Inleiding. In deze syllabus behandelen we een aantal fundamentele onderwerpen uit de

Nadere informatie

The bouncing balls and pi

The bouncing balls and pi The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile

Nadere informatie

Introductie Coach-modelleren

Introductie Coach-modelleren Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima Het 2-3- XOR-Netwerk heet lokale Minima Ida G. Sprinkhuizen-Kuyper Egbert J.W. Boers Vakgroep Inormatica RijksUniversiteit Leiden Postbus 952 2300 RA Leiden {kuyper,boers}@wi.leidenuniv.nl Samenvatting

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat.

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat. CONVEXE MEETKUNDE Pelle Wielinga & Han van der Ven 1. Convexe meetkunde Convexe meetkunde is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met convexe verzamelingen. In de Euclidische ruimte wordt een object

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

Met passer en liniaal

Met passer en liniaal Met passer en liniaal De opgaven in deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor oo je geodriehoe

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 611010 Datum:

Nadere informatie

Berekenen van dynamisch evenwicht

Berekenen van dynamisch evenwicht Bereenen van dynamisch evenwicht Voor het bereenen van dynamische evenwichten zijn er verscheidene methodes. De meest beende zijn het gebrui van traagheidsreacties. Deze traagheidsreacties unnen verder

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

_., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN. door. Jacob Wijngaard.

_., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN. door. Jacob Wijngaard. _.,.....-..-...------.---i 7703520 -_._------ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN door Jacob Wijngaard Bd/OR/75-06 Een veel beoefend spelletje met dominostenen is het volgende: Zet aile

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

3 Elektronische structuur van materialen

3 Elektronische structuur van materialen 3 Eletronische structuur van materialen (Aanvulling op hoofdstuen 7 en 8 van Rosenberg.) 3.1 Vrije eletron model In het voorgaande hebben we steeds de geometrische structuur van materialen besproen. Toch

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

94 NAW 5/17 nr. 2 juni 2016 Hoe bewijs je het priemtweelingvermoeden? Frits Beukers

94 NAW 5/17 nr. 2 juni 2016 Hoe bewijs je het priemtweelingvermoeden? Frits Beukers 9 AW 57 nr juni 06 Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? Frits Beuers Illustratie: Ryu Tajiri Frits Beuers Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? AW 57 nr juni 06 95 Frits Beuers Mathematisch Instituut

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1. Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

1 Verzamelingen en afbeeldingen

1 Verzamelingen en afbeeldingen Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Verwachtingswaarde en spreiding

Verwachtingswaarde en spreiding Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een aantal voorbeelden hebben we gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld wel

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Dag van de wiskunde 22 november 2014

Dag van de wiskunde 22 november 2014 WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:

Nadere informatie

Improving parallelism for the. NEMO ocean model. Hind Shouli. NEMO ocean model

Improving parallelism for the. NEMO ocean model. Hind Shouli. NEMO ocean model Improving parallelism for the Hind Shouli 1 Inhoud Inleiding Probleem Numerieke methoden Testresultaten Conclusie 2 Inleiding SARA (Amsterdam) biedt onderzoekers in Nederland ondersteuning bij onder andere

Nadere informatie

Samenvatting. r! n r! Het aantal permutaties van r uit n is gelijk aan. n r! Hoofdstuk 5

Samenvatting. r! n r! Het aantal permutaties van r uit n is gelijk aan. n r! Hoofdstuk 5 Hoofdstu Saenvatting Machten en faculteiten Machten en je al: 3 4 3 3 3 3 81 Je ent nu oo faculteiten:! 4 3 2 1 12 Machtsboen en faculteitsboen Een achtsboo is een boodiagra waarbij het aantal taen gelij

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Scalair en vectorieel product

Scalair en vectorieel product (HOOFDSTUK, ut Theory and problems of Vector Analyss, door Murray, R. Spegel, Schaum s Seres, McGraw-Hll, New Yor). Scalar en vectoreel product SCALAIR PRODUCT. Het scalar product (of nwendg product) van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Afdeling Kwantitatieve Economie

Afdeling Kwantitatieve Economie Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Volatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP

Volatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Volatility estimation and visualization for stoc/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Peter Bosschaart Jeroen Spoor Berend Steenhuisen 9 juni 2011 Inhoudsopgave 1 Introductie 3 2 Discretisatie

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics. Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige

Nadere informatie

Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (153088) Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219

Nadere informatie