Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 6 juli 2012, uur

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 6 juli 2012, uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk één punt opleveren. Er zijn tenminste 8.25 punten nodig om een voldoende te behalen. Lees tekst en vragen goed door vóór aan de beantwoording te beginnen. Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer. Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te definiëren! 1

2 Opgave 1. Een ideaal gas bestaande uit N moleculen bevindt zich in een cylinder die afgesloten is met een wrijvingsloze beweegbare zuiger. De cylinder is in thermische en mechanisch evenwicht met zijn omgeving. De omgeving heeft een druk p en temperatuur T. Het gedrag van dit gas kan beschreven worden in het isobaar-isotherm ensemble. De toestandssom Γ van een dergelijk ensemble is gelijk aan Γ (N, p, T ) = ν exp ( β [E ν + pv ν ]), waarin β (k B T ) 1. Verder zijn E ν en V ν de energie en het volume behorende bij de toestand ν. De kans P ν op een zekere toestand ν wordt gegeven door Γ 1 exp ( β [E ν + pv ν ]). a) [1pt]De thermodynamische potentiaal van een N, p, T -ensemble is G = E T S + pv. Toon aan dat deze thermodynamische potentiaal gelijk is aan k B T ln Γ. Voor het volume V van het gas en de fluctuaties van dit volume V V V kan worden afgeleid dat ( ) ln Γ V = βp N,T en ( ) ( V ) 2 2 ln Γ = βp 2 b) [1pt]Leid de bovenstaande uitdrukking voor V af uitgaande van de toestandssom Γ en de kans P ν. In het kanoniek ensemble kan voor een ideaal gas afgeleid worden dat de kanonieke toestandssom Q (N, V, T ) = (V/Λ 3 ) N /N!, waarin Λ de thermische golflengte is. De toestandssom Γ (N, p, T ) kan als volgt gerelateerd worden aan de kanonieke toestandssom Q (N, V, T ). Γ (N, p, T ) = C 0 N,T Q (N, V, T ) exp ( βpv ) dv. In deze vergelijking is C een constante die niet van de druk en de temperatuur afhangt. c) [1pt]Leid de bovenstaande integraal voor Γ af uit de eerder gegeven uitdrukking voor de toestandssom Γ (N, p, T ) = ν exp ( β [E ν + pv ν ]). 2.

3 d) [1pt] Toon aan dat ln Γ = ln C 3N ln Λ (N + 1) ln βp. In de afleiding kun je gebruik maken van het gegeven dat x N exp ( ax) dx = 0 N!/a N+1. Laat tevens zien dat vanuit de toestandssom Γ de ideale gaswet afgeleid kan worden. e) [1pt] Bewijs dat in de thermodynamische limiet volumefluctuaties relatief gezien verwaarloosbaar zijn. Opgave 2. Een electromagnetisch veld zit opgesloten in een kubusvormige metalen doos met volume V = L 3 (L is de lengte van een zijde van de kubus). Het systeem is in thermisch evenwicht met zijn omgeving. Het electromagnetische veld kan beschreven worden m.b.v. een oneindig grote verzameling quantummechanische harmonische oscillatoren. Een oscillator k heeft een eigenfrequentie ω k en energie E k = (n k + 1/2) ω k met = h/2π en n k = 0, 1, 2,...,. De kanonieke toestandssom van het veld Q (V, T ) is factoriseerbaar in de bijdragen van de individuele oscillatoren: Q = k Q k. De kanonieke toestandssom van een oscillator k voldoet aan Q k = [2 sinh (β ω k /2)] 1. Waarin β (k B T ) 1. Een electromagnetisch veld kan ook beschouwd worden als een fotongas. Een foton is dan een energiepakketje ter grootte van ω k en n k is het aantal fotonen met energie ω k. a) [1pt] Is een foton een boson of een fermion? Hoe blijkt dit uit de bovenstaande beschrijving van het electromagnetische veld? b) [1pt] Toon aan dat de toestandssom inderdaad factoriseerbaar is en wel als Q = k Q k met Q k = [2 sinh (β ω k /2)] 1 (maak gebruik van k=0 λk = (1 λ) 1 ). Het fotongas bestaat dus uit fotonen met verschillende energieën. Het gemiddelde aantal fotonen met energie ω k in het systeem is gelijk aan n k = 1 [ ] cosh (β ωk /2) 2 sinh (β ω k /2) 1 (1) c) [1pt] Toon aan dat het gemiddelde aantal fotonen met energie n k voldoet aan de bovenstaande vergelijking. Wat gebeurt er met dit aantal voor T 0 en T? d) [1pt] Bewijs dat de druk p van het electromagnetische veld gelijk is aan E /3V met E de gemiddelde energie. In je afleiding kun je 3

4 gebruik maken van het gegeven dat de frequentie van het foton bepaald wordt door de dimensies van de metalen kubus: ω k = πck/l (c is de lichtsnelheid en k = 1, 2, 3,...). e) [1pt] De aantallen fotonen met twee verschillende energieën is niet gecorreleerd: n k n l = n k n l voor k l. Bewijs dat dit zo is. Opgave 3. We beschouwen een driedimensionaal roostergas van N moleculen waarbij de ruimte is onderverdeeld in M kubusjes met zijde a. Het aantal moleculen n i in elk kubusje i = 1,..., M is maximaal één: n i = 0, 1. Er is alleen nabuurinteractie. De energie van een toestand ν wordt dan E ν = E ({n i }) = 1 M 2 ɛ z n i n j, i=1 j(i)=1 waarbij z het aantal nabuurkubusjes j(i) van i is en ɛ > 0 de energie van de nabuurinteractie. a) [1pt] Laat zien dat de grootkanonieke toestandssom Ξ(µ, V, T ) van het roostergas geschreven kan worden als Ξ(µ, V, T ) = ν exp ( βw ν ), met µ de chemische potentiaal, V = Ma 3 het volume, β = 1/k B T, T de temperatuur, en W ν = W ({s i }) = 1 M 8 ɛ z ( 1 s i s j 2 µ + 1 ) 4 ɛz M s i 1 8 ɛmz 1 2 µm, i=1 i=1 met s i = 2n i 1. j(i)=1 b) [1pt] Laat zien dat het bij a) gevonden resultaat voor de grootkanonieke toestandssom van het roostergas equivalent is met de uitdrukking voor de kanonieke toestandssom van het Ising model. Welke grootheid correspondeert met de interactie-energie J van het Ising model? En welke grootheid correspondeert met het magnetische veld H in het Ising model? In de Bragg-Williams benadering kan men nu de volgende uitdrukking afleiden voor de vrije energie: βf M = 1 2 βɛzφ2 + φ ln φ + (1 φ) ln(1 φ), met φ = N/M de volumefractie van het roostergas. 4

5 c) [1pt] Laat zien dat uit deze uitdrukking voor de vrije energie de volgende uitdrukkingen volgen voor de chemische potentiaal en de druk: βµ = ln φ ln(1 φ) βɛzφ, βp = a 3 [ ln(1 φ) 1 2 βɛzφ2 ]. d) [1pt] Laat zien dat in de limiet van lage dichtheid uit de uitdrukking voor de druk gevonden bij c) de ideale gaswet wordt teruggevonden. Geef ook de uitdrukking voor de temperatuur (de Boyle temperatuur ) waarbij de kwadratische term in een expansie van de druk in machten van φ verdwijnt. Leg in fysische termen uit wat de reden is voor het verdwijnen van deze kwadratische term. U mag gebruik maken van ln(1 + x) = x 1 2 x x3... voor x 1. e) [1pt] Bepaal aan de hand van de bij c) gevonden uitdrukking voor de chemische potentiaal de waarden φ 1 en φ 2 van het interval φ 1 < φ < φ 2 van waarden van φ waarvoor het roostergas niet stabiel kan zijn voor T < T c ɛz/4k B. Leg in fysische termen uit wat er voor T < T c met het roostergas gebeurt als φ net buiten dit interval ligt, d.w.z. buiten de spinodaal, maar nog wel binnen de binodaal. 5