NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3

Transcriptie

1 NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen bij het schrijven van een wiskunde verslag vind je achteraan deze opgave. Tezamen met de Matlabprogramma s die je hebt geschreven, stuur je je verslag in één zip-file naar: karel.inthout@ua.ac.be. We beschouwen in dit project de Van der Pol vergelijking: U 1 (t) = U 2(t), U 2 (t) = ε ( 1 U 1 (t) 2) U 2 (t) U 1 (t) (1) voor t 0. Hierbij is ε een gegeven positieve reële parameter. De vergelijking (1) werd in 1920 opgesteld door Van der Pol en speelt een belangrijke rol in de beschrijving van elektrische circuits. De exacte oplossingen van deze vergelijking blijken interessante eigenschappen te bezitten, die in de huidige wiskundige literatuur nog niet zijn bewezen. Doel van deze opgave is om, door middel van implementaties in Matlab, diverse numerieke methoden te onderzoeken die nauwkeurige benaderingen van de exacte oplossingen van (1) opleveren. (a) Geef de formule voor de rechterlidfunctie f(t, x) behorend bij stelsel (1). (b) Schrijf een Matlabfunctie vdpol.m met als eerste regel function y=vdpol(t,x) die voor gegeven t R en kolomvector x R 2 de kolomvector y = f(t, x) oplevert. Test deze (nieuw gemaakte) Matlabfunctie met enige concrete invoerwaarden. We onderzoeken vier numerieke methoden ter oplossing van beginwaardeproblemen voor de Van der Pol vergelijking: de expliciete Euler methode, de expliciete trapeziumregel, de expliciete middelpuntsregel en de klassieke Runge Kutta methode. (c) Schrijf voor ieder van deze vier methoden een Matlabprogramma dat voor gegeven interval [0, T ], gegeven beginvector U(0) en gegeven aantal stapjes N, achtereenvolgens benaderingen u k van de exacte oplossing U(t) = (U 1 (t), U 2 (t)) T van (1) berekent op de roosterpunten t = kh voor k = 0, 1, 2,..., N met stapgrootte h = T/N. Gebruik hierbij de Matlabfunctie gemaakt in onderdeel (b). Sla alle roosterpunten op in een rijvector ter lengte N + 1 en alle benaderingen in een matrix met 2 rijen en N + 1 kolommen. Maak voor de berekening van de startwaarden bij de expliciete middelpuntsregel gebruik van de expliciete Euler methode. 1

2 Kies ε = 1, T = 5 en beginvector U(0) = (1, 1) T. (d) Maak één plaatje in Matlab waarin de benaderingen bekomen met ieder van de vier numerieke methoden, met N = 25, zijn weergegeven in het (x 1, x 2 ) vlak. Neem hierbij als domein 3 x 1, x 2 3. Verbind opeenvolgende benaderingen met lijnstukjes en maak in het plaatje duidelijk welke benaderingen met welke methode corresponderen. Wat is een betrouwbare, eerste schatting van de vector U(5)? Licht je antwoord toe. (e) Voer de klassieke Runge Kutta methode uit met N = Maak drie plaatjes in Matlab: één met de bekomen benaderingen uitgezet in het (x 1, x 2 ) vlak en twee met de eerste resp. tweede component uitgezet tegen t. Geef de bekomen benadering van U(5) tot op 12 significante cijfers (t.t.z. in decimale, drijvende punt representatie met 12 cijfers) en noem deze benadering u. In het volgende onderdeel onderzoeken we het convergentiegedrag van de vier numerieke methoden bij toepassing op (1). We richten ons op de benadering van U(5) en kiezen als zeer nauwkeurige referentiewaarde de u bekomen in onderdeel (e). (f) Pas de expliciete Euler methode toe met N = 25 2 i voor i = 0, 1, 2,..., 6 en bereken steeds de maximumnorm van de globale fout, u N u. Geef het resultaat weer in een tabel. Analyseer het gedrag van deze fouten als functie van N en ga na of dit gedrag goed overeenstemt met de theoretische orde van convergentie p = 1 van de methode. Verricht deze analyse vervolgens voor ieder van de andere drie numerieke methoden. Matlab beschikt ook zelf over diverse programma s om beginwaardeproblemen numeriek mee op te lossen. We bekijken een bekende ode-solver in Matlab, namelijk ode45. (g) Bestudeer met het commando doc ode45 het gebruik van deze solver. Pas ode45 toe met options=odeset( AbsTol,1e-10, RelTol,1e-10) voor de benadering van U(5). Bereken de maximumnorm van de globale fout op t = 5, gebruikmakend van de referentiewaarde u. Hoe verhoudt deze fout zich ten opzichte van de fouten bekomen met ieder van de zelf geïmplementeerde numerieke methoden? We onderzoeken vervolgens het gedrag van oplossingen van de Van der Pol vergelijking op grote tijdsintervallen en bij andere waarden ε. Er lijken interessante eigenschappen te gelden. (h) Kies T = 100 in plaats van T = 5. Benader de oplossing van het beginwaardeprobleem voor de Van der Pol vergelijking met je favoriete numerieke methode en maak plaatjes, als voorheen, in het (x 1, x 2 ) vlak en de (t, x j ) vlakken voor j = 1, 2. Kies daarna een aantal andere beginvectoren U(0) en maak wederom plaatjes. Wat lijkt er te gelden voor het gedrag van de oplossingen van de Van der Pol vergelijking op lange termijn? Maak evt. gebruik van de literatuur betreffende de analyse van gewone differentiaalvergelijkingen om je vermoedens te formuleren. (i) Kies wederom T = 100 en beschouw zowel kleinere als grotere waarden ε. Formuleer de vermoedens die je kunt afleiden omtrent het gedrag van oplossingen van de Van der Pol vergelijking in functie van de parameterwaarde ε. We beschouwen nu ε = 50, T = 100 en U(0) = (2, 0) T. Het blijkt dat met elk van de boven besproken numerieke methoden een groot aantal stapjes N nodig is om de exacte oplossing goed te benaderen. 2

3 (j) Voer ode45 uit met de default waarden voor de absolute en relatieve toleranties. Maak drie plaatjes in Matlab als voorheen: één met de bekomen benaderingen uitgezet in het (x 1, x 2 ) vlak en twee met de eerste resp. tweede component uitgezet tegen t. Kies hierbij 2.5 x en 80 x Hoeveel stapjes werden door ode45 gebruikt? (k) Pas de klassieke Runge Kutta methode toe met N = i voor i = 0, 1, 2,..., 6. Welke van deze waardes N geven een resultaat dat tenminste enigzins overeenkomt met dat bekomen in onderdeel (j)? Voor een meer efficiënte numerieke oplossing van de Van der Pol vergelijking in de huidige situatie onderzoeken we de impliciete trapeziumregel met variabele stapgrootte: u k = u k h kf(t k 1, u k 1 ) h kf(t k, u k ) (2) voor k = 1, 2, 3,... waarbij t k = t k 1 + h k. Omdat deze methode impliciet is, dient in iedere tijdstap een stelsel niet-lineaire vergelijkingen te worden opgelost. We gebruiken hiertoe de methode van Newton, die uitgaande van een gegeven startvector x (0) achtereenvolgende benaderingen x (1), x (2), x (3),... van u k bepaalt. (l) Beschouw h k, t k 1, u k 1 als gegeven. Definieer een functie F zodanig dat vergelijking (2) equivalent is met F (x) = 0, x = u k. Bereken de matrix van Jacobi bij F en formuleer de methode van Newton voor de numerieke oplossing van (2). Voor de startvector is x (0) = u k 1 een handige keuze, want u k zal hier normaliter niet ver vanaf liggen. De Newton iteratie wordt gestopt zodra F (x (l) ) < 10 8 of dat x (5) is bepaald. Bestudering van het resultaat uit onderdeel (j) geeft aan dat de oplossing op bepaalde momenten zeer sterk varieert. Het is daarom nuttig om een variabele stapgrootte toe te passen. Zij h > 0 gegeven. Een natuurlijke, eenvoudige strategie is als volgt: indien u k 1,2 < δ kies h k = h en anders h k = h/l. Hierbij zijn δ, L gegeven met δ > 0 klein en L 1 groot. (m) Waarom is deze stapgroottekeuze natuurlijk? Met een variabele stapgrootte zal t = T in het algemeen geen roosterpunt meer zijn. Een benadering van U(T ) kunnen we in dit geval echter makkelijk bepalen via lineaire interpolatie op het interval [t k 1, t k ] dat het punt t = T bevat. Kies in het vervolg δ = 0.1 en L = 10. (n) Schrijf een Matlabprogramma dat de impliciete trapeziumregel (2) met alle boven beschreven keuzes implementeert. Hierbij is h > 0 nog vrij te kiezen. (o) Voer het programma uit met h = 0.1. Maak een plaatje van de stapgroottes h k uitgezet tegen t k 1. Bespreek het resultaat. We onderzoeken de nauwkeurigheid en het convergentiegedrag van de zojuist geïmplementeerde trapeziumregel. (p) Voer ode45 uit met options=odeset( AbsTol,1e-10, RelTol,1e-10). Geef de bekomen benadering van U(T ) tot op 12 significante cijfers en noem deze u. 3

4 (q) Pas het programma uit onderdeel (n) toe met h = 0.1/2 i voor i = 0, 1, 2, 3 en bereken steeds de maximumnorm van de globale fout in t = T, gebruikmakend van de referentiewaarde u. Geef het resultaat in een tabel. Vermeld hierin ook het gebruikte aantal stapgroottes bij elke i. Bespreek het resultaat, in het bijzonder de nauwkeurigheid en het convergentiegedrag van de zelf geïmplementeerde methode. 4

5 Richtlijnen bij het schrijven van een wiskunde verslag 1. Geef op het voorblad in ieder geval: de titel van het verslag, het opleidingsonderdeel, je naam, en de datum. 2. Deel het verslag op een logische en overzichtelijke wijze in. Gebruik hoofdstukken en paragrafen. Geef in het bijzonder een inleiding in de probleemstelling, de belangrijkste conclusies en een referentielijst. Neem computerprogramma s op in een appendix. 3. Wees duidelijk, beknopt en volledig. Laat minder relevante zaken weg. 4. Zorg dat de tekst goedlopend en samenhangend is. Vermijd lange zinnen. 5. Gebruik de officiële Nederlandse spelling. 6. Kies een prettig leesbaar lettertype en grootte. Nummer de pagina s. Druk het verslag eenzijdig af op A4 papier. 7. Nummer definities, stellingen, lemma s en gevolgen. Nummer alle wiskundige formules waar je in de tekst naar verwijst. 8. Nummer figuren. Voorzie ze van een duidelijk onderschrift. Zorg dat de figuren en alle symbolen hierin voldoende groot en goed leesbaar zijn. Figuren bespreek je in de tekst. 9. Kies een natuurlijke, beknopte wiskundige notatie. Duid verschillende grootheden aan met verschillende symbolen. Alle symbolen in je verslag dienen te zijn uitgelegd. 10. Vermijd computertaal in wiskundige formuleringen of de gewone tekst, tenzij dit het onderwerp van een bespreking vormt. 11. Als een resultaat uit de wetenschappelijke literatuur wordt gebruikt, verwijs je naar de betreffende referentie. 12. Het is niet toegestaan om tekst (vrijwel) letterlijk uit de bestaande literatuur of van het internet over te nemen. Gebruik steeds je eigen woorden. 13. Alles wat je opschrijft dien je zelf te begrijpen. 14. Lees het verslag regelmatig nauwgezet en kritisch door. Vraag je in het bijzonder bij iedere zin af of deze correct is en begrijpelijk voor de lezer. Dit kost tijd! 15. Lever je verslag voor de opgegeven datum in. KH, januari