Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2"

Transcriptie

1 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft dat een duidelijk geheel vormt. Het verslag bevat dus niet enkel de antwoorden op de vragen, maar vormt een mooie leesbare tekst. De bijhorende MATLAB-code wordt ook afgegeven. De code moet van voldoende commentaar voorzien worden. 1 Inleiding Stel dat u eigenaar bent van een Belgisch bedrijf dat wereldwijd producten verkoopt. Een bedrijf in Amerika plaatst een grote order om over een jaar voor 1 miljoen dollar aan producten te kopen. Als u dit bedrag over een jaar ontvangt, wilt u het graag omwisselen naar euro s. Het is echter niet duidelijk wat op dat moment de wisselkoers dollar-euro zal zijn. Met een financiële optie kunt u zich verzekeren tegen het risico dat over een jaar de dollar-euro koers ongunstig uitvalt. Een Europese put-optie 1 geeft de houder het recht, maar niet de plicht, om over T jaar een bepaald goed voor de waarde K te kunnen verkopen. De parameters T en K worden vooraf vastgelegd. In ons voorbeeld is T = 1. Als goed kiezen we het standaard bedrag van 1 dollar (de aanpassing naar andere bedragen is duidelijk). Het is natuurlijk om de waarde K in de buurt van de huidige wisselkoers S =.68 te kiezen. Als concreet voorbeeld nemen we K =.75. Financiële opties zijn niet gratis (waarom niet?). Cruciale vraag is wat een eerlijke prijs voor een optie is. In dit project zullen we een algemene aanpak voor het prijzen van financiële opties bekijken, toegepast op ons dollar-euro voorbeeld. Deze aanpak heet Monte Carlo simulatie. Het wordt naast de wiskunde en economie in vele wetenschappelijke gebieden (fysica, chemie, biologie, informatica,...) toegepast. Een belangrijk onderdeel is hierbij de numerieke oplossing van stochastische differentiaalvergelijkingen. 2 Brownse beweging We beginnen met het implementeren van de zgn. Brownse beweging, dat een belangrijke rol in het vervolg zal spelen. 1 De term Europese heeft geen geografische betekenis. Het wordt in de literatuur gebruikt voor opties die alleen op het einde van de looptijd kunnen worden uitgevoerd.

2 3 STOCHASTISCHE INTEGRALEN 2 Een stochastisch proces is een familie U(t) (t ) van stochastische variabelen op een gezamenlijke kansruimte (Ω, A, P). Eén trekking levert een functie van [, [ naar R. Dit noemt men een pad of realisatie. Een (standaard) Brownse beweging in R is een stochastisch proces W (t) (t ) zodanig dat W () = bijna zeker W (t) W (s) is normaal verdeeld met verwachting en variantie t s (voor s t) voor iedere = t < t 1 <... < t N zijn W (t j ) W (t j 1 ) (1 j N) onderling onafhankelijk Voor numerieke doeleinden beschouwen we een gediscretiseerde Brownse beweging, waarbij W (t) geëvalueerd wordt in discrete tijdspunten t [, T ]. Voor gegeven geheel getal N 1, zij t = T /N en t j = j t voor j =, 1, 2,..., N. Noteer de benadering van W (t j ) als W j. Zij Z j voor j = 1, 2,..., N onderling onafhankelijke, normaal verdeelde stochastische veranderlijken met verwachting en variantie 1. Definieer W = en W j = W j 1 + t Z j (j = 1, 2,..., N). (1) Dan heet W, W 1, W 2,..., W N een gediscretiseerde Brownse beweging. Vraag Hoe correspondeert (1) met de definitie van een Brownse beweging? Maak een efficiënt MATLAB-programma dat, voor willekeurig gegeven T > en N 1, een gediscretiseerde Brownse beweging genereert en in een grafiek uitzet tegen t, t 1, t 2,..., t N. Verbind hierbij opeenvolgende punten met lijnstukjes. Voor een efficiënte werking is het aan te bevelen het programma te vectoriseren en van het commando cumsum gebruik te maken (hoe?). Opmerking Gebruik steeds zo weinig mogelijk lussen in je MATLAB-code. mogelijk met vectoren te werken. Probeer zo veel Iedere nieuwe uitvoering van het programma zal een nieuw plaatje geven, aangezien het een stochastisch proces betreft. Eén realisatie van een gediscretiseerde Brownse beweging (met T = 1 en N = 4) is te zien in Figuur 1. Voor de experimenten verder in de opdracht is het nuttig om de uitkomsten vergelijkbaar te maken; hiervoor stellen we de beginstaat van de random number generator in. Stellen we bijvoorbeeld randn( state,1), dan zullen achtereenvolgende uitvoeringen van het programma dezelfde output produceren. 3 Stochastische integralen Gegeven een functie ϕ, dan kan de integraal T ϕ(t)dt benaderd worden door de Riemann som N ϕ(t j 1 )(t j t j 1 ), j=1 (2)

3 4 DE EULER-MARUYAMA METHODE W Figuur 1: Realisatie van een gediscretiseerde Brownse beweging met T = 1, N = 4. t met de discrete punten t j zoals hiervoor. De integraal is gedefinieerd door het nemen van de limiet t. Analoog kunnen we een som van de vorm N ϕ(t j 1 )(W j W j 1 ) (3) j=1 beschouwen, als benadering van de stochastische integraal T ϕ(t)dw (t). Hier integreren we ϕ met betrekking tot de Brownse beweging. Zo n integraal heet een Itô integraal. 4 De Euler-Maruyama methode Een scalaire, autonome stochastische differentiaalvergelijking (SDV) kan geschreven worden als t t S(t) = S + f (S(s))ds + g(s(s))dw (s) ( t T ), (4) waarbij f en g gegeven scalaire reëel-waardige functies zijn en de beginwaarde S een gegeven reëel getal is. Deze vorm van notatie noemen we de integraalvorm. We zullen niet verder toelichten wat het precies betekent dat S(t) een oplossing is van (4). In plaats daarvan definiëren we onmiddellijk een methode voor de numerieke oplossing van (4). Dikwijls wordt de SDV (4) herschreven in de (symbolische) differentiaalvorm ds(t) = f (S(t))dt + g(s(t))dw (t) ( t T ), S() = S. (5) Dit is niet meer dan een compacte schrijfwijze, die we verder zullen gebruiken. Om een numerieke methode toe te passen op (5), discretiseren we eerst het interval. Stel = T /L voor een positief geheel getal L, en τ j = j. De numerieke benadering van S(τ j ) zullen we noteren als S j. De Euler-Maruyama (EM) methode geeft: S j = S j 1 + f (S j 1 ) + g(s j 1 )(W (τ j ) W (τ j 1 )), j = 1, 2,..., L. (6)

4 5 MONTE-CARLO SIMULATIE 4 S τ Figuur 2: Een realisatie van het koersverloop horende bij r =.6 en σ =.2. Vraag Geef aan hoe men (6) in verband met (4) kan brengen. Voor de Brownse beweging gebruiken we steeds de stapgrootte t = T /N. De stapgrootte voor de numerieke methode kiezen we dan een geheel meervoud R 1 van t : = R t. Dit verzekert ons dat de verzameling punten {t j }, waarop het gediscretiseerde Brownse pad gebaseerd is, de punten {τ j }, waarop de EM oplossing wordt berekend, bevat. 5 Monte-Carlo simulatie We zullen de EM methode toepassen op de lineaire SDV ds(t) = rs(t)dt + σs(t)dw (t), S() = S, (7) waarbij r en σ zekere reële constantes zijn: r is de rente en σ de volatiliteit. Dit is een bekend model voor het verloop van wisselkoersen. S(t) duidt de koers aan op tijdstip t. We zullen (7) hier gebruiken als model voor de dollar-euro koers. Maak een efficiënt programma dat de dollar-euro koers simuleert op tijdstippen = τ < τ 1 < τ 2 <... < τ L = T met T = 1 en in een grafiek (τ j, S j ) uitzet verbonden met lijnstukjes. Gebruik hierbij stapgrootte t = 2 8 om de Brownse beweging te simuleren en pas EM toe met stapgrootte = R t met R = 4. Neem S =.68, r =.6 en σ =.2. Eén realisatie van het koersverloop is te zien in Figuur 2. We kunnen nu starten met het prijzen van de optie. De volgende formule geeft de eerlijke prijs van een Europese put-optie: V = exp( rt ) E[max(K S(T ), )] (8) waarbij E de verwachting aanduidt. We kunnen de verwachting goed benaderen door een gemiddelde waarde, waarbij een groot aantal realisaties M van het koersverloop wordt gekozen: V M = exp( rt ) 1 M M max(k s m,l, ) (9) m=1

5 6 STERKE CONVERGENTIE VAN DE EM METHODE 5 met s m,l de uitkomst voor S L in de m-de realisatie. Dit heet Monte-Carlo simulatie. Maak een efficiënt programma dat de benadering V M van de optieprijs V berekent voor willekeurige M. Pas het vervolgens toe met M = 1 3, 1 4, 1 5 om de dollar-euro put-optie te prijzen. Let op We willen hier M verschillende paden genereren van de dollar-euro koers. Dit betekent dus ook M verschillende paden van de Brownse beweging. Let daarom goed op waar je randn( state,1) zet, zodat je niet M keer dezelfde Brownse beweging genereert. Wel wil je dat wanneer tweemaal de benaderende optieprijs V M wordt berekend voor dezelfde waarde van M, je dezelfde uitkomst bekomt. Denk dus goed na waar je randn( state,1) gaat plaatsen! 6 Sterke convergentie van de EM methode Van SDV (7) is de exacte oplossing gekend, nl. ( S(t) = S exp (r 1 ) 2 σ2 )t + σw (t). (1) Benader nu met Monte-Carlo simulatie de optieprijs aan de hand van de exacte oplossing (1) en vergelijk met de reeds berekende benaderingen van de optieprijs. Geef vervolgens de exacte oplossing (1) van de dollar-euro koers op [, T ] samen met de benaderde EM oplossing in één figuur en bekijk het verschil. Wat gebeurt er als je de tijdstap bij de benaderende oplossing steeds kleiner neemt? Het voorgaande resultaat lijkt te wijzen op convergentie. Herinner dat S(τ n ) en S n stochastische variabelen zijn. Om over convergentie te kunnen spreken, is het belangrijk hoe het verschil wordt gemeten. Een methode heeft sterke orde van convergentie gelijk aan p als er een constante C bestaat zodat E S j S(τ j ) C p, (11) waarbij τ j = j [, T ] met j = 1, 2, 3,... en voldoende klein. Als f en g voldoen aan bepaalde voorwaarden, kan aangetoond worden dat EM sterke orde van convergentie p = 1 2 heeft. In onze numerieke voorbeelden zullen we ons richten op de fout in het eindpunt t = T, zodus laten we e strong := E S L S(T ) (12) de EM fout in het eindpunt aanduiden in de sterke zin. Als (11) geldt met p = 1 2 in [, T ], dan geldt dit zeker op het eindpunt. We hebben dus e strong C 1 2 op elk vast punt (13)

6 7 DE MILSTEIN METHODE 6 voor voldoende kleine. Maak een efficiënt programma dat de fout e strong berekent voor de dollar-eurokoers S(t). Neem voor de benadering van de verwachtingswaarde het gemiddelde over 1 gesimuleerde waardes S L. Gebruik t = 2 9 voor de gediscretiseerde Brownse beweging en pas EM toe met vijf verschillende stapgroottes: = 2 m 1 t met 1 m 5. Maak een loglog-grafiek waar de stapgrootte op de x-as staat en de bijhorende fout e strong op de y-as. Als de bovengrens (13) geldt met een benaderende gelijkheid, dan geldt log e strong log C + 1 log. (14) 2 Dit representeert een rechte met richtingscoëfficiënt 1 2. Fit nu een veelterm van graad 1 (in de kleinste kwadraten zin) door de 5 benaderingen van de fout e strong die je hebt berekend. (Hiervoor bestaat een commando in MATLAB. Welk?) Wat is de richtingscoëfficiënt die je bekomt? Komt deze overeen met wat we verwachten? 7 De Milstein methode We zagen dat de EM methode sterke orde van convergentie 1 2 heeft. Het is mogelijk deze sterke orde te verhogen door een correctie aan het stochastisch increment toe te voegen, S j =S j 1 + f (S j 1 ) + g(s j 1 )(W (τ j ) W (τ j 1 )) g(s j 1)g (S j 1 )((W (τ j ) W (τ j 1 )) 2 ), j = 1, 2,..., L. Dit heet de Milstein methode. Onderzoek met numerieke experimenten de sterke orde van convergentie van de Milstein methode. Welke orde bekom je? 8 Veralgemening model We zagen reeds dat (7) een bekend model is voor het verloop van wisselkoersen. Dit model kan veralgemeend worden tot ds(t) = r(t)s(t)dt + σ(t)s(t)dw (t), S() = S, (15) waarbij de rente r(t) en de volatiliteit σ(t) nu afhankelijk zijn van de tijd t T. Van deze SDV (15) is de exacte oplossing ook gekend, nl. ( t S(t) = S exp (r(s) 1 t ) 2 σ2 (s))ds + σ(s)dw (s). (16) Bereken voor S =.68, r(t) =.1e 2t +.6 en σ(t) = σ =.2 het koersverloop en de optieprijs en de sterke orde van convergentie voor de Euler-Maruyama en de Milstein methode.

7 8 VERALGEMENING MODEL 7 Geef steeds de figuren of resultaten die je bekomt in je verslag weer. Bekijk ook eens de rente r(t). Is dit een logisch verloop of vind je van niet? Opmerking Om de eerlijke prijs van de Europese put-optie te bepalen, gebruiken we nu volgende formule: V = exp( T r(t)dt) E[max(K S(T ), )]. (17)

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij waarde 4 2 2 4 6 8 10 t 2 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Derde bachelor informatica Oefeningen 0 mei 0. Gegeven is het beginwaardeprobleem y y 0, 04y + 0000y y y (0) = y = 0, 04y 0000y y 0 7 y y, y (0) = 0 0 7 y y (0) 0 Los

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Werkbladen vergelijking van een rechte

Werkbladen vergelijking van een rechte In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet. ? GEOGEBRA 4 R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be Roger Van Nieuwenhuyze GeoGebra 4 Pagina 1 1. Schermen

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

SOFTWARE RELIABILITY

SOFTWARE RELIABILITY SOFTWARE RELIABILITY 1. Inleiding Het software-bedrijf MathWorks ontwikkelt wiskundige software voor bedrijven en overheidsinstellingen. Op dit moment is de software voor het statistische pakket StatWorks

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 T.A. Horsmeier Hoeken en kromming In genormeerde ruimten zonder inprodukt Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 Scriptiebegeleider: Dr. O.W. van Gaans Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 (versie 27 juni 2008) Inleiding In deze module zullen we het gebruik van het sommatieteken en de faculteitsoperatie herhalen en bespreken adhv voorbeeldoefeningen

Nadere informatie

!"#$%&'()*%+3 De ACS staat standaard te luisteren op poort 5096. Dit is configureerbaar door de.exe op te starten met een commandline parameter:

!#$%&'()*%+3 De ACS staat standaard te luisteren op poort 5096. Dit is configureerbaar door de.exe op te starten met een commandline parameter: HiQ AssetCalc Server (ACS) Documentatie bij schatting, versie 16 juli!"#$%&'()*%+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -!.+/'+0*0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Nadere informatie

Handleiding voor de DWO-auteursomgeving voor het maken van eigen opdrachten

Handleiding voor de DWO-auteursomgeving voor het maken van eigen opdrachten Handleiding voor de DWO-auteursomgeving voor het maken van eigen opdrachten 1 Inhoud Inleiding 3 Voorbereiding 3 Een bestaande activiteit aanpassen 4 Een volledig nieuwe activiteit ontwerpen 5 Berekeningen,

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 15 juni 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 4 5 Deterministische aanpak 4 5.1 Populariteit van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A pilot havo 2011 - II

Eindexamen wiskunde A pilot havo 2011 - II Eindexamen wiskunde A pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Woningvoorraad maximumscore 3 b = 3 6 3 a = = 0, 30 0 Opmerkingen Als voor het verschil in jaren 3 9 genomen is, hiervoor geen scorepunten in mindering

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Durft u het risico aan?

Durft u het risico aan? Durft u het risico aan? Hoe het uitkeringspercentage van de vernieuwde Nederlandse Lotto te schatten? Ton Dieker en Henk Tijms De Lotto is in Nederland een grote speler op de kansspelmarkt. Met onderdelen

Nadere informatie

Een rappere Newton-Raphson

Een rappere Newton-Raphson Een rappere Newton-Raphson Edward Omey EHSAL (Stormstraat, 000 Brussel) [edward.omey@ehsal.be]. Inleiding Bij vele kwantitatieve problemen is het nodig om nulpunten te bepalen van functies. Soms kunnen

Nadere informatie

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren.

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. 1 Meten en verwerken 1.1 Meten Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. Grootheden/eenheden Een

Nadere informatie

BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN

BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN MSc. H.W.M. van der Ham Dr. E.A.B. Koenders Prof. Dr. K. van Breugel DIANA Ontwikkelings Verening Technische lezingen 31 oktober 26 Presenting

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde

Nadere informatie

Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen:

Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen: Eerste stappen in C. Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen: /* Alles wat op meerdere lijnen staat zoals hier is commentaar. */ // Dit is commentaar op 1 lijn. Geldig tot einde

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN TENTAMEN FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN Vakcode: 435084 Docent: dr. J.N.M. Commandeur Datum: 25 juni 2010 Tijd: 12-14 uur Zaal: Q.105 Zet op elk vel (incl. millimeterpapier) je naam en studentnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Illustratie 2

Hoofdstuk 1. Illustratie 2 Hoofdstuk 1 Numerical Methods College 2 A. Floating-point representatie (Hoofdstuk 1) B. Matlab A.A.N. Ridder Twee belangrijke onderwerpen die moeten leiden tot een beter begrip van de numerieke problematiek:

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A:

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A: Meting zonnepaneel Om de beste overbrengingsverhouding te berekenen, moet de diodefactor van het zonnepaneel gekend zijn. Deze wordt bepaald door het zonnepaneel te schakelen aan een weerstand. Een multimeter

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie