Verwachtingswaarde en spreiding

Transcriptie

1 Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een aantal voorbeelden hebben we gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld wel in het aantal zeere uitomsten. Zo willen we bij een steeproef weten, hoe veel stuen defect zijn, maar niet of nu het eerste of laatste stu defect zijn. Vaa zijn de uitomsten waarin we geïneteresseerd zijn veel eenvoudiger dan de uitomstenruimte zelf, bijvoorbeeld ijen we naar het aantal van defecte stuen in plaats van alle combinaties van m testresultaten, waarvan negatief zijn. We unnen dus zeggen, dat we verschillende uitomsten in een cluster samenvatten, die een zeer eigenschap gemeen hebben. Zo n eigenschap laat zich door een functie X : Ω R, ω X(ω) beschrijven, die aan el element ω in de uitomstenruimte een waarde X(ω) toevoegt. Zo n functie X noemen we een random variable, stochastische variable, ansvariable of ort een stochast. In het voorbeeld van de waliteitsproef is de stochast dus de functie die aan een rij van testresultaten het aantal negatieve (of positieve) resultaten toevoegt. Een ander voorbeeld is het dobbelen met twee dobbelstenen: Als we alleen maar in de som van de geworpen getallen geïneteresseerd zijn, nemen we als stochast de functie X(ω 1, ω 2 ) := ω 1 + ω 2. Het belangrije aan de stochasten is, dat we maelij een ansverdeling hiervoor unnen definiëren: De ans P (X = x) dat de stochast de waarde x aanneemt definiëren we door P (X = x) := P (ω) X(ω)=x dus we tellen gewoon de ansen voor alle punten uit Ω op, waarop de stochast de waarde x oplevert. Onbewust hebben al eerder stochasten op deze manier gebruit, bijvoorbeeld voor het uitreenen van de ans dat we met twee dobbelstenen een som van 5 werpen. We unnen oo het begrip van onafhanelijheid op stochasten overdragen. Voor twee stochasten X, Y zij A x := {ω Ω X(ω) = x} en B y := {ω Ω Y (ω) = y}. We noemen de uitomsten A x en B y onafhanelij als P (A x B y ) = P (A x ) P (B y ). Maar in de taal van stochasten heet dit dat P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) en we noemen twee stochasten X, Y onafhanelij als dit voor alle paren (x, y) geldt. 112

2 De Poisson-verdeling Een belangrij speciaal geval van stochasten zijn de experimenten waarbij we de ans willen weten, dat bij m pogingen eer een bepaalde uitomst plaats vindt. We hebben gezien dat we dit met de binomiale verdeling unnen beschrijven: Als de ans voor een gunstige uitomst p is, dan is b(m, p; ) := ( m) p (1 p) m de ans op gunstige uitomsten bij m pogingen. We unnen dit nu dus als een stochast X beschrijven, die het aantal gunstige uitomsten telt, dan hebben we P (X = ) = b(m, p; ). Voor heel zeldzame gebeurtenissen zullen we verwachten dat er meer pogingen nodig zijn tot dat een gunstige uitomst optreed. Als de ans p maar nog half zo groot is, zullen bijvoorbeeld twee eer zo vaa proberen. Om voor gebeurtenissen waar p tegen loopt nog een gunstige uitomst te unnen verwachten, moeten we dus m zo laten groeien dat m p = λ constant blijft. De constante λ geeft aan hoeveel gunstige uitomsten we bij m pogingen eigenlij verwachten. De vraag is nu wat er met de binomiale verdeling b(m, p; ) gebeurt als we de limiet p, m beijen met p m = λ. We hebben ( ) m p (1 p) m = = λ! (1 λ m )m ( m m m 1 omdat m +1 m! λ!(m )! m (1 λ m )m m... m + 1 m )(1 λ m ) λ! e λ, m 1 en (1 λ m ) 1 voor m. Voor zeldzame gebeurtenissen gaat de binomiale verdeling dus tegen de Poisson-verdeling P (X = ) = po λ () := λ! e λ. De afhanelijheid van de Poisson-verdeling van de parameter λ unnen we in het Figuur III.2 zien, waar de Poisson-verdelingen voor de parameters λ =.5, 1, 2 als continue functies van geteend zijn. De ansen worden alleen maar op de punten N afgelezen. λ Omdat lim! = 1 is, heeft de Poisson-verdeling in de waarde e λ en we zien dat voor leinere waarden van λ de grafie bij een hogere waarde voor = begint maar dan sneller naar toe gaat. Dit lopt oo met onze intuïtie, want als de ans voor een zeldzaam gebeurtenis minder groot is, verwachten we met een hogere waarschijnlijheid dat het helemaal niet gebeurt. In het plaatje hoort dus de grafie die bij e.5.61 begint bij de parameter λ =.5, de grafie die bij e 1.37 begint hoort bij de parameter λ = 1, en de grafie die bij e 2.14 begint hoort bij de parameter λ = 2. Het maximum van de continue Poisson-verdeling laat zich alleen maar door een ingewielde functie (de Ψ-functie) beschrijven, voor λ = 1 ligt het ongeveer bij.46 en voor λ = 2 bij Voor leine waarden van λ is de grafie van de Poisson-verdeling dalend, een maximum bestaat alleen maar voor waarden λ

3 Figuur III.2: Poisson-verdelingen voor parameters λ =.5, 1, 2 De maximale waarde van de Poisson-verdeling voor N laat zich wel bereenen. We hebben po λ(+1) po () = λ+1 (+1)!! = λ λ +1. Dit toont aan dat de waarden van po λ voor λ groeien en dan weer dalen. De maximale waarde is bereit voor het grootste geheel getal λ. Als λ zelf een geheel getal is, zijn de waarden voor = λ 1 en = λ hetzelfde. De Poisson-verdeling is altijd van belang als het erom gaat zeldzame gebeurtenissen te beschrijven. Voorbeelden hiervoor zijn: Voor verzeeringsmaatschappijen gevallen met een heel hoge schade. Het uitzenden van α-deeltjes door een radioactief preparaat. Het aantal drufouten op een bladzijde. We ijen naar een voorbeeld: We dobbelen met vier dobbelstenen, dan is de ans om vier 6en te hebben gelij aan 1. Als we nu 1 eer dobbelen is 6 4 de parameter λ = m p = De ans om bij de 1 werpen geen enele eer vier zessen te hebben is dus e λ.46, de ans dat het een eer gebeurd is λe λ.36, de ans op twee eer zo n werp is λ2 2 e λ.14. De ans op drie of meer eer vier zessen is ongeveer 4.3%. Mer op dat we altijd het aantal m van grepen ennen en de parameter λ unnen uitreenen als we de ans p van gunstige uitomst ennen. Vaa omen we in de pratij het omgedraaide probleem tegen: We ennen het aantal van gunstige uitomsten bij een aantal m van pogingen. Hieruit willen we nu de ans p op een gunstige uitomst schatten. Hiervoor iezen we de parameter 114

4 λ zo dat de bijhorende Poisson-verdeling een maximale waarde in heeft. Dit noemen we een maximum lielihood schatting. 3.2 Continue ansverdelingen We hebben tot nu toe alleen maar naar eindige uitomstenruimten Ω geeen, d.w.z. naar uitomstenruimten met Ω = n <. Met analoge technieen laten zich oo ansverdelingen op oneindige maar aftelbare ruimten Ω definiëren, bijvoorbeeld voor Ω = N. De normering van de ansverdeling is dan een uitspraa over een oneindige rees, namelij P () = 1. Kansverdelingen voor eindige of aftelbare uitomstenruimten noemen we discrete ansverdelingen. Maar vaa hebben experimenten helemaal geen discrete uitomsten, bijvoorbeeld unnen we bij een test van het invloed van doping-middelen op de prestatie van ogelstoters willeeurige waarden tussen 1m en 25m verwachten (het feit dat de afstand alleen maar op centimeters nauweurig wordt aangegeven is al een vervalsing van de gemeten waarden). Om dit nader te belichten beijen we als voorbeeld een beend ansspel, het Rad van avontuur. Zo n rad is in een aantal (even grote) segmenten ingedeeld en op sommige van de segmenten maa je een winst als het rad op dit segment stopt. Als we er n segmenten hebben noemen we deze 1,..., n en voor ele met 1 n is de ans dat het rad in de -de segment stopt gelij aan 1 n (we gaan van een eerlij rad uit). Maar we unnen de uitslag dat het rad in het -de segment stopt oo anders beschrijven, namelij met behulp van de hoe ϕ waarop het rad stopt. We hebben namelij de uitomst als voor de hoe ϕ geldt dat ( 1) 2π n ϕ 2π n. Als we nu na de ans ijen dat het rad van avontuur tussen de hoeen ϕ 1 en ϕ 2 stopt dan is deze ans ϕ 2 ϕ 1 2π omdat dit het aandeel van de rand is die tussen de hoeen ligt. We gaan nu van het rad van avontuur naar het dartspel over. Oo hier is de ans om een pijltje tussen de hoeen ϕ 1 en ϕ 2 te plaatsen gelij aan ϕ 2 ϕ 1 2π, maar dit geldt nu alleen maar omdat de dart schijf een cirel is. Neem nu aan de we een schijf hebben die niet rond is maar waarvan de straal afhangt van de hoe, dus we hebben een functie r(ϕ). De totale oppervlate van de schijf is dan de integraal O = 1 2π 2 r(ϕ) 2 dϕ en de oppervlate van het segment tussen ϕ 1 en ϕ 2 is S = 1 ϕ2 2 ϕ 1 r(ϕ) 2 dϕ. De ans dat we (bij een toevallige verdeling over de schijf) in het segment tussen ϕ 1 en ϕ 2 terecht omen is het aandeel van het segment aan de totale oppervlate, dus de integraal P (ϕ 1, ϕ 2 ) = S O = 1 ϕ2 2O ϕ 1 r(ϕ) 2 dϕ. Met het voorbeeld van het dartspel hebben we het algemeen principe van continue ansverdelingen ontdet. We noemen een functie f(x) : R R een dichtheidsfunctie als geldt: (i) f(x) voor alle x R, (ii) f(x)dx = 1. Een dichtheidsfunctie f(x) definieert een continue ansverdeling door P (a x b) = 115 b a f(t)dt.

5 Mer op dat we voor discrete ansverdelingen nog de additiviteit voor verenigingen van deelverzamelingen met lege doorsnede moesten eisen, dus P (A B) = P (A) + P (B) als A B =. Dit is voor continue ansverdelingen een gevolg uit de definitie, want twee intervallen [a, b] en [a, b ] met a a hebben lege doorsnede dan en slechts dan als b a. De primitieve F (x) := x eigenschappen: (i) lim F (x) =, lim F (x) = 1. x x (ii) F (x) is stijgend, dus x 2 x 1 F (x 2 ) F (x 1 ). (iii) F (a) = P (x a) en F (b) F (a) = P (a x b). f(t)dt heet een verdelingsfunctie en heeft de We gaan nu een aantal belangrije voorbeelden van continue ansverdelingen beijen: Voorbeeld 1: De uniforme verdeling (homogene verdeling, rechthoeverdeling). Dit is het continue analoog van de discrete gelijverdeling. Op een bepaald interval [a, b] (of een vereniging van intervallen) heeft ele punt dezelfde ans en buiten het interval is de ans. De normering f(x)dx = 1 geeft dan de waarde voor f(x) op het interval [a, b]. De dichtheidsfunctie f(x) en verdelingsfunctie F (x) van de uniforme verdeling zijn als x < a als x < a 1 x a f(x) = b a als a x b en F (x) = b a als a x b als x > b 1 als x > b x Figuur III.3: Dichtheidsfunctie en verdelingsfunctie voor de uniforme verdeling met a = 1, b = 3 116

6 Voorbeeld 2: De exponentiële verdeling. Bij het bepalen van de levensduur van dingen als radioactieve preparaten of borden in de ast gaan we ervan uit dat het aantal verdwijnende objecten evenredig is met het aantal objecten die er nog zijn. In het hoofdstu over calculus hebben we gezien dat dit soort processen voldoet aan een differentiaalvergelijing f (x) = λf(x) die de oplossing e λx heeft. Voor een dichtheidsfunctie die de levensduur van dit soort objecten beschrijft hebben we dus { f(x) = en de verdelingsfunctie is { F (x) = als x < c λe λ(x c) als x c als x < c 1 e λ(x c) als x c Mer op dat de constante factor λ bij de exponentiële functie weer door de normering bepaald is, want c e λ(x c) dx = 1 λ e λ(x c) = 1 c λ x Figuur III.4: Dichtheidsfunctie en verdelingsfunctie voor de exponentiële verdeling met λ =.5 Voorbeeld 3: De normaalverdeling (Gauss verdeling). De belangrijste continue verdeling is de normaalverdeling die centraal in de statistie staat. De dichtheidsfunctie heeft de vorm van een lo en is gegeven door f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2. 2πσ 117

7 In dit geval unnen we de verdelingsfunctie alleen maar door de integraal van f(x) beschrijven. De normaalverdeling met µ = en σ = 1 noemen we standaardnormaalverdeling x Figuur III.5: Dichtheidsfunctie en verdelingsfunctie voor de standaardnormaalverdeling 3.3 Verwachtingswaarde Als we in het casino roulette gaan spelen zijn we er niet in geïnteresseerd of we in het eerste of laatste spel winnen of verliezen en oo niet hoe vaa we winnen of verliezen. Eigenlij willen we alleen maar weten of we unnen verwachten dat we aan het eind van de avond met een winst na huis unnen gaan. Als we N eer spelen en bij ele eer 1 e op rood zetten, dan is bij el speel de ans dat we 1 e winnen gelij aan 18 37, want er zijn 18 rode en 18 zwarte getallen en de groene. De ans dat we de 1 e verliezen is dus Als we dus heel vaa spelen unnen we verwachten dat we 18 N 37 eer winnen en 19 N 37 eer verliezen. 1 Dit beteend dat we een verlies van N 37 1 e unnen verwachten. Uit het perspectief van het casino is dit natuurlij heel gewenst. Omdat alle winsten alleen maar op de getallen 1 t/m 36 zijn gebaseerd (dus als je op de 3 getallen 4, 5, 6 zet maa je een winst van 12 eer je inzet) heeft de groene het effect dat het casino gemiddeld een zevenendertigste van alle inzetten wint. In het voorbeeld van het roulette spel hebben we een stochast gebruit die het bedrag van de winst of verlies aangeeft. Waar we in geïnteresseerd zijn is de 118

8 gemiddelde winst die we per spel zullen maen. Dit is het gemiddelde van de mogelije waarden van de stochast, waarbij ele waarde met zijn ans gewicht wordt. Wat we zo rijgen is de winst die we per spel gemiddeld verwachten, en daarom noemen we dit oo de verwachtingswaarde. Algemeen definiëren we voor een stochast X de verwachtingswaarde E(X) (de E staat voor het Engelse expectation) door E(X) := x P (X = x) = x ( P (ω)) = X(ω)P (ω). x X x X X(ω)=x ω Ω Voor continue ansverdelingen is de verwachtingswaarde met behulp van de integraal analoog gedefinieerd door E(X) := x f(x). We unnen de verwachtingswaarde aanschouwelij zien als het evenwichtspunt van een bal (oneindig lang, zonder gewicht), waar we in het punt x een gewicht van massa P (x) aan hangen. Het evenwichtspunt is dan juist het punt E(X). In het volgende plaatje zijn de gewichten gerepresenteerd door de lengten van de verticale ribben. Een aantal belangrije elementaire eigenschappen van de verwachtingswaarde unnen we meteen uit de definitie aflezen. Als X en Y stochasten zijn, dan geldt: (i) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), dus de som van de verwachtingswaarden is de verwachtingswaarde van de som. (ii) E(αX) = αe(x). (iii) X(ω) Y (ω) voor alle ω Ω E(X) E(Y ). Als we in (i) voor Y de constante stochast Y (ω) = c nemen, volgt hieruit dat een verschuiving van de stochast om c oo de verwachtingswaarde om c verschuift (omdat de constante stochast verwachtingswaarde c heeft). We unnen dus een stochast altijd zo verschuiven dat hij verwachtingswaarde heeft, want voor X := X E(X) geldt E(X ) = E(X E(X)) = E(X) E(X) =. We gaan nu de verwachtingswaarden van de belangrijste ansverdelingen bereenen. 119

9 Binomiale verdeling: We hebben P (X = ) = ( m ) p (1 p) m, dus = m p E(X) = m =1 m ( ) m p (1 p) m = m m!!(m )! p (1 p) m (m 1)! ( 1)!(m )! p 1 (1 p) m = m p m 1 = m p (p + (1 p)) m 1 = m p. ( m 1 ) p (1 p) m 1 De verwachtingswaarde van de binomiale verdeling is dus m p en dit is precies het aantal van gunstige uitomsten als we m pogingen bij een ans van p voor een gunstige uitomst doen. Poisson-verdeling: We hebben P (X = ) = λ! e λ, dus E(X) = λ! e λ = λ e λ =1 λ ( 1) ( 1)! = λ e λ λ! = λ e λ e λ = λ. Oo hier vinden we het verwachtte resultaat, omdat de Poisson-verdeling de limiet van de binomiale verdeling is als p gaat en m p = λ constant is. Uniforme verdeling: We hebben P (X = x) = 1 anders, dus E(X) = b a b a x 1 b a dx = 1 2(b a) (b2 a 2 ) = 1 (a + b). 2 als a x b en De verwachtingswaarde is dus het middelpunt van het interval waarop de dichtheidsfunctie niet is. Exponentiële verdeling: We nemen aan dat we de dichtheidsfunctie zo hebben verschoven dat de beginwaarde c = is. Dan is f(x) = λe λx als x en f(x) = anders. Dit geeft E(X) = xλe λx dx = xλe λx + e λx dx = 1 λ e λx = 1 λ (mer op dat we hierbij gebruien dat lim x xe x = is). Oo hier is het resultaat voor de verwachtingswaarde plausibel, want als λ groter wordt, gaat de functie f(x) sneller naar nul en moeten we dus een leinere verwachtingswaarde rijgen. Normaalverdeling: In dit geval unnen we de verwachtingswaarde zonder enig reenwer bepalen. Als we de dichtheidsfunctie f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 zo verschuiven dat µ = is, is de functie symmetrisch en dan is E(X) =. De verwachtingswaarde voor de algemene normaalverdeling is dus µ en dit is oo geen verrassing omdat de dichtheidsfunctie zo gemaat is. 12

10 3.4 Spreiding Als we de verwachtingswaarde van een stochast ennen weten we wat we op lange termijn gemiddeld unnen verwachten. Maar vaa willen toch iets meer weten, bijvoorbeeld hoe ver de daadwerelije uitomsten van de verwachtingswaarde verwijderd zijn. Als we namelij een stochast X zo verschuiven dat de verwachtingswaarde is, dan heeft oo de stochast αx verwachtingswaarde, maar voor α > 1 zijn de enele uitomsten verder van de verwachtingswaarde verwijderd. In het model van de bal met gewichten unnen we het verschil tussen de stochasten X en αx duidelij zien. Als de gewichten dicht bij het evenwichtspunt zijn, unnen we de bal maelij om dit punt draaien. Als we nu bijvoorbeeld naar de stochast 1 X ijen, worden de afstanden van het evenwichtspunt met 1 vermenigvuldigd. Nu hebben meer racht nodig om de bal te draaien. Dit ligt eraan dat we het traagheidsmoment van de bal hebben vergroot, dit is namelij gegeven als als de som over m r 2 waarbij m de massa in een punt is die afstand r van het draaipunt heeft. Als we het traagheidsmoment naar de stochast vertalen wordt dit V ar(x) := x X(x E(X)) 2 P (X = x) en dit noemen we de variantie of spreiding van X. De variantie is dus een maat ervoor hoe dicht de waarden van een stochast bij de verwachtingswaarde liggen. Vaa wordt in plaats van de variantie de wortel uit de variantie als maat voor de afwijingen gebruit, omdat de variantie een gemiddelde wadratische afstand is en de wortel hieruit dus een soort van gemiddelde afstand. We definiëren dus σ X := V ar(x) en noemen dit de standaardafwijing van X. Belangrije eigenschappen voor de variantie van een stochast X zijn: (i) V ar(x) = dan en slechts dan als X = c constant is. (ii) V ar(αx) = α 2 V ar(x). (iii) V ar(x +c) = V ar(x), dus zo als we dit zouden verwachten is de variantie is onafhanelij van een verschuiving van de stochast. (iv) V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2, want V ar(x) := x X (x E(X))2 P (X = x) = ( x X x2 P (X = x)) 2E(X)( x X x P (X = x)) + E(X)2 = E(X 2 ) 2E(X) E(X)+E(X) 2 = E(X 2 ) E(X) 2. Dit is in veel gevallen een handige formule om de variantie van een stochast uit te reenen. Met behulp van de standaardafwijing en (iii) unnen we dus een stochast altijd zo normeren dat hij variantie 1 heeft, want V ar( X σ X ) = 1 V ar(x) = σx 2 1. Voor een algemene stochast X is dus X := X E(X) σ X een stochast met verwachtingswaarde en variantie

11 We gaan nu de varianties van dezelfde ansverdelingen bereenen waarvoor we oo de verwachtingswaarde hebben bepaald. Binomiale verdeling: Er geldt m ( ) m m E(X 2 ) = 2 p (1 p) m (m 1)! = m p ( 1)!(m )! p 1 (1 p) m m 1 ( ) m 1 = m p ( + 1) p (1 p) m 1. Verder is de som m 1 ( + 1)( m 1) p (1 p) m 1 de verwachtingswaarde van de verschoven stochast X +1 voor de parameter m 1, dus is de waarde hiervan (m 1)p + 1. We hebben dus E(X 2 ) = mp((m 1)p + 1) = mp(mp + (1 p)) en dus is V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = mp(mp + (1 p)) (mp) 2 = mp(1 p). Poisson-verdeling: Er geldt E(X 2 ) = We hebben dus 2 λ! e λ = = ( =2 = λ 2 e λ ( =1 λ ( 1)! e λ = =1 λ ( 2)! e λ ) + ( =1 λ! ) + λe λ ( λ (( 1) + 1) ( 1)! e λ =1 λ ( 1)! e λ ) λ! ) = λ2 + λ. V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. Uniforme verdeling: Er geldt E(X 2 ) = dus hebben we b a x 2 1 b a dx = 1 3(b a) (b3 a 3 ) = 1 3 (a2 + ab + b 2 ) V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 1 3 (a2 + ab + b 2 ) 1 4 (a2 + 2ab + b 2 ) = 1 12 (a b)2. Exponentiële verdeling: Er geldt E(X 2 ) = x 2 λe λx dx = x 2 λe λx en dit is 2 λ E(X) = 2 λ 2. We hebben dus + 2 xe λx dx = 2 xe λx dx V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 1 λ

12 Normaalverdeling: Dit is iets lastiger te bereenen maar de parameters in de normaalverdeling zijn zo geozen dat σ 2 de variantie aangeeft en dus σ de standaardafwijing. Het is iets moeilijer om iets over de variantie van de som van twee stochasten te zeggen dan dit bij de verwachtingswaarde het geval was. We hebben V ar(x + Y ) = E((X + Y ) 2 ) E(X + Y ) 2 = E(X 2 ) + 2E(X Y ) + E(Y 2 ) E(X) 2 2E(X) E(Y ) E(Y ) 2 = V ar(x) + V ar(y ) + 2(E(X Y ) E(X) E(Y )). We noemen E(X Y ) E(X) E(Y ) de covariantie van X en Y en noteren dit met Cov(X, Y ). Met deze notatie geldt er dus V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ). We unnen de covariantie oo beschrijven als de verwachtingswaarde van het product van (X E(X)) en (Y E(Y ), want E((X E(X))(Y E(Y )) = E(X Y E(X)Y XE(Y ) E(X)E(Y )) = E(X Y ) E(E(X)Y ) E(XE(Y ))+ E(E(X)E(Y )) = E(X Y ) E(X)E(Y ) E(Y )E(X) + E(X)E(Y ) = E(X Y ) E(X)E(Y ) = Cov(X, Y ), dus hebben we Cov(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y )). Als X en Y onafhanelije stochasten zijn dan geldt E(X Y ) = E(X) E(Y ), want E(X Y ) = (x,y) X Y x y P (X = x, Y = y) = (x,y) X Y x y P (X = x) P (Y = y) = ( x X x P (X = x))( y Y y P (Y = y)) = E(X) E(Y ). Dit toont aan: V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) als X en Y onafhanelije stochasten zijn. Mer op: De omering hiervan geldt niet. Twee stochasten unnen covariantie hebben zonder onafhanelij te zijn. We hebben gezien dat de covariantie Cov(X, Y ) in zeere zin en maat voor de afhanelijheid van X en Y is. Er laat zich aantonen dat Cov(X, Y ) σ X σ Y is, dus de covariantie is begrensd door het product van de standaardafwijingen. Met behulp van de standaardafwijingen unnen we dus de covariantie op waarden tussen 1 en 1 normeren. We noemen ρ X,Y := Cov(X, Y ) σ X σ Y de correlatiecoëfficiënt van X en Y. De waarde van de correlatiecoëfficiënt ligt tussen 1 en 1 de waarde ρ X,Y = 1 treedt alleen maar op voor Y = αx met α >, de waarde ρ X,Y = 1 alleen maar voor Y = αx met α >. Voor ρ X,Y > spreet men van positieve afhanelijheid voor ρ X,Y < van negatieve afhanelijheid. 123

13 Belangrije begrippen in deze les stochasten Poisson-verdeling continue ansverdeling dichtheidsfunctie, verdelingsfunctie verwachtingswaarde variantie, covariantie correlatiecoëfficiënt Opgaven 65. Volgens een statistie vinden in Nederland per jaar 3 op de 1. mensen een portemonnee met meer dan 1 e. Wat is de ans dat in en stad als Nijmegen (met 15. inwoners) dit gelu (a) 3, (b) 5, (c) 1, (d) hooguit 2 mensen overomt. 66. Bij een spel met een dobbelsteen win je n e als je n dobbelt en n even is en je verliest n e als n oneven is. Wat is de verwachtingswaarde van je winst/verlies. 67. Bij het saat spel rijg je 1 aarten uit een aartspel met 32 aarten (8 soorten, 4 leuren). Wat is de verwachtingswaarde voor het aantal boeren dat je rijgt? 68. In een loterij heb je 7% nieten en 3% winnende lotjes. Iemand beslist zo lang lotjes te open tot dat hij een winnende lot rijgt, maar hooguit vijf eer. Wat an hij voor een uitgave verwachten, als een lot 2 e ost? 69. Je oopt een nieuw speelautomaat voor je roeg. In het automaat draaien twee onafhanelije wielen die in tien even grote segmenten zijn opgedeeld en stoppen in een willeeurig segment. De segmenten hebben de nummers 1 t/m 1. Een speler heeft alleen maar de volgende winstmogelijheden (bij alle andere uitomsten verliest hij zijn inzet): Als beide wielen 1 tonen wint hij 5 e. Als beide wielen hetzelfde getal maar niet 1 tonen wint hij 2 e. Als precies een van de wielen 1 toont wint hij 1 e. Je wilt natuurlij winst met je automaat maen. Wat is de minimale inzet die je per spel moet vragen om een winst te unnen verwachten? 7. Twee tennissters A en B spelen vaer tegen elaar en gemiddeld wint A 6% van de sets. De speelsters ontmoeten elaar op een toernooi in een best-of-five match (dus wie het eerst drie sets wint heeft gewonnen). (i) Wat zijn de ansen dat A in 3, 4 of 5 sets wint? Hoe zit het met B? Wat is de ans dat B überhaupt wint? (ii) Bereen de verwachtingswaarde voor het aantal sets die het match duurt. (iii) Bereen apart de verwachtingswaarden voor het aantal sets in het geval dat A wint en dat B wint. (iv) Bereen de spreiding en de standaardafwijing voor het aantal sets die het match duurt: onafhanelij van wie er wint, als A wint en als B wint. 124