KANSREKENEN EN VERDELINGEN REEKS 1

Transcriptie

1 KANSREKENEN EN VERDELINGEN REEKS 1 Moeilijkere oefeningen zijn aangegeven met een gevarendriehoek Niet elke regel met R-code zal je kunnen/moeten gebruiken Versie 18/07/ Verdelingsfunctie Het aantal auto s dat een Belgisch gezin bezit is als volgt verdeeld: Aantal auto s X Aantal gezinnen a. Maak een kansverdelingstabel. b. Geef de cumulatieve verdelingsfunctie F X (x) c. Wat is het verwachte aantal auto s voor een Belgisch gezin? d. Wat is de variantie van het aantal auto s? p.1

2 2. Verwachting en variantie van een toevalsvariabele Je beweert dat je goed driepunters kan scoren in het basketbal. Je gaat een weddenschap aan met een vriend en jullie komen overeen dat - jij 10 euro krijgt voor een driepunter die je scoort - je vriend 1 euro krijgt voor een misser Je hebt een kans van 15% om te scoren. Bereken verwachting en variantie van het bedrag dat je wint bij een worp 3. Afhankelijk of onafhankelijk? a. Bekijk de onderstaande bivariate frequentieverdeling. Y 1 2 X Waar 2 9 Niet waar Zijn variabelen X en Y afhankelijk of onafhankelijk? Bereken E(Y) en V(Y) p.2

3 b. Bekijk de onderstaande frequentieverdeling X Y Nooit Soms Altijd West-Vlaanderen Oost-Vlaanderen Antwerpen Vlaams-Brabant Limburg Zijn variabelen X en Y afhankelijk of onafhankelijk? c. Bekijk de onderstaande bivariate kansverdeling Aantal kilometer gelopen (Y) [6,8] ]8,10] ]10,12] [0,5] 0,04 0,1 0,05 Aantal doelpunten (X) ]5,10] 0,06 0,1 0,05 ]10,15] 0,06 0,02 0,1 ]15,20] 0,08 0 0,12 ]20,25] 0,07 0,12 0,03 Geef de volgende kansen: P(X 20 en Y 8) = P(X 20 en Y 10) = p.3

4 P(X > 20 en Y 8) = P(5 < X 15 en Y > 10) = P(15 < X 20 en 8 < Y 10) = 4. Kansen in een bivariate kansverdeling Y ,04 0,1 0,05 2 0,06 0,1 0,05 X 3 0,06 0,02 0,1 4 0,08 0 0,12 5 0,07 0,12 0,03 Bereken: 4 P(X = i) i=3 p.4

5 4 7 P(X = i en Y = j) i=3 j=6 4 7 P(X = i + 1 en Y = j 1) i=3 j=6 5. Dichtheidsfunctie 0 als x < 1 f(x) = x 5 als 1 x als x > 9 x als 1 < x 9 a. Ga na of bovenstaande functie een dichtheidsfunctie is b. Bereken: P(X < 2) = P(X > 4) = p.5

6 6. Rekenregels a. De verwachting van het aantal calorieën (X) dat sporters verbranden door te lopen is De verwachting van de calorieën (Y) verbrand met zwemmen is Het totaal aantal verbrande calorieen is Z = X + Y Wat is E(Z)? b. In een examen moet je 100 vragen beantwoorden, elk op 1 punt. De behaalde score is variabele X. Deze score moet echter omgerekend worden naar een score op 20 (variabele Y). Je weet dat E(X) = 62 V(X) = 49 Bereken E(Y) = V(Y) = c. In een test voor een sollicitatiegesprek kan je maximaal 200 punten verdienen door vragen juist te beantwoorden (X). Je krijgt één punt per correct antwoord. Daarnaast kijkt men naar het aantal spellingfouten (Y) dat de kandidaten maken in hun antwoorden. Voor elke spellingfout worden 5 punten afgetrokken. De totaalscore is variabele Z. Je weet dat V(X) = 44 V(Y) = 11 COV(X, 5Y) = 14 Bereken V(Z) = p.6

7 7. Normaal verdeelde variabelen (en R-code) Het bedrag dat gezinnen in een jaar uitgeven aan bioscoopbezoeken is normaal verdeeld met verwachting μ = 120 en variantie σ 2 = 324 Welk deel van de gezinnen a. geeft minder dan 90 euro uit? b. geeft meer dan 90 euro uit? c. geeft meer dan 130 euro uit? d. geeft minder dan 160 euro uit? e. geeft minder dan 100 euro uit? f. geeft meer dan 80 euro uit? g. geeft meer dan 125 euro uit? h. geeft tussen 120 en 140 euro uit? i. geeft tussen 110 en 130 euro uit? Sommige van de opgaven hierboven zijn vrij makkelijk, voor andere zal je flink moeten doordenken. Tip: maak altijd een schets van het gevraagde, van de R-code of van allebei > pnorm(0.5555) [1] > pnorm(2.2222) [1] > pnorm(80,120,18,lower.tail=false) [1] > pnorm(90,120,18) [1] > pnorm(90,120,324) [1] > pnorm(0.2778,0,1) [1] > 1-pnorm(100,120,18,lower.tail=FALSE) [1] p.7

8 > pnorm(160,120,18) [1] > 1-pnorm(160,120,18) [1] > pnorm(90,120,18,lower.tail=false) [1] Variantie van normaal verdeelde variabelen In België, Frankrijk en Nederland zijn de gewichten van volwassen mensen normaal verdeeld. Verwachting in België: μ België = 71 kg Verwachting in Frankrijk: μ Frankrijk = 70 kg Verwachting in Nederland: μ Nederland = 69 kg Verder weet je ook dat: In België is 22% van de bevolking minder zwaar dan 66 kg In Frankrijk is 17% van de bevolking zwaarder dan 75 kg In Nederland is 74% van de bevolking zwaarder dan 64 kg a. Waar is de variantie het grootst? (zonder R-code of grote berekeningen te maken. Een schets maken helpt natuurlijk wel) b. Bereken de variantie in België, Frankrijk en Nederland aan de hand van de onderstaande R-code > qnorm(0.22) [1] p.8

9 > qnorm(0.17) [1] > qnorm(0.83) [1] > pnorm( ,lower.tail=false) [1] Kansen in een binomiale verdeling a. Je legt een examen af met 5 meerkeuzevragen. Bij elke vraag zijn er 3 mogelijke antwoorden, waarvan er telkens exact één juist is. Wat is de kans om te slagen voor het examen als je enkel gokt? b. Je legt een examen af met 240 meerkeuzevragen. Bij elke vraag zijn er 12 mogelijke antwoorden, waarvan er telkens exact één juist is. Hoeveel vragen verwacht je juist te beantwoorden als je enkel gokt? Wat is de variantie van het aantal correct beantwoorde vragen? 10. Kansen in een χ 2 -verdeling Geef telkens de waarde voor de verdelingsfunctie F X (x) Maak gebruik van de R-code onderaan p.9

10 a. X ~ χ 7 2 x = 3 b. X ~ χ 4 2 x = 4 c. 2 X ~ χ 12 x = 14 Y volgt een chi-kwadraatverdeling met 12 vrijheidsgraden. Geef telkens de bijhorende waarde van Y. Maak gebruik van de R-code onderaan d. F Y (y) = 0.40 e. F Y (y) = 0.60 De variabele Y volgt een chi-kwadraatverdeling met 7 vrijheidsgraden. Bereken de volgende kans met behulp van de R-code onderaan. f. P(4,67133 < Y < 13) > pchisq(7,3) [1] p.10

11 > qchisq(0.7,3) [1] > qchisq(0.3,7) [1] > pchisq(3,7) [1] > qchisq( ,7) [1] 13 > 1-pchisq(7,3) [1] > 1-pchisq(4,4) [1] > pchisq(12,14) [1] > 1-pchisq(14,12) [1] > 1-qchisq(.40,12) [1] > 1-pchisq( ,12) [1] Kansen in een t-verdeling Geef telkens de waarde voor de verdelingsfunctie F X (x) Maak gebruik van de R-code onderaan a. T ~ t 9 t = 1.09 p.11

12 b. T ~ t 41 t = 0.14 c. T ~ t 2 t = 1.98 Variabele Y volgt een t-verdeling met 19 vrijheidsgraden. Geef telkens de bijhorende waarde van Y. Maak gebruik van de R-code onderaan d. F Y (y) = 0.11 e. F Y (y) = 0.89 De variabele Y volgt een t-verdeling met 23 vrijheidsgraden. Bereken de volgende kans met behulp van de R-code onderaan. f. P( 1 < Y < 2) = > pt(0.14,41,lower.tail=false) [1] > qt(0.14,41) [1] p.12

13 > 1-pt(1,23) [1] > 2*pt(1,23) [1] > pt(2,23,lower.tail=false) [1] > 1-qt(0.11,19) [1] > 1-pt( ,19) [1] 0.11 > pt(2,1.98) [1] > pt(1.98,2) [1] > pt(1.09,9) [1] p.13

14 Oplossingen 1a/1b. Aantal auto s Proportie van de gezinnen 0, , , , , Cumulatieve proportie 0, , , , c. E(X) = 1, d. V(X) = 10, E(X) = 0.65 euro V(X) = 10, a. Afhankelijke variabelen E(Y) = V(Y) = b. Afhankelijke variabelen p.14

15 3c. P(X 20 en Y 8) = 0.24 P(X 20 en Y 10) = 0.46 P(X > 20 en Y 8) = 0.19 P(5 < X 15 en Y > 10) = 0.15 P(15 < X 20 en 8 < Y 10) = i=3 P(X = i) = i=3 j=6 P(X = i en Y = j) = i=3 j=6 P(X = i + 1 en Y = j 1) = a. Ja, het is een dichtheidsfunctie 5b. P(X < 2) = P(X > 4) = p.15

16 6a. E(Z) = b. E(Y) = 12.4 V(Y) = c. V(Z) = a b c d e p.16

17 7f g h i a. Variantie is het grootst in Nederland 8b. In België: 41,9264 In Frankrijk: 27,4595 In Nederland: (merk op: dit stemt overeen met het antwoord bij vraag 8a) 9a. 51/243 = p.17

18 9b. E(X) = 20 V(X) = 18,333 10a b c d e f a p.18

19 11b c d e f p.19