Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie

Transcriptie

1 Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Wisnet-hbo Verwachtingswaarde update maart 200 De verwachtingswaarde van een kansvariabele is een soort gemiddelde waarde. Deze wordt aangeduid met E(k) of E(x) naar gelang de kansvariabele discreet is (k) of continu (x). Het is vrij eenvoudig als de kans op elke uitkomst van de variabele gelijk is of als een experiment herhaalde keren gedaan wordt. Echter als er sprake is van een kansfunctie waar gegeven is bij iedere uitkomst van de kansvariabele, de kans op die uitkomst, is het logisch dat een uitkomst zwaarder meegeteld wordt als de kans op die uitkomst groter is: Ek = > k$p k= k De verwachtingswaarde van een variabele k is gelijk aan de som van alle mogelijke uitkomsten van de variabele vermenigvuldigd met de kans op deze uitkomst van de variabele.. Zak met appels Gemiddeld gewicht van een appel is 00 gram. Verwachtingswaarde van het gewicht van een zak appels van 0 stuks is 0 00 = 000 gram:.2 Zak met appels en peren Gemiddeld gewicht van een appel is 00 gram en van een peer 20 gram. De verwachtingswaarde van het gewicht van een zak met 5 appels en 8 peren = 40 gram..3 Worp met één dobbelsteen Een dobbelsteen en de verwachtingswaarde van het aantal ogen dat je gooit in één worp

2 is 3.5. Alle mogelijkheden hebben immers evenveel kans, dus alle ogen optellen en delen door. Ek = C2C3C4C5C =3.5.4 Worp met twee dobbelstenen Wat is de verwachtingswaarde van de som van het aantal ogen dat je gooit met twee dobbelstenen? Met één dobbelsteen was de verwachtingswaarde van het aantal ogen gelijk aan 3.5 Dus voor twee dobbelstenen is de verwachtingswaarde van het aantal ogen gelijk aan = Met de Kansfunctie Hiervoor moet even wat meer werk worden. Maak de kansfunctie met alle mogelijkheden en de kans daarop. Je ziet dan dat E k = > k$p k= k k Mogelijkheden 2 Pk= k 3 2 $2= 8 k$p k= k $2 C = 2 $2 C $2= 9 $2 C $2 C = 5 $2 C $2 C $2= $2 C $2 C

3 = 5 $2 C $2= 9 $2 C $= 2 5 $2= 8 2 Ek = > k$p k= k = Totaal: Koelkasten Het aantal koelkasten dat wekelijks wordt verkocht op de afdeling "witgoed" van een winkel kan worden weergegeven door de kansvariabele k. Van deze kansvariabele is de kansfunctie weergegeven in de volgende tabel. Wat is de verwachtingswaarde van het aantal koelkasten dat per week verkocht wordt? k Pk= k k$p k= k Ek = > k$p k = k.3 Ek = > k$p k= k =.3

4 . Aantal successen Bij een spel is de kans op succes gelijk aan 0.3. Wat is het verwachte aantal successen bij 50 pogingen? Antwoord: = 5. Algemeen: Als de kans op succes gelijk is aan π, dan is de verwachtingswaarde van het aantal successen bij n pogingen gelijk aan n π. 2 Variantie De variantie is een belangrijke maat voor de spreiding van de kansverdeling; een soort algemene aanduiding van de afwijkingen tot het gemiddelde van alle afzonderlijke metingen. Daarbij kan die afwijking natuurlijk positief uitvallen maar ook negatief. Als al deze afwijkingen gemiddeld zouden worden, zou een groot deel daarvan elkaar opheffen. Daarom nemen we de afwijkingen tot het gemiddelde van alle waarden die de kansvariabele kan hebben in het kwadraat en nemen daarvan het gemiddelde, met dien verstande dat bij elke waarde van de kansvariabele gekeken wordt of deze zwaar of minder zwaar meetelt en dat heeft te maken met de kans op die waarde van de variabele. In formulevorm is dat Var k => k KE k 2 P k = k Het wil zeggen dus dat je van elke mogelijke uitkomst k het verschil met de verwachtingswaarde moet nemen en dat in het kwadraat doen en elke keer vermenigvuldigen met de kans dat de uitkomst k voorkomt. Dat alles optellen levert de waarde van de Variantie van k. 2. Dobbelsteen Bij een spelletje dobbelen wordt 3 maal het aantal ogen dat je met één dobbelsteen gooit uitbetaald in Euro. Wat is de verwachtingswaarde en wat is de Variantie daarvan. Voor de verwachtingswaarde van het aantal ogen heb je berekend in paragraaf.3 dat dit 3.5 is. Dus het verwachte aantal Euro dat je bij een worp uitbetaald krijgt is dan = 0.5. E k =0.5 Voor de variantie ga je als volgt te werk als je bedenkt dat de mogelijke uitkomsten van uitbetaling kunnen zijn: 3,, 9, 2, 5, 8.: Elk van deze uitkomsten heeft als kans. Var k = 3 K0.5 2 $ C K0.5 2 $ C 9 K0.5 2 $ C 2 K0.5 2 $ C 5 K0.5 2 $ C 8 K0.5 2 $ = Standaarddeviatie en gemiddelde

5 3. Gemiddelde μ Het gemiddelde is in feite de verwachtingswaarde. Zie daarvoor bovenstaande voorbeelden. 3.2 Standaarddeviatie σ In bovenstaande voorbeelden hebben we de Variantie van een kansverdeling gedefinieerd. Het is de gemiddelde kwadratische afwijking van elke mogelijke uitkomts tot de verwachtingswaarde. We hebben deze afwijking in het kwadraat genomen omdat anders positieve en negatieve afwijkingen elkaar voor een deel kunnen opheffen. De Standaarddeviatie is nu per definitie de wortel uit deze Variantie en deze Standaarddeviatie is een maat hoe groot de afwijkingen zijn ten opzichte van het gemiddelde van een kansverdeling. Standaarddeviatie = Variantie σ = Var