Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules als de tussenstappen in de afleiding.

Transcriptie

1 3NC0 Gecondenseerde materie 0 Tentamen, april 0 lgemeen: eargumenteer e antwoorden Vermeld zowel de gebruite basisformules als de tussenstappen in de afleiding Mogeli te gebruien formules: De Fermi-Dirac verdelingssfunctie: f ( E) exp[( ) / ] De ose-einstein verdelingsfunctie: n( E) exp[ / ] eoordeling: Maximaal 80 punten = P Eindcifer = P / 8 Opgave (totaal 5 punten) We beschouwen een twee-dimensionaal (D) vierant rooster met één atoom per eenheidscel en roosterparameter a, zie figuur (a) Onder invloed van een externe verstoring wordt het rooster vervormd zoals weergeven in figuur (b) a) Maa een schets van het vervormde ristal (b) met daarin duideli aangegeven de roostervectoren van het primitieve rooster en de bibehorende eenheidscel Geef een vectoruitdruing voor de roostervectoren en geef het aantal atomen in de eenheidscel [3 punten]

2 b) Construeer het reciproe rooster (behorende bi figuur (b)) Geef een vectoruitdruing voor de reciproe roostervectoren b en b, en teen ze in een schets van het reciproe rooster [5 punten] c) Construeer en schets de eerste rillouinzone (behorende bi figuur (b)) [3 punten] Vervolgens beschouwen we weer het onvervormde ristal (figuur (a)) We gaan nu de eletronische bandenstructuur voor dit onvervormde, vierante ristal uitreenen met behulp van de tight-binding benadering Daartoe wordt één s-orbitaal per atoom meegenomen in de bereening De atomaire golffunctie wordt genoteerd als s ( r r ) voor atoom op positie r De Hamiltoniaan H wordt beschreven door de matrixelementen 0 s H s en t s H s ', waarbi en indices van buuratomen zin Het ristal bevat N atomen Let op, het matrixelement t is negatief d) Geef een algemene uitdruing voor de golffunctie met golfgetal, (r ), binnen de tight-binding benadering in termen van, de atomaire golffuncties ( r r ) en N Zorg daarbi voor de uiste normalisatie [ punten] e) Leidt een uitdruing af voor de bandenstructuur binnen de tight-binding benadering Laat voldoende tussenstappen zien in e afleiding [8 punten] Figuur (c) geeft een schets van de atomaire golffunctie ( r r ) voor posities op de aangegeven gestreepte lin als functie van de x-coördinaat De atomaire golffuncties zin reëel f) Schets de golffunctie (zowel de reële en imaginaire amplitude!) behorende bi de eletronische toestand met x / a en 0, voor posities op de gestreepte lin met x tussen 0 en 4a [4 punten] y

3 Opgave (totaal 30 punten) We beschouwen een één-dimensionaal (D) di-atomair ristal, bestaande uit atomen en met massa resp M en M De afstand tussen buuratomen is a We beschriven longitudinale roostergolven in het ristal door middel van een massa-veer-beschriving met veerconstante f De uitwiing tov de evenwichtspositie van atomen en in eenheidscel wordt beschreven door resp u en v, zie figuur (a) a) Geef de bewegingsvergeliing voor atomen en in eenheidscel [5 punten] De algemene oplossing voor een toestand met golfgetal K, wordt gegeven door ( t) u exp(ika)exp( it) en ( t) vexp(ika)exp( it) u v b) Geef de roostervector van het primitieve rooster en geef de waarde van K op de rand van de eerste rillouinzone [3 punten] c) epaal de hoefrequentie behorende bi de oplossingen van de bewegingsvergeliing op de rand van de eerste rillouinzone [5 punten] d) Schets de fononbandenstructuur voor het geval M op het interval / a K / a Licht e antwoord toe [3 punten] e) Schets de fononbandenstructuur voor het algemene geval M M en voor het geval M M in één en dezelfde figuur, en wederom op het interval / a K / a Licht e antwoord toe [3 punten] Vervolgens bereenen we de diëletrische respons van de eten onder invloed van een homogeen eletrisch veld De atomaire polarizabiliteit van atomen en wordt gegeven door resp en Voor het geïnduceerde atomaire dipoolmoment p van een geïsoleerd atoom in een eletrisch veld E geldt p E De atomaire dipoolmomenten worden beschouwd als een punt-dipool, waarvoor het veld beschreven wordt door de beende 3( p r ) r r p formule E( r ), voor het veld op positie r gemeten tov de positie van 5 4 0r de dipool We leggen een eletrisch veld E ext aan loodrecht op de as van het D ristal We verwaarlozen de invloed van dipoolvelden op afstanden r a, dwz, alleen nabuurinteracties worden in beschouwing genomen f) epaal de geïnduceerde dipoolmomenten p en p, behorende bi atoom en, resp, uitgedrut in (oa), en a [5 punten] 3

4 De lineaire eten blit zich te gedragen als een halfgeleider De eletronische bandenstructuur van de valentieband wordt gegeven door ( ) V cos(a) en de bandenstructuur van de geleidingsband door ( ) U W cos(a), waarin U, V en W positieve constanten met dimensie energie, en met V W en U W g) Schets de energiebanden en leid een uitdruing af voor de effectieve massa van de eletronen aan de onderant van de geleidingsband en gaten aan de bovenant van de valentieband, uitgedrut in gegeven parameters en natuurconstanten [3 punten] Het optische absorptiespectrum van de D halfgeleider staat schematisch weergegeven in de bovenstaande figuur (b) h) Verlaar het absorptiespectrum Geef daarbi de waarde van en, uitgedrut in gegeven parameters en natuurconstanten [3 punten] Opgave 3 (totaal 5 punten) We beschouwen een twee-dimensionaal metallisch systeem met macroscopische afmeting L L Het metaal heeft een vierant rooster met atoom per eenheidscel en roosterparameter a De (volledig gevulde) valentie band en (deels gevulde) geleidingsband worden beschreven met een (D) vrie eletronen model De effectieve massa in zowel de valentieband als in de geleidingsband is m 0 De bandgap tussen valentie- en geleidingsband is E g, waarvoor geldt dat E g van de orde van enele ev s is De Fermi-energie wordt gegeven door E F,0, gemeten tov de onderant van de geleidingsband a) ereen de toestandsdichtheid in de reciproe ruimte, g(), dwz het aantal toestanden per oppervlate-eenheid in de reciproe ruimte Ga hierbi uit van periodiee randvoorwaarden [3 punten] b) ereen de eletronendichtheid n (dwz aantal eletronen per oppervlateeenheid) in de geleidingsband, uitgedrut in gegeven parameters en natuurconstanten [4 punten] c) ereen de toestandsdichtheid als functie van energie D(E) in de geleidingsband [4 punten] 4

5 Vervolgens beschouwen we de eletronische warmtecapaciteit van dit metaal Daartoe benaderen we de Fermi-Dirac functie door: f ( E) als E E F, f ( E) / als EF E EF, en f ( E) 0 als E E F We nemen aan dat E T F, 0 d) eredeneer waarom de eletronen in de valentieband bi amertemperatuur niet bidragen aan de warmtecapaciteit [ punten] e) Leid op basis van de benadering voor f(e) een uitdruing af voor de eletronische warmtecapaciteit van dit metallische systeem, uitgedrut in oa T en E F,0 (Hint: bereen eerst de totale energie U 0 ) [7 punten] Tenslotte zoeen we een relatie tussen de eletronische warmtegeleiding en eletrische ne geleiding van dit metaal De eletrische geleidbaarheid wordt gegeven door:, m waarin de beteenis van de parameters als beend wordt verondersteld De parameter mag in het vervolg van de opgave als beende constante worden verondersteld Voor de warmtegeleidingscoëfficiënt maen we gebrui van de analogie met fononen, waarvoor de warmtegeleidingscoëfficiënt wordt gegeven door: K Cvv (voor een D systeem) f) Leid een uitdruing af voor het eletronische deel van de thermische geleidbaarheid van dit metaal, uitgedrut in gegeven parameters en natuurconstanten [3 punten] Het beroemde resultaat van Wiedermann en Franz an worden geschreven als: K el / LT, waarin L het zogenaamde Lorentzgetal g) Vind binnen de in dit vraagstu gehanteerde benaderingen een uitdruing voor het Lorentzgetal [ punten] EINDE TENTMEN 5