Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC augustus 2010,

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC10 23 augustus 2010, uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk één punt opleveren. Er zijn tenminste 8.25 punten nodig om een voldoende te behalen. Lees tekst en vragen goed door vóór aan de beantwoording te beginnen. Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer. Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te definiëren! 1

2 Opgave 1. Nylon is een kunstof dat bestaat uit polyamidepolymeren. Een polyamidepolymeer kan beschouwd worden als een ketting van repeterende eenheden, die monomeren genoemd worden. Op elk monomeer zit een bindingsplaats voor water. Als gevolg hiervan is nylon in staat om een significante hoeveelheid water op te nemen. In deze opgave wordt het absorptiegedrag van water in nylon bekeken. Een stuk nylon met een vast volume heeft L bindingsplekken voor water. In het materiaal bevinden zich N L moleculen water, die allen gebonden zitten aan de eerder genoemde bindingsplekken. Aan elke bindingsplaats kan slechts één watermolecuul hechten. Voor dit systeem kan de volgende kanonieke toestandssom worden opgeschreven, Q (N, V, T ) = L! N! (L N)! qn, (1) waarin q de toestandssom is van een enkel gebonden watermolecuul is q = 1 h 3 p r d r d p exp [ βh ( p, r )]. (2) In de bovenstaande vergelijking is h de constante van Planck en H de klassieke hamiltoniaan van het watermolecuul. Verder is p de impuls van het watermolecuul en r de positie van het molecuul t.o.v. de bindingsplek. a) [0.5pt]Geef definities van de begrippen faseruimte en fasebaan. [0.5pt]Wat is de dimensie van de faseruimte van het hierboven besproken systeem? b) [0.5pt]Bespreek de achtergrond van de wiskundige uitdrukking L!/N! (L N)! in de toestandssom, vergelijking 1. [0.5pt]Wat in deze uitdrukking weerspiegelt het quantummechanische karakter van de deeltjes? De klassieke hamiltoniaan van een enkel gebonden watermolecuul bestaat uit een aantal onderdelen: H = p 2 2m + ɛ k r 2. (3) In deze vergelijking is m de massa van een watermolecuul en zijn ɛ en k constanten. M.b.v. vergelijking 2 kan aangetoond worden dat ( ) 3 ξ q = exp ( βɛ), (4) Λ met Λ βh 2 /2πm en ξ 2π/βk. c) [1pt]Leid een uitdrukking af voor de warmtecapaciteit C V vanuit de toestandssom. 2

3 d) [1pt]Leid uitgaande van de kanonieke toestandssom een vergelijking af, waarin de bezettingsgraad van de bindingsplekken N/L een functie is van de chemische potentiaal µ. Wanneer nylon in contact staat met een zeer grote hoeveelheid lucht, dan stelt de hoeveelheid water in het nylon zich in op de luchtvochtigheid van deze lucht. Het water in de nylon kan nu ook beschreven worden m.b.v. het grootkanonieke ensemble. De grootkanonieke toestandssom blijkt gelijk te zijn aan Ξ (µ, V, T ) = [1 + q exp (βµ)] L. (5) e) [0.5pt]Laat zien hoe de amplitude van de fluctuaties in het aantal deeltjes (δn) 2 (δn N N ) afhangt van L en µ. [0.5pt]Laat met het gevonden resultaat zien dat de beschouwingen van het systeem in het kanonieke en grootkanonieke ensemble equivalent zijn in de thermodynamische limiet. 3

4 Opgave 2. We beschouwen een systeem van zeer veel niet-wisselwerkende fermionen in evenwicht bij temperatuur T. De één-deeltje toestanden zijn φ α met energie E α (α = 0,..., ). a) [1pt] Leg uit dat een quantummechanische toestand van het systeem volledig vastgelegd kan worden door het aantal deeltjes n α in elke ééndeeltje toestand φ α te specificeren. b) [1pt] Laat zien dat we de groot-kanonieke toestandssom van het systeem kunnen schrijven als Ξ = Ξ α, Ξ α = 1 + exp [ β(e α µ)], (6) α=0 met β = 1/kT en µ de chemische potentiaal. c) [1pt] Laat nu zien dat we de volgende uitdrukking kunnen afleiden voor het gemiddelde aantal fermionen n α in toestand φ α : n α = Maak hierbij gebruik van het feit dat exp [β(e α µ)]. (7) n α = ν P ν n α, (8) met P ν de kans op een toestand ν met energie E ν en N ν deeltjes: P ν = 1 Ξ exp [ β(e ν µn ν )]. (9) d) [1pt] Laat zien dat de volgende uitdrukking geldt voor de druk p van het systeem βpv = ln (1 n α ), (10) α=0 waarbij V het volume is van het systeem. e) In de limiet van zeer hoge temperatuur kan m.b.v. de expansie ln(1 + x) x x 2 /2+... een uitdrukking worden gegeven voor de druk tot op tweede orde in n α. [0.5pt] Bepaal de eerste-orde bijdrage en geef een fysische interpretatie van deze bijdrage. [0.5pt] Bepaal de tweede-orde bijdrage en geef een fysische interpretatie van deze bijdrage en in het bijzonder van het teken van deze bijdrage. 4

5 Opgave 3. De energie van een spin-configuratie {s i } (s i = ±1 voor i = 1,..., N) in het Ising-model is E ({s i }) = 1 N 2 J z s i s j Hµ B i=1 j(i)=1 N i=1 s i, (11) met J een positieve constante, z het aantal naburen van een spin, H het externe magnetische veld, en µ B het Bohr-magneton. In de zogenaamde gemiddelde-veld benadering kunnen we deze energie schrijven als E ({s i }) 1 2 JNz s 2 H mol µ B N i=1 s i, (12) het zogenaamde mole- met s de gemiddelde spin en H mol = H + Jz s µ 1 B culaire veld. a) [1pt] Leg uit wat de gemiddelde-veld benadering inhoudt. b) [1pt] Laat zien dat in de gemiddelde-veld benadering de kanonieke toestandssom gelijk is aan Q = exp ( 12 ) βjnz s 2 [2 cosh(βh mol µ B )] N, (13) met β = 1/kT. c) [1pt] Laat zien dat uit bovenstaande uitdrukking voor de kanonieke toestandssom de volgende vergelijking voor de gemiddelde spin s in de gemiddelde-veld benadering kan worden afgeleid: s = tanh (βjz s + βhµ B ). (14) d) [1pt] Bepaal uit deze uitdrukking de kritieke temperatuur T c waarbeneden er in de gemiddelde-veld benadering sprake is van spontane magnetisatie voor het geval dat H = 0 (tanh x = x x 3 /3 +...). Leg uit hoe u tot dit resultaat komt. e) [0.5pt] Bepaal m.b.v. een expansie het gedrag van de gemiddelde spin s in de gemiddelde-veld benadering voor een temperatuur T boven T c en vlak onder T c voor het geval dat H = 0. [0.5pt] Maak een schets van de mogelijke waarden van de gemiddelde spin s als functie van de temperatuur. 5