Elementaire Deeltjesfysica

Transcriptie

1 Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 24 November, 2008 Structuur der Materie

2 Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie en impuls Symmetrieën Behoudwetten Discrete symmetrieën Feynman berekeningen Gouden regel Feynman regels Diagrammen Elektrodynamica Dirac vergelijking Werkzame doorsneden Quarks en hadronen Elektron-quark interacties Hadron productie in e + e - Zwakke wisselwerking Muon verval Unificatie Najaar 2007 Jo van den Brand 2

3 Levensduur m B Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z. m C m A c.m. systeem Levensduur: verschillende vervalskanalen, b.v. Vertakkingsverhouding Eenheden b.v. Najaar 2007 Jo van den Brand 3

4 Telsnelheid A + B C + D Werkzame doorsnede Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Najaar 2007 Jo van den Brand 4

5 Voorbeelden Foton-koolstof/lood n- 238 U Najaar 2007 Jo van den Brand 5

6 Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol Verstrooiing aan een massieve bol: Berekening werkzame doorsnede Geometrie b R Berekening werkzame doorsnede: (vgl. Rutherford verstrooiing) Totale werkzame doorsnede, oppervlak zoals de bundel die ziet: Najaar 2007 Jo van den Brand 6

7 Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Alfa deeltjes: T b = 4 7 MeV Coulomb potentiaal Najaar 2007 Jo van den Brand 7

8 Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Voor b b < b < b b +db b Najaar 2007 Jo van den Brand 8

9 Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > b min =R + R t ofwel Meet interactieafstand b min versus A Eigenlijk b min R + R t + R s Najaar 2007 Jo van den Brand 9

10 Rutherford verstrooiïng Plot b min versus A 1/3 Er geldt Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol Rutherford vondt Najaar 2007 Jo van den Brand 10

11 Gouden regel van Fermi In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi s Golden Rule Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa s, energieën en impulsen Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica. Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving. Najaar 2007 Jo van den Brand 11

12 Faseruimte in 1D: Klassiek neemt elke toestand een punt met (x, p x ) in In QM hebben we rekening te Faseruimte Klassiek houden met xp h Volume van elke toestand is h Faseruimte met volume Lp bevat N cellen, N Lp 2 x h Celvolume in 3D is h (2 ) 3 3 Aantal toestanden in volume 3 3 d xd p Aantal toestanden per volume eenheid dn Toestandsdichtheid ( E) de is dn dn 1 (2 ) dn dx 3 3 d xd p 3 3 d p (2 ) 3 3 Najaar 2007 Jo van den Brand 12

13 Delta functie van Dirac In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de Dirac d functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1 Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan d(x) representeren, bijvoorbeeld In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit. Najaar 2007 Jo van den Brand 13

14 Delta functie van een functie We zoeken een uitdrukking voor d( f(x) ) Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x 0 Dan geldt Schrijft y = f(x) Er geldt dan Omschrijven levert Najaar 2007 Jo van den Brand 14

15 Voorbeeld: Delta functie van een functie Meerdere nulpunten: Opgave: Vereenvoudig de uitdrukking Oplossing: Er geldt Nulpunten voor x 1 = 1 en x 2 = -2 Afgeleide Dus en Najaar 2007 Jo van den Brand 15

16 Voorbeeld: Delta functie van een functie Deeltjesverval a in CM systeem Bereken I I d ( m E d p a d ( m p d p a 1 E2) m1 p1 m2 ) 1 a p 1 p 2 Er geldt Stel df d p p dit is je functie f(x) dit is x p E p E1 E2 E1E2 1 m1 p1 m2 p p p * p is de waarde van de impuls waarvoor f ( p1 ) 0 E Dan I E E1E2 1 * 1 E 2 p Najaar 2007 Jo van den Brand 16

17 Gouden regel van Fermi revisited Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden ( E f ) dn dn ( E ) d( E E ) de We schrijven (met E i = E f ) De gouden regel luidt nu Met impulsbehoud en a f de E de f 2 2 fi M fi d ( E Ei ) dn Najaar 2007 Jo van den Brand 17 i Integreer over alle mogelijke toestanden met elke energie, merk op dat 3 (2 ) d p d p ( ) ( ) (2 ) (2 ) fi M fi d Ea E1 E2 d pa p1 p2 3 3 dn d p (2 ) energiebehoud impulsbehoud toestandsdichtheid 3

18 Lorentzinvariante faseruimte In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid Relativistische contraheert volume met E / mc 2 * dv 1 Deeltjesdichtheid neemt toe met Conventie: Gebruik ' E / mc Normeer op 2E deeltjes / volume eenheid 3 2E c Lorentzinvariant matrixelement 2 a a a a a a/ dv 2E c *' ' LI ˆ 2E1 2E2 2En fi ' 1 ' 2 ' n1 ' n fi M H M c c c Najaar 2007 Jo van den Brand 18

19 Lorentzinvariante vervalsnelheid Beschouw het verval n E 1 Deeltje i heeft vierimpuls p i = (E i /c, p i ) Energie E i is een functie van p i vanwege tijddilatatie We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p 1 = (m 1 c, 0) S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls van deeltje 2 in het gebied d 3 p 2 rond de waarde p 2 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand. Bijvoorbeeld voor Najaar 2007 Jo van den Brand 19

20 Voorbeeld: 0 Bereken vervalsnelheid voor met m 1 = m 2 = 0; amplitude M(p 2, p 3 ) Herschrijf delta functie Er geldt en dus Sferische coördinaten Hoekintegratie We vinden Er geldt S = ½ voor 0 Najaar 2007 Jo van den Brand 20

21 Bereken vervalsnelheid voor Tweedeeltjesverval Er geldt. Integreer over p 3 Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met = p 2 vinden we We moeten nu nog over de delta functie integreren Dat kan in principe met We doen het nu echter met een andere methode Najaar 2007 Jo van den Brand 21

22 Tweedeeltjesverval We hebben Verander van variabele Er geldt Mits m 1 > m 2 + m 3, anders niet in het integratie interval! Merk op dat 0 de waarde van (= p 2 ) is waarvoor E = m 1 c 2 Je vindt Uiteindelijk Bij meer dan 2 deeltjes moet je integreren over het matrixelement Najaar 2007 Jo van den Brand 22

23 Gouden regel voor verstrooiing Beschouw de botsing n Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de impuls van deeltje 3 in het gebied d 3 p 3 rond de waarde p 3 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de hoekverdeling van deeltje 3. Uitdrukking volgt uit Telsnelheid n 1 (v 1 + v 2 ) n 2 fi / (v 1 + v 2 ) Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven F 2 E E ( v v ) F 4 ( p1 p2 ) ( m1m 2c2 ) In LAB Najaar 2007 Jo van den Brand 23

24 Elastische verstrooiing in het CM systeem Beschouw de botsing in CM systeem Dan geldt p p E E / c p ( ) ( ) ( ) p p m m c E E p c / p 2 = -p 1 Dus Herschrijf de delta functie Integreer over impuls delta functie: 4 3 p p E c m c p Najaar 2007 Jo van den Brand Gebruik 1 i i 24

25 Elastische verstrooiing in het CM systeem We vinden Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter en p p 2, dus geldt M ( p, p ) 1. Omdat vastligt, geldt M( p, ). 4 3 Gebruik We vinden p p 3 p Najaar 2007 Jo van den Brand 25

26 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Voor elastische verstrooiing geldt Dan geldt elastisch 2 2 c 2 64 s E S M m Dit geldt ook in de limiet i i p p * * i f 2 fi d * Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is 2 d c SM d 8 fi 2 ( E E ) 1 2 De hoeken refereren naar het CM systeem! 2 p p f i 2 2 * c p f 2 d S M fi d 64 s p 2 * i * * * d d(cos ) d Voor een algemeen geldige vergelijking: druk d uit in viervectoren * Vierimpuls overdracht t q ( p p ) Najaar 2007 Jo van den Brand 26

27 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Druk * d uit in termen van de Lorentzinvariant dt t ( p p ) p p 2p p m m 2p p In CM frame: p E p (,0,0, ) (, sin,0, cos ) * * * p E p p * * * * * * * * * * cos * p p E E p p 2 2 * * * * * t m m 2E E 2 p p cos Dit geeft en dus * * * * * * * dtd dt 2 p1 p3 cos d d(cos ) d * 2 p p c p3 2 * c 2 * d 2 S M * fi d S M 2 * 2 fi d dt 64 s p 264 sp 1 1 * * 1 3 Integratie over * d geeft d 2 fi dt * 64 sp1 Najaar 2007 Jo van den Brand 27 c 2 2 SM 2 Lorentzinvariant

28 Fluxfactor voor A + B c.m. stelsel: P 1 =(E 1,+p) P 2 =(E 2,p) note: v p E lab stelsel: P 1 =(E, p) P 2 =(m 2,0) Najaar 2007 Jo van den Brand 28

29 Toy-model: ABC theorie Drie deeltjes: A, B en C Ieder deeltje is zijn eigen antideeltje Spin van de deeltjes is 0 m A > m B + m C Najaar 2007 Jo van den Brand 29

30 Feynman regels Berekening van de amplitude -im: Hiervoor is de dynamica van wisselwerking nodig. In het vervolg zullen we de amplitudes berekenen voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen. Om een idee te krijgen eerst de amplitude voor een hypothetisch model, 3 toy-model: Feynman regels ABC theorie: A p 1 p 2 p 3 ig B C Najaar 2007 Jo van den Brand 30 B A p 2 p 1 q ig C ig p 3 p 4 B A

31 Levensduur ( 3 toy-model) Het matrixelement is [g]=[gev] im ig A g B C De vervalsbreedte wordt met Fermi s regel: En de levensduur van deeltje A is dus 1 De impuls van B (of C) kan bepaald worden, in c.m. systeem: Najaar 2007 Jo van den Brand 31

32 Verstrooiing A+A B+B ( 3 toy-model) A p 2 p 4 C (A) q B Tweede diagram! A p 2 C q (B) p4 B A p 1 p 3 B A p 1 p 3 B (A): (B): (A+B): Najaar 2007 Jo van den Brand 32

33 Verstrooiing A+A B+B ( 3 toy-model) In het c.m. stelsel Veronderstel m A =m B =m en m C =0 A B B A c.m. frame Twee identieke deeltjes in eindtoestand (dus een extra factor ½!=½) Werkzame doorsnede: Najaar 2007 Jo van den Brand 33

34 Verstrooiing A+B A+B ( 3 toy-model) A B p 2 p 4 C (A) q p 1 p 3 B A Twee diagrammen dragen bij! A B p 2 p 1 (B) q C B p 4 p 3 A (A): (B): (A+B): Najaar 2007 Jo van den Brand 34

35 Verstrooiing A+B A+B ( 3 toy-model) B In het c.m. stelsel Veronderstel m A =m B =m en m C =0 A A B c.m. frame Werkzame doorsnede: Najaar 2007 Jo van den Brand 35