Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003

Transcriptie

1 Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden implementeren, met als doel een indruk te krijgen van het functioneren van ieder van deze methoden in de praktijk en ook, waar mogelijk, het onderling vergelijken van deze methoden We maken hierbij gebruik van de volgende praktijksituatie In een fabriek worden uit vlakke platen zgn golfplaten gemaakt (zie plaatje) De golf in deze golfplaten wordt beschreven door een sinuskromme met periode p > 0 en amplitude r > 0: φ(t) = r sin( 2π t) (0 t T ) p Veronderstel, dat we een golfplaat hebben waarvan de lengte, gemeten in de richting van de golf, T meter bedraagt We vragen ons af, wat dan de lengte L(T ) van de oorspronkelijke vlakke plaat was L(T ) is uiteraard gelijk aan de lengte van de sinuskromme tussen t = 0 en t = T, dus L(T ) = T ( φ (t) ) 2 dt = T ( r 2π p cos( 2π p t)) 2 dt (1) De primitieve van de integrand in formule (1) kan niet expliciet in termen van de bekende elementaire functies worden uitgedrukt (het is een zgn elliptische integraal van de tweede soort ), zodat er geen elementaire gesloten uitdrukking is die L(T ) als functie van p, r en T beschrijft De implementatie van de drie numerieke integratiemethoden zullen we uitvoeren voor een algemene situatie De integraal in formule (1) gebruiken we dan als testcase, door met behulp van ieder van de methoden benaderingen van L(T ) te bepalen, voor zekere gegeven waarden van p, r en T II Numerieke integratiemethoden Zij f C[a, b] en laat I(f) = b f(t) dt Ter benadering van I(f) implementeren we, voor een a algemene continue integrand f, de volgende drie methoden: - de samengestelde trapeziumregel; - de samengestelde middelpuntsregel; - de methode van Romberg 1

2 Het commando fprintf kunnen we hierbij gebruiken bij het formatteren van de output van getallen (NB: in het vervolg van deze opdracht wordt soms gesproken over in een precisie van x cijfers Dat is niet altijd hetzelfde als in x decimalen achter de komma!) Opgave 1 (a) Schrijf in één bestand een MATLAB programma (van het type function ) met de naam STR, dat een benadering van I(f) berekent met behulp van de samengestelde trapeziumregel, toegepast met stapgrootte h = b a N Hierbij worden f, a, b en N aan STR meegegeven (b) Schrijf in één bestand een MATLAB programma (van het type function ) met de naam SMPR, dat een benadering van I(f) berekent met behulp van de samengestelde middelpuntsregel, toegepast met stapgrootte h = b a N Hierbij worden f, a, b en N aan SMPR meegegeven (c) Schrijf in één bestand een MATLAB programma (van het type function ) met de naam ROMBERG, dat de methode van Romberg toepast ter benadering van I(f) Dit programma krijgt, samen met f, a en b, twee niet-negatieve gehele getallen k 0 en k max (k 0 k max ) mee, en berekent het schema voor Romberg-integratie, uitgaande van toepassingen van de samengestelde trapeziumregel met stapgrootten van de vorm b a voor 2 k achtereenvolgens k = k 0, k 0 + 1, De benodigde toepassingen van de samengestelde trapeziumregel worden uitgevoerd door het aanroepen van het programma uit onderdeel (a) Het programma ROMBERG stopt, als twee opeenvolgende benaderingen op de diagonaal van het extrapolatieschema in 8 cijfers precisie aan elkaar gelijk zijn, of als de berekening van de rij corresponderend met k = k max is afgerond Het berekende schema wordt in 8 cijfers precisie weggeschreven naar een tekstbestand; het is niet verplicht om daarbij ook kolom- of rijlabels te laten aanmaken Wel moeten de gebruikte waarden van k worden opgenomen Je hoeft je niet te bekommeren om de mate van differentieerbaarheid van f (d) Test de correctheid van de programma s door er één of meer geschikt gekozen integralen mee te benaderen Neem hierbij in het geval van ROMBERG in ieder geval in aanmerking, dat voor ieder polynoom alle voldoende ver naar rechts geplaatste kolommen in het extrapolatieschema de exacte waarde moeten weergeven (afgezien van machine-precisie) Leg uit waarom dit zo is We richten ons nu op onze testcase: de integraal L(T ) in formule (1) In deze programmeeropgave geldt daarbij dat p = 02 meter en r = 0024 meter In Opgave 2 is T gelijk aan 493 meter Opgave 2 (a) Bepaal met het programma STR benaderingen L N (493) van L(493), voor N = 2 j (j = 6, 7, 8, ) Laat j oplopen totdat twee opeenvolgende benaderingen in 8 cijfers precisie aan elkaar gelijk zijn Maak een overzichtelijke tabel van de resultaten, in 8 cijfers precisie (deze weergave als tabel hoeft niet per sé geprogrammeerd te worden) (b) Bepaal met het programma ROMBERG een benadering van L(493) Neem k 0 = 6 en k max = 15 Maak een overzichtelijke tabel van het extrapolatieschema dat ontstaat bij deze berekening (deze weergave als tabel hoeft niet per sé geprogrammeerd te worden) (c) Bespreek aan de hand van de resultaten bij de onderdelen (a) en (b) in het kort het nut van extrapolatie 2

3 In Opgave 3 zullen we de convergentie van de samengestelde middelpuntsregel bekijken We zullen daarbij gebruik maken van het feit dat er voor f C 2 [a, b] en stapgrootte h een τ h [a, b] bestaat, zodanig dat (b a) M h (f) I(f) = f (τ h ) h 2, (2) 24 waarbij M h (f) de waarde is die de samengestelde middelpuntsregel, met stapgrootte h, voor f oplevert (NB: in de college-aantekeningen kunnen hier in oude versies typfouten staan) We nemen in Opgave 3 voor T de waarde 002 meter, en gebruiken de benadering van L(002) als ware het de exacte waarde van L(002) Opgave 3 (a) Bepaal met het programma SMPR benaderingen L N (002) van L(002), voor N = 2 j (j = 1, 2,, 13), en zet voor de gebruikte waarden van N met behulp van MATLAB de grootheid 2 log( L N (002) L(002)) 2 log N uit tegen 2 log N Rond de waarden van L N (002) niet af, maar gebruik de interne waarden van MATLAB voor het maken van de grafiek (b) Laat met behulp van de foutschatting (2) zien, dat er constanten c 1 > 0 en c 2 > 0 bestaan, zodanig dat c 1 N 2 L N (002) L(002) c 2 N 2 (c) voor alle gehele N 1 Hint: laat zien dat de tweede afgeleide van de integrand in formule (1) op het interval [0, p 8 ] naar boven begrensd is door een strikt negatief getal Verklaar met behulp van onderdeel (b) het asymptotisch verloop van de grafiek in onderdeel (a) In Opgave 4 bekijken we het geval waarin T gelijk is aan 5 meter Opgave 4 (a) Bepaal met het programma STR benaderingen L N (5) van L(5), voor N = 2 j (j = 0, 1, 2,, 15) Maak een overzichtelijke tabel van de resultaten, maar ditmaal in 15 cijfers precisie (deze weergave als tabel hoeft niet per sé geprogrammeerd te worden) (b) Bespreek met behulp van de theorie het opmerkelijke convergentiegedrag van de benaderingen uit onderdeel (a) Opgave 5 De in Opgave 1(c) voorgeschreven opbouw van het programma ROMBERG is niet de meest efficiënte implementatie van Romberg-integratie Geef aan wat er verbeterd kan worden (dit hoeft niet geïmplementeerd te worden) 3

4 Verslaglegging en praktische zaken Verslaglegging Maak een verslag, waarin de antwoorden van de opgaven verwerkt zijn Schrijf dit verslag, als ware het een tijdschriftartikel, waarin verschillende numerieke integratiemethoden mbv een praktijkvoorbeeld op hun merites worden beoordeeld en soms ook onderling worden vergeleken Beeld je daarbij in, dat de lezer wel bekend is met de relevante basisdefinities voor de gebruikte numerieke integratiemethoden, maar geen expert is op het gebied van foutschattingen, asymptotische ontwikkelingen, extrapolatie, snelheden van convergentie ed Wanneer je daarvan iets wilt gebruiken zul je dus de lezer daarover moeten informeren Wanneer je bepaalde opgaven niet of niet helemaal hebt opgelost, heb je uiteraard de vrijheid om je verslag/artikel daaraan aan te passen Streef naar een goede toegankelijkheid van het stuk voor de lezer Een paar tips: - Nummer de pagina s - Gebruik afzonderlijke paragrafen waar dat logisch is - Definieer de symbolen die je gebruikt - Nummer vergelijkingen waarnaar je verwijst - Neem de programma s als bijlagen op, waarnaar je in de tekst verwijst - Neem de volgende output in de tekst op, eventueel met kolom- en/of rijlabels cq aslabels ed verduidelijkt: - Opgave 1(d) (voorbeelden; de recursieformules in een extrapolatieschema hoeven niet te worden opgenomen; - Opgave 2(a) en 2(b) (de recursieformules hoeven bij 2(b) niet te worden opgenomen); - Opgave 3(a) (de grafiek is voldoende); - Opgave 4(a) - Houd het stuk zo beknopt mogelijk Praktische zaken - Samenwerking in groepjes van twee is toegestaan - Lever het verslag uiterlijk vrijdag 16 mei 2003 in bij één van de de werkgroepleiders: Bart van de Rotten of José Antonio Rodríguez Zij zijn ook contactpersoon voor eventuele vragen, en hebben ook voorbeelden van een MATLAB programma dat subroutines bevat - Behoudens onvoorziene omstandigheden is het cijfer donderdag 22 mei 2003 bekend - Laat een kantlijn in het verslag open ivm het nakijken - Zet van alle auteurs - de naam en alle voorletters, - de studierichting, - het collegekaartnummer, en - het adres op de eerste pagina van het verslag - Voor liefhebbers, die hun verslag in LaTeX willen maken (dit is uiteraard niet verplicht), het volgende: - De figuur in deze opdracht is via de vakpagina in de online studiegids beschikbaar als LaTeX-bestand golfplaatjetex Hierbij wordt pictextex gebruikt, dit is daar ook beschikbaar 4

5 - Deze opdracht zelf is eveneens beschikbaar, als golfplaat03tex Let op: dit is geen LaTeX-bestand, maar nog een ouder TeX-bestand Je kunt er natuurlijk wel tekst en formules uit kopiëren In die formules komt soms het command \over voor Dit wordt door LaTeX nog geaccepteerd, mooier is het om dit te vervangen door \frac 5