Introductie Coach-modelleren

Transcriptie

1 Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7 Opgave: Binnenspiegel... /

2 Introductie Coach-modelleren In de vierde las hebben we computermodellen steeds in Excel gemaat. Dit jaar gaan we dit doen in het programma COACH-Modelleren. De reenregels, zoals je die vorig jaar hebt moeten maen, moet je oo bij COACH-Modelleren maen. Het verschil is dat je bij Excel deze reenregels naar honderden cellen moest opiëren terwijl je bij COACHmodelleren de reenregels slechts één eer hoeft in te voeren. De reenregels worden ingevoerd in het Modelvenster. Start het programma COACH-Modelleren. Je rijgt dan een scherm te zien zoals weergegeven in nevenstaande afbeelding. Open achtereenvolgens de map b. Modellen voor natuurunde en het bestand 7. Zelf een model maen.cma. Je rijgt dan een scherm zoals weergegeven in nevenstaande afbeelding. Het modelvenster bestaat uit een liner en een rechter deel. Het linerdeel bevat het programmaatje met de reenregels. Het rechter deel bevat de startwaarden. Net zoals Excel honderden regels doorreent zo zal COACH-Modelleren het programmaatje in het modelvenster honderden eren doorreenen. modelvenster Net zoals in Excel heb je oo in COACHModelleren de beschiing over een aantal commando s en wisundige functies. Een overzicht van beschibare commando s en wisundige functies vind je in het helpmenu onder CoachTaal. Om ennis te maen met Coach-modelleren zullen we de modellen die we vorig jaar in Excel hebben gemaat nu in Coachmodelleren gaan maen. /

3 In het model Roofjump I heb je vorig jaar onderstaande reenregels afgeleid en ingevoerd in Excel. xn+ = xn + vx yn+ = yn + vy vyn+ = vyn + ay Het resultaat dat je toen gevonden hebt staat weergegeven in nevenstaande afbeelding. Ditzelfde model zou er in Coach-modelleren als volgt uitzien. Je ziet dat de reenregels zoals je die bij Excel in de olommen B, C en D hebt ingevoerd hier slechts één eer hoeven te worden ingevoerd. De startwaarden zoals die bij Excel in de rijen t/m 5 waren ingevoerd staan hier in het rechter deel van het modelvenster. 3/

4 Bij Excel heb je de reenregels geopieerd van regel 9 naar regel 0 t/m regel 500. Bij Coach-modelleren stel je het aantal bereeningen in bij het menu Opties, Instelling, Aantal iteraties. COACH-Modelleren maat de tabel, zoals je die bij Excel zelf hebt gemaat, eigenlij oo aan. Kli met de rechter muisnop op de grafie en selecteer de optie Tabel tonen. Zet de tabel in venster en vergelij maar met de tabel in Excel. Zie onderstaande afbeelding. De twee olommen voor x en y zijn precies hetzelfde! Coach-modelleren versus Excel Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren a) Maa het model Roofjump met hoe van vorig schooljaar in Coach-modelleren. b) Maa het model Vering van een auto van vorig schooljaar in Coach-modelleren. c) Maa het model Sprong over het anaal van vorig schooljaar in Coach-modelleren. 4/

5 Satellietbanen in COACH-Modelleren Opgave: GPS-satelliet GPS-SATELLIET VERTELT TOT OP HALVE METER NAUWKEURIG WAAR U BENT Weten waar je bent is van groot belang voor iemand die reist, vooral op zee, in de lucht of in de woestijn. Het Global Positioning System (GPS) is daarbij een nauweurig hulpmiddel. Dit navigatiesysteem bestaat uit vierentwintig GPS satellieten die in verschillende banen op een hoogte van zo n m boven het aardoppervla draaien. Door de signalen van een aantal satellieten te verweren, an overal ter wereld tot op een halve meter nauweurig de positie worden vastgesteld. Om het systeem in stand te houden, worden er regelmatig nieuwe GPS satellieten gelanceerd. Eerst wor een draagraet in een baan gebracht op ruim duizend m hoogte. Vanuit deze draagraet wor vervolgens de GPS satelliet naar zijn uiteindelije baan geschoten. We gaan satellietbanen in een computermodel nabootsen. Het model voor de satellietbaan ziet er uit zoals weergegeven in onderstaande afbeelding. De reenregels zouden eigenlij heel herenbaar moeten zijn. Met name de reenregels voor vx, vy, x en y zijn exact hetzelfde. De nieuwe x is de oude x + het oppervla van het volgende rechthoeje vx*. De nieuwe y is de oude y + het oppervla van het volgende rechthoeje vy*. De nieuwe vx is de oude vx + het oppervla van het volgende rechthoeje ax*. De nieuwe vy is de oude vy + het oppervla van het volgende rechthoeje ay*. Zoals gebruielij zijn de regels voor ax en ay afhanelij van de opgave. Download dit programma van de site. 5/

6 Je rijgt dan een scherm te zien zoals weergegeven in onderstaande afbeelding. De rode cirel in het diagram geeft de aarde weer. Door het programma te starten zal de baan van de satelliet worden geteend in de leur blauw. Voer onderstaande opdrachten uit. a) Maa een diagram waarin je de hoogte van de satelliet boven het aardoppervla uitzet als functie van de tijd. Breid daartoe het model uit met één reenregel. b) Maa een diagram waarin je de inetische energie (E), de gravitationele potentiele energie (EG) en de totale energie (Et) uitzet als functie van de tijd. Breid daartoe het model uit met drie reenregels. Je weet dat als je het goed doet de totale energie van de satelliet constant moet zijn! c) Bepaal met behulp van het model de snelheid die de satelliet moet hebben om op gelije hoogte boven het aardoppervla te blijven. Gebrui daartoe de optie simuleren. Kli daartoe met de rechter muisnop in het modelvenster. d) Leg uit of de satelliet zich dan in een geostationaire baan bevind. Bepaal daartoe de omlooptijd van de satelliet. e) Leg uit hoe de reenregels voor ax en ay zijn afgeleid. Als je meer uitleg wilt hebben over het programma COACH-Modelleren ij dan eens naar de handleiding van COACH-Modelleren onder onderstaande lin: 6/

7 Alleen voor de geïnteresseerden De rest van dit document gaat verder dan wat is vereist voor het examen of de proefweren. I heb dit met name gemaat voor diegene die geïnteresseerd zijn in wisundige methoden om fysische problemen uit te reenen. Het geeft een beter inzicht in wat numeriee methoden unnen en waar de valuilen zitten. Je zult dit altijd in meer of mindere mate tegenomen als je een exact va gaat studeren. Open het bestand Autovering.xlsx van de vierde las. Stel voor de waarde 0 g/s in. Dit heb je vorig jaar oo gedaan. Je rijgt dan onderstaand resultaat. = 0 g/s beteent dat er geen demping is. Je ziet echter dat het model zichzelf opblaast. Terwijl je verwacht dat de trilling met een constante amplitude oneindig lang door trilt neemt de amplitude steeds meer toe. Dit effect un je niet verhinderen door een leinere waarde voor te iezen. De reenregels die je hebt afgeleid voor y, v zijn niet nauweurig genoeg. Is het mogelij nauweurigere regels af te leiden? Ja. Dat is het vagebied van de numeriee natuurunde. In de wisunde heeft men een methode bedacht om een functie te benaderen als een machtrees. Deze methode wor Taylorreesontwieling genoemd. Zie: Voor onze doeleinden is het voldoende als je het onderstaande weet. Voor de plaats y als functie van t heb je het functievoorschrift y(t). Volgens Taylor gel dan ଵ ᇱ ଶ ᇱᇱ ଷ ᇱᇱᇱ y(t) + y (t) + y (t) + y (t) + hogere orde termen 0!!! 3! ଶ ᇱᇱ ଷ ᇱᇱᇱ ଵ ᇱ(t) y(t + ) = y(t) + y + y (t) + y (t) + hogere orde termen 6 y(t + ) = 7/

8 Met andere woorden, een functie y(t) an rond punt t (± ) worden geschreven als een optelsom van afgeleiden. Je ziet dat de verschillende termen evenredig zijn met een macht van de tijdstap. Hieruit volgt dat hoe hoger de orde van de term hoe leiner de bijdrage. Dit omt doordat als lein geozen wor de macht van nog leiner wor. De reenregel voor y, zoals je die tot nu toe hebt gebruit lui: y୬ ଵ = y୬ + v୷ Dit is hetzelfde als y୬ ଵ = y୬ + y ᇱ y(t + ) = y(t) + y ᇱ(t) y(t + ) = y(t) + y ᇱ(t) ଵ Als je deze uitdruing vergelijt met de Taylorrees op de vorige bladzijde dan zie je dat alleen de termen met 0 en zijn meegenomen en dat alle hogere orden zijn weggelaten. Dit mag alleen als die hogere orde termen daadwerelij verwaarloosbaar zijn. Het probleem met het model op basis van jouw oude regels is dat je deze benadering dubbel toepast namelij één eer voor y (met yn+ = yn + vy ) en één eer voor v (met vn+ = vn + ay ). Je maat dus een lein foutje om van a naar v te omen en vervolgens nog eens een lein foutje om van v naar y te omen. Dit gaat even goed, maar als je dit een paar honderd tot een paar duizend eer achter elaar doet loop je het risico dat het model zichzelf opblaast. Dit is precies wat er in het model voor de vering van een auto gebeurt. Als je het resultaat wilt verbeteren hoef je dus alleen maar hogere orde termen mee te nemen of je moet het oorspronelije natuurundige probleem slimmer omschrijven in reenregels. Terug naar het natuurundige probleem dat we willen oplossen. ) F = m a ) F = m g + C (y y) v m a = m g + C (y y) v Om te vooromen dat je van a naar v en dan van v naar y moet reenen is het handiger om bovenstaande vergelijing met behulp van de Taylorreesontwieling om te schrijven. m y = m g + C (y y) y Hoe gebrui je de Taylorreesontwieling om dit handig op te lossen? Voor de eerste orde afgeleide y nemen we termen t/m de eerste orde in. y(t + ) = y(t) + ଵ y ᇱ(t) y(t + ) y(t) y ᇱ(t) = 8/

9 Voor de tweede orde afgeleide y maen we gebrui van een extra trucje. ଶ ᇱᇱ ଷ ᇱᇱᇱ y (t) + y (t) + hogere orde termen 6 ( )ଶ ᇱᇱ ( )ଷ ᇱᇱᇱ y(t ) = ( ) y(t) + ( )ଵ y ᇱ(t) + y (t) + y (t) + hogere orde termen 6 y(t + ) = y(t) + ଵ y ᇱ(t) + ଶ ᇱᇱ y (t) + hogere orde termen y(t + ) + y(t ) = y(t) + ଶ y ᇱᇱ(t) + hogere orde termen y(t + ) + y(t ) = y(t) + ଶ y ᇱᇱ(t) y(t + ) + y(t ) = y(t) + Mer op dat de verwaarloosde termen van de vierde orde in zijn! Dit laatste un je omschrijven in onderstaande uitdruing voor y. y ᇱᇱ = y(t + ) + y(t ) y(t) ଶ Terug naar de oorspronelije vergelijing. m y = m g + C (y y) y Dit is nu te schrijven als: y(t + ) + y(t ) y(t) y(t + ) y(t) m ቆ ቇ = m g + C (y y) ቆ ቇ ଶ Na wat schuifwer met de balansmethode vind je onderstaande uitdruing. C C y ൬ ଶ+ ൰ y(t + ) + ൬ ଶ ൰ y(t) + ൬ ଶ൰ y(t ) = g + m m m m Hieruit volgt onderstaande reenregel: C C y ൬ ଶ+ ൰ y୬ ଵ + ൬ ଶ ൰ y୬ + ൬ ଶ൰ y୬ ଵ = g + m m m m Je weet de beginvoorwaarden y(0) = y0 en y (0) = 0. Uit y (0) = 0 volgt dat y = y0 (ga na). Wat je nu nodig hebt is een reenregel voor yn+. Deze reenregel volgt uit bovenstaande uitdruing door n met te verhogen. C C y ൬ ଶ+ ൰ y୬ ଶ + ൬ ଶ ൰ y୬ ଵ + ൬ ଶ൰ y୬ = g + m m m m C y C g + m ቀm ଶ ቁ y୬ ଵ ቀ ଶቁ y୬ m y୬ ଶ = ቀ ଶ+ ቁ m 9/ +

10 Als je gebrui maat van deze reenregel in plaats van de oude is het probleem opgelost. Dit nieuwe model levert onderstaand resultaat. Uitsteende overeenstemming tussen het numeriee resultaat en het exacte resultaat (de blauwe lijn van het numeriee model loopt volledig over de rode lijn van het exacte resultaat). I heb bovenstaand model evenals het oude reenmodel reeds voor je in Excel geprogrammeerd. Het bestand is te vinden op de site onder autovering.xlsx. Onder het eerste tabblad staat het oude model en onder het tweede tabblad staat het nieuwe model. Als je andere waarden voor en/of C neemt zul je zien dat het numeriee resultaat in alle gevallen veel beter is dan het resultaat dat je met het oude model unt realiseren. Naast het numeriee probleem dat we net hebben opgelost is er natuurlij oo het een en ander aan te meren op het natuurundige model van de vering van een auto. Een iets realistischer model is het wartmassa-model. In dit model wor één wiel gesimuleerd waarop een wart van de massa van de auto rust. Tevens worden zowel de auto als het wiel als afzonderlije massa s beschouwd. Als je geïnteresseerd bent hoe een dergelij systeem in de pratij wor gesimuleerd ij dan eens naar de informatie onder onderstaande lins. Onderstaand youtube-filmpje laat zien het een en ander in Matlab wert. Matlab is HET programma dat in het vervolgonderwijs wor gebruit voor programmeren, visualiseren van numeriee problemen. 0/

11 Opgave: Binnenspiegel Een beend probleem bij auto s is het meetrillen van de achteruitijspiegel die bovenaan in het midden van de voorruit is bevestigd met bijvoorbeeld de trilling van muzie. Dit effect is goed te zien in het youtube-filmpje onder onderstaande lin: Het wor vervelend als de frequentie van de muzie in de buurt van de resonantiefrequentie van de spiegel omt. Oo nu weer moet je de werelijheid benaderen met een natuurundig model oftewel een vereenvoudigde voorstelling van de werelijheid. Veronderstel de gehele spiegel als een puntvormige massa met massa m. Veronderstel dat de trillende voorruit een racht F = A sin(ω t) op deze massa uitoefent. De ophanging wert als een veer met veerconstante C. De demping in de ophanging veroorzaat een dempingsracht gelij aan Fd = - v. Beij alleen de beweging van de spiegel loodrecht op de voorruit. De spiegel gaat dan een gedwongen trilling uitvoeren. Je weet op basis van de theorie van vorig jaar dat deze trilling heftiger zou moeten worden naarmate de frequentie van de opgedwongen trilling dichter in de buurt omt van de eigenfrequentie van het massaveersysteem dat wor gevormd door de spiegel en zijn ophanging. Een en ander staat weergegeven in nevenstaande afbeelding. Open het bestand Binnenspiegel.xlsx. Dit bestand is te vinden op de site. /

12 In het bestand zijn reeds enele startwaarden ingevoerd. De exacte oplossing is reeds weergegeven met een rode lijn. De numeriee oplossing zal verschijnen als blauwe punten. a) Beden de reenregels oude stijl voor y(m), vy(m/s) en ay(m/s). Voer deze in en opieer deze naar alle onderliggende cellen. Met de reenregels oude stijl vind je nevenstaand resultaat. Je ziet dat het resultaat compleet anders is dan het exacte resultaat zoals weergegeven in rood. Dit effect is wederom te wijten aan de slechte reenregels en niet aan de waarde voor. b) Beden de reenregel nieuwe stijl voor y(m). Voer deze in en opieer deze naar alle onderliggende cellen. Met de reenregel nieuwe stijl vind je nevenstaand resultaat. Wederom is de overeenstemming tussen numerie model en exact resultaat uitsteend. Je unt in dit model de waarden voor A, C,, m en f aanpassen. Excel bereent de resonantiefrequentie en geeft deze weer in cel B7. In cel B6 un je de frequentie van de opgelegde trilling instellen zodat je unt zien wat het effect is op de spiegel. c) Bestudeer het gedrag van dit massaveersysteem. Besteed daarbij aandacht aan onderstaande punten: Na verloop van zeere tijd blijft er een constante trilling met een vaste amplitude over. Het eerste, onregelmatige, stu van de trilling is een inschaelverschijnsel dat uitdempt naarmate de tijd verstrijt. De amplitude van de uiteindelije trilling is het grootst als de frequentie van de opgelegde racht gelij is aan de eigenfrequentie van het massaveersysteem. d) Maa dit model eveneens in COACH-Modelleren. /