Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
|
|
- Christian Peeters
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: 4 oktober 2016 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 1 / 59
2 Numerical Integration (Hoofdstuk 5 in Ed. 7) Stof Editie 7: Trapezoid Method > Niet: bewijs van Theorem Simpson s Rules and Newton-Cotes Rules > Alles tot Newton-Cotes Rules Gaussian Quadrature Formulas > Niet: Legendre Polynomials, Integrals with Singularities. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 2 / 59
3 Numerical Integration (Hoofdstukken 5 en 6 in Ed. 6) Stof Editie 6: Trapezoid Method > Niet: bewijs van Theorem Simpson s Rules and Newton-Cotes Rules > Niet: Newton-Cotes Rules Gaussian Quadrature Formulas > Niet: Legendre Polynomials, Integrals with Singularities. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 3 / 59
4 Probleemschets Gegeven f : [a, b] R, continu. Bekend uit de Analyse: dan is f Riemann integreerbaar. Probleem Bereken de bepaalde integraal b I(f ) = f (x) dx a a b c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 4 / 59
5 5.1 Kwadratuur c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 5 / 59
6 Oppervlakte De integraal kan geïnterpreteerd worden als de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as (tussen a en b). Numerieke methoden zijn gebaseerd op het benaderen van deze oppervlakte door eenvoudige (meetkundige) figuren: kwadratuurregels. Historie: kwadratuur is het construeren van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven meetkundige figuur, bv driehoek, cirkel,... c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 6 / 59
7 Numerieke Integratie Methoden Numerieke integratiemethoden woren ook wel kwadratuurregels genoemd; Reflecterend aan klassieke technieken van de kwadratuur van een meetkundig object. A. Rechthoeksregel (of Middelpuntregel); B. Trapeziumregel; C. Simpson s regel; D. Gauss kwadratuur. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 7 / 59
8 Middelpuntregel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 8 / 59
9 Middelpuntregel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Noem m i = (x i + x i+1 )/2 het middelpunt van het i-de deelinterval; Beschouw de rechthoek R i met basis [x i, x i+1 ] en hoogte f (m i ), de functiewaarde in het middelpunt (zie volgende slide); Bepaal de oppervlakte van R i. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 9 / 59
10 Middelpuntregel (II) functie f (x) rechthoek R i Oppervlakte R i = (x i+1 x i )f (m i ) x i m i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 10 / 59
11 Middelpuntregel (III) De benadering van de integraal is de som van de oppervlaktes van de rechthoeken: n 1 n 1 I(f ) M n (f ) = (x i+1 x i ) f (m i ) = h f i=0 n 1 ( = h f a + (b a) 2i + 1 ) 2n i=0 i=0 ( a + h 2i + 1 ) 2 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 11 / 59
12 Middelpuntregel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 12 / 59
13 5.1 Trapeziumregel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 13 / 59
14 Trapeziumregel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Bepaal de lineaire interpolatie tussen de grafiekpunten (x i, f (x i )) en (x i+1, f (x i+1 )); Dat geeft een functie l i (x) (rechte lijn); Bepaal de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van l i (x) op [x i, x i+1 ]. Merk op dat de figuur een trapezium is. Zie Figure 5.1 en volgende slide. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 14 / 59
15 Trapeziumregel (II) functie f (x) lineair polynoom l i (x) xi+1 l i (x) dx x i = 1 ( ) xi+1 x i 2 ( f (x i ) + f (x i+1 ) ) x i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 15 / 59
16 Trapeziumregel (III) De benadering van de integraal is de som van de oppervlaktes van de trapezia: n 1 I(f ) T n(f ) = (x i+1 x i ) 1 ( f (xi ) + f (x i+1 ) ) 2 i=0 = h ( ) f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + + 2f (x n 1 ) + f (x n ) 2 = h ( f (x0 ) + f (x ) n 1 n) + h f (x i ) (1) 2 i=1 = h ( n 1 ) f (a) + 2 f (a + ih) + f (b) 2 i=1 Zie Figure 5.2 en volgende slide. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 16 / 59
17 Trapeziumregel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 17 / 59
18 Integratiefout van Trapeziumregel Theorem 1 Veronderstel dat f tweemaal continu differentieerbaar is op [a, b]. Splits [a, b] op in n gelijke intervallen van lengte h = (b a)/n. Dan is er een ζ [a, b] zodat Bewijs. I(f ) T n (f ) = 1 12 nh3 f (ζ) = 1 12 (b a)h2 f (ζ) = O(h 2 ) Beschouw eerst n = 1; dwz één trapezium op [a, b]. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 18 / 59
19 Bewijs Integratiefout bij één Trapezium (I) (1). Schrijf T 1 (f ) als een integraal: T 1 (f ) = b a l(x) dx. Hierin is l( ) de lijn door (a, f (a)) en (b, f (b)) (lineaire interpolatie). (2). Pas stelling over interpolatiefout toe (zie boek op pag. 181): voor alle x [a, b] bestaat een ξ(x) [a, b] zodat (3). Dus f (x) l(x) = 1 2 (x a)(x b)f (ξ(x)). b ( ) b 1 I(f ) T 1 (f ) = f (x) l(x) dx = 2 (x a)(x b)f (ξ(x)) dx. a a (4). Pas middelwaardestelling voor integralen toe (zie volgende slide). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 19 / 59
20 Middelwaardestelling voor Integralen Stelling Veronderstel twee functies g 1 en g 2 op [a, b] met de eigenschappen (i). g 1 is continu op [a, b]; (ii). g 2 is Riemann integreerbaar op [a, b]; (iii). g 2 wisselt niet van teken op [a, b]. Dan is er een η [a, b] zodat b b g 1 (x)g 2 (x) dx = g 1 (η) g 2 (x) dx. a a c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 20 / 59
21 Bewijs Integratiefout bij één Trapezium (II) (4). Pas middelwaardestelling voor integralen toe met g 1 (x) = f (ξ(x)), g 2 (x) = 1 (x a)(x b). 2 Dan krijgen we b b I(f ) T 1 (f ) = g 1 (η) g 2 (x) dx = f 1 (ξ(η)) (x a)(x b) dx 2 a a ( ) 1 = f (ζ) (b a)3 = h3 f (ζ) (5) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 21 / 59
22 Bewijs Integratiefout bij n Trapezia Beschouw nu weer de trapeziumregel bij een opsplitsing van [a, b] in n deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Pas op elk deelinterval de integratiefout toe van één trapezium: n 1 ( x i+1 ) I(f ) T n (f ) = f (x) dx T 1 (f [xi,x i+1 ]) i=0 x i met ζ i [x i, x i+1 ], i = 0,..., n 1; n 1 = i= h3 f (ζ i ), (7) Er geldt min f (ζ i ) i i f (ζ i )/n max i f (ζ i ) Pas de tussenwaardestelling van continue functies toe: er bestaat een ζ [ζ 0, ξ n 1 ] [a, b] zodat f (ζ) = n 1 i=0 f (ζ i )/n; Conclusie: I(f ) T n(f ) = 1 n 1 12 h3 f (ζ i ) = 1 12 nh3 f (ζ) i=0 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 22 / 59
23 Toepassing van Integratiefout (I) Numerieke integratie van I = dx volgens trapeziumregel Tn met n trapezia; x Vind het aantal trapezia n en intervalbreedte h zodat gegarandeerd I T n < 10 8 is; Relatie: nh = 5; De integrand f (x) = 1/x heeft f (x) = 2/x 3 ; Merk op dat f (x) positief is en monotoon dalend is op [1, 6]; Dus voor alle x [1, 6] is f (x) f (1) = 2; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 23 / 59
24 Toepassing van Integratiefout (II) Dus I T n = 1 12 nh3 f (ξ) n 2. Dus n 2 > (125/6) 10 8 geeft n Bij n = is h = 5/n = c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 24 / 59
25 5.3 Simpson s Regel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 25 / 59
26 Simpson s Regel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Aanname: n is even! Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Beschouw achtereenvolgens het i 1-ste en het i-de interval tezamen voor i = 1, 3, 5,...; Bepaal de kwadratische interpolatie tussen de grafiekpunten (x i 1, f (x i 1 )), (x i, f (x i )) en (x i+1, f (x i+1 )); Dat geeft een functie (parabool) q i (x); Bepaal de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van q i (x) op [x i 1, x i+1 ]; Zie Figure 5.5 en volgende slide; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 26 / 59
27 Simpson s Regel (II) functie f (x) kwadratisch polynoom q i (x) xi+1 x i 1 q i (x) dx = 1 6 (x i+1 x i 1 ) ( f (x i 1 ) + 4f (x i ) + f (x i+1 ) ) x i 1 x i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 27 / 59
28 Simpson s Regel (III) De benadering van de integraal is de som van deze oppervlaktes: x2i n/2 I(f ) = f (x) dx i=1 x 2i 2 n/2 1 S n(f ) = 6 (x 2i x 2i 2 ) ( f (x 2i 2 ) + 4f (x 2i 1 ) + f (x 2i ) ) i=1 = h ( ) f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + + 2f (x n 2 ) + 4f (x n 1 ) + f (x n ) 3 = h ( n/2 f (x 0 ) i=1 = h ( n/2 f (a) i=1 n/2 1 f (x 2i 1 ) + 2 i=1 ) f (x 2i ) + f (x n ) n/2 1 f (a + (2i 1)h) + 2 i=1 ) f (a + 2ih) + f (b) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 28 / 59
29 Simpson s Regel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 29 / 59
30 Simpson s Regel (V) De samengestelde Simpson s formule op slide 28 kan worden herschreven: S n (f ) = h 3 ( ) f (x 0 ) + 2f (x 2 ) + 2f (x 4 ) + + 2f (x n 2 ) + f (x n ) + 4 ) (f 3 h (x 1 ) + f (x 3 ) + + f (x n 1 ) = 1 3 T n/2(f ) M n/2(f ) Dat geeft de relatie tussen trapezium, middelpunt en Simpson s regel. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 30 / 59
31 Integratiefout bij Simpson s Regel Stelling Veronderstel dat f viermaal continu differentieerbaar is op [a, b]. Splits [a, b] op in n gelijke intervallen van lengte h = (b a)/n. Dan is er een ξ [a, b] zodat I(f ) S n(f ) = nh5 f (4) (ξ) = (b a)h4 f (4) (ξ) = O(h 4 ) (8) Bewijs: Aanaloog als voor de trapeziumregelfout (slides 18 22); iets complexer. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 31 / 59
32 Grote Oh Symbool Fouten worden meestal slechts aangegeven in termen van orde van grootte; Trapeziumregel: > per deelinterval van lengte h: I(f ) T 1(f ) = O(h 3 ); > n deelintervallen van lengte h = (b a)/n: I(f ) T n(f ) = no(h 3 ) = O(h 2 ); Simpson s regel: > per deelinterval van lengte h: I(f ) S 1 (f ) = O(h 5 ); > n deelintervallen van lengte h = (b a)/n: I(f ) S n f ) = no(h 5 ) = O(h 4 ); c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 32 / 59
33 Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (I) Bijzonder geval: n = 2 k een tweemacht. Bv k = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 h h h h h h h h 2h 2h 2h 2h c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 33 / 59
34 Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (II) Trapeziumregel: Zie Theorem 2; Recursieve formule: T n(f ) = h ( ) f (x 0 ) + 2f (x 2 ) + 2f (x 4 ) + + 2f (x n 2 ) + f (x n) 2 + h ( ) 2f (x 1 ) + 2f (x 3 ) + + 2f (x n 1 ) 2 = 1 ( ) 2 T n/2(f ) + h f (x 1 ) + f (x 3 ) + + f (x n 1 ) = 1 2 T n/2(f ) M n/2(f ) Geeft T n/2 (f ) + M n/2 (f ) = 2T n(f ); c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 34 / 59
35 Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (III) Simpson s regel: Vorige slide: T n/2 (f ) + M n/2 (f ) = 2T n (f ); Slide 30: S n (f ) = 1 3 T n/2(f ) M n/2(f ) Combineer: S n(f ) = 1 3 T n/2(f ) M n/2(f ) = 2 ( Tn/2 (f ) + M n/2 (f ) ) T n/2(f ) = 4 3 T n(f ) 1 3 T n/2(f ) = T n (f ) + 1 ( Tn (f ) T n/2 (f ) ) 3 Simpson s regel kan met trapeziumregel worden uitgerekend! [in geval van tweemachten]. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 35 / 59
36 5.4 Gauss Regels c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 36 / 59
37 Gauss Kwadratuurregels (I) Herinner: I(f ) = b a f (x) dx; Kies n + 1 knooppunten in [a, b]: a x 0 < x 1 < < x n b. Kies n + 1 gewichten A 0, A 1,..., A n R. De benadering van I(f ) is de bijbehorende kwadratuur: I(f ) G n (f ) = n A i f (x i ). (1) Interpretatie: benader oppervlak onder de grafiek van f door oppervlak van een aantal rechthoeken. NB: rechthoeken hoeven niet aan te sluiten! i=0 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 37 / 59
38 Gauss Kwadratuurregels (II) De knoopunten en gewichten worden op een speciale manier geconstrueerd en gebruikt. Constructie De benadering is exact (dwz G n (f ) = I(f )) voor alle polynomen f op [a, b] t/m graad 2n + 1. Eigenschap De knooppunten en gewichten hangen alleen af van n, a, b. Gebruik Dezelfde knooppunten en gewichten worden voor alle integreerbare functies op [a, b] gebruikt. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 38 / 59
39 Voorbeeld A n = 2, a = 0, b = 7; De knooppunten zijn (x 0, x 1, x 2 ) = (0.7889, , ) en de gewichten zijn (A 0, A 1, A 2 ) = (1.9444, , ); Pas toe op f (x) = x 56x x 3 x 4 ; (vierde graadspolynoom); Eenvoudig: I(f ) = 7 0 f (x) dx = ; Ook eenvoudig: G 3 (f ) = 2 i=0 A if (x i ) = Dwz, exact. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 39 / 59
40 Voorbeeld A in Figuren A 2 A 0 f (x 0 ) A Een vierde graads polynoom f (x) op [0, 7]. x 0 x 1 x Drie rechthoeken met breedtes A 0, A 1, A 2 en hoogtes f (x 0 ), f (x 1 ), f (x 2 ). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 40 / 59
41 Voorbeeld B Nog steeds n = 2, a = 0, b = 7; En nog steeds knooppunten (x 0, x 1, x 2 ) = (0.7889, , ) en gewichten (A 0, A 1, A 2 ) = (1.9444, , ); Pas nu toe op f (x) = x 4 e x + 1 x ; Exact: I(f ) = 7 0 f (x) dx (via trapeziumregel met 106 trapezia); Mbv 3-punts Gausskwadratuur: G 3 (f ) = 3 i=1 w if (x i ) = Relatieve fout van 1.4%. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 41 / 59
42 Voorbeeld B in Figuren A 1 A 2 A f (x 0 ) x 0 x 1 x Een integreerbare f (x) op [0, 7]. Drie rechthoeken met breedtes A 0, A 1 en A 2, en met hoogtes f (x 0 ), f (x 1 ), f (x 2 ). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 42 / 59
43 Gauss Kwadratuurregels (III) Uitwerking van de eis van slide 38. 2n + 2 onbekende variabelen x 0, x 1,..., x n, A 0,..., A n ; Construeer 2n + 2 vergelijkingen in die variabelen; Vergelijking k is G n (f ) = I(f ) voor f = x k ; Hierin is G n (f ) = n A i xi k ; i=0 I(f ) = b De vergelijkingen zijn: voor k = 0, 1,..., 2n + 1 a x k dx = bk+1 a k+1. k + 1 n i=0 A i x k i = bk+1 a k+1 k + 1 (1) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 43 / 59
44 Gauss Kwadratuurregels (IV) Wegens lineariteit van is dan voor elk polynoom f (x) = p 0 + p 1 x + + p 2n+1 x 2n+1 van graad 2n + 1 (ga na): G n (f ) = I(f ). Stelsel (1) is een stelsel van 2n + 2 niet-lineaire vergelijkingen in de 2n + 2 onbekenden x 0,..., x n en A 0,..., A n ; In principe oplosbaar. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 44 / 59
45 Terug naar Voorbeelden A en B n = 2, a = 0, b = 7; Stelsel van 6 vergelijkingen: k = 0 : A 0 + A 1 + A 2 = 7 k = 1 : A 0 x 0 + A 1 x 1 + A 2 x 2 = 7 2 /2 k = 2 : A 0 x0 2 + A 1x1 2 + A 2x2 2 = 73 /3 k = 3 : A 0 x0 3 + A 1x1 3 + A 2x2 3 = 74 /4 k = 4 : A 0 x0 4 + A 1x1 4 + A 2x2 4 = 75 /5 k = 5 : A 0 x0 5 + A 1x1 5 + A 2x2 5 = 76 /6 Oplossing x = (0.7889, , ) A = (1.9444, , ) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 45 / 59
46 Gauss Kwadratuurregels (V) Niet-lineair stelsel is lastig; Alternatieve procedure; 1. Bepaal (of probeer) eerst knooppunten x 0,..., x n; 2. Bepaal dan gewichten zo dat voor k = 0, 1,..., n n i=0 3. Dit is een lineair staelsel (in de gewichten A i ); A ix k i = bk+1 a k+1 ; k + 1 Dan is voor elk polynoom f (x) = p 0 + p 1 x + + p n x n van graad n (ga na): G n (f ) = I(f ) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 46 / 59
47 Gauss Kwadratuurregels (VI) Stelsel (2) is een stelsel van n + 1 lineaire vergelijkingen in de n + 1 onbekenden A 0,..., A n ; In matrix/vector notatie XA = y met x 0 x 1 x 1 x n x X = 2 0 x1 2 x2 2 xn 2 x 3 0 x1 3 x2 3 xn x0 n x1 n x2 n xn n y = b a (b 2 a 2 )/2 (b 3 a 3 )/3 (b 4 a 4 )/4. (b n+1 a n+1 )/(n + 1) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 47 / 59
48 Voorbeelden A en B weer n = 2 Gauss kwadratuur proberen met x 0 = 1, x 1 = 3.5, x 2 = 6; Stelsel van 3 vergelijkingen: A 0 + A 1 + A 2 = 7 Oplossing A = (2.2867, , ); A 0 x 0 + A 1 x 1 + A 2 x 2 = 7 2 /2 A 0 x A 1x A 2x 2 2 = 73 /3 Voorbeeld I: > Benadering G 3 (f ) = 2 i=0 A if (x i ) = ; exact I(f ) = ; > Relatieve fout 7.5 %. Voorbeeld II: > Benadering G 3 (f ) = 3 i=0 A if (x i ) = ; exact I(f ) = ; > Relatieve fout 4.7 %. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 48 / 59
49 Gauss Kwadratuurregels (VII) In plaats van voor elk interval [a, b] en elke n een niet-lineair stelsel op te lossen, Doen we dit alleen voor het interval [ 1, 1] (wel voor elke n), Op een speciale manier. De knooppunten oplossing x en gewichten oplossing A kunnen worden opgeslagen in een tabel; Namelijk n = 1, 2,... en bij elke n twee vectoren van lengte n + 1. Zie Table 5.1; De knooppunten en gewichten bij [a, b] volgen door translatie en substitutie, zie slide 51. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 49 / 59
50 Gauss Kwadratuurregels (VIII) Afspraken (A). Beschouw alleen interval [ 1, 1]; dwz a = 1 en b = 1; (B). Knooppunten x 0,..., x n zijn de nulpunten van een speciaal polynoom (zogenaamde n + 1-ste graads Legendre polynoom); (C). Gewichten A 0,..., A n zijn oplossing van lineair stelsel (2). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 50 / 59
51 Gauss Kwadratuurregels (IX) Van afspraak naar algemeen; Gegeven f : [a, b] R; Bereken knooppunten 1 x 0 < x 1 < < x n 1 en gewichten A 0,..., A n volgens de afspraken; Gebruik de substitutieregel van integratie b a f (x) dx = b a 2 1 ( ) b + a + x(b a) f dx 1 2 Concludeer G n (f ) = n i=0 b a A i f 2 ( ) b + a + xi (b a) 2 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 51 / 59
52 Meerdimensionale Integratie (I) Numeriek mogelijk voor integratie op een rechthoekige ruimte [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], Bijvoorbeeld twee-dimensionaal: b2 b1 a 2 a 1 f (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 Middelpuntregel, Simpson s regel, Gauss kwadratuur zijn eenvoudig naar hogere dimensies uit te breiden; Bijvoorbeeld Gauss kwadratuur in 2-D: n 1 n 2 i 1 =0 i 2 =0 A i1 A i2 f ( x i1, x i2 ) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 52 / 59
53 Meerdimensionale Integratie (II) Slechte prestatie bij veel dimensies; Zoals in Bayesiaanse statistiek; financiële modellen; Moeilijk toepasbaar bij niet-rechthoekige integratiegevieden; Alternatief: simulatie; Dat heet Monte Carlo integratie en zal onderwerp zijn in latere colleges; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 53 / 59
54 Python c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 54 / 59
55 Integratiefuncties in Python De trapeziumregel is beschikbaar in NumPy (en in SciPy). De andere kwadratuurregels (Simpson, Romberg, Gauss) zijn beschikbaar in het subpackage integrate van SciPy. functie numpy.trapz scipy.integrate.trapz scipy.integrate.quad scipy.integrate.quadrature beschrijving samengestelde trapeziumregel idem adaptieve Simpson s regel Gauss kwadratuur Er zijn nog veel andere functies. Zie de reference guide. Zie ook c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 55 / 59
56 Numeriek Voorbeeld Bereken: 3 cx 1 sin(dx 1 ) dx. 1 Plot bij c = 100 en d = c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 56 / 59
57 Python Code def func(x,c,d): return c*np.sin(d/x)/x def main(): a,b,c,d,n = 1.,3.,100.,10.,500 x = np.linspace(a,b,n) y = func(x,c,d) q1 = np.trapz(y,x) q2 = integrate.quad(func,a,b,args=(c,d)) q3 = integrate.quadrature(func,a,b,args=(c,d)) print(q1, \n,q2[0], \n,q3[0]) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 57 / 59
58 Algoritme in Quad Herinner de recursieve relatie tussen de Simpson s en trapezium regels op slide 35: S n (f ) = T n (f ) + 1 ( Tn (f ) T n/2 (f ) ) 3 Zo is er ook een recursieve relatie door met 4-de graads polynomen te interpoleren als kwadratuurregel: Q n (f ) = S n (f ) ( Sn (f ) S n/2 (f ) ) Het algoritme in quad verdubbelt aantal deelintervallen voor Simpson totdat Sn(f ) S n/2 (f ) /15 < ϵ; Bovendien, adaptief, wat betekent dat deze verdubbeling per deelinterval wel of niet uitgevoerd wordt. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 58 / 59
59 Illustratie van Adaptieve Methode meer intervallen minder intervallen c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 ( ) 59 / 59
Numerical Integration (Hoofdstuk 5 in Ed. 7) Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) Probleemschets
Numericl Integrtion (Hoofdstuk 5 in Ed. 7 Numericl Methods College 5: Numerieke Integrtie (Hoofdstuk 5 A.A.N. Ridder normlsize Deprtment EOR Vrije Universiteit Amsterdm Huispgin: http://personl.vu.nl/..n.ridder/numprog/defult.htm
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieNumerieke berekening van integralen met DERIVE
Numerieke berekening van integralen met DERIVE Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duffel In deze tekst maak je kennis met enkele eenvoudige algoritmen voor de numerieke berekening van bepaalde integralen.
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieOefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieNumerieke Analyse - Week 03
Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen
Nadere informatieN3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Derde bachelor informatica Oefeningen 0 mei 0. Gegeven is het beginwaardeprobleem y y 0, 04y + 0000y y y (0) = y = 0, 04y 0000y y 0 7 y y, y (0) = 0 0 7 y y (0) 0 Los
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieDe Riemannintegraal. Dan heet f(ξ ij, η ij ) A ij een Riemannsom bij f. May 9, I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
e Riemannintegraal Veronderstel dat f : R continu is, waarbij = [a, b] [c, d]. Laten a = x 0 < x 1 < x 2 < < x m 1 < x m = b en c = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d partities zijn van [a, b] en [c,
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatie4. NUMERIEKE INTEGRATIE
4. NUMERIEKE INTEGRATIE Uit het voorgaande is gebleken dat oppervlakken, volumina, zwaartepunten, statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatieTweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieTentamen numerieke analyse van continua I
Tentamen numerieke analyse van continua I Donderdag 13 november 2008; 14.00-17.00 Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatiebegin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie
begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden
Nadere informatieMinima en maxima van functies
Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie
Nadere informatieInhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1
Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieEen andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), Nationale Wiskunde Dagen 2019
Een andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), A.J.P.Heck@uva.nl Nationale Wiskunde Dagen 2019 Nationale Wiskunde Dagen 2019 Een andere dimensie van GeoGebra 1 / 36 Overzicht
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieBasiswiskunde Week 3_ Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Basiswiskunde Week 3_2 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Middelwaardestelling 1 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatie1. Statistiek gebruiken 1
Hoofdstuk 0 Inhoudsopgave 1. Statistiek gebruiken 1 2. Gegevens beschrijven 3 2.1 Verschillende soorten gegevens......................................... 3 2.2 Staafdiagrammen en histogrammen....................................
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 28 januari 2014,
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 8 januari 04, 3.30 6.30. Zet op ieder vel dat je inlevert je naam en op et eerste vel bovendien nog je studentnummer.. Je mag et dictaat gebruiken, de uitwerkingen
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 16 13 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Linearisering (4.2) Taylorpolynomen (10.4) Vanmiddag Fout Taylorpolynomen (10.4) 2 Toenamen Δx en Δy f(x + Δx) y = f(x) Δy = f x +
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieParameter-krommen benaderen in een vlak
Parameter-krommen benaderen in een vlak Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een kromme in een bepaalde ruimte Bij ruimte denken we
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieDe Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Nadere informatieRiemannsommen en integralen
Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieVoorbeeldopgaven Meetkunde voor B
Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieLeeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatie10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6
10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6 Inhoudsopgave Deel 6 vwo A Hoofdstuk 1: Samengestelde functies Voorkennis: Differentiëren 1-1 Machtsfuncties 1-2 Machtsfuncties differentiëren 1-3 Wortelfuncties en
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieNiet-Negatieve Orthogonale Polynomen
Niet-Negatieve Orthogonale Polynomen Jun Sheng Huang 19 augustus 2010 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde Begeleiding: dr. Jan Brandts KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatie