Systeemtheorie en Regeltechniek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Systeemtheorie en Regeltechniek"

Transcriptie

1 Systeemtheorie en Regeltehnie Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Disrete tijdssystemen: Oplossen van de differentievergelijing

2 Hoe unnen we een system voorstellen? Vershillende mogelijheden: o o o o o Blo-diagram Toestandsbeshrijving / state spae representation Differentie- / differentiaalvergelijing Impulsresponsie Transferfuntie n i m ai * y[ i] bi *u[ i] ( ) i x[ ] A x[ ] B u[ ]. y[ ] C x[ ] D u[ ]. u[-2] x u[-] x u[] 2

3 Lineaire Homogene differentievergelijing n i Orde n ai * y[ i] ( ) Voorgestelde oplossing : lineaire ombinatie van termen van de vorm r Invullen van r in de differentievergelijing levert: n i i a i * r ( ) = arateristiee vgl Aan deze gelijheid is ehter enel voldaan als r een nulpunt van de bovenstaande n-degraads veeltermvgl is. 3

4 Lineaire Homogene differentievergelijing Dus voor nulpunten r j is de oplossing van de vorm: y[ ] n j * r j j Met r j een nulpunt van de arateristiee vgl. Ehter, voor m-voudige nulpunten zijn oo er oo oplossingstermen van de vorm j m * r,..., * r j (Verifieer dit op een simpel voorbeeld, bv. y[+2] - 4 y[+] + 4 y[] = ) 4

5 Lineaire Homogene differentievergelijing Een reële veeltermvgl an oo paren omplex toegevoegde nulpunten hebben: jφ -jφ rj R e, rj R e ( rj*) jrj jrj Omdat dan de oëffiiënten oo omplex toegevoegd moeten zijn, nl. j R e, R j -j j e ( j *) Kunnen beide oplossingstermen samengenomen worden en hershreven als volgt (formule van Euler): j * rj jrj 2 R R os( ) (Toon aan dat dit effetief zo is) 5

6 Lineaire Homogene differentievergelijing De oeffiienten n unnen bepaald worden adhv de beginvoorwaarden y[] y[n-] Deze leiden tot het stelsel: y[] n j... y[ n ] j n j * r j j * r n j n 6

7 Lineaire niet-homogene differentievergelijing General form: n i A linear ombination of inputs results in the same linear ombination of the outputs resulting from eah input individually. (~linearity) m ai * y[ i] bi *u[ i] ( ) i The equation an thus be solved for eah input individually and the results added together afterwards. The resulting partiular solutions an then be added to the general form of the homogenous solution. 7

8 Lineaire niet-homogene differentievergelijing n i ai * y[ i] b *u[ i] ( ) i Ingang u[] is gegeven, hoe bepalen we y[]? Mer op: totale oplossing y tot [] = y hom [] + y part [] aan de beginvoorwaarden y tot [], y8 tot [], voldaan is. m i. Bepaal eerst de algemene oplossing voor de overeenomstige homogene differentievergelijing y hom []. Bepaal de oeffiienten i nog niet! 2. Stel een geshite partiuliere oplossing y part [] voor (zie tabel) en bepaal via de methode van de onbepaalde oeffiienten (= substitutie van de partiuliere oplossing in de differentievergelijing) de parameters α i. 3. Bepaal de oeffiienten i van de homogene termen zodat

9 Lineaire niet-homogene differentievergelijing De reden waarom eerst de homogene oplossing gezoht moet worden: o o als deze termen van dezelfde vorm als de ingang u[] bevat, dan moet een partiuliere opl. voorgesteld worden met termen die een hogere graad in bevatten dan normaal. Anders zal door de partiuliere opl. niet aan de diff. vgl. voldaan unnen worden. 9

10 Lineaire niet-homogene differentievergelijing Voorbeeld: y[] - 4 y[-] + 4 y[-2] = 2. (Probeer zelf eerst uit!) o Homogene opl. van de vorm o Partiuliere opl. van de vorm a 2 + a 2 + a o o o We zetten a = a = omdat deze termen oo deel zijn van de homogene opl. (en hun oeffiienten dus later via en door de beginvwden bepaald zullen worden). Uiteindelije partiuliere opl. is dus uitsluitend van de vorm a Mer op dat als men enel een partiuliere opl. van de vorm 2 beshouwt, nooit aan de diff. vgl voldaan an zijn

11 Partiuliere oplossingen: (ursus p3.4)

12 Opgave Oefening Oefening 3.8 uit de ursus: Stel de differentievergelijing op voor de evolutie van het aantal onijnenparen als we de volgende veronderstellingen maen: o Een mannelij en vrouwelij onijn worden geboren bij el paar volwassen onijnen op het einde van iedere maand; o een pasgeboren paar onijnen heeft zijn eerste nageslaht op de ouderdom van twee maand o Eenmaal bijeen gebraht zal een paar onijnen bij elaar blijven en blijft het altijd produeren volgens de vorige twee veronderstellingen Wat is het aantal onijnenparen dat men beomt na 2 maand als men vertret met een pasgeboren paar op maand nul? Los hiervoor de opgestelde differentievergelijing op! 2

13 Oplossing Oefening In deze oplossing: y = # onijnenparen Differentievergelijing: (Fibonai) Y[] = y[-] + y[-2] Karateristiee veelterm: λ 2 λ = Nulpunten: 2 5,

14 Oplossing Oefening 4 Homogene oplossing: Beginvoorwaarden: Waardes van i : y ) 2 5 ( ) 2 5 ( ] [ 2 ) 2 5 ( ) 2 5 ( [] [] 2 2 y y ) 5 5 ( ), 5 5 ( 2

15 Opgave Oefening 2 Een LTI-systeem met een ingang u[] wordt gearateriseerd door de differentievergelijing y[] 4 y[-] + 4y[-2] = u[]. De aangelegde ingang is van de vorm u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π. y[] =, y[] = 2. o Bepaal de uitgang y[] van het systeem. Los hiervoor de differentievergelijing op. Hint: de oplossing bestaat uit een homogeen en een partiulier deel. o Teen het blodiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeshrijving van het systeem (de resulterende matries A,B,C en D zijn nog nodig in oefening 4). o (Bepaal de begintoestanden x[] van het systeem. ) 5

16 Oplossing Oefening 2 Homogene oplossing: (dubbel nulpunt 2) y homogeen[ ] (2) 2(2) Partiuliere oplossing:!! mer op dat u[] = (-4)!! y part[ ] ( 4) ( 4) Part. Opl. Invullen in diff. vgl: ( 4) ( 4) 4 2 ( 4) ( 4) ( 4) 4 ( 4) ( 2)( 4) 2 ( 4) 6 ( )( 4) ( 4) (-4) (moet gelden!!!)

17 Oplossing Oefening 2 In het algemeen geldt voor oeffiienten d i, e i : ( i d i )*( 4) ( i e )* ( 4) i!! ( i d i ) en ( i e i ) Hierdoor unnen we de ingevulde diff.vgl. uit de vorige slide hershrijven tot 2 aparte vgln waaruit de 2 onbeenden gevonden unnen worden: 8 α, α

18 Oplossing Oefening 2 8 Totale oplossing ogeen part tot y y y (2) * (2) 4) ( * 9 4 4) ( 27 8 ] [ ] [ ] [ 2 hom Beginvoorwaarden: 9 6, y[], y[] 2

19 Oplossing Oefening 2 Blodiagram uit hershreven diff.vgl.: y[] = 4 y[-] - 4y[-2] + u[]. y[-2] x y[-] x 2 u[] y[] Toestandsbeshrijving: x[ ] A x[ ] B u[ ]. y[ ] C x[ ] D u[ ]. 9 A 4 C 4, B 4 4, D

20 Opgave Oefening 3 Modelleer het signaal u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π als de uitgang van een autonoom LTI-systeem. o Bepaal de differentievergelijing van dit LTI-systeem. Hint: shrijf eerst u[], u[+], als een lineaire ombinatie van een aantal basisfunties. Een signaal van de vorm n *a os(φ + φ ) heeft 2(n+) mogelije basisfunties. Deze zijn: a os(φ),, n *a * os(φ) en a * sin(φ),, n *a *sin(φ). o Teen het blodiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeshrijving van het autonoom systeem (de resulterende matries F en G zijn nog nodig in oefening 4) o Bepaal de begintoestanden x[] van het systeem. Hint: gebrui hiervoor de toestandsbeshrijving. 2

21 Oplossing Oefening 3 2 Een autonoom (zonder ingang dus) LTI-systeem met een uitgang u[] an altijd gearateriseerd worden door een diff.vgl. van de vorm: We zoeen dus een lineair verband tussen u[], u[+],, u[+n]. ] [... ] [ ] [,... met, ] [ a oo : of ), ( i] * u[ a T n i i n u u U U n

22 Oplossing Oefening 3 Mer op dat u[].. u[+n], als we ze uitshrijven en vereenvoudigen, zelf lineaire ombinaties zijn van enele basisfunties. Voor u[] = (-4) zijn dit slehts 2 basisfunties: (-4) en (-4). Hierdoor is de vetor U te shrijven als U[] (n+)x = A (n+)x2 *b[] 2x met b[ ] ( 4) ( 4) 22

23 Oplossing Oefening 3 Dus : a T (zie oef. 2) A A b[] T a a T U[] a T (!) A Dit wil zeggen dat ele vetor a die in de nulruimte van A T ligt voldoet aan de voorwaarde a T U[] = en dus tot een geldige differentievergelijing leidt. 23

24 Oplossing Oefening 3 A T heeft dimensie 2x(n+) en heeft dus reeds een nulruimte voor n = 2. Als we dus u[].. u[+2] uitshrijven ifv voorheenvermelde basisfunties rijgen we: A T A T a 6a Zo rijgen we bv : u[ 2] a 2, a 8a 2 8 u[ ] 6u[] 24

25 Alternatieve Oplossing Oefening 3 Deze oefening on sneller opgelost worden door op te meren dat een uitgang van de vorm (-4)^ voor een autonoom systeem (met een lineaire homogene differentievergelijing dus) slehts mogelij is als de arateristiee vgl twee nulpunten -4 heeft, en dus een fator (r + 4) 2 bevat. Zo omen we voor een minimaal systeem ((r + 4) 2 =) oo diret bij de oplossing u[+2] + 8u[+] + 6 u[] =. 25

26 Oplossing Oefening 3 Blodiagram uit hershreven diff.vgl.: u[] = -8 u[-] 6u[-2]. u[-2] u[-] x x u[] Toestandsbeshrijving: x,2 [ ] F x,2 [ ]. F 6 8 u[ ] G x,2 [ ]. 26 G 6 8

27 Oplossing Oefening 3 Begintoestand x[] te vinden via toestandsbeshrijving: u[] G x[] u[ ] GF x[] x[] u[] GF x[]

28 Opgave Oefening 4 Een LTI-systeem met een ingang wordt gearateriseerd door de differentievergelijing y[] 4 y[-] + 4y[-2] = u[]. De aangelegde ingang is van de vorm u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π (fr. Oefening 2 en 3). Modelleer als een asadeshaeling van twee systemen, gebrui hiervoor de blodiagrammen uit oefening 2 en 3. o Bepaal de toestandsbeshrijving van het resulterende systeem. Hint: Gebrui de matries A,B,C,D,F en G uit de vorige oefeningen om deze toestandsbeshrijving eenvoudig in blomatrixvorm neer te shrijven. Noem de resulterende matries van deze toestandsbeshrijving A* en C*. o Gebrui de nieuw beomen matrix A* om de uitgang van het autonoom systeem te bepalen. Hint: De uitgangen van dit autonoom systeem zijn volledig bepaald door de eigenwaardes van A* (de polen/ resonanties van het systeem) en de beginvoorwaarden en/of begintoestanden van het systeem. 28

29 Oplossing Oefening 4 Mbv blodiagrammen uit oef. 2 en 3: u[-2] u[-] x x 2 y[-2] y[-] x 3 x u[] + y[] Mbv toestandsbeshrijvingen uit oef. 2 en 3: x,2,3,4 y[ ] [ C ] * x A,2,3,4 * x [ ].,2,3,4 [ ]. 29 A * C F BG * DG A C

30 Oplossing Oefening 4 De uitgang van het volledige systeem wordt bepaald door de nulpunten van zijn arateristiee vgl (zie oef.). Deze an oo opgesteld worden als det(a * - λ*i 4 ) =. De nulpunten van de arateristiee vgl zijn dus oo de eigenwaardes van A *. De eigenwaardes van deze onderdriehoes-blodiagonaalmatrix zijn gelij aan de eigenwaardes van A en die van F. (resp. 2,2,-4,-4). De oplossing is dus van de vorm:.. 4 unnen dan bepaald worden via: y y [ ] (2) 2 (2) 3( 4) 4 ( * * [ ] C A x[] y[]... y[3]... 4 (en zijn uiteraard dezelfde als in oef 2.) 3 4)

31 e 3

32 e 32

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we

Nadere informatie

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema: -- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.

Nadere informatie

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden.

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. - 239 - Naam:... Klas:... Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Eventjes herhalen!!! Voor een vergelijking van de eerste graad, herleid op nul, is het linkerlid een veelterm

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Differentiequotiënten en Getallenrijen

Differentiequotiënten en Getallenrijen Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251) 1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen

1 Stelsels lineaire vergelijkingen 1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm 0 0 0 Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25). DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat

Nadere informatie

The bouncing balls and pi

The bouncing balls and pi The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

Met passer en liniaal

Met passer en liniaal Met passer en liniaal De opgaven in deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor oo je geodriehoe

Nadere informatie

Introductie Coach-modelleren

Introductie Coach-modelleren Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H = Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Berekenen van dynamisch evenwicht

Berekenen van dynamisch evenwicht Bereenen van dynamisch evenwicht Voor het bereenen van dynamische evenwichten zijn er verscheidene methodes. De meest beende zijn het gebrui van traagheidsreacties. Deze traagheidsreacties unnen verder

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Volatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP

Volatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Volatility estimation and visualization for stoc/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Peter Bosschaart Jeroen Spoor Berend Steenhuisen 9 juni 2011 Inhoudsopgave 1 Introductie 3 2 Discretisatie

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Vandaag Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Diferentiaalvergelijkingen Wiskundige beschrijving van dynamische processen Vergelijking voor y(t): grootheid die in de tijd varieert Voorbeelden:

Nadere informatie

Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules als de tussenstappen in de afleiding.

Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules als de tussenstappen in de afleiding. 3NC0 Gecondenseerde materie 0 Tentamen, april 0 lgemeen: eargumenteer e antwoorden Vermeld zowel de gebruite basisformules als de tussenstappen in de afleiding Mogeli te gebruien formules: De Fermi-Dirac

Nadere informatie

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1 1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olmpiade 985-986: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP)

Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP) Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP) Cursus code 259, Dinsdag 7 maart 29, 3:3h 7:h. U mag gebruiken: uw eigen aantekeningen, de uitgeprinte college sheets van Teletop en

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen - 19 - Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen Delen van veeltermen door een veelterm: (boek pag 16) Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 19 nr. - 5-6) 1.. 18 9 + 11 + 6........................

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

Hoofdstuk 13 : Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden.

Hoofdstuk 13 : Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Hoofdstuk1: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden - 9 - Hoofdstuk 1 : Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Instap (boek pag ) Opgave: Zoek de afmetingen van alle

Nadere informatie

Het vinden van een particuliere oplossing

Het vinden van een particuliere oplossing Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Opgaven bij hoofdstuk 12

Opgaven bij hoofdstuk 12 32 Meerkeuze-opgaven Opgaven bij hoofdstuk 12 12.6 Van een lineaire tweepoort is poort 1 als ingang en poort 2 als uitgang op te vatten. Bij de Z-parametervoorstelling van deze tweepoort geldt dan: a:

Nadere informatie

Auteur: Bart Goris Promotor: Dr. Sandra Van Aert

Auteur: Bart Goris Promotor: Dr. Sandra Van Aert Kwantitatieve dite- en positiebepaling van atoomolommen uit een complexe eletronen uittreegolf gebrui maend van statistische parameterschattingstheorie Auteur: Bart Goris Promotor: Dr. Sandra Van Aert

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN Hieronder volgt een korte beschrijving van de vragen van het oefeningengedeelte met antwoord. We geven ook kort weer wat regelmatig

Nadere informatie

maplev 2010/7/12 14:02 page 55 #57 lhs, rhs, assign, isolate, solve, identity, RootOf, allvalues, fsolve, avoid Module 3, 8, 14 en 25.

maplev 2010/7/12 14:02 page 55 #57 lhs, rhs, assign, isolate, solve, identity, RootOf, allvalues, fsolve, avoid Module 3, 8, 14 en 25. maplev 2010/7/12 14:02 page 55 #57 Module 5 Oplossen van stelsels vergelijkingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Stelsels vergelijkingen. lhs, rhs, assign, isolate, solve, identity, RootOf, allvalues,

Nadere informatie

Meetkunde met b2 4ac. Jaap Top

Meetkunde met b2 4ac. Jaap Top Meetkunde met b2 4ac Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 9 januari 2016 (KWG wintersymposium, Utrecht) 1 Doel: meetkunde gebruiken om meer inzicht te krijgen in het oplossen van (veelterm)vergelijkingen.

Nadere informatie

Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde

Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 25 maart 2014; 12:00-14:00 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

Stelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten

Stelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten Zij K = R of C, n N, A R n n. Zoek differentieerbare functies y : R K n zodanig dat ẏ(t) = Ay(t), t R. Opmerking: De oplossingen vormen een lineaire deelruimte (ga na!). Deze heeft dimensie n. De algemene

Nadere informatie

De comfortabele auto

De comfortabele auto De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Oefeningen Digitale Elektronica (I), deel 4

Oefeningen Digitale Elektronica (I), deel 4 Oefeningen Digitale Elektronica (I), deel 4 Oefeningen op min en maxtermen, decoders, demultiplexers en multiplexers (hoofdstuk 3, 3.6 3.7) Wat moet ik kunnen na deze oefeningen? Ik kan de minterm en maxtermrealisatie

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, 14.00-17.00 hours. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Zin en onzin van de normale benadering van de binomiale verdeling

Zin en onzin van de normale benadering van de binomiale verdeling Zin en onzin van de normale benadering van de binomiale verdeling Jef Hendricx 1, 18 november 26 In lassiee handboeen van statistie worden ansen van de binomiale verdeling bereend met tabellen. Voor grotere

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

_., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN. door. Jacob Wijngaard.

_., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN. door. Jacob Wijngaard. _.,.....-..-...------.---i 7703520 -_._------ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN door Jacob Wijngaard Bd/OR/75-06 Een veel beoefend spelletje met dominostenen is het volgende: Zet aile

Nadere informatie

Derde serie opdrachten systeemtheorie

Derde serie opdrachten systeemtheorie Derde serie opdrachten systeemtheorie Opdracht 1. We bekijken een helicopter die ongeveer stilhangt in de lucht. Bij benadering kan zo n helicopter beschreven worden door het volgende stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

This item is the archived peer-reviewed author-version of:

This item is the archived peer-reviewed author-version of: This item is the archived peer-reviewed author-version of: Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Reference: Levrie Paul, Penne Rudi.- Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie