1 Stelsels lineaire vergelijkingen
|
|
- Merel de Meyer
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden B) op te lossen: LU-decompositie. P is een permutatiematrix die ervoor zorgt dat de pivotelementen niet gelij aan nul worden. L = R = L R = P A Er geldt oo T (P A) = = R T 1 = L Meerdere stelsels oplossen (p. 60) A X = B P A X = P }{{ B } B L R X }{{} Y = B L Y = B = Oplossen van Y door voorwaartse substitutie uit L Y = B, waarna R X = Y = X an gevonden worden (achterwaartse subsitutie) uit R X = Y. 1.2 Gauss-Jordan (p. 51) Na methode van Gauss nieuwe elementaire rijtransformaties toepassen om het tot de eenheidsmatrix op te zetten. Bijna nooit gebruit; levert meer wer op dan Gauss
2 1.3 Methode van Crout (p. 72) Gebruit een licht gewijzigde ontbinding (geen reening houdend met P) A = L R L = R = Omzetten van Gauss naar Crout D = r r 22 0 D 1 = 0 0 r 33 r r r33 1 L C = L G D R C = D 1 L G Voordeel van Crout (p. 76) De onstabiliteit wordt geconcentreerd op welbepaalde plaatsen die men dan an optimizeren. 2 Veelterminterpolatie 2.1 Volgens Lagrange (p. 96) Gegeven {(x i, f(x i ))}, dan is algemeen y n (x) = 0 i j l i (x) f(x i ) met l i (x j ) = 1 i = j Voor l i (x) rijgen we Equidistante punten (p. 97) Lineaire interpolatie (p. 98) l i (x) = u = x x 0 l i (x) = n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) = x n x 0 n n u j i j j=0,j i y 1 (x) = x x 1 x 0 x 1 f(x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 f(x 1 ) Nut l i (x) onafhanelij van f, unnen op voorhand uitgereend worden toevoegen extra interpolatiepunten problematisch (alle l i (x) opnieuw uitreenen) goed voor coëfficiëntenprobleem, slecht voor waardeprobleem 2.2 Volgens Newton (p. 98) Gedeelde differenties (p. 99) f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i Algemene formule (p. 101) i 1 y n (x) = f[x 0, x 1,..., x n ] (x x j ) i=0 j=0 2
3 2.3 Gregory-Newton (p. 111) Methode van Newton maar met equidistante punten y n (x 0 + λ h) = ( λ i i=0 ) i f(x 0 ) Voorwaartse differenties (p. 110) f(x ) = f(x +1 ) f(x ) n f(x ) = n 1 f(x +1 ) n 1 f(x ) Centrale differenties (p. 112) n f(x i ) = δ n f(x i+ n 2 ) δn f(x i ) = n f(x i n 2 ) Gauss formules (p. 113) Equidistante punten; springt rond het gezochte punt (waardeprobleem). Voorwaartse Gauss x 0, x 1, x 1, x 2, x 2 Achterwaartse Gauss x 0, x 1, x 1, x 2, x 2 Stirling (p. 113) Symmetrische vorm van Gauss. Achterwaartse differentie (p. 114) 2.4 Hermite interpolatie (p. 118) De interpolatie moet niet alleen door bepaalde (x i, f(x i )) gaan, er zijn oo nog een aantal eisen op de afgeleiden in deze punten. 3 Numeriee differentiatie (p. 127) Algemeen slecht geconditioneerd probleem. Algoritmen oo onstabiel. 3.1 Lagrange (p. 129) f (x) 3.2 Newton (p. 130) l i(x) f(x i ) i=0 met Alleen pratisch te gebruien in x 0. f (x) f[x 0, x 1,..., x ] π 1(x) =1 n π n (x) = (x x i ) i=0 Equidistante punten (p. 130) 3
4 4 Numeriee integratie (p. 135) Algemeen goed geconditioneerd probleem. met H de gewichten en x de abscissen. b f(x) a =0 H f(x ) Nauweurigheidsgraad exact integreren. Een wadratuurformule met nauweurigheidsgraad n an veeltermen tot en met graad n 4.1 Lagrange (p. 135) 4.2 Newton-Cotes (p. 139) H = b a l (x) dx Equidistante punten; zie tabel p Niet nuttig voor grote n. 4.3 Samengestelde regels (p. 142) Integraal opsplitsen in deelintervallen waar de functie door een lagegraadsveelterm wordt benaderd Darboux: boven- en ondersom (n=0) (p. 142) Rechthoejes waarvan hoogte gelij is aan een functiewaarde in het beschouwde interval. Ondersom f(ξ) = min x I f(x), bovensom f(ξ) = max x I f(x). Beide omen naar elaar toe als I leiner wordt. Methode convergeert traag ( 1 n ) Middelpuntsregel (n=0) (p. 144) Zelfde als Darboux, maar men iest als ξ = b a 2. Nauweurigheidsgraad 1. Convergeert 1 n Trapeziumregel (n=1) (p. 145) Lineaire interpolatie in el interval. Equivalent met herhaalde Newton-Cotes met n = Simpson (n=2) (p. 146) Interpolatie van tweede graad voor el subinterval (interpolatiepunten: uiteinden en midden). Men gebruit Newton- Cotes met n = Automatische integratie (p. 147) Trapeziumregel (p. 148) I +1 = 1 2 I + h +1 x (+1) 2i+1 h +1 = 1 2 h Simpson (p. 149) Middelpuntsregel (p. 150) 5 Differentiaalvergelijingen (p. 156) 5.1 Taylorrees (p. 158) Leidt tot ingewielde uitdruingen. Zelden gebruit. 4
5 5.2 Eenstapsmethoden Euler (p. 158) Gegeven dan is y = f(x, y) y +1 = y + h f(x, y ) Orde = Cauchy (p. 162) Orde = 2. Aanpassing van Euler, door de afgeleide voor y +1 niet te nemen in x, maar in x + 1. Wert dus in twee 2 stappen y (x i ) = f(x i, y i ) y (x i+ 1 2 ) = f(x i + h 2, y = y + h 2 y (x i )) y +1 = y + h y (x i+ 1 2 ) Heun (p. 163) Orde = 2. Wert via integratie. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x Integraal uitweren m.b.v. Newton-Cotes (n = 2). y(x +1 ) = y + h 2 ( ) f(x, y ) + f(x +1, y +1 ) y +1 omt hier in beide leden voor. Voor het rechterlid gebruien we een predictor (= y +1 volgens Euler), waarna we het terug invullen om de waarde van y +1 volgens Heun te vinden. y P +1 = y + h f(x, y ) Men an het invullen in de vergelijing meerdere malen herhalen (meerdere generaties y P ) om de nauweurigheid te bevorderen Runge-Kutta (p. 165) Zoals Heun x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x De integraal wordt uitgewert met Newton-Cotes (n 3). De y +(0,1) waarden worden telens opgebouwd vanuit y. 5.3 Meerstapsmethoden (p. 169) Adams-Bashforth (p. 169) x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x De integraal wordt gedaan over een interpolatie van f door x, x 1,.... Hogere graden afgeraden. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + I[x, x 1, x 2,...] dx x Er wordt dus geïntergreerd over een stu buiten het interpolatie interval (men extrapoleert dus). 5
6 5.3.2 Adams-Moulton (p. 171) Zelfde als Adams-Bashfort, maar de interpolatie bevat nu oo het punt x +1. Om de waarden van f hier te ennen, hebben we echter oo y +1 nodig, hiervoor wordt een predictor gebruit. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + I[x +1, x, x 1, x 2,...] dx x Adams-Bashfort-Moulton (p. 171) Adams-Bashfort wordt gebruit als predictor die dan gebruit wordt in Adams-Moultin (slechts 1 corrector stap) BDF (p. 172) Goede stabiliteit voor stijve differentiaalvergelijingen. 6 Oplossen niet-lineaire vergelijingen (p. 6) 6.1 Bisectie (p. 7) Interval herhalend in twee delen. 6.2 Secant-methode (p. 10) Gegeven x 0 en x 1 tret men er een rechte door (lineaire interpolatie) en zoet men het snijpunt x 2 met de X-as. Herhalen voor x 1 en x 2. Kan divergeren. 6.3 Regula falsi (p. 15) Gegeven x 0 en x 1 tret men er een rechte door waarvan men het snijpunt x 2 met de X-as zoet. Men gooit nu x 0 of x 1 weg zodat we twee y waarden overhouden met verschillend teen. Op deze manier zijn we zeer dat het nulpunt zich in het beschouwde interval bevindt. 6.4 Deer-Brent (p. 18) 6.5 Newton-Raphson (p. 20) Lineaire benadering, gaande door het punt (x, y) en raend aan de romme in dit punt. Zoeen snijpunt met X-as, en van hieruit opnieuw beginnen. 6.6 Whittaer (p. 22) Richtingscoëfficiënt raalijn wordt gedurende meerdere stappen behouden (afgeleide uitreenen is duur). 6.7 Muller (p. 24) Gegeven x 0, x 1 en x 2 stellen we een parabool op door deze drie punten. Het snijpunt dat het dichtst bij x 2 ligt, wordt behouden (doordat x 2 het laatst beomen punt is). 6.8 Inverse interpolatie (p. 27) Interpolatie opstellen van de inverse en dit evaluaren naar Halley (rationale interpolatie) (p. 28) Veeltermbreu met graad 1 in teller en noemer, drie vrijheidsgraden: (2 in teller, 2 in noemer, -1 doordat men breuen an delen/vermenigvuldigen met een constante). y(x 0 ) = f(x 0 ) y (x 0 ) = f (x 0 ) y (x 0 ) = f (x 0 ) 6
7 6.10 Versnellingen (p. 46) Aiten (p. 46) ɛ (+1) ɛ () ɛ() ɛ ( 1) ρ = x (+1) x x () x x() x x ( 1) x x uit bovenstaande vergelijing oplossen geeft een extra benadering zonder de ost van een potentieel dure functieevaluatie Steffensen (p. 47) x (3) = F (F (F (x (0) ))) Bedoeling is dat men deze uitdruing an vereenvoudigen en zo drie stappen tegelij an maen Stabiliteit iteratieve methoden (p. 50) Snelle convergentie leidt tot betere stabiliteit doordat de fouten sneller unnen worden weggeïtereerd. Uiteindelije stabiliteit hangt af van de laatste stappen (hiervoor zijn er geen extra iteraties om de fout weg te weren) Stopcriteria (p. 52) Lengte van het onzeerheidsinterval. Grootte van de correctie. Grootte functiewaarde x (+1) x () < tolerantie f(x) < η Monotonietest op x () : de rij zou moeten convergeren, als x () dit gedrag niet meer vertoont, heeft men te maen met afrondingsfouten. Monotonietest op correcties. De rij bestaande uit moet dalend zijn. Bovengrens op het aantal stappen. Gebrui van de ennis van de convergentiesnelheid. x (+1) x () Specifiee stopcriteria (reening houdend met specifiee eigenschappen van gebruite functies, etc.) Absoluut of relatief stopcriterium 7 Stelsels niet-lineaire vergelijingen (p. 69) 7.1 Bisectie (p. 69) Voor n = 2 (twee vgl) heeft men 4 punten nodig die in de vier wadranten rond het nulpunt zitten. Ten sterste afgeraden. 7.2 Secant (p. 70) Levert numeriee problemen op. 7
8 7.3 Newton-Raphson (p. 71) f(x) y(x) = B + J(x (0) ) (x x (0) ) = x (1) = x (0) J(x (0) ) 1 f(x (0) ) Inverse wil men niet uitreenen, dus F (x) = x J 1 f(x) }{{} Y = Y = J 1 f(x) = J Y = f(x) Na hierin Y te hebben opgelost unnen we terug invullen F (x) = x + Y 7.4 Whittaer (p. 72) Zelfde als Newton-Raphson, maar we herbruien dezelfde Jacobiaan. 7.5 Vereenvoudigde Newton-Raphson (p. 73) Men wert component per component ipv met ganse vectoren. We weren dus terug met scalaire beweringen. Totale stap methode: el van de componenten wordt behandeld, pas als ze allemaal bereend zijn worden ze daadwerelij gebruit (voor een volgende iteratie). Enelvoudige stap methode: één componentn wordt behandeld, en deze wordt meteen al in reening gebracht om de andere componenten te verbeteren. 8 Iteratief oplossen van stelsels lineaire vergelijingen (p. 79) 9 Veeltermvergelijingen (p. 85) 9.1 Beweringen (p. 85) Evaluatie (Hornerschema) (p. 85) Evalueren afgeleiden (p. 87) Evalueren van reële veelterm voor complexe waarden (p. 88) 9.2 Bairstow (p. 93) 10 Eigenwaarden (p. 97) 10.1 Dominante eigenwaarde (Von Mises) (p. 99) A +1 X = λ X 10.2 Kleinste eigenwaarde (Wielandt) (p. 100) A (+1) X = 1 λ X 10.3 Andere eigenwaarden (p. 101) A = ( λ I A) 1 λ schatting (moet het dichtst de gezochte λ zijn). Opzoeen met Von Mises geeft 1 λ λ. 8
9 11 Optimisatie in één veranderlije (p. 106) 11.1 Afgeleiden (p. 107) is nodig maar niet voldoende. f (x ) = Veelterminterpolaties (p. 107) 11.3 Intervalreductie (p. 109) Twee punten u en v iezen binnen in het interval (a, b); afhanelij van de functiewaarden f(u) en f(v) houdt men een bepaald interval over. Herhalen Dichotomie (p. 110) Zoals intervalreductie, we iezen u en v zo opdat men een zo lein mogelij interval overhoudt. Normaal zou u = v = 1 2 (a + b), dit an uiteraard niet. We moeten dus u en v symmetrisch rond het midden van het interval iezen, met v u = resolutieafstand. Dichotomie met afgeleiden Als men de eerste afgeleide an bereenen, doet men dit telens in het midden van het beschouwde interval; afhanelij van het teen an men beslissen in wele helft het minimum zit Gulden snede (p. 111) Zoals intervalreductie/dichotomie, maar hier iezen we u en v zó dat we bij de volgende iteratie één van beide punten unnen herbruien. Zo convergeert het traag, maar hoeft men minder functieevaluaties uit te voeren. 12 Optimisatie in meerdere veranderlijen (p. 116) 12.1 Afdalingsmethodes (p. 124) Richting iezen met richtingsafgeleide 0, en een bepaalde staplengte iezen zodat men een lagere functiewaarde beomt Methode van de steilste afdaling (p. 127) Men iest de gradiëntrichting Newton-Raphson (p. 131) Benaderen door een wadrie met in x zelfde functiewaarde, gradiënt en Hessiaan. 9
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatie336 INDEX. eenheidsmatrix, 59 éénstapsmethode, 174 eenvoudige structuur, 288, 294
Index abscis, 139 absolute fout, 14 absoluut stabiel, 182 accumulatie in dubbele precisie, 79 achterwaartse differentie, 118 achterwaartse Gauss formule, 117 achterwaartse stabiliteit, 34, 35, 282 achterwaartse
Nadere informatieConvexe functies op R (niet in het boek)
Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de
Nadere informatieIterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatieExamenvragen en -antwoorden
KU Leuven Verzameling Examenvragen en -antwoorden Numerieke Wiskunde [G0N90B] Auteur: Tom Sydney Kerckhove Professor: Professor M. Van Barel Met dank aan: Dennis Frett Karel Domin Jonas Devlieghere Gestart:
Nadere informatieNumerieke Algoritmen 2de Kandidatuur Industrieel Ingenieur (Hogeschool Gent)
Numerieke Algoritmen de Kandidatuur Industrieel Ingenieur (Hogeschool Gent) c Elie De Brauwer 9 juni INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave About 4 Het bepalen van de wortels van een vergelijking 5. Oplossen van
Nadere informatie-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:
-- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.
Nadere informatieExamenvragen Numerieke Wiskunde 2012
Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012 Dennis Frett, Karel Domin, Jonas Devlieghere 3 oktober 2014 1 Inhoudsopgave 1 Programma verschil, verklaar afwijking 4 2 Matrix met dominante eigenwaarde 6 3 Functiewaarden
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieSysteemtheorie en Regeltechniek
Systeemtheorie en Regeltehnie Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Disrete tijdssystemen: Oplossen van de differentievergelijing wouter.biesmans@esat.uleuven.be Hoe unnen we een system voorstellen?
Nadere informatieDifferentiequotiënten en Getallenrijen
Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen
Nadere informatieBerekenen van dynamisch evenwicht
Bereenen van dynamisch evenwicht Voor het bereenen van dynamische evenwichten zijn er verscheidene methodes. De meest beende zijn het gebrui van traagheidsreacties. Deze traagheidsreacties unnen verder
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 22 augustus 213 1. Hoe zou je de vector x in de uitdrukking Q x = A n y op een computationeel slimme manier berekenen? Hierbij
Nadere informatieThe bouncing balls and pi
The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 mei 23. Implementeer de functie x n+ = mod(2x n, ) waarbij je gebruik maakt van een voorstelling met reële getallen. Zorg er
Nadere informatie102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).
DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat
Nadere informatieMeetkundige berekeningen
Meetundige bereeningen 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieFunctieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2
Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieOefeningen Numerieke Wiskunde
Oefeningen Numerieke Wiskunde Oefenzitting 2: Foutenanalyse, Conditie en Stabiliteit Vereiste voorkennis Foutenanalyse van de som De begrippen conditie en stabiliteit 1 Oefeningen 1.1 Foutenanalyse van
Nadere informatieNumerieke methoden voor het oplossen van randwaardeproblemen
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek Numerieke methoden voor het oplossen van randwaardeproblemen Lien Gillis e Master Wiskunde Promotor: Prof. Dr. Van Daele
Nadere informatieNumerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Analyse Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 7 Numeriek berekenen van afgeleiden Doelstelling De topics behandeld in dit hoofdstuk zullen vooral van belang zijn voor de paragrafen over randwaarde
Nadere informatieBlokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatiex x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.
Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y 4 4 4 11 6 0 x y x y 4 1 1 6 0 1 1 Omdat de som van
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieInleiding tot de numerieke wiskunde. Studenteneditie
Inleiding tot de numerieke wiskunde Studenteneditie Academisch jaar 2011-2012 Inleiding 1 Disclaimer Deze cursus bestaat uit uitgetypte studentennota s van de lessen Inleiding tot de numerieke wiskunde
Nadere informatieNumerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott college conopt docent week 6 6 De Lagrange Methode 6.1 Interpretatie
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie2. Het benaderen van nulpunten
Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een aantal voorbeelden hebben we gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld wel
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieIntroductie Coach-modelleren
Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7
Nadere informatieOEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieParameter-krommen benaderen in een vlak
Parameter-krommen benaderen in een vlak Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een kromme in een bepaalde ruimte Bij ruimte denken we
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieOptimalisatie in meerdere veranderlijken
1/38 Optimalisatie in meerdere veranderlijken VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 29 april 2013 2/38 Overzicht Waarom? Lastige functie Idee van algoritmen
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatieDe Riemannintegraal. Dan heet f(ξ ij, η ij ) A ij een Riemannsom bij f. May 9, I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
e Riemannintegraal Veronderstel dat f : R continu is, waarbij = [a, b] [c, d]. Laten a = x 0 < x 1 < x 2 < < x m 1 < x m = b en c = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d partities zijn van [a, b] en [c,
Nadere informatieToegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 5 augustus 2009
Drs. J.H. Blanespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wisunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene dru Uitwering herhalingsopgaven hoofdstu 5 augustus 009 HBuitgevers, Baarn
Nadere informatieN3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
Nadere informatieRiemannsommen en integralen
Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom
Nadere informatieNumerieke berekening van integralen met DERIVE
Numerieke berekening van integralen met DERIVE Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duffel In deze tekst maak je kennis met enkele eenvoudige algoritmen voor de numerieke berekening van bepaalde integralen.
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 13 Verwachtingswaarde en spreiding 13.1 Stochasten In een paar voorbeelden hebben we al gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld
Nadere informatieNumerieke Wiskunde voor technici
Numerieke Wiskunde voor technici Numerieke Wiskunde voor technici J. van Kan VSSD VSSD Eerste druk 1988 Derde druk 1996, 2000, 2001, 2009 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft tel.
Nadere informatieImproving parallelism for the. NEMO ocean model. Hind Shouli. NEMO ocean model
Improving parallelism for the Hind Shouli 1 Inhoud Inleiding Probleem Numerieke methoden Testresultaten Conclusie 2 Inleiding SARA (Amsterdam) biedt onderzoekers in Nederland ondersteuning bij onder andere
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie1 Maasstroomtheorie of lusstroomtheorie.
Maasstrootheorie of lusstrootheorie.. oel. lle spanningen en stroen zoeen in een schaeling, aar et inder vergelijingen dan de wetten van Kirchhoff. Minder vergelijingen beteent oo inder onbeenden. O dat
Nadere informatieH5: onderzoek van functies. Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven.
Algemene eigenschappen H5: onderzoek van functies Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven. Coördinatietransformatie: x = αu
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieNumerieke Methodes in de Algebra. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Methodes in de Algebra Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 5 Veelterminterpolatie Doelstelling De studie van de interpolatietheorie gebeurt meestal in functie van de verdere toepassingen ervan
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieModulen voor Calculus- en Analysevakken
Modulen voor Calculus- en Analysevakken Versie juni 2005 Deze indeling in modulen is zoveel mogelijk onafhankelijk van enig leerboek. Echter, om de invulling ervan concreet te maken is er aangegeven waar
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieThis item is the archived peer-reviewed author-version of:
This item is the archived peer-reviewed author-version of: Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Reference: Levrie Paul, Penne Rudi.- Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling
Nadere informatie2. Een eerste kennismaking met Maxima
. Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatie1 Gedeelde differenties
Inhoudsopgave Gedeelde dfferentes Verband met de nterpolerende veelterm 2 Een explcete formule 2 3 Verband met afgeleden 3 4 Verband met de nterpolerende veelterm van Newton 4 5 Productformule (formule
Nadere informatieOpgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.
Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatieINLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE
INLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE MN Spijker en JA van de Griend april 2008 MATHEMATISCH INSTITUUT UNIVERSITEIT LEIDEN INLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE MN Spijker en JA van de Griend copyright c
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie