Volatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP

Transcriptie

1 Volatility estimation and visualization for stoc/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Peter Bosschaart Jeroen Spoor Berend Steenhuisen 9 juni 2011

2 Inhoudsopgave 1 Introductie 3 2 Discretisatie van het model 5 3 Particle filters en het schatten van de volatiliteit Particle filtering Het schatten van de volatiliteit Verschillende importance functions Optimal importance function Suboptimal importance function Verschillende resamplemethoden Multinomial Resampling Residual Resampling Stratified Resampling Systematic Resampling Model met onbeende parameters Het model met onbeende parameters opstellen Toepassingen op de beurs Algoritmen Martsimulatie Volatiliteit schatten met gesimuleerde martdata Volatiliteit schatten met echte martdata Resultaten Resultaten voor het model met beende parameters Simuleren van de mart Resultaten verschillende importance functions Resultaten verschillende resamplemethoden Resultaten voor verschillende waarden van N thr Gevoeligheidsanalyse parameters Visualisatie Resultaten voor het model met onbeende parameters Resultaten voor gegenereerde marten Resultaten voor een echte mart Resultaten vergeleen met ander onderzoe Conclusies en aanbevelingen Samenvatting Conclusies Aanbevelingen Appendices 57 A Matlabcode A.1 martsimulatie en volatiliteit schatten met beende parameters A.2 martsimulatie en volatiliteit schatten met onbeende parameters A.3 echte martdata en volatiliteit schatten B Resultaten

3 B.1 De non-centraal verdeelde optimal importance function B.2 De normaal verdeelde optimal importance function B.3 De suboptimal importance function B.4 Verschillende Resamplemethoden B.5 Verschillende waarden van N thr B.6 Meerdere gegenereerde marten

4 Hoofdstu 1 Introductie Iedere dag wordt er aan miljarden euro s verhandeld op de aandelenmart. Aandelenhandelaars ijen naar beeldschermen met vele getallen er op die constant veranderen van waarde en open en veropen op basis hiervan aandelen en opties. De aandeelprijs is uiteraard een van deze getallen, maar oo de volatiliteit van het aandeel moet op het scherm omen te staan. De volatiliteit is een belangrije waarde voor aandeelhouders bij het vaststellen van de waarde van een optie, maar deze is niet direct observeerbaar. Wij zullen ons in dit onderzoe dan oo richten op het schatten van deze volatiliteit en het zichtbaar maen van deze voor de aandelenhandelaars. Allereerst zullen we ingaan op wat volatiliteit is en wat voor model wij als basis hebben gebruit om tot het onze te omen. Vervolgens zullen we ons eigen model introduceren en zullen we een manier behandelen waarmee we aan de hand van ons model voorspellingen unnen doen over de waarden van de volatiliteit. Volatiliteit is de mate van beweeglijheid van de oers van een aandeel. Is de volatiliteit hoog, dan is het aandeel zeer beweeglij en heeft het een hoog risico, is de volatiliteit laag, dan is het aandeel minder beweeglij en heeft het een lager risico. De volatiliteit is een waarde die geschat wordt aan de hand van observaties van de aandeelprijs in het verleden en voorgaande schattingen van de volatiliteit. Om de waarde van een optie vast te stellen hebben aandeelhouders op ieder tijdstip de waarde van de volatiliteit van het onderliggende aandeel nodig, de volatiliteit is echter niet te observeren en zal dus op ieder tijdstip geschat moeten worden. In 1973 introduceerden Blac en Scholes [2] hun model, waarin de aandeelprijs gemodelleerd wordt met behulp van Brownse bewegingen. In 1993 publiceert Heston [7] een uitbreiding op dit model; het Heston model. Heston veronderstelt in dit model de volatiliteit van het aandeel niet meer constant, zoals Blac en Scholes dit deden, en beschrijft de beweeglijheid van de volatiliteit oo met behulp van een Brownse beweging. Het Heston model zullen wij gebruien als basis voor ons model: ds t = µs t dt + v t S t db t, (1.1) dv t = κ(θ v t )dt + ξ v t dz t. (1.2) Vergelijing (1.1) geeft de verandering van de aandeelprijs weer, vergelijing (1.2) de verandering in de volatiliteit. De symbolen in de vergelijingen staan voor het volgende: ˆ S t is de prijs van het aandeel op tijdstip t ˆ v t is de volatiliteit van het aandeel op tijdstip t ˆ µ is de rate of return van het aandeel en is constant ˆ θ is de lange termijnsvariantie van het aandeel en is constant ˆ κ is de mate waarmee v t loaal convergeert naar θ en is constant ˆ ξ is de volatiliteit van de volatiliteit; de variantie van v t en constant ˆ B t en Z t zijn Brownse bewegingen met correlatie ρ, met ρ constant 3

5 In dit model is de aandeelprijs observeerbaar, maar de volatiliteit niet. We zullen de volatiliteit dus op ieder tijdstip moeten schatten. Dit an met behulp van particle filtering. Dit is een discrete methode van stochastisch filteren voor niet-lineaire processen, waarmee op basis van waarden uit het verleden een schatting gemaat an worden van de waarde op het huidige tijdstip. De output van dit filter is waar we in ons onderzoe naar op zoe zijn. Het model waar wij mee zullen weren is een aangepaste vorm van het model van Heston, wele we verrijgen door te weren met de natuurlije logaritme van de aandeelprijs, de logprijs van het aandeel, in plaats van met de aandeelprijs zelf (y t = ln(s t )). De substitutie an uitgevoerd worden met stochastische calculus (Itô), waar we in dit verslag niet op in zullen gaan. Het model is na substitutie als volgt gegeven: dy t = (µ 1 2 v t)dt + v t db t, (1.3) dv t = κ(θ v t )dt + ξ v t dz t. (1.4) De symbolen in deze vergelijingen zijn zoals ze bovenaan deze pagina gedefiniëerd zijn. Vergelijing (1.3) beschrijft de verandering in de logprijs van het aandeel en volgt uit vergelijing (1.1) na substitutie van y t = ln(s t ), vergelijing (1.4) beschrijft de verandering in de volatiliteit. Oo nu is slechts de logprijs observeerbaar en zullen we de volatiliteit moeten schatten. Het particle filter wat we gaan gebruien wert met discrete data, dus is het nodig om ons model te discretiseren, dit doen we in hoofdstu 2. In ons onderzoe zullen we eerst zelf het verloop van de volatiliteit genereren en aan de hand van die volatiliteit een bijbehorende aandelenmart simuleren, deze prijzen zullen we gebruien als input voor ons model. Dit doen we in hoofdstu 2. Hierbij veronderstellen we de parameters µ, θ, κ, ξ en ρ beend. Vervolgens gaan we met ons model en een particle filter de volatiliteit die we gegenereerd hebben schatten en ijen we hoe goed dit gebeurt en of er verbeteringen mogelij zijn. Dit doen we in hoofdstu 3, waar we tevens zullen uitleggen hoe particle filters weren. Hierna zullen we ons model aanpassen, opdat er gewert an worden met onbeende parameters µ, θ, κ, ξ en ρ. Dit doen we omdat van een echt aandeel deze parameters niet beend zijn en er geen analytische formule is om deze mee te bereenen. We zullen een manier zoeen om naast de volatiliteit oo deze parameters te schatten en tot slot zullen we met dit nieuwe model de volatiliteit van echte aandelen gaan schatten. Dit nieuwe model zullen in hoofdstu 4 afleiden. Na deze hoofdstuen is alle theorie die we gebruien bij ons onderzoe behandeld en zullen we in hoofdstu 5 uitwijden over de algoritmen die we gebruien bij het simuleren van onze modellen. De resultaten van deze simulaties behandelen we vervolgens in hoofdstu 6. Aan de hand van deze resultaten zullen we in hoofdstu 7 conclusies treen en tot slot aanbevelingen voor vervolgonderzoe doen. In de appendices staan de MATLAB-codes die we hebben gebruit en enele tabellen die volgen uit simulaties die we hebben uitgevoerd. 4

6 Hoofdstu 2 Discretisatie van het model In ons onderzoe gaan we de volatiliteit van aandelen schatten met behulp van een particle filter. Aangezien particle filters met discrete data weren, is het nodig om ons model te discretiseren. Dat zullen we in dit hoofdstu doen. In ons model is Z t (vergelijingen (1.3) en (1.4)) gecorreleerd met B t met parameter ρ. Voor de simulatie willen we dit uit de weg gaan en schrijven ons model op een soortgelije manier als Broadie en Kaya [3] om naar: ( dy t = µ 1 ) 2 v t dt + v t [ρdz t + ] 1 ρ 2 d B t, (2.1) waarbij Z t en B t ongecorreleerde Brownse bewegingen zijn. dv t = κ(θ v t )dt + ξ v t dz t, (2.2) We discretiseren eerst (2.2). Een gemaelije manier om dit te doen is via een Eulerdiscretisatie, waarbij t > t 1, t = t t 1 en = 1, 2,...: t t v = v 1 + κ(θ v s ) ds + ξ v s dz s t 1 t 1 v 1 + κ(θ v 1 ) t + ξ v 1 (Z Z 1 ), (2.3) waarbij (Z Z 1 ) N (0, t) (dit volgt uit de definitie van een Brownse beweging). We gebruien nu het subscript als tijdsindex om aan te duiden dat het om een discrete vergelijing gaat, de transitie hiernaar is eenvoudig: waar voorheen v t gebruit zou moeten worden, wordt nu v gebruit en waar v t 1 gebruit zou moeten worden, gebruien we v 1. Oo voor andere variabelen gebruien we deze transitie in het vervolg van het verslag. Met de normaalverdeelde benadering (2.3) an de volatiliteit echter nog negatieve waarden aannemen; vanuit pratisch oogpunt gezien is dit niet mogelij en willen we dus een betere discretisatie van de volatiliteit gebruien. Hiertoe biedt de non-centrale χ 2 -verdeling een oplossing, Broadie en Kaya [3] gebruien deze om v te genereren uit gegeven v 1, waarbij geen negatieve waarden meer voor unnen omen: waarbij v v 1 C 1 χ 2 d(λ), ( C 1 = ξ2 1 e κ t), λ = 4κe κ t 4κ ξ 2 (1 e κ t ) v 1, d = 4θκ ξ 2, (2.4) waarbij χ 2 d (λ) een stochastische variabele is die non-centraal χ2 -verdeeld is met d vrijheidsgraden en parameter λ. Nu we een discrete uitdruing voor de volatiliteit hebben, dienen we vergelijing (2.1) nog te discretiseren om een discrete uitdruing voor de logprijs te rijgen. Oo hierbij volgen we Broadie en Kaya [3] en veronderstellen we t > t 1, t = t t 1 en = 1, 2,...: y = y 1 + µ t 1 2 t t 1 v s ds + ρ t t 1 vs dz s + 1 ρ 2 t t 1 vs d B s. (2.5) 5

7 We benaderen de eerste integraal in (2.5) met: t t 1 v s ds 1 2 (v + v 1 ) t. (2.6) Om de tweede integraal in vergelijing (2.5) uit te reenen, gebruien we wat er volgt uit vergelijing (2.3) en verrijgen: t t v v 1 = κθ t κ v s ds + ξ vs dz s. (2.7) t 1 t 1 We gebruien vergelijingen (2.6) en (2.7) en rijgen: t t 1 vs dz s = 1 ξ ( v v 1 κθ t + κ ) 2 (v + v 1 ) t. (2.8) Tot slot dient de laatste integraal in vergelijing (2.5) nog benaderd te worden om een volledige discretisatie te geven van vergelijing (2.1). Uit Broadie en Kaya [3] weten we dat: t t vs d B s N (0, σ 2 ), waarbij σ 2 = v s ds 1 t 1 t 1 2 (v + v 1 ) t. (2.9) Met deze gegevens unnen we een sample treen voor t t 1 vs d B s en deze samen met (2.6) en (2.8) gebruien om vergelijing (2.5) en daarmee vergelijing (2.1) volledig te discretiseren. We rijgen: y = y 1 + µ t 1 4 (v + v 1 ) t + ρ ξ ( v v 1 κθ t + κ ) 2 (v + v 1 ) t + 1 ρ 2 ζ 1, (2.10) waarbij ζ 1 een N (0, σ 2 )-verdeelde stochatische variabele is met σ 2 zoals in (2.9). We hebben ons model nu volledig gediscretiseerd. In hoofdstu 3 zullen we uitleggen hoe we het particle filter zullen gaan gebruien met dit model en hoe we hiermee de volatiliteit schatten. Met het gediscretiseerde model unnen we oo zelf een volatiliteit genereren en aan de hand daarvan een mart simuleren. Resultaten hiervan zijn te zien in hoofdstu 6. Deze gesimuleerde mart zullen we in eerste instantie als input gebruien voor ons particle filter, waarmee we de volatiliteit van deze gesimuleerde mart zullen schatten. Op deze manier unnen we onze resultaten vergelijen met de gegenereerde volatiliteit en ijen hoe goed onze schatting is. In hoofdstu 4 leggen we uit hoe we de volatiliteit van echte marten unnen schatten. 6

8 Hoofdstu 3 Particle filters en het schatten van de volatiliteit In dit hoofdstu zullen we uitleggen hoe we de volatiliteit unnen schatten met ons model en met behulp van particle filters. Voordat we dit zullen doen is het belangrij om te weten wat particle filters zijn en hoe deze weren. Deze theorie zullen we dan oo eerst behandelen, waarna we de theorie toepassen op onze modelveronderstelling. Vervolgens bespreen we de verschillende euzemogelijheden binnen het particle filter en onderzoeen we met wele van deze euzes onze schatting van de volatiliteit het beste is. 3.1 Particle filtering In deze paragraaf volgen wij het artiel van Petar M. Djurić et al.[6] bij het uitleggen wat particle filters zijn en hoe ze weren. Particle filters worden gebruit wanneer men te maen heeft met twee toestanden; één waarneembare en één onwaarneembare. De waarneembare toestand is afhanelij van de onwaarneembare toestand en de onwaarneembare toestand an eventueel afhanelij zijn van de waarneembare toestand. Met een particle filter an men de onwaarneembare toestand op ieder tijdstip schatten aan de hand van waarnemingen van de waarneembare toestand en reeds geschatte waarden van de onwaarneembare toestand in het verleden, men an in ons geval dus met een particle filter de volatiliteit van een aandeel schatten aan de hand van de aandeelprijs en de volatiliteit in het verleden. We leggen uit hoe particle filters weren aan de hand van de volgende toestandsrepresentatie, voor = 0, 1, 2,... : x = f (x 1, ɛ ), y = g (x, η ). (3.1) In (3.1) is y de waarneembare toestand en is x de onderliggende, onwaarneembare toestand, ɛ en η zijn storingen, wele niet onderling onafhanelij hoeven te zijn. Het subscript is de tijdsindex. We gaan er van uit dat alle waarden van y beend zijn; vanaf het tijdstip 0 tot en met het tijdstip. Nu is het dus zaa om met behulp van de waarneembare toestand y de onderliggende toestand x zo goed mogelij te benaderen. We beijen de simultane a posteriori verdeling van x 0, x 1,..., x, de volgende evenredigheid geldt: p(x 0: y 0: ) p(x 0 y 0 ) p(y i x i )p(x i x i 1 ). (3.2) Uit vergelijing (3.2) volgt volgens Petar M. Djurić et al [6] dat men p(x 0: y 0: ) an verrijgen uit p(x 0: 1 y 0: 1 ) op de volgende manier: i=1 p(x 0: y 0: ) = p(y x )p(x x 1 ) p(x 0: 1 y 0: 1 ). (3.3) p(y y 0: 1 ) Aangezien de transitie van p(x 0: 1 y 0: 1 ) naar p(x 0: y 0: ) vaa analytisch niet uit te voeren is, moeten we de oplossing zoeen in methoden die gebaseerd zijn op benaderingen. Dit is waar particle filtering ons gaat helpen; bij particle filtering worden de ansverdelingen benaderd door discrete, willeeurige metingen gedefiniëerd door particles en gewichten die aan deze particles toegeend worden. Stel dat we de verdeling van p(x) willen benaderen, dan gebruien we de willeeurige metingen Ψ = {x (m), w (m) } M m=1, waarbij x (m) de 7

9 particles zijn met bijbehorende gewichten w (m). Er worden in totaal M particles gebruit bij de benadering. Ψ benadert de verdeling p(x) door: p(x) = M m=1 ( w (m) δ x x (m)), (3.4) waarbij δ( ) de Dirac-deltafunctie is. Met deze benadering worden bereeningen van verwachtingen, wele normaal gesproen moeilije integralen bevatten, vereenvoudigd tot maelij uitvoerbare sommaties. Zo geven Jayesh H. Kotecha en Petar M. Djurić [8] als voorbeeld dat: E p(x) (g(x n )) = g(x n )p(x n ) dx n (3.5) bereend an worden op de volgende manier: Ê p(x) (g(x n )) = M m w (m) g(x (m) n ). (3.6) Gebrui maend van de stere wet van de grote aantallen an worden aangetoond dat: bijna zeer als M. Ê p(x) (g(x n )) E p(x) (g(x n )) (3.7) Het volgende concept wat we gebruien is importance sampling. Stel dat we de verdeling p(x) willen benaderen met discrete, willeeurige metingen. Als we particles unnen genereren van p(x) zelf, ennen we ze ieder een gewicht toe van 1/M. Als directe sampling van p(x) niet mogelij is, dan unnen we particles x (m) genereren uit een verdeling π(x), de importance function, en ennen we niet genormaliseerde gewichten toe aan deze particles volgens: wele na normaliseren het volgende worden: w (m) = p(x) π(x), (3.8) w (m) = w (m) M. (3.9) m=1 w (m) Stel nu dat de posterior verdeling p(x 0: 1 y 0: 1 ) benaderd wordt door de discrete, willeeurige metingen Ψ 1 = {x (m) 0: 1, w(m) 1 }M m=1 (mer op dat de particles x (m) 0: 1 opgevat unnen worden als particles van p(x 0: 1 y 0: 1 )). Gegeven Ψ 1 en de observatie y is het nu de bedoeling om Ψ op te stellen. Sequentiële importance sampling methoden doen dit door particles x (m) te genereren en deze toe te voegen aan x (m) 0: 1 om x (m) 0: te vormen en vervolgens de gewichten w(m) te updaten, zodat Ψ een goede schatting geeft van de gezochte ansverdeling op tijdstip. De importance function is vrij te iezen, maar als deze geozen wordt zodat deze gefactoriseerd an worden als: π(x 0: y 0: ) = π(x x 0: 1, y 0: )π(x 0: 1 y 0: 1 ), (3.10) en als: en: dan unnen we x (m) 0: 1 De bijbehorende gewichten w (m) uitbreiden met x(m), waarbij: x (m) 0: 1 π(x 0: 1 y 0: 1 ), (3.11) w (m) 1 p(x(m) 0: 1 y 0: 1) π(x (m) x (m) 0: 1 y 0: 1), (3.12) π(x (m) x (m) 0: 1, y 0:). (3.13) unnen verregen worden door: w (m) p(y x (m) )p(x (m) x (m) 1 ) π(x (m) x (m) 0: 1, y 0:) 8 w (m) 1. (3.14)

10 Vergelijing (3.14) zullen we in het vervolg de weight update equation noemen. De euze van de importance function is belangrij voor het functioneren van het particle filter, dit is maelij te zien aan de weight update equation waar de importance function een directe invloed uitoefent in de noemer. In paragraaf 3.3 gaan we in op het gebrui van verschillende importance functions en het effect hiervan op de weight update equation. Samenvattend unnen we x 0 tot en met x schatten middels sequential importance sampling, hierbij is i één stap waarbij we t (onze geozen stapgrootte) verdergaan in de tijd. In totaal nemen we van deze tijdstappen (i = 0, 1,..., ). Dit gaat als volgt: 1. Tre N particles x (m) 0 p(x 0 y 0 ), m = 1, 2,..., N. 2. Zet de gewichten w (m) 0 op 1/N. 3. De schatting van x 0 is N j=1 w(j) 0 x (j) 0 (volgens (3.6)). 4. Zet i = Tre N particles x (m) i π(x i x 0:i 1, y 0:i ). 6. Bereen w (m) i met behulp van (3.14). 7. De schatting van x i is N j=1 w(j) i x (j) i (volgens (3.6)). 8. Controleer of i =, zo ja dan zijn we laar. Zo nee, zet dan i = i + 1 en ga dan naar 5. Wanneer we dit algoritme aanhouden is het waarschijnlij dat op den duur een paar gewichten de overhand rijgen en heel groot worden in verhouding tot de andere gewichten, dit verschijnsel heet degeneracy. Om dit tegen te gaan bestaat er resampling. Dit doen we in eerste instantie als volgt: We hebben N particles x (m) We treen nu uit alle particles x (m) getroen, hierbij horen de gewichten w (m), die we oo bereend hebben. één particle, de ans dat we deze particle treen is w (m). Dit doen we N maal, vervolgens zetten we de gewichten allemaal gelij aan 1/N. Petar M. Djurić et al. [6] geven hier een grafische samenvatting van in figuur 3.1. In dit figuur zien we lins de initiële gewichten van de particles schematisch afgebeeld in bollen die groter zijn naar mate het gewicht groter is. Vervolgens wordt er geresampled en zie je op de lijn in het midden hoevaa ieder particle geozen wordt. Rechts van de lijn zie je dat ieder geozen particle weer een gelij gewicht geregen heeft. Op deze manier hebben we dus weer meer particles die een rol spelen, in plaats van een paar particles met een grote rol en een heleboel met een leine. Het is overigens niet nodig om bij ele stap te resamplen, dit ost veel reenwer en in de pratij geld. Een goede graadmeter om te testen of het nodig is om te resamplen is N eff, de effective sample size : 1 N eff = N. (3.15) i=1 (w(i) )2 Er wordt een drempelwaarde N thr geozen, bijvoorbeeld N/3, als N eff dan leiner is dan N thr wordt er geresampled en anders wordt er niet geresampled. Er zijn meerdere manieren om te resamplen, hierboven hebben we er daar slechts één van belicht. In paragraaf 3.4 zullen we een aantal andere resamplemethoden toelichten, opdat we vervolgens unnen gaan onderzoeen of er een optimale resamplemethode bestaat. Nu we hebben uitgelegd hoe het particle filter in het algemeen wert, unnen we het particle filter toe gaan passen op ons eigen model, om vervolgens de volatiliteit van een aandeel te schatten. Hier zullen we in de volgende paragraaf over uitwijden. 9

11 Figuur 3.1: Een schematische representatie van resampling 3.2 Het schatten van de volatiliteit Nu we weten hoe particle filters weren, unnen we deze met ons model gaan gebruien om de volatiliteit van een aandeel te schatten. Ons gediscretiseerde model, zoals beschreven in (2.4) en (2.10), staat in een soortgelije toestandsrepresentatie als in (3.1). Nu passen we het particle filter toe op dit model, zodat we de volatiliteit unnen schatten. We weten uit (3.6) dat: Uit (3.7) weten we dat: Ê p(v y 1:,v 1 )(v ) = M m=1 w (m) v (m). (3.16) Ê p(v y 1:,v 1 )(v ) E p(v y 1:,v 1 )(v ), (3.17) bijna zeer als M. We moeten dus op zoe naar een uitdruing voor de gewichten in deze vergelijing. Hiertoe stellen we eerst een algemene formule op voor de gebruite gewichten w (m). Uit het artiel van Broadie en Kaya [3] en uit het artiel van Petar M. Djurić et al. [6] weten we dat w (m) = p(v(m) 0: y 1:) π(v (m) 0: y 1:), (3.18) mer op dat y pas gedefiniëerd is vanaf = 1. Tevens weten we van Brano Ristic et al. [5] dat: 0: y 1:) = p(y 0:, y 1: 1)p(v (m) p(y y 1: 1 ) p(v (m) 0: y 1: 1) = p(y 0:, y 1: 1) p(v 0: 1, y 1: 1) p(v (m) p(y y 1: 1 ) 0: 1 y 1: 1). (3.19) 10

12 Deze uitdruing substitueren we in vergelijing (3.18) en rijgen: w (m) = p(v(m) 0: y 1:) π(v (m) 0: y 1:) = p(y 0:, y 1: 1) p(v 0: 1, y 1: 1) p(v (m) 0: 1 y 1: 1) = w (m) en omdat p(y y 1: 1 ) onafhanelij is van v geldt: π(v (m) 0: 1, y 1:) π(v (m) 0: 1 y 1: 1) p(y y 1: 1 ) 1 p(y 0:, y 1: 1) p(v (m) 0: 1, y 1: 1) π(v (m) 0: 1, y, 1:) p(y y 1: 1 ) (3.20) w (m) wele onze algemene weight update equation is. De importance function π(v (m) 0: 1, y 1:) = p(v (m) π(v (m) w (m) 1 p(y 0:, y 1: 1) p(v (m) 0: 1, y 1: 1) π(v (m) 0: 1, y, (3.21) 1:) 0: 1, y 1:) is vrij te iezen. In eerste instantie nemen we 1, y, y 1 ), de in de theorie genoemde optimal importance function (Petar M. Djurić et al. [6]). Later zullen we nog andere importance functions in ons model implementeren en onderzoeen wat hier de effecten van zijn, dit doen we in paragraaf 3.3. Tevens weten we uit de discretisatie van ons model (zie vergelijingen (2.4) en (2.10)) dat v enel direct afhanelij is van v 1 (en dus niet van meerdere, voorgaande termen van v) en dat y enel direct afhanelij is van v, y 1 en v 1 (en dus niet van meerdere, voorgaande termen van v en y). Met deze informatie en de gestelde importance function passen we onze weight update equation (3.21) aan tot: w (m) w (m) 1 p(y, v (m) 1, y 1) p(v (m) p(v (m) 1, y, y 1 ) 1 ), (3.22) wele de uitdruing voor de gewichten is die we in eerste instantie bij het schatten van de volatiliteit zullen gebruien. Om deze te unnen bereenen hebben we echter nog wel uitdruingen voor de ansdichtheden nodig die in deze uitdruing van de gewichten gebruit worden. Allereerst gaan we op zoe naar een uitdruing voor p(y, v (m) 1, y 1). We weten uit vergelijing (2.10) dat: y = y 1 + µ t 1 4 (v + v 1 ) t + ρ ξ (v v 1 κθ t κ(v + v 1 ) t) + 1 ρ 2 ζ 1. (3.23) Hier is ζ 1 N (0, σ 2 ) met σ 2 zoals in (2.9): σ 2 = 1 2 (v + v 1 ) t. Hiermee unnen we de verdeling van p(y, v (m) 1, y 1) afleiden: p(y v 1, v, y 1 ) N (µ c1, σc1), 2 (3.24) met de volgende µ c1 en σ 2 c1: µ c1 = y 1 + µ t 1 4 (v + v 1 ) t + ρ ξ (v v 1 κθ t κ(v + v 1 ) t), σ 2 c1 = 1 2 (v + v 1 ) t (1 ρ 2 ). (3.25) Omdat (3.24) normaal verdeeld is met beende parameters wordt de ansdichtheid gegeven door: p(y 1, 1 v(m), y 1 ) = e 1 2 (y µ c1 ) 2 σ c1. (3.26) 2πσ 2 c1 Vervolgens zoeen we een uitdruing voor p(v (m) 1 ). We weten uit (2.4) dat: p(v (m) 1 ) C 1 χ 2 d(λ). (3.27) De parameters zijn hetzelfde als in (2.4). We weten nu hoe p(v v 1 ) verdeeld is en beijen we zijn ansdichtheid om te gebruien in de bereening van de gewichten w (m) zoals in (3.22). We ennen de 11

13 ansdichtheid van de non-centrale χ 2 -verdeling en gebruien deze bij het vinden van de ansdichtheid die we zoeen. We gebruien de substitutie Z = C X, met C > 0 een constante: F Z (z) = P (Z z) = P (C X z) = P (X z C ) = F X( z ), (3.28) C waarbij F de verdelingsfunctie van de non-centrale χ 2 -verdeling is. Hieruit weten we dat: f Z (z) = z F Z(z) = z F X( z C ) = 1 C f X( z ), (3.29) C waarbij f de ansdichtheid is van de non-centrale χ 2 -verdeling is. Hieruit volgt het volgende: p(v v 1 ) = f Z (v ) = 1 C 1 f X ( v C 1 ), (3.30) waarbij f X ( ) gelij is aan de ansdichtheid van χ 2 d (λ), wele gegeven wordt door: f X (x; ; λ) = waarbij Y q χ 2 -verdeeld is met q vrijheidsgraden. e λ/2 (λ/2) i f Y+2i (x), (3.31) i! i=0 Tot slot zoeen we een uitdruing voor p(v (m) 1, y, y 1 ). Voor deze uitdruing schrijven we eerst ons originele model op een soortgelije manier als bij vergelijingen (2.1) en (2.2) om naar: ( dy t = µ 1 ) 2 v t dt + v t db t, (3.32) dv t = κ(θ v t )dt + ξ v t [ ρdb t + 1 ρ 2 d Z t ]. (3.33) In deze vorm van het model zijn B t en Z t onafhanelije Brownse bewegingen. We schrijven (3.32) om tot het volgende: ( vt db t = dy t µ 1 ) 2 v t dt. (3.34) Vervolgens willen we vergelijing (3.33) discretiseren, hiertoe schrijven we hem eerst om met behulp van (3.34): dv t = κ(θ v t )dt + ξ [ v t ρdb t + ] 1 ρ 2 d Z t = κ(θ v t )dt + ξρ v t db t + ξ 1 ρ 2 v t d Z t [ ( = κ(θ v t )dt + ξρ dy t µ 1 ) ] 2 v t dt + ξ 1 ρ 2 v t d Z t. (3.35) Discretiseren van (3.35) doen we als volgt, voor t > t 1, t = t t 1 en = 0, 1, 2,...: [ v v 1 = κ(θ v 1 ) t + ξρ (y y 1 ) (µ 1 ] 2 v 1) t + ξ 1 ρ 2 v 1 ( Z Z 1 ), (3.36) wat neeromt op het volgende: v = v 1 + κ(θ v 1 ) t + ξρ(y y 1 ) ξρ(µ 1 2 v 1) t + ξ 1 ρ 2 v 1 ( Z Z 1 ). (3.37) Uit de definitie van een Brownse beweging weten we dat ( Z Z 1 ) N (0, t). We zien in vergelijing (3.37) dat v slechts afhanelij is van v 1, y en y 1 en dat deze als volgt verdeeld is: met de volgende µ c2 en σ 2 c2: p(v v 1, y, y 1 ) N (µ c2, σ 2 c2), (3.38) µ c2 = v 1 + κ(θ v 1 )dt + ξρ(y y 1 ) ξρ(µ 1 2 v 1) t, σ 2 c2 = ξ 2 (1 ρ 2 )v 1 t, (3.39) 12

14 De ansdichtheid wordt dan als volgt gegeven: p(v (m) 1, y, y 1 ) = 1 1 e2 (v µ c2 ) 2 σ c2. (3.40) 2πσ 2 c2 Nu we voor iedere ansdichtheid in onze weight update equation (3.21) een uitdruing hebben, unnen we het particle filter implementeren. We zullen een mart genereren met de theorie van hoofdstu 2 en met het in dit hoofdstu 3 behandelde particle filter schatten we de volatiliteit daarvan op ieder tijdstip volgens (3.16). In hoofdstu 5 leggen we ons gebruite algoritme bij deze simulaties uit en in hoofdstu 6 behandelen we de resultaten van onze simulaties. Oo willen we het effect beijen van het gebruien van andere importance functions en andere resamplemethoden. Hierover vertellen we in de paragrafen 3.3 en 3.4 meer. 3.3 Verschillende importance functions In de voorgaande paragraaf hebben we een aantal aannamen moeten maen om implementatie mogelij te maen; zo hebben we de ansdichtheden uit de formule voor de gewichten moeten benaderen, hebben we een importance function geozen en hebben we een resamplemethode geozen. Natuurlij zijn er voor de euzes die we gemaat hebben oo alternatieven, die wellicht positief uit unnen paen op onze resultaten. In deze paragraaf gaan we in op de verschillende importance functions die we unnen iezen om te gebruien Optimal importance function In de voorgaande paragraaf hebben we de zogenaamde optimal importance function (π(v (m) 0: 1, y 1:) = p(v (m) 1, y, y 1 )) gebruit en hebben we laten zien dat p(v (m) 1, y, y 1 ) te benaderen is met een normale verdeling. Het nadeel aan deze benadering is dat de normale verdeling oo negatieve waarden aan an nemen; iets wat in de pratijsituatie voor de volatiliteit niet voor an omen, aangezien deze altijd positief is. We unnen deze ansdichtheid oo benaderen met de non-centrale χ 2 -verdeling, zoals we p(v (m) 1 ) oo benaderd hebben, wele geen negatieve waarden aan an nemen. Deze benadering leiden we als volgt af: We weten uit (2.3) en (2.4) dat als: t t v = v 1 + κ(θ v s ) ds + ξ v s dz s, (3.41) t 1 t 1 dat dan: waarbij v v 1 C χ 2 d(λ), (3.42) C = ξ2 (1 e κ t ), d = 4θκ 4κ ξ 2, λ = 4κe κ t ξ 2 (1 e κ t ) v 1. (3.43) Als we (3.35) discretiseren volgt daarbij de volgende uitdruing voor v, met daarin nog continue termen: t t v = v 1 + κ(θ v s ) ds ξρ(µ 1 t t 1 t 1 2 v s) ds + ξρ(y y 1 ) + ξ 1 ρ 2 v s d Z s. (3.44) t 1 Deze uitdruing willen we omschrijven naar de vorm van vergelijing (3.41), want dan unnen we concluderen dat v v 1 non-centraal χ 2 -verdeeld is. Na de substitutie v 1 = v 1 + ξρ(y y 1 ) wordt (3.44): t t v = v 1 + κ(θ v s ) ds ξρ(µ 1 t 1 t 1 2 v s) ds t + ξ (3.45) 1 ρ 2 v s d Z s. t 1 13

15 Omschrijven geeft: t v = v 1 + t 1 ( κ(θ v s ) ξρ(µ 1 ) t 2 v s) ds + t ( = v 1 + κθ ξρµ + ( 1 ) t 1 2 ξρ κ)v s ds + t 1 ξ 1 ρ 2 v s d Z s t t 1 ξ 1 ρ 2 v s d Z s. (3.46) Na de substitutie ξ = ξ 1 ρ 2 volgt: t ( v = v 1 + κθ ξρµ + ( 1 ) t t 1 2 ξρ κ)v s ds + ξ v s d Z s. (3.47) t 1 Deze uitdruing is al bijna van dezelfde vorm als (3.41). Om hem op deze vorm te rijgen moeten we t t 1 κθ ξρµ + ( 1 2 ξρ κ)v s ds omschrijven naar t t 1 κ (θ v s ) ds. Hieruit blijt dat κ v s = ( 1 2 ξρ κ)v s en κ θ = κθ ξρµ. Hieruit volgt dat: κ = ( 1 2 ξρ κ) en θ = Hiermee schrijven we vergelijing (3.47) om naar: κθ ξρµ κ = κθ ξρµ ( 1 (3.48) 2ξρ κ). t t v = v 1 + κ (θ v s ) ds + ξ v s d Z s, (3.49) t 1 t 1 wele dezelfde vorm heeft als vergelijing (3.41). Hierdoor weten we dat: met: We rijgen met behulp van (3.30): v v 1 C χ 2 d (λ ), (3.50) C (1 e = ξ 2 κ t ) 4κ, d = 4θ κ, λ = 4κ e κ t ξ 2 ξ 2 (1 e κ t ) v 1. (3.51) p(v (m) 1, y, y 1 ) = 1 f(v(m) C C waarbij f( ) de ansdichtheid is van χ 2 d (λ ), zoals beschreven in (3.31). ), (3.52) We hebben p(v (m) 1, y, y 1 ) nu benaderd met de non-centrale χ 2 -verdeling. Deze benadering unnen we in ons programma doorvoeren en vervolgens onderzoeen of de resultaten met deze bandering beter zijn dan met de normale verdeling Suboptimal importance function Nu hebben we voor de optimal importance function twee euzes, maar er is naast deze twee euzes nog een andere euze voor de importance function te vinden in de literatuur: de suboptimal importance function, wele we ennen als: π(v (m) 0: 1, y 1:) = p(v (m) 1 ). (3.53) Het verschil met de optimal importance function is duidelij; de afhanelijheid van y ontbreet in deze importance function. Omdat deze importance function een andere vorm heeft dan de optimal importance function zal de weight update equation van het particle filter veranderen: we vullen (3.53) in de weight update equation (3.21) in en rijgen: w (m) We zien dat de term p(v (m) w (m) 1 p(y, v (m) p(v (m) 1 ) 1, y 1)p(v (m) elaar weg. De ansdichtheid die overblijft is p(y 1 ) = w (m) 1 p(y, v (m) 1, y 1). (3.54) 1 ) zowel boven als onder de deelstreep vooromt, deze strepen we dus tegen 14, v (m) 1, y 1), waarvan we in de voorgaande paragraaf

16 hebben laten zien met vergelijing (3.23) dat deze normaal verdeeld is en dus uit te druen is als in (3.26) met µ en σ 2 als in (3.25). Met deze uitdruingen unnen we de suboptimal importance function doorvoeren in ons programma en de resultaten vergelijen met de twee benaderingen van de optimal importance function. Andere euzes voor de gebruite importance function laten we in ons onderzoe buiten beschouwing. 3.4 Verschillende resamplemethoden Als de gewichten die gebruit worden bij particle filtering in grootte teveel van elaar gaan verschillen en sommige particles gewichten van bijna 0 hebben, dient er geresampled te worden. Een van de aannamen die we in paragraaf 3.2 gemaat hebben, is de manier waarop we in eerste instantie resamplen. Deze methode heet Multinomial resampling, maar er zijn andere methoden die gebruit unnen worden. Van deze methoden zullen we er in deze paragraaf drie bespreen, daar te weten Residual resampling, Stratified resampling, Systematic resampling en als eerste zullen we Multinomial resampling nogmaals benopt bespreen. Voordat we dit doen geven we eerst wat meer uitleg over de variabelen die we gebruien: eerst noemen we de oude particles v (i) oud en de nieuwe particles, dus na resampling, v(i) nieuw Multinomial Resampling Multnomial resampling is de meest eenvoudige resampling methode. Eerst wordt er een cumulatieve array Q van de genormaliseerde gewichten w gemaat, zodat Q(0) = 0, Q(1) = w (1), Q(2) = w (1) + w (2) enzovoort, tot slot is Q(N) = 1. We treen nu T (i) U(0, 1), waarbij i = 1,..., N. Voor j = 1,..., N voeren we de volgende controle uit: als Q(j 1) < T (i) Q(j), dan wordt de waarde van het nieuwe particle v (i) nieuw = v(j) oud. Als alle particles getroen zijn worden de gewichten w (i) allemaal op 1 N gezet Residual Resampling Residual resampling verloopt in twee stappen: de deterministische en de stochastische stap. Als eerste moet de deterministische stap worden uitgevoerd. Hier bereent men het aantal eer dat een particle met zeerheid getroen wordt met w (i) N. Het stochastische deel gaat als volgt: Stel dat uit de deterministische stap particles getroen zijn, dan moeten er nog N particles getroen worden. Bereen hiertoe w (i) = w (i) w (i) N en tel deze ansen op in de vector Q zodat Q(0) = 0, Q(1) = w (1), enzovoort, tot Q(N) = N i=1 w(i). Tre nu T (i) U(0, Q(N)), waarbij i = 1,..., N. Voor j = 1,..., N voeren we de volgende controle uit: als Q(j 1) < T (i) Q(j), dan wordt de waarde van het nieuwe particle v (i) nieuw = v(j) oud. Als alle particles getroen zijn worden de gewichten w (i) allemaal op 1 N gezet Stratified Resampling Bij stratified resampling treen we willeeurige waarden T (i) U( i 1 N, i N ), waarbij i = 1,..., N. We bereenen Q op dezelfde manier als bij multinomial resampling. Voor j = 1,..., N voeren we de volgende controle uit: als Q(j 1) < T (i) Q(j), dan wordt de waarde van het nieuwe particle v (i) nieuw = v(j) oud. Als alle particles getroen zijn worden de gewichten w (i) allemaal op 1 N gezet Systematic Resampling Systematic resampling lijt op stratified resampling. We bereenen Q op dezelfde manier maar bereenen T (i) anders. T (1) U(0, 1 N ), waarna T (i) als volgt wordt bereend: T (i) = T (1) + 1 (i 1), (3.55) N met i = 2,..., N. Nu gaan we voor i = 1,..., N en j = 1,..., N het volgende na: als Q(j 1) < T (i) Q(j), dan wordt de waarde van het nieuwe particle v (i) nieuw = v(j) oud. Als alle particles getroen zijn worden de gewichten w(i) 15

17 allemaal op 1 N gezet. We hebben nu vier methoden beschreven om te resamplen. Deze methoden zullen we in ons programma implementeren en vervolgens zullen we onderzoeen of er een methode aan te wijzen is die de beste resultaten oplevert. Hierbij moet wel reening gehouden worden met N eff, wele bij overschrijding van de drempel N thr aangeeft dat er geresampled moet worden. We zullen na het testen van de resamplemethoden oo testen in hoeverre de waliteit van de resultaten afhangt van deze drempel. 16

18 Hoofdstu 4 Model met onbeende parameters Tot nu toe hebben we in ons model de parameters µ, θ, κ, ξ en ρ als beend verondersteld. In de pratij zijn deze parameters niet beend en is er geen analytische formule om deze uit te reenen. Als we met ons model de volatiliteit van een echt aandeel willen schatten, zullen we ons model aan moeten passen op een manier dat µ, θ, κ, ξ en ρ niet meer beend verondersteld hoeven te worden. In dit hoofdstu zullen we eerst een nieuw model afleiden, waarin de parameters µ, θ, κ, ξ en ρ net als de volatiliteit geschat worden met behulp van een particle filter. Vervolgens zullen we de toepassingen van dit model op de aandelenmart behandelen. 4.1 Het model met onbeende parameters opstellen Bij het opstellen van het model met onbeende parameters zullen we het artiel van Shin Ichi Aihara et al. [1] volgen. We gaan uit van ons gediscretiseerde model, zoals beschreven in vergelijingen (2.4) en (2.10). Dit model herschrijven we naar een nieuw discreet model, waar we vervolgens een particle filter op unnen toepassen zodat naast de volatiliteit oo de parameters van het model geschat worden. Allereerst construeren we een vector z = [v, α ] met α = [κ θ µ ξ ρ ]. Hierin veronderstellen we niet meer dat de parameters beend zijn en nemen we ze mee in de toestandsrepresentatie van ons model, gegeven α 1, als zijnde: κ N (κ 1, ɛ 1 ), Of analoog: met: θ N (θ 1, ɛ 2 ), µ N (µ 1, ɛ 3 ), ξ N (ξ 1, ɛ 4 ), ρ N (ρ 1, ɛ 5 ). κ = κ 1 + ɛ 1, ɛ 1 N (0, ɛ 1 ), θ = θ 1 + ɛ 2, ɛ 2 N (0, ɛ 2 ), µ = µ 1 + ɛ 3, ɛ 3 N (0, ɛ 3 ), ξ = ξ 1 + ɛ 4, ɛ 4 N (0, ɛ 4 ), ρ = ρ 1 + ɛ 5, ɛ 5 N (0, ɛ 5 ), κ 0 U(L κ, R κ ), θ 0 U(L θ, R θ ), µ 0 U(L µ, R µ ), ξ 0 U(L ξ, R ξ ), ρ 0 U(L ρ, R ρ ). We meren op dat α slechts afhanelij is van α 1 en dat op deze manier de parameters oo niet meer constant zijn, maar iedere tijdstap opnieuw geschat worden. Dit doen we door ze mee te nemen in het particle filter voor het schatten van de volatiliteit. We treen de beginwaarden van de elementen van α uniform binnen grenzen die hoogstwaarschijnlij de echte waarden van de elementen van α zullen omvatten. (4.1) (4.2) (4.3) 17

19 Als we ons gediscretiseerde model herschrijven met de elementen van α rijgen we het volgende: y = y 1 + µ t 1 4 (v + v 1 ) t + ρ ξ ( v v 1 κ θ t + κ 2 (v + v 1 ) t ) + 1 ρ 2 ζ, (4.4) v v 1 C χ 2 d (λ ), (4.5) waarbij ζ een N (0, σ 2 )-verdeelde stochatische variabele is met σ 2 zoals in (2.9) en: ( ) C = ξ2 1 e κ t, λ = 4κ e κ t 4κ ξ 2 (1 e κ t ) v 1, d = 4θ κ ξ 2, (4.6) waarbij χ 2 d (λ ) een stochastische variabele is die non-centraal χ 2 -verdeeld is met d vrijheidsgraden en parameter λ, zoals in (3.31). Vervolgens willen we met dit nieuwe model de volatiliteit en de parameters, dus z, gaan schatten middels particle filtering. Dit doen we net als in (3.6): En we weten dat: bijna zeer als M. Ê p(z y 1:,z 1 )(z ) = M m w (m) z (m). (4.7) Ê p(z y 1:,z 1 )(z ) E p(z y 1:,z 1 )(z ) (4.8) Voor dit model moeten we dus het particle filter herontwerpen. We vullen z in plaats van v in de weight update equation (3.21) in en we gebruien als importance function π(z (m) z (m) 0: 1, y 1:) = p(z (m) z (m) 1, y, y 1 ) en verrijgen: w (m) w (m) 1 p(y z (m), z (m) 1, y 1)p(z (m) z (m) 1 ) p(z (m) z (m) 1, y. (4.9), y 1 ) Om de ansdichtheden te bereenen in deze vergelijing, zullen we z weer gaan splitsen in zijn componenten v en α en verrijgen we: w (m) w (m) 1 p(y, v (m) 1, y 1, α (m), α (m) 1 )p(v(m), α (m) 1, α(m) 1 ) p(v (m), α (m) 1, y, y 1, α (m) 1 ) (4.10) We constateren uit (4.4) dat y niet afhanelij is van α 1 en unnen deze term in de afhanelijheid dus wegstrepen, wat resulteert in de ansdichtheid p(y, v (m) 1, y 1, α (m) ), wele we normaal unnen benaderen zoals we dit voorheen oo gedaan hebben. Vervolgens schrijven we de twee andere ansdichtheden uit, met de ennis dat alle elementen in α slechts afhanelij zijn van hun voorganger in α 1 (uit (4.1)) en dat v niet direct afhanelij is van α 1 (uit (4.5)): p(v, α v 1, α 1 ) = p(v, κ, θ, µ, ξ, ρ v 1, κ 1, θ 1, µ 1, ξ 1, ρ 1 ) = p(κ v 1, α 1 )p(v, θ, µ, ξ, ρ κ, v 1, α 1 ) = p(κ κ 1 )p(θ κ, v 1, α 1 )p(v, µ, ξ, ρ κ, θ, v 1, α 1 ) = p(κ κ 1 )p(θ κ, θ 1 )p(µ κ, θ, v 1, α 1 )p(v, ξ, ρ κ, θ, µ, v 1, α 1 ), (4.11) We zien bij het uitweren dat er een afhanelijheid van κ verschijnt in de term p(θ κ, α 1 ) en een afhanelijheid van θ en κ in de term p(µ κ, θ, v 1, α 1 ). We weten echter dat µ enel afhanelij is van µ 1 en dat θ enel afhanelij is van θ 1, zoals ieder element van α enel afhanelij is van zijn eigen voorganger. De niet bestaande afhanelijheden in de uitdruingen zullen we in het vervolg direct wegstrepen: = p(κ κ 1 )p(θ θ 1 )p(µ µ )p(ξ v 1, α 1 )p(v, ρ κ, θ, µ, ξ, v 1, α 1 ) = p(κ κ 1 )p(θ θ 1 )p(µ µ )p(ξ ξ )p(ρ v 1, α 1 )p(v α, v 1, α 1 ) = p(κ κ 1 )p(θ θ 1 )p(µ µ )p(ξ ξ )p(ρ ρ 1 )p(v v 1, α ). (4.12) 18

20 Op een soortgelije manier van splitsen rijgen we: p(v, α v 1, y, y 1, α 1 ) = p(κ κ 1, y, y 1 )p(θ θ 1, y, y 1 )p(µ µ 1, y, y 1 )p(ξ ξ 1, y, y 1 ) p(ρ ρ 1, y, y 1 )p(v v 1, y, y 1, α ). (4.13) We zien dat y en y 1 zich nog voordoen in termen als p(κ κ 1, y, y 1 ). Aangezien we geen uitdruingen hebben om dit te bereenen en y wel gegevens heeft over α zullen we de aanname moeten maen dat we in deze uitdruingen de afhanelijheid van y en y 1 moeten verwaarlozen. We rijgen dan de volgende uitdruing: p(v, α v 1, y, y 1, α 1 ) = p(κ κ 1 )p(θ θ 1 )p(µ µ 1 )p(ξ ξ 1 )p(ρ ρ 1 )p(v v 1, y, y 1, α ). (4.14) Met het voorgaande wordt de weight update equation als volgt: w (m) w (m) 1 p(y, v (m) 1, y 1, α (m) )p(v (m) 1, α(m) p(v (m) 1, y, y 1, α (m) ) ). (4.15) In deze weight update equation staan alleen nog maar ansdichtheden waarvan we uit voorgaande hoofdstuen weten hoe we ze unnen bereenen: ˆ p(y, v (m) 1, y 1, α (m) ) wordt gegeven door (3.26) ˆ p(v (m) 1, α(m) ) wordt gegeven door (3.30) en (3.31) ˆ p(v (m) 1, y, y 1, α (m) ) wordt gegeven door (3.40) Bij deze gegevens moet er wel opgemert worden dat bij iedere gebruite uitdruing de parameters µ, θ, κ, ξ en ρ vervangen moeten worden door µ, θ, κ, ξ en ρ, om de uitdruingen aan te laten sluiten op dit model. Nu we voor iedere ansdichtheid een expliciete uitdruing hebben, hebben we alle benodigde gegevens om het model met onbeende parameters te programmeren en de toestand van z, dus de volatiliteit en de modelparameters, te schatten middels (4.7). In hoofdstu 5 leggen we ons algoritme waarmee we deze schattingen maen uit. 4.2 Toepassingen op de beurs Nu we een model hebben waarin de parameters µ, θ, κ, ξ en ρ niet meer als beend verondersteld worden, unnen we met dit model oo echte martdata gaan analyseren. Bij onze voorgaande simulaties hebben we eerst zelf een volatiliteit en een mart gegenereerd, maar nu zullen we deze stap overslaan en als input voor ons model beursdata uit het verleden gebruien. Aan de hand van deze beursdata unnen we het verloop van de volatiliteit van specifiee aandelen schatten, evenals de verschillende onderliggende modelparameters. Hiertoe gebruien we in ons programma ons gediscretiseerde model zoals gegeven in (4.4) en (4.5) en voor ons particle filter de daaruit afgeleide weight update equation (4.15) om middels (4.7) een schatting te maen. In paragraaf presenteren we een analyse van de volatiliteit van de AEX-index met ons model. Aangezien we de volatiliteit nu niet meer zelf genereren, unnen we onze geschatte volatiliteit niet meer vergelijen met de echte volatiliteit. Wel unnen we de door ons geschatte volatiliteit vergelijen met een door iemand anders geschatte volatiliteit: in 2009 voerden Shin Ichi Aihara et al. [1] een soortgelij onderzoe als ons uit en presenteerden een schatting van de volatiliteit van de AEX-index. In paragraaf gebruien wij in ons programma dezelfde startwaarden van ons model als dat zij deden en vergelijen we onze schatting van de volatiliteit met die van hun. De resultaten van het gebrui van dit model op de aanedelenmart is waar we in ons onderzoe naar op zoe zijn: als de resultaten goed blijen te zijn, an ons programma gebruit worden om de volatiliteit van echte aandelen op de mart te schatten. 19

21 Hoofdstu 5 Algoritmen In dit hoofdstu behandelen we de algoritmen die we geprogrammeerd hebben voor ons onderzoe. Als eerste zullen we stap voor stap uitleggen hoe we een mart genereren, waar we vervolgens de volatiliteit van gaan schatten. Hoe we de volatiliteit schatten leggen we uit in paragraaf 5.2 voor het model met beende parameters. In paragraaf 5.3 gaan we in op het algoritme wat we gebruien om met ons model met onbeende parameters de volatiliteit te schatten van een echt aandeel. In appendix A staat de MATLAB-code die in de volgende paragrafen beschreven wordt. 5.1 Martsimulatie Stap 1 We definiëren κ, θ, µ, ρ en ξ. Verder definiëren we t als tijd waarover we gaan simuleren en t als stapgrootte. Stap 2 Zet T = t( 1 t ) + 1, zet λ 2 = 4κe κ t ξ 2 (1 e κ t ) en zet d = 4θκ ξ 2. Stap 3 Maa en vector v1 en y aan, beide bevatten T elementen. Stap 4 Definiëer v1(1) als beginwaarde van de volatiliteit en y(1) als beginwaarde van de logprijs van het aandeel als volgt: v1(1) = θ en y(1) = 1. Stap 5 Zet i = 2. Stap 6 Stel λ = λ 2 v1(i 1), stel v1(i) = ξ2 (1 e κ t ) 4κ ncx2rnd(d, λ) (hierin is ncx2rnd een functie in MATLAB wele een sample tret uit de noncentrale χ 2 -verdeling met parameters d en λ). Stel σ 2 = v1(i) t 2 en stel y(i) = y(i 1) + µ t 1 4 (v1(i, 1) + v1(i 1, 1)) t + ρ ξ (v1(i, 1) v1(i 1, 1)) κθ t + 1 2κ(v1(i, 1) + v1(i 1, 1)) t + 1 ρ 2 N (0, 1 2 (v1(i, 1) + v1(i 1, 1) t). Stap 7 Als i < T verhogen we i met 1 en gaan we terug naar stap 6. Als i = T dan zijn we laar. We hebben nu de volatiliteit v1(i) en de logprijs y(i) van de mart gesimuleerd, waarbij i = 1,..., T 5.2 Volatiliteit schatten met gesimuleerde martdata In deze paragraaf lichten we ons algoritme toe wat de volatiliteit schat met het model met beende parameters en hoe we dit in MATLAB geprogrammeerd hebben, hierbij maen we gebrui van de vector y uit paragraaf 5.1, bestaande uit T elementen, deze bevat namelij de waarden van de logprijs van de mart. Zoals beschreven staat in paragraaf 3.3 en 3.4 zijn er verschillende importance functions en resample methoden te iezen, die el een ander resultaat geven. In dit stappenplan is uitgegaan van de normale benadering voor de importance function, wele invloed heeft op de stappen 6 en 7 en de Multinomial Resampling methode, wele invloed heeft op stap 13. Als voor een andere importance function of resample methode geozen wordt moeten deze stappen aangepast worden. Om de fout van onze schatting van de volatiliteit te meten gebruien we de vector v1 uit paragraaf 5.1, wele de echte waarden van de volatiliteit bevat, en we meten de fout van onze schattingen met behulp van de Root Mean Squared Error, ofwel de RMSE. De RMSE is als volgt gedefiniëerd, voor i = 1, 2,..., T : 20

22 1 T T (x i x i ) 2, (5.1) i=1 waarbij x i de schatting is van x i. In ons geval beijen we dus de wortel van het gemiddelde wadratische verschil van onze schatting van de volatiliteit op ieder tijdstip met zijn echte waarde als maatstaaf voor hoe goed onze schatting van de volatiliteit over het gehele tijdspan is. Voor onze resultaten is de RMSE van eenmaal het programma draaien niet voldoende om conclusies te treen, daarom willen we het programma meerdere eren draaien en ijen wat de gemiddelde RMSE over dat aantal eren draaien is. We bereenen: RMSE av = 1 M M RMSE j, (5.2) waarbij RMSE av het gemiddelde is van de RMSE van de schattingen van de volatiliteit van M maal het programma draaien. In appendix A.1 staat vanaf regel 48 de code die hiervoor gebruit is, wele we hieronder per stap zullen beschrijven. j=1 Stap 1 Definiëer M als het aantal eer dat het gehele programma wordt doorlopen. Maa een vector RMSE aan met M elementen, die we op nul zetten. Zet l op 1. Stap 2 Voer de martsimulatie uit zoals beschreven in paragraaf 5.1 met de parameters κ, θ, µ, ξ, t, t en T. Definiëer N en N thr. We maen de vector RMSE aan met M elementen, die we op nul zetten. Oo definiëren we het minimum van de volatiliteit, deze is v min. Stap 3 Stel de tijdsindex gelij aan 1. Maa een 2 N matrix en noem deze v2. Maa een 1 N matrix en noem deze w. Maa een 1 N matrix en noem deze w. Stap 4 Vul rij 1 van v2 met nullen. De waarden van rij 2 worden getroen uit N (θ, ξ 2 ). Vul rij 1 van w met nullen. Vul rij 1 van w met de waarde 1 N voor alle elementen. Stap 5 Maa een vector V aan, bestaande uit T elementen met als eerste element V (1) = N i=1 w(1, i) v2(2, i). Maa een getal sumv squared aan en zet deze op (v1(1) V (1)) 2. Stap 6 Verhoog met 1. Verplaats de tweede rij van v2 naar de eerste rij van v2. Tre de waarden van de tweede rij uit de normale verdeling N (µ c, σc 2 ), waarbij µ c en σc 2 gegeven zijn door: µ c = v2(1, i) + κ (θ v2(1, i)) ( t) + ξρ(y() y( 1)) ξρ [µ 12 ] v2(1, i) ( t), σ 2 c = ξ 2 (1 ρ 2 )v2(1, i) t, waarbij i = 1,..., N. Als deze treing een negatieve waarde geeft voor v2(i) dan zetten we hem in plaats daarvan op v min Stap 7 Bereen a i = f(y()) voor i = 1,..., N, met f( ) de ansdichtheid van de normale verdeling met verwachting µ a,i en variantie σa,i 2 als volgt gegeven: µ a,i =y( 1) + µ t 1 (v2(2, i) + v2(1, i)) t 4 + ρ (v2(2, i) v2(1, i) κθ t + κ 12 ) ξ (v2(2, i) + v2(1, i)) t, g( v2(2,i) σ 2 a,i = 1 2 (v2(2, i) + v2(1, i)) t (1 ρ2 ). Bereen b i = 1 C C ) voor i = 1,..., N, met g( ) de ansdichtheid van de noncentrale χ2 -verdeling met d vrijheidsgraden en parameter λ i als volgt gegeven: d = 4θκ ( ) 4κe κ t ξ 2, λ i = ξ 2 (1 e κ t v2(1, i), en C = ξ2 (1 e κ t ). (5.3) 4κ 21

23 Bereen c i = h(v(1, i)) voor i = 1,..., N, met h( ) de ansdichtheid van de normaal verdeelde benadering van de importance function met verwachting µ c,i en variantie σc,i 2 als volgt gegeven: µ c,i = v2(1, i) + κ(θ v2(1, i)) t + ξρ(y() y( 1)) ξρ[µ 1 v2(1, i)] t, (5.4) 2 Stap 8 Bereen w(1, i) = w(1, i) ai bi c i voor i = 1,..., N. Stap 9 Bereen w(1, i) = w(1,i) N voor i = 1,..., N. i=1 w(1,i) Stap 10 Stel V () gelij aan N i=1 w(1, i) v2(2, i). Stap 11 Verhoog sumv squared met (v1() V ()) 2. σ 2 c,i = ξ 2 (1 ρ 2 )v2(1, i) t. (5.5) Stap 12 We bereenen N eff = 1 w w. Wanneer N eff < N thr is resampling nodig en gaan we naar stap 13, wanneer N eff N thr is dit niet het geval en gaan we naar stap 14. Stap 13 Hier treedt het resampling proces op. De methode die hier is beschreven is multinomial resampling. We zien de matrix w als een matrix gevuld met ansen, deze tellen op tot 1. We gaan met behulp van de ansen w(1, i) nieuwe waarden bepalen voor v2(2, i). Dit doen we als volgt: Wordt het j-de element getroen uit de matrix w (dit heeft ans w(1, j)), dan stellen we v2(1, i) gelij aan v2(2, j), dit doen we voor i = 1,..., N. Nu verplaatsen we de eerste rij van v2 naar de tweede rij van v2, hierbij overschrijven de oude waarden. Tot slot vervangen we alle waarden in de matrix w met 1 N. Ga naar stap 14. Stap 14 Is gelij aan T? Zo ja, ga dan naar stap 15. Zo nee, ga dan naar stap 6. Stap 15 Stel het l-de element van RMSE gelij aan stap 2. Als l = M, ga dan naar stap 16. Stap 16 Bereen de gemiddelde RMSE als volgt: sumvsquared T. Als l < M, verhoog l dan met 1 en ga naar RMSE av = 1 M M RMSE(l). (5.6) l=1 We hebben nu de mart en een geschatte volatiliteit M eer bereend. Deze resultaten zijn niet bewaard, dat hoeft oo niet, want we zijn alleen geinteresseerd in het verschil met de werelije volatiliteit, oftewel, de RMSE. De gemiddelde RMSE van onze schattingen van de volatiliteit over M maal het programma draaien is gegeven in (5.6). 22