Systeemtheorie en Regeltechniek

Transcriptie

1 Systeemtheorie en Regeltehnie Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Disrete tijdssystemen: Oplossen van de differentievergelijing

2 Hoe unnen we een system voorstellen? Vershillende mogelijheden: o o o o o Blo-diagram Toestandsbeshrijving / state spae representation Differentie- / differentiaalvergelijing Impulsresponsie Transferfuntie n i m ai * y[ i] bi *u[ i] ( ) i x[ ] A x[ ] B u[ ]. y[ ] C x[ ] D u[ ]. u[-2] x u[-] x u[] 2 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

3 Lineaire Homogene differentievergelijing n i Orde n ai * y[ i] ( ) Voorgestelde oplossing : lineaire ombinatie van termen van de vorm r Invullen van r in de differentievergelijing levert: n i i a i * r ( ) = arateristiee vgl Aan deze gelijheid is ehter enel voldaan als r een nulpunt van de bovenstaande n-degraads veeltermvgl is. 3 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

4 Lineaire Homogene differentievergelijing Dus voor nulpunten r j is de oplossing van de vorm: y[ ] n j * r j j Met r j een nulpunt van de arateristiee vgl. Ehter, voor m-voudige nulpunten zijn oo er oo oplossingstermen van de vorm j m * r,..., * r j (Verifieer dit op een simpel voorbeeld, bv. y[+2] - 4 y[+] + 4 y[] = ) 4 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

5 Lineaire Homogene differentievergelijing Een reële veeltermvgl an oo paren omplex toegevoegde nulpunten hebben: jφ -jφ rj R e, rj R e ( rj*) jrj jrj Omdat dan de oëffiiënten oo omplex toegevoegd moeten zijn, nl. j R e, R j -j j e ( j *) Kunnen beide oplossingstermen samengenomen worden en hershreven als volgt (formule van Euler): j * rj jrj 2 R R os( ) (Toon aan dat dit effetief zo is) 5 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

6 Lineaire Homogene differentievergelijing De oeffiienten n unnen bepaald worden adhv de beginvoorwaarden y[] y[n-] Deze leiden tot het stelsel: y[] n j... y[ n ] j n j * r j j * r n j n 6 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

7 Lineaire niet-homogene differentievergelijing General form: n i A linear ombination of inputs results in the same linear ombination of the outputs resulting from eah input individually. (~linearity) m ai * y[ i] bi *u[ i] ( ) i The equation an thus be solved for eah input individually and the results added together afterwards. The resulting partiular solutions an then be added to the general form of the homogenous solution. 7 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

8 Lineaire niet-homogene differentievergelijing n i ai * y[ i] b *u[ i] ( ) i Ingang u[] is gegeven, hoe bepalen we y[]? Mer op: totale oplossing y tot [] = y hom [] + y part [] aan de beginvoorwaarden y tot [], y8 tot [], voldaan is. m i. Bepaal eerst de algemene oplossing voor de overeenomstige homogene differentievergelijing y hom []. Bepaal de oeffiienten i nog niet! 2. Stel een geshite partiuliere oplossing y part [] voor (zie tabel) en bepaal via de methode van de onbepaalde oeffiienten (= substitutie van de partiuliere oplossing in de differentievergelijing) de parameters α i. 3. Bepaal de oeffiienten i van de homogene termen zodat wouter.biesmans@esat.uleuven.be

9 Lineaire niet-homogene differentievergelijing De reden waarom eerst de homogene oplossing gezoht moet worden: o o als deze termen van dezelfde vorm als de ingang u[] bevat, dan moet een partiuliere opl. voorgesteld worden met termen die een hogere graad in bevatten dan normaal. Anders zal door de partiuliere opl. niet aan de diff. vgl. voldaan unnen worden. 9 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

10 Lineaire niet-homogene differentievergelijing Voorbeeld: y[] - 4 y[-] + 4 y[-2] = 2. (Probeer zelf eerst uit!) o Homogene opl. van de vorm o Partiuliere opl. van de vorm a 2 + a 2 + a o o o We zetten a = a = omdat deze termen oo deel zijn van de homogene opl. (en hun oeffiienten dus later via en door de beginvwden bepaald zullen worden). Uiteindelije partiuliere opl. is dus uitsluitend van de vorm a Mer op dat als men enel een partiuliere opl. van de vorm 2 beshouwt, nooit aan de diff. vgl voldaan an zijn wouter.biesmans@esat.uleuven.be

11 Partiuliere oplossingen: (ursus p3.4)

12 Opgave Oefening Oefening 3.8 uit de ursus: Stel de differentievergelijing op voor de evolutie van het aantal onijnenparen als we de volgende veronderstellingen maen: o Een mannelij en vrouwelij onijn worden geboren bij el paar volwassen onijnen op het einde van iedere maand; o een pasgeboren paar onijnen heeft zijn eerste nageslaht op de ouderdom van twee maand o Eenmaal bijeen gebraht zal een paar onijnen bij elaar blijven en blijft het altijd produeren volgens de vorige twee veronderstellingen Wat is het aantal onijnenparen dat men beomt na 2 maand als men vertret met een pasgeboren paar op maand nul? Los hiervoor de opgestelde differentievergelijing op! 2 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

13 Oplossing Oefening In deze oplossing: y = # onijnenparen Differentievergelijing: (Fibonai) Y[] = y[-] + y[-2] Karateristiee veelterm: λ 2 λ = Nulpunten: 2 5, wouter.biesmans@esat.uleuven.be

14 Oplossing Oefening 4 Homogene oplossing: Beginvoorwaarden: Waardes van i : y ) 2 5 ( ) 2 5 ( ] [ 2 ) 2 5 ( ) 2 5 ( [] [] 2 2 y y ) 5 5 ( ), 5 5 ( 2 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

15 Opgave Oefening 2 Een LTI-systeem met een ingang u[] wordt gearateriseerd door de differentievergelijing y[] 4 y[-] + 4y[-2] = u[]. De aangelegde ingang is van de vorm u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π. y[] =, y[] = 2. o Bepaal de uitgang y[] van het systeem. Los hiervoor de differentievergelijing op. Hint: de oplossing bestaat uit een homogeen en een partiulier deel. o Teen het blodiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeshrijving van het systeem (de resulterende matries A,B,C en D zijn nog nodig in oefening 4). o (Bepaal de begintoestanden x[] van het systeem. ) 5 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

16 Oplossing Oefening 2 Homogene oplossing: (dubbel nulpunt 2) y homogeen[ ] (2) 2(2) Partiuliere oplossing:!! mer op dat u[] = (-4)!! y part[ ] ( 4) ( 4) Part. Opl. Invullen in diff. vgl: ( 4) ( 4) 4 2 ( 4) ( 4) ( 4) 4 ( 4) ( 2)( 4) 2 ( 4) 6 ( )( 4) ( 4) (-4) (moet gelden!!!) wouter.biesmans@esat.uleuven.be

17 Oplossing Oefening 2 In het algemeen geldt voor oeffiienten d i, e i : ( i d i )*( 4) ( i e )* ( 4) i!! ( i d i ) en ( i e i ) Hierdoor unnen we de ingevulde diff.vgl. uit de vorige slide hershrijven tot 2 aparte vgln waaruit de 2 onbeenden gevonden unnen worden: 8 α, α wouter.biesmans@esat.uleuven.be

18 Oplossing Oefening 2 8 Totale oplossing ogeen part tot y y y (2) * (2) 4) ( * 9 4 4) ( 27 8 ] [ ] [ ] [ 2 hom Beginvoorwaarden: 9 6, y[], y[] 2 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

19 Oplossing Oefening 2 Blodiagram uit hershreven diff.vgl.: y[] = 4 y[-] - 4y[-2] + u[]. y[-2] x y[-] x 2 u[] y[] Toestandsbeshrijving: x[ ] A x[ ] B u[ ]. y[ ] C x[ ] D u[ ]. 9 A 4 C 4, B 4 4, D wouter.biesmans@esat.uleuven.be

20 Opgave Oefening 3 Modelleer het signaal u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π als de uitgang van een autonoom LTI-systeem. o Bepaal de differentievergelijing van dit LTI-systeem. Hint: shrijf eerst u[], u[+], als een lineaire ombinatie van een aantal basisfunties. Een signaal van de vorm n *a os(φ + φ ) heeft 2(n+) mogelije basisfunties. Deze zijn: a os(φ),, n *a * os(φ) en a * sin(φ),, n *a *sin(φ). o Teen het blodiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeshrijving van het autonoom systeem (de resulterende matries F en G zijn nog nodig in oefening 4) o Bepaal de begintoestanden x[] van het systeem. Hint: gebrui hiervoor de toestandsbeshrijving. 2 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

21 Oplossing Oefening 3 2 Een autonoom (zonder ingang dus) LTI-systeem met een uitgang u[] an altijd gearateriseerd worden door een diff.vgl. van de vorm: We zoeen dus een lineair verband tussen u[], u[+],, u[+n]. ] [... ] [ ] [,... met, ] [ a oo : of ), ( i] * u[ a T n i i n u u U U n wouter.biesmans@esat.uleuven.be

22 Oplossing Oefening 3 Mer op dat u[].. u[+n], als we ze uitshrijven en vereenvoudigen, zelf lineaire ombinaties zijn van enele basisfunties. Voor u[] = (-4) zijn dit slehts 2 basisfunties: (-4) en (-4). Hierdoor is de vetor U te shrijven als U[] (n+)x = A (n+)x2 *b[] 2x met b[ ] ( 4) ( 4) 22 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

23 Oplossing Oefening 3 Dus : a T (zie oef. 2) A A b[] T a a T U[] a T (!) A Dit wil zeggen dat ele vetor a die in de nulruimte van A T ligt voldoet aan de voorwaarde a T U[] = en dus tot een geldige differentievergelijing leidt. 23 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

24 Oplossing Oefening 3 A T heeft dimensie 2x(n+) en heeft dus reeds een nulruimte voor n = 2. Als we dus u[].. u[+2] uitshrijven ifv voorheenvermelde basisfunties rijgen we: A T A T a 6a Zo rijgen we bv : u[ 2] a 2, a 8a 2 8 u[ ] 6u[] 24 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

25 Alternatieve Oplossing Oefening 3 Deze oefening on sneller opgelost worden door op te meren dat een uitgang van de vorm (-4)^ voor een autonoom systeem (met een lineaire homogene differentievergelijing dus) slehts mogelij is als de arateristiee vgl twee nulpunten -4 heeft, en dus een fator (r + 4) 2 bevat. Zo omen we voor een minimaal systeem ((r + 4) 2 =) oo diret bij de oplossing u[+2] + 8u[+] + 6 u[] =. 25 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

26 Oplossing Oefening 3 Blodiagram uit hershreven diff.vgl.: u[] = -8 u[-] 6u[-2]. u[-2] u[-] x x u[] Toestandsbeshrijving: x,2 [ ] F x,2 [ ]. F 6 8 u[ ] G x,2 [ ]. 26 G 6 8 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

27 Oplossing Oefening 3 Begintoestand x[] te vinden via toestandsbeshrijving: u[] G x[] u[ ] GF x[] x[] u[] GF x[] wouter.biesmans@esat.uleuven.be

28 Opgave Oefening 4 Een LTI-systeem met een ingang wordt gearateriseerd door de differentievergelijing y[] 4 y[-] + 4y[-2] = u[]. De aangelegde ingang is van de vorm u[] = *a os(φ) met a = 4 en φ = π (fr. Oefening 2 en 3). Modelleer als een asadeshaeling van twee systemen, gebrui hiervoor de blodiagrammen uit oefening 2 en 3. o Bepaal de toestandsbeshrijving van het resulterende systeem. Hint: Gebrui de matries A,B,C,D,F en G uit de vorige oefeningen om deze toestandsbeshrijving eenvoudig in blomatrixvorm neer te shrijven. Noem de resulterende matries van deze toestandsbeshrijving A* en C*. o Gebrui de nieuw beomen matrix A* om de uitgang van het autonoom systeem te bepalen. Hint: De uitgangen van dit autonoom systeem zijn volledig bepaald door de eigenwaardes van A* (de polen/ resonanties van het systeem) en de beginvoorwaarden en/of begintoestanden van het systeem. 28 wouter.biesmans@esat.uleuven.be

29 Oplossing Oefening 4 Mbv blodiagrammen uit oef. 2 en 3: u[-2] u[-] x x 2 y[-2] y[-] x 3 x u[] + y[] Mbv toestandsbeshrijvingen uit oef. 2 en 3: x,2,3,4 y[ ] [ C ] * x A,2,3,4 * x [ ].,2,3,4 [ ]. 29 A * C F BG * DG A C wouter.biesmans@esat.uleuven.be

30 Oplossing Oefening 4 De uitgang van het volledige systeem wordt bepaald door de nulpunten van zijn arateristiee vgl (zie oef.). Deze an oo opgesteld worden als det(a * - λ*i 4 ) =. De nulpunten van de arateristiee vgl zijn dus oo de eigenwaardes van A *. De eigenwaardes van deze onderdriehoes-blodiagonaalmatrix zijn gelij aan de eigenwaardes van A en die van F. (resp. 2,2,-4,-4). De oplossing is dus van de vorm:.. 4 unnen dan bepaald worden via: y y [ ] (2) 2 (2) 3( 4) 4 ( * * [ ] C A x[] y[]... y[3]... 4 (en zijn uiteraard dezelfde als in oef 2.) 3 4) wouter.biesmans@esat.uleuven.be

31 e 3

32 e 32