Meetkundige berekeningen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Meetkundige berekeningen"

Sarah de Boer
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Meetundige bereeningen

0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het antwoord in één

2 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het antwoord in één decimaal nauweurig, tenzij iets anders gevraagd wordt. De cosinusregel a sin( ) = b sin( ) = c sin( ) Gelijvormige driehoeen In ele driehoe ABC geldt de cosinusregel: a = b + c bc cos( ) b = a + c ac cos( ) c = a + b = ab cos( ) ABC EBF ABS CDS Je moet altijd toelichten waarom driehoeen gelijvormig zijn. Je noteert daartoe de paren gelije hoeen. Zorg dat je bij de notatie van gelijvormigheid de letters van de hoepunten corresponderen met de overeenomstige hoeen. Dat maat het opstellen van de verhoudigstabel een stu gemaelijer.

Bijzonder rechthoeige driehoeen Er zijn twee verschillende teendriehoeen: de 45-45 -90 driehoe en de 30-60 -90 driehoe.

De zijden van deze driehoeen hebben bijzondere verhoudingen.

3 Bijzonder rechthoeige driehoeen Er zijn twee verschillende teendriehoeen: de driehoe en de driehoe. Deze driehoeen an je beschouwen als de helft van een vierant resp. de helft van een gelijzijdige driehoe. De zijden van deze driehoeen hebben bijzondere verhoudingen. De hoe tussen twee lijnen De richtingshoe van een lijn is de hoe die de lijn maat met het positieve deel van de x-as. Voor de richtingshoe van de lijn geldt: tan = rc Voor de hoe tussen twee lijnen met richtingshoeen en, waarbij, geldt: = 9 = 180 ( ) als 90 als 0 Zie lijnen en cirels

1. afstanden en hoeen De zijde hoogte-methode Voor driehoeen geldt: De sinusregel en de cosinusregel In een willeeurige driehoe ABC geldt: ene zijde bijbehorende hoogte = andere zijde de bijbehorende

Bereen exact de lengte van AD. Uitgewert Je unt de oppervlate van ABC op twee manieren bereenen.

4 1. afstanden en hoeen De zijde hoogte-methode Voor driehoeen geldt: De sinusregel en de cosinusregel In een willeeurige driehoe ABC geldt: ene zijde bijbehorende hoogte = andere zijde de bijbehorende hoogte Je unt daarmee soms handig de onbeende lengtes in een driehoe uitreenen. Opgave 1 Opgave Gegeven is een rechthoeige ABC met A = 90, AB = 1 en AC = 5. AD is de hoogtelijn door het punt A. Bereen exact de lengte van AD. Uitgewert Je unt de oppervlate van ABC op twee manieren bereenen. Er geldt: 1 AB AC BC AD Invullen van de gegevens geeft: 1 = 1 = AD 60 = 13 AD AD = Opgelost...:-) Van het parallellogram ABCD in de figuur is AB=9. AC=8 en BD=14. Bereen de exacte waarde van AD. Uitgewert In ABS geldt: AS = AB + BS AB BS cos ABS 4 = cos ABS 19 cos ABS = 1 In ABD geldt: AD = AB + BD AB BD cos ABS AD = AD = 49 AD =

. vergelijingen in de meetunde Vergelijingen en bijzondere rechthoeige driehoeen Vergelijingen en de stelling van Pythagoras De omtre van driehoe ABC in 1.

5 . vergelijingen in de meetunde Vergelijingen en bijzondere rechthoeige driehoeen Vergelijingen en de stelling van Pythagoras De omtre van driehoe ABC in 1. Bereen AB in drie decimalen nauweurig Het rode vierant heeft een zijde van 8. Het punt M is het midden van AB en de groene cirel gaat door de punten C, D en M. Bereen exact de straal van deze cirel

Gebrui waar mogelij de straal van de cirel. Je rijgt: Neem AD = x. Dan is AC = x en CD = x 3, maar dan is DB = x 3 en an je bereenen dat BC = x 6.

6 Uitwering Teen de hoogtelijn CD. Je rijgt dan twee bijzondere rechthoeige driehoeen (de teendriehoeen!). Uitwering Het is hier handig om het middelpunt van de cirel te teenen en aan te geven wele lijnstuen je nodig hebt. Gebrui waar mogelij de straal van de cirel. Je rijgt: Neem AD = x. Dan is AC = x en CD = x 3, maar dan is DB = x 3 en an je bereenen dat BC = x 6. De omtre is 1, er geldt: x + x + x 6 + x 3 = 1 3x + x 6 + x 3 = 1 x = 1 x = x 1,6710 AD = 1, , AD Er geldt: x + r = 8 r = x + 16 Oplossen geeft: r = ( r 8) + 16 r = r 16r r = 80 r = 5

7 3. lijnen in een assenstelsel Onderlinge ligging van lijnen Gegeven de lijnen : a x + b y = c en l : p x + q y = r en het stelsel: ax + b y = c px + q y = r Dan zijn er drie mogelijheden: 1. Als dan hebben de lijnen een snijpunt en het stelsel heeft één oplossing.. Als dan zijn de lijnen evenwijdig en heeft het stelsel geen oplossing. 3. Als a p dan vallen de lijnen samen en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. Voorbeeld = b q a b = = p q c r a b c = = p q r Gegeven zijn de lijnen : x y = 4 en l : x 3 y = 3. Het snijpunt van de lijnen is A. Het punt B(5,6) ligt op. a. Bereen de hoe tussen en l b. Bereen exact d(a B) c. Bereen exact d(b l) Lijnen, hoeen en afstanden De hoe tussen twee lijnen waarvan de vergelijingen zijn gegeven bereen je met behulp van richtingshoeen. De richtingshoe van een lijn is de hoe die de lijn maat met het positieve deel van de x-as. Voor de richtingshoe van de lijn geldt: tan = rc Voor de hoe tussen twee lijnen met richtingshoeen en, waarbij = 9 = 180 ( ) als 90 als 0, geldt: Als voor de lijnen en l geldt rc rc l = 1 dan staan de lijnen loodrecht op elaar. Werschema voor het bereenen van de afstand van een punt A tot de lijn : 1. Stel een vergelijing op van de lijn l door A die loodrecht staat op.. Bereen de coördinaten van het snijpunt B van en l. 3. Gebrui d(a ) = d(a B) Gebrui daarbij: d(a B ) = x B x A + yb y A

8 4. cirels, raalijnen en afstanden Cirelvergelijingen De vergelijing voor de cirel c met middelpunt M en straal r is gelij aan: x x M + y ym = r Voorbeeld 1 Onderzoe met een bereening of het punt A(1 1) op, binnen of buiten de cirel c : x + y 8x 4 y + 3 = 0 ligt. Uitwering Je unt met wadraatafsplitsen de vergelijing van c schrijven in de standaardvorm : x + y 8x 4 y + 3 = 0 x 8 x + y 4 y + 3 = 0 (x 4) 16 + y = 0 (x 4) + y = 17 Het middelpunt is M(4 ) en r = 17. d(a M ) = 18en dat is groter dan r dus A ligt buiten c. Cirels en raalijnen Een raalijn aan een cirel staat loodrecht op de straal naar het raapunt De afstand van het raapunt tot het middelpunt van de cirel is gelij aan de straal Er zijn 3 raalijnproblemen: 1. Stel een vergelijing op van de cirel c als het middelpunt van de cirel gegeven is en een lijn waaraan c raat.. Stel een vergelijing op van de lijn l als de cirel gegeven is en een punt op de cirel waar l de cirel raat. 3. Stel een vergelijing op van de lijn als de cirel waaraan raat gegeven is en de richting van. Voorbeeld a. Stel een vergelijing op van de cirel c1 met middelpunt M(3 ) die de lijn : x + 3 y = 7 raat. b. Stel een vergelijing op van de lijn l die de cirel c : ( x + ) + ( y + 1) = 17 raat in het punt B( 0). c. Gegeven is de cirel c3 : x + y x 4 y = 0. Bereen voor wele waarden van b de lijn y = x + b de cirel raat. Zie uitwering voorbeeld

9 Werschema Het opstellen van een vergelijing van een raalijn aan een cirel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c. 1. Bereen de richtingscoëfficiënt rc l van. de lijn l door M en A. Gebrui l, dus rc rc l = 1 om de richtingscoëfficiënt rc van te bereenen. 3. een vergelijing van op te stellen. Gebrui rc en de coördinaten van A om Zie b. van voorbeeld Zie oo lijnen en cirels Cirels en afstanden Bij een cirel c met middelpunt M en straal r geldt: Voor A binnen c: d(a c ) = r d(m A) Voor B buiten c: d(b c ) = d(m B) r Voor de afstand van cirels c en c met middelpunten M en N geldt: d(c 1 c ) = d (M N ) r 1 r Voorbeeld 3 Gegeven is de cirel 1 c : x + y 8x 4 y + 10 = 0 en de lijn : x + 3 y = 10. Bereen exact d( c) Zie uitwering voorbeeld 3

Vergelijkbare documenten

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden