The bouncing balls and pi
|
|
- Thijmen van de Brink
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet ( waarin Ed Copland een gedachte-experiment uitlegt waarmee hij de decimalen van π bereent aan de hand van twee botsende ballen De proef is in realiteit moeilij uitvoerbaar omdat de massaverhouding van de twee puntmassa s zeer groot moet zijn en omdat de botsingen oo volledig elastisch moeten zijn De verlaring van Copland voor dit fenomeen tro me ster aan omdat ze een lin legt met lineaire transformaties in vectorruimten, met eigenwaarden en met eigenvectoren Aangemoedigd door de eenvoud van het eindresultaat van deze afleiding, ging Dir Dancaert op zoe naar een compactere verlaring Die vond hij door de vectorruimte van Ed Copland uit te breiden tot een inproductruimte Probleemstelling Stel, je hebt een zware bal met massa M en een lichte met massa m Je geeft de zware bal een beginsnelheid u 0 in de richting van de lichte bal De lichte bal heeft beginsnelheid v 0 = 0 De zware bal botst op de lichte We veronderstellen dat deze botsing volledig elastisch is Dit wil zeggen dat er behoud is van totale (inetische energie en dat er behoud is van impuls Hierdoor wordt de zware bal een beetje afgeremd en rijgt de lichte bal een bepaalde snelheid in de richting van een (elastische muur We noemen deze snelheden na één botsing u en v Figuur : Beginsituatie en situatie na de eerste botsing Na de botsing tegen de muur eert de lichte bal in tegengestelde zin terug zonder verlies van snelheid De snelheidsvectoren van beide ballen zijn nu eventjes tegengesteld georiënteerd Na een tweede botsing tussen beide ballen, zal de zware bal weer een beetje afgeremd worden en zal de lichte bal opnieuw aan
2 snelheid winnen De twee snelheidsvectoren u en v wijzen nu in dezelfde richting De vraag die in dit artiel wordt opgelost is Hoeveel botsingen zullen er zijn vooraleer de zware bal zo ster afgeremd is dat de volgende ti zijn snelheidsvector zal doen omeren? Dit aantal botsingen blijt een onverwachte relatie te hebben met het getal π Na de terugeer zal de zware bal bij ele ti van de lichte bal aan snelheid winnen De lichte bal zal hierdoor meer en meer afgeremd worden Na een aantal botsingen moet de snelheid van de zware bal onvermijdelij groter worden dan die van de lichte De lichte an de zware nu niet meer inhalen Het tweede probleem dat in dit artiel een oplossing vindt, is: Hoeveel botsingen zijn er geweest vooraleer de lichte bal de zware uit het oog verliest? Algebraïsche structuur We vertalen het fysische gegeven van een elastische botsing in het behoud van de totale inetische energie (voor en na de n-de botsing: M u n+ + m v n+ = M u n + m v n en behoud van de totale impuls (voor en na de n-de botsing: M u n+ + m v n+ = M u n m v n De verwisseling van het teen van de snelheidsvector v n staat voor de omering van de bewegingszin van de lichte bal na ele botsing met de zware De preciese massa s van de twee ballen blijen niet relevant te zijn voor de verdere bereeningen maar wel de massaverhouding = M m We vormen de bovenstaande vergelijingen bijgevolg om tot: { u n+ + vn+ = u n + vn u n+ + v n+ = u n v n Wellicht wet het verbazing dat deze niet-lineaire formules toch aanleiding geven tot een lineaire transformatie in de vectorruimte R, R, + Je an nareenen dat dit stelsel equivalent is met de uitdruing: ( die we in het vervolg zullen aforten tot: ( ( un un+ = v n v n+ A B n = B n+ Om de snelheid van beide ballen te bereenen na n botsingen volstaat het om de n-de macht te bereenen van de matrix A en de begintoestand B 0 van beide ballen te ennen Voorbeeld Stel dat de massaverhouding van de ballen gegeven is als = 6 Neem u 0 = 7 en v 0 = 0 We bereenen hieruit de toestandsmatrix ( B n aan de hand van de beginmatrix B 0 = ( 7 0 en de overgangsmatrix A = Het resultaat vind je in de onderstaande evolutietabel
3 i ( ui v i ( 7 0 ( 5 3 ( 9, 4 (, 7 ( 64 54, 4 67, 6 6, 9 ( 3, 0 43, 3 ( 6, 6 3, 6 Uit deze tabel leiden we af dat de snelheid van de zware bal na 3 botsingen voldoende is afgenomen om teruggeatapulteerd te worden Na 6 botsingen is de snelheid van de zware bal zo ster (in absolute waarde toegenomen dat hij niet meer in te halen is door de lichte Opmering De positieve snelheden in deze tabel moeten geïnterpreteerd worden als bewegingen naar de muur toe en negatieve snelheden als verwijderingen van de muur Hoewel iteraties mathematisch onbepert doorlopen, zullen de toestanden vanaf B 7 in het bovenstaande voorbeeld geen fysische interpretatie meer hebben Het botsen houdt immers op van wanneer de snelheid van de zwaarste bal (in absolute waarde groter geworden is dan de snelheid van de lichtste bal Voorbeeld Nemen we een massaverhouding = 6 en beginsnelheden u 0 = 3 en v 0 = 0 dan unnen we op de volgende evolutietabel opstellen i ( ui v i ( 3 0 ( 30 6 ( (, , 6 36, 6 ( ( 9, 30, 8 80, 7 0, 6 Na de 6 tien wordt de zware bal teruggeaatst Na botsingen haalt de lichte bal de zware niet meer in Net zoals in het vorige voorbeeld is het aantal tien na de terugslag gelij aan het aantal tien ervoor Opmering Indien we de beginsnelheid u 0 = 3 veranderen in een andere beginsnelheid, zal de tabel zich evenredig aanpassen (ga dit na! Deze wijziging verandert niets aan de anteltijdstippen: het aantal botsingen vooraleer de zware bal terugeert en het aantal botsingen vooraleer de zware bal volledig ontsnapt aan de beogeling van de lichte De anteltijdstippen zijn dus alleen afhanelij van de massaverhouding van de twee ballen Als de tweede bal niet vanuit stilstand vertret, moeten er meer gegevens in reening gebracht worden dan alleen de massaverhouding om de anteltijdstippen te bereenen 3 Eigenwaarden en eigenvectoren Om een directe formule te vinden voor de toestandsmatrix B n is het nuttig een gesloten uitdruing te vinden voor de matrix A n Een lassiee technie voor de bereening van een n-de macht van een matrix is via het diagonaliseren van deze matrix Met dit doel voor ogen bereenen we eerst de eigenwaarden en daarna de eigenvectoren van de matrix A 3
4 Stelling 3 De eigenwaarden van de matrix A = ( zijn gelij aan λ = cos θ + sin θ i en λ = cos θ sin θ i met cos θ = Bewijs De eigenwaarden van de matrix A zijn de nulwaarden van de arateristiee veeltermfunctie We bereenen deze eigenwaarden uit de vergelijing: die equivalent is met: ( + λ + (( ( + λ = 4 ( + = 0 ( i De oplossingen van deze vergelijing zijn complex toegevoegd Je an nareenen dat hun modulus gelij is aan λ = i en λ = + + i Dit beteent dat de eigenwaarden op de eenheidscirel liggen en dat ze in goniometrische vorm unnen geschreven worden als: λ = cos θ + sin θ i en λ = cos θ sin θ i Om de n-de macht van de overgangsmatrix A te bereenen, moeten we onder andere de n-de macht bereenen van de eigenwaarden De n-de machten van complexe getallen op de eenheidscirel, zoals λ en λ, staan voor rotaties rond de oorsprong In de laatste paragraaf van dit artiel zal blijen dat rotaties een cruciale rol spelen in de overgang tussen opeenvolgende toestandsmatrices bij het probleem van de botsende ballen In deze laatste paragraaf manipuleren we de huidige lineaire transformatie zo dat ze overgaat in een zuivere rotatie rond de oorsprong Stelling 3 De eigenvectoren van de matrix A = ( zijn gelij aan v = ( i en v = ( i Het bewijs van deze stelling laten we over aan de lezer Voorbeeld 3 Indien de ballen in dit experiment een massaverhouding = 6 hebben dan zijn de eigenwaarden gelij aan: λ = i en λ = De bijbehorende eigenvectoren zijn achtereenvolgens: ( ( v = en v 4 i = 4 i 4
5 4 Machtsverheffing van de overgangsmatrix A De bereening van de eigenwaarden en eigenvectoren stelt ons in staat om de matrix A te diagonaliseren als A = P D P De olommen van de matrix P zijn opgebouwd uit de eigenvectoren van A en de diagonaal van de diagonaalmatrix D is opgebouwd uit de overeenomstige eigenwaarden van A Dit levert de volgende drie factoren op: ( P = i i ( cos θ + sin θ i 0 D = 0 cos θ sin θ i P = ( i i Om de n-de macht van de diagonaalmatrix te bereenen, moeten we vervolgens gebrui maen van de stelling van de Moivre: ( D n cos(nθ + sin(nθ i 0 = 0 cos(nθ sin(nθ i Deze hulpbereeningen maen het mogelij om de n-de macht te bereenen van de matrix A via de formule A n = P D n P : ( ( ( A n = cos(nθ + sin(nθ i 0 i i 0 cos(nθ sin(nθ i i i Als we deze ( matrix zorgvuldig langs rechts vermenigvuldigen met de beginmatrix B 0 = dan vinden we de toestand na n botsingen (reen na!: u0 0 B n = A n B 0 = ( u0 cos(nθ u0 sin(nθ waaruit we maelij unnen afleiden na hoeveel botsingen de zware bal terug zal eren De oriëntatie van de snelheidsvector van deze bal verandert namelij op het moment dat u 0 cos(nθ van teen wisselt maw op het moment dat de hoe nθ groter wordt dan π Voorbeeld 4 Keren we terug naar het basisvoorbeeld waarbij = 6 We vinden de hoe θ via de formule cos θ = Uit deze formule volgt dat: θ = arccos 5 = 0, Deze hoe gaat iets meer dan 3 eer in de rechte hoe Op deze manier hebben we snel bereend dat er 3 tijes nodig zijn tegen de zware bal vooraleer hij naar de andere ant geatapulteerd wordt 5
6 5 De decimalen van pi In het vorige voorbeeld bereenden we dat voor = 6 het aantal tijes van de lichte bal tegen de zware vooraleer die rechtsomeer maat gelij is aan p = 3 Als we een gelijaardige bereening zouden maen voor = 6 00 dan blijt het aantal stoten van de lichte bal tegen de zware gelij te zijn aan p = 3 Voor = 6 00 vinden we p = 34 De aandachtige lezer ziet in de massaverhoudingen ( een meetundige rij en in de antelmomenten (p de decimale ontwieling van π Deze overwegingen leiden tot de volgende stelling Stelling 5 Stel dat twee puntmassa s een massaverhouding hebben gelij aan n = 6 00 n De zware puntmassa botst volledig elastisch tegen de lichte puntmassa in rust Hierdoor wordt een heen-en-weer-gaande beweging veroorzaat van de lichte puntmassa die afwisselend botst tegen een muur en tegen de zware puntmassa Na p n botsingen tussen de zware en de lichte puntmassa draait de bewegingszin van de zware massa om Het aantal botsingen p n is op de volgende manier gelint aan het getal π: p n = 0 n π wat beteent dat voor de massaverhouding n de n eerste beduidende cijfers van π in het getal p n tevoorschijn omen Bewijs We gaan uit van de gelijheid cos θ = Bij grote waarden van horen leine waarden van θ We benaderen beide leden van deze gelijheid door een reesontwieling (die snel convergeert naarmate groter wordt of naarmate θ leiner wordt Voor leine waarden van θ unnen we de reesontwieling cos θ = θ! + θ4 4! beperen tot de eerste termen zo dat: cos θ θ ( Voor grote waarden van (en leine waarden van unnen we de volgende reesontwieling opstellen: + = + = ( ( + Beperen we deze reesontwieling tot de eerste twee termen dan vinden we: + ( Uit de gelijstelling van ( en ( vinden we de volgende benadering die geldt voor grote waarden van en leine waarden van θ: θ (3 We zoeen een veelvoud van θ dat net iets leiner is dan π Hiemee bedoelen we een p n -voud waarvoor geldt dat: p n θ < π < (p n + θ 6
7 In combinatie met (3 levert dit de volgende ongelijheid op: p n n < π < (p n + n Via de formule n = 6 00 n vinden we dat p n moet voldoen aan: p n 6 00 n < π < (p n n of aan p n < 0 n π < p n + Deze uitspraa is equivalent met p n = 0 n π 6 Zonder eigenwaarden en eigenvectoren Het inzicht van de rotatie rond de oorsprong, dat we verregen hebben bij de bereening van de machten van de eigenwaarden, blijt essentieel te zijn Vandaar dat een ernachtigere redenering zich opdringt We hernemen hiervoor het stelsel { u n+ + v n+ = u n + v n u n+ + v n+ = u n + v n Mer vooraf op dat het toestandsteen van de snelheid van de lichte bal in deze benadering in de variabele v n bevat is Vervang nu de grootheid u n door de nieuwe variabele w n Het stelsel gaat dan over in een stelsel met variabelen w n en v n : { w n+ + v n+ = w n + v n wn+ + v n+ = w n + v n De vectoren (w n, v n en (w n+, v n+ die voldoen aan dit stelsel zijn maelij te interpreteren in de vectorruimte R, R, + uitgerust met het lassiee scalaire product We weren vanaf nu dus in een inproductruimte of in een Euclidische ruimte In inproductruimten zijn afstanden en hoeen gedefinieerd aan de hand van het scalaire wadraat en het scalaire product Uit de eerste vergelijing leiden we af dat de vector (w n, v n even ver van de oorsprong ligt als de vector (w n+, v n+ Dit beteent dat toestandsvectoren voor en na een botsing van de twee ballen op dezelfde cirel rond de oorsprong liggen De tweede vergelijing geeft aan dat het scalair product (, (w n, v n gelij is aan het scalair product (, (w n+, v n+ Dit beteent dat de hoe tussen de vectoren (, en (w n, v n gelij is aan de hoe tussen de vectoren (, en (w n+, v n+ De enige grafische interpretatie hiervan is dat de opeenvolgende toestandsvectoren (w n, v n en (w n+, v n+ elaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de drager van de vector (, Na de botsing van de zware en de lichte bal, onderzoeen we het effect van de botsing van de lichte bal tegen de muur Deze botsing laat de vector (w n+, v n+ overgaan in de vector (w n+, v n+ Dit beteent dat de toestandsvector (w n+, v n+ gespiegeld wordt rond de w-as 7
8 De samenstelling van deze twee spiegelingen met snijdende assen is een rotatie rond het snijpunt van deze assen over een hoe die het dubbele is van de hoe tussen de twee spiegelassen Na ele twee opeenvolgende bostingen van de lichte bal (eentje met de zware bal en eentje met de muur zal de toestandsvector (w n, v n dus een rotatie in wijzerzin ondergaan rond de oorsprong over een hoe α = arctan( (zie onderstaande figuur Figuur : Rotatie van de toestandsvector Via deze rotaties unnen we bereenen hoeveel tijes de lichte bal tegen de zware geeft vooraleer deze rechtsomeer maat Voorbeeld 6 Nemen we voor massaverhouding het getal = 499 dan vinden we een rotatiehoe gelij aan α = 0, 0550 Deze hoe gaat ongeveer π/ 03 eer in de rechte hoe (reen na: = 03, 0000 Dit beteent dat na 03 tijes de toestandsvector (w 0, 0 over een rechte hoe in tegenwijzerzin rond de oorsprong gedraaid is en dat de snelheid w 03 nog net niet negatief is Oo de snelheid u 03 is dan nog net niet negatief Na 06 tijes is de toestandsvector (w 0, 0 net niet over een gestrete hoe gedraaid Hieruit leiden we af dat de snelheidsvector v 06 nog steeds negatief en bijna nul is De lichte bal zal de zware dus niet meer unnen inhalen Opmering 6 Het vorige voorbeeld suggereert dat het aantal tijes vooraleer de zware bal terugeert altijd de helft is van het totale aantal tijes tussen de zware en de lichte bal Dit lopt niet helemaal Soms is het totale aantal tijes één meer dan het dubbele van het aantal tijes vooraleer de zware bal terugeert Stel bijvoorbeeld = 600 Het aantal botsingen vooraleer de zware bal terugeert is 6 Het totale aantal botsingen is 5 De vraag of het mogelij is dat de lichte bal uiteindelij in rust omt bij een rationale massaverhouding blijft voorlopig nog open Deze situatie doet zich alleen voor indien de hoe arctan( een geheel aantal eer in de gestrete hoe gaat Een triviaal voorbeeld hiervan vinden we voor = De hoe arctan( = is immers een deler van de gestrete hoe Indien beide ballen even zwaar π 8
9 zijn, zal de bal in het midden na één heen-en-weer-beweging roerloos blijven liggen Een tweede voorbeeld vinden we voor = 3 De hoe arctan( = π 3 is eveneens een deler van de gestrete hoe In dit geval zal de lichte bal in het midden na drie tijes met de zware bal in rust omen Of er nog andere rationale massaverhoudingen zijn die deze merwaardige eigenschap bezitten, moet nog verder uitgezocht worden 9
Differentiequotiënten en Getallenrijen
Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieIV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire
IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire Transformaties in R IV0 Meetundige inleiding: delijnen en eigenvectoren Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de delijnen van
Nadere informatieIII (vervolg) Lineaire Transformaties in R
III (vervolg) Lineaire Transformaties in R III.7 a Opmeringen over dit hoofdstu Oorspronelij waren de volgende paragrafen deel van hoofdstu III. De bedoeling ervan is om na te gaan hoe binnen het ader
Nadere informatie102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).
DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieMeetkundige berekeningen
Meetundige bereeningen 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieConvexe functies op R (niet in het boek)
Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Nadere informatiex x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.
Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y 4 4 4 11 6 0 x y x y 4 1 1 6 0 1 1 Omdat de som van
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieThis item is the archived peer-reviewed author-version of:
This item is the archived peer-reviewed author-version of: Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Reference: Levrie Paul, Penne Rudi.- Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieIII Lineaire Transformaties in R
III Lineaire Transformaties in R III. Meetundige inleiding Bij een transformatie L in R wordt aan ele vetor a uit R een nieuwe vetor a uit n R toegevoegd. (Meer in het algemeen an men dit in R definiëren.)
Nadere informatieIntroductie Coach-modelleren
Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7
Nadere informatieWiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes
Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen
Nadere informatie-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:
-- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieBerekenen van dynamisch evenwicht
Bereenen van dynamisch evenwicht Voor het bereenen van dynamische evenwichten zijn er verscheidene methodes. De meest beende zijn het gebrui van traagheidsreacties. Deze traagheidsreacties unnen verder
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatieOpgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.
Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..
Nadere informatieSchoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieToegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 5 augustus 2009
Drs. J.H. Blanespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wisunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene dru Uitwering herhalingsopgaven hoofdstu 5 augustus 009 HBuitgevers, Baarn
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatie1 Stelsels lineaire vergelijkingen
1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm 0 0 0 Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieSteeds betere benadering voor het getal π
Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012 Steeds betere benadering voor het getal π Koen De Naeghel Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 13 Verwachtingswaarde en spreiding 13.1 Stochasten In een paar voorbeelden hebben we al gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie3 Elektronische structuur van materialen
3 Eletronische structuur van materialen (Aanvulling op hoofdstuen 7 en 8 van Rosenberg.) 3.1 Vrije eletron model In het voorgaande hebben we steeds de geometrische structuur van materialen besproen. Toch
Nadere informatie1 Maasstroomtheorie of lusstroomtheorie.
Maasstrootheorie of lusstrootheorie.. oel. lle spanningen en stroen zoeen in een schaeling, aar et inder vergelijingen dan de wetten van Kirchhoff. Minder vergelijingen beteent oo inder onbeenden. O dat
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieSysteemtheorie en Regeltechniek
Systeemtheorie en Regeltehnie Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Disrete tijdssystemen: Oplossen van de differentievergelijing wouter.biesmans@esat.uleuven.be Hoe unnen we een system voorstellen?
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatieDe beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α
65 5 VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor Goniometrie. Gebruik de applets, 2, 3, 4,
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieIterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieBewerkingen met krachten
21 Bewerkingen met krachten Opgeloste Vraagstukken 2.1. Bepaal het moment van de kracht van 2N uir Fig. 2-3 rond het punt O. Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 2N
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Nadere informatieDe dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
Nadere informatieA = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?
Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieQubits Een andere invalshoek voor kwantummechanica in het secundair onderwijs
Qubits Een andere invalshoek voor kwantummechanica in het secundair onderwijs Mark Fannes Hans Bekaert Geert Verschoren Mieke De Cock woensdag 28 oktober 2015 Specifieke Lerarenopleiding Natuurwetenschappen:
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieSTEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL π
STEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende) opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs nr.139. Onze inspiratie halen we uit het
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieMet passer en liniaal
Met passer en liniaal Deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal, oo wel construeren genoemd. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatie