Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 5 juli 2013, uur

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 5 juli 2013, uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk één punt opleveren. Er zijn tenminste 8.25 punten nodig om een voldoende te behalen. Lees tekst en vragen goed door vóór aan de beantwoording te beginnen. Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer. Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te definiëren! 1

2 Opgave 1. a) [0.5pt] Hoe luidt het statistisch postulaat? [0.5pt] Hoe maakt de ensembletheorie gebruik van dit postulaat? De belangrijkste componenten in de atmosfeer op aarde zijn zuurstof O 2 en stikstof N 2. We beschouwen een denkbeeldig volume V van de atmosfeer (gasmoleculen kunnen dus vrijelijk het volume in en uit bewegen). In onze beschouwing nemen we alleen stikstof en zuurstof mee. De dichtheden van de gassen zijn zeer laag. De energie van het gasmengsel van N O zuurstofmoleculen en N N stikstofmoleculen in het denkbeeldige volume is gelijk aan E = N O i=1 p O,i 2 /2m O + N N i=1 p N,i 2 /2m N. In deze vergelijking verwijzen de indices O en N naar zuurstof en stikstof. De impulsen van de moleculen worden weergegeven door de variabelen p O,i en p N,i. Verder zijn m O en m N de massa s van respectievelijk een zuurstof- en stikstofmolecuul. De grootkanonieke toestandssom van het gasmengsel valt te schrijven als Ξ = Ξ O Ξ N, waarin Ξ O en Ξ N de toestandssommen zijn van het zuurstof- en stikstofgas. b) [0.5pt] Leg uit waarom een keuze voor het grootkanonieke ensemble in dit geval logisch is. [0.5pt] Bewijs dat inderdaad geldt dat Ξ = Ξ O Ξ N. Er kan aangetoond worden dat ln Ξ O = q O exp (βµ O ), met q O de één-deeltje toestandssom en µ O de chemische potentiaal van het zuurstofgas. Eenzelfde uitdrukking geldt voor Ξ N. Verder is β (k B T ) 1. c) [1pt] Bewijs dat de druk p in het systeem voldoet aan βpv = N O + N N. d) [1pt] De in onderdeel c) gegeven uitdrukking voor de druk kan ook in het kanonieke ensemble worden afgeleid. In dat geval vind je βpv = N O + N N. Verklaar waarom een analyse via het kanonieke ensemble leidt tot dit bijna precies hetzelfde resultaat (het resultaat zelf hoeft niet afgeleid te worden). 2

3 e) [0.5pt] Leid af dat N O N N = 0, met N O N O N O en N N N N N N. [0.5pt] Verklaar waarom dit zo is. Opgave 2. Deeltjes kunnen in twee klassen onderverdeeld worden: bosonen en fermionen. a) [0.5pt] Welk verschil tussen bosonen en fermionen geeft aanleiding tot hun verschillende statistische behandeling? [0.5pt] Hoe leg je een microscopische toestand van een verzameling identieke bosonen of fermionen vast? De grootkanonieke toestandssom Ξ van een verzameling bosonen wordt gegeven door 1 Ξ = 1 exp( β [E k µ], waarin β = (k B T ) 1, µ de chemische potentiaal en E k de energie van een één-deeltje-toestand k (k = 1, 2,..., ). b) [1pt] Leid deze uitdrukking voor Ξ af. Hierbij kan je gebruik maken van p=0 xp = (1 x) 1 voor x < 1. Helium-4 atomen gedragen zich als bosonen. Koolstof nanobuisjes met lengte L worden in contact gebracht met een groot reservoir gevuld met een gas van Helium-4 atomen. Na equilibratie zal zich een klein deel van de gasatomen in de nanobuisjes bevinden. Aangezien de diameter van de nanobuisjes klein is, mogen we het gas in de buisjes beschouwen als een één-dimensionaal gas. De één-deeltje-energieën E k van dit gas voldoen aan E k = h2 k 2 8mL 2 ϵk2, waarin h de constante van Planck is en m de massa van het Helium-4 atoom. M.b.v. deze uitdrukking voor E k kan aangetoond worden dat in de klassieke limiet de toestandssom Ξ voldoet aan ln Ξ = exp (βµ) π/4βϵ. c) [0.5pt] Wat verstaan we onder de klassieke limiet? [0.5pt] Leid bovenstaande uitdrukking voor Ξ af. (Hint: dk en 0 exp ( ax 2 ) dx = π/a). 3

4 d) Voor de chemische potentiaal van een klassiek ideaal gas geldt βµ = ln N ln q, met N het gemiddelde aantal deeltjes en q de kanonieke één-deeltje-toestandssom. [0.5pt] Laat zien dat voor de Helium-4 atomen in de nanobuisjes geldt q = L/λ, waarin λ een temperatuurafhankelijke constante is. [0.5pt] Wat is de fysische betekenis van λ? Voor de druk p in een ideaal gas van bosonen in een volume V kan de volgende reeksontwikkeling in de dichtheid ρ N /V worden afgeleid: waarin K een constante is. βp = ρ + Kρ 2 + O(ρ 3 ), e) [1 pt] Toon aan dat K < 0. Hierbij kan je gebruik maken van de Bose-Einstein verdelingsfunctie n k = {exp(β [E k µ] 1} 1 en van het gegeven dat ln (1 + x) x x 2 /2 + O(x 3 ) voor x 1. Opgave 3. Verplaatsbaarschui e Amfifiele moleculen Lucht Zijaanzicht Water Bovenaanzicht Figuur 1: Amfifiele moleculen op een wateroppervlak, bijeengehouden door een verplaatsbaar schuifje. Een amfifiel molecuul heeft een waterminnend en een waterafstotend deel. Wanneer dergelijke moleculen in contact gebracht worden met water, dan hopen ze zich op in het water-lucht grensvlak. Stel we nemen een bak met water. Het water-lucht grensvlak in deze bak verdelen we in twee delen d.m.v. een beweegbare schuif die net in contact met het water staat (zie figuur). We spreiden N amfifiele moleculen uit over het water-lucht grensvlak van één 4

5 van de twee delen. Het andere stuk van het grensvlak laten we leeg. Het gedrag van de amfifiele moleculen in het grensvlak kunnen we beschrijven met een roostergasmodel, waarbij het water niet expliciet beschreven wordt. We verdelen daartoe het stuk waar de moleculen zitten in L vakjes. Elk vakje heeft z naburen. Een vakje k kan n k moleculen bevatten, waarbij n k = 0, 1. De kans om een molecuul in een vakje aan te treffen is dus gelijk aan ϕ N/L. De energie van de moleculen is gelijk aan E ν = 1 2 ϵ L z l(k)=1 n k n l + u L n k, waarin de som over l(k) loopt over de z nabuurvakjes van k. In deze uitdrukking is ϵ de wisselwerkingsenergie tussen twee naburige moleculen (ϵ < 0). Verder is u de wisselwerkingsenergie tussen een amfifiel molecuul en water (u < 0). a) [0.5pt] Beneden een zekere temperatuur kan er fasescheiding in het systeem optreden. Beschrijf wat er dan gebeurt. [0.5pt] Wat drijft deze fasescheiding? b) [0.5pt] Wat is een gemiddelde-veld benadering? [0.5pt] Leid af dat in de gemiddelde-veld benadering de energie van het systeem gelijk wordt aan 1 2 zlϵϕ2 + ulϕ. Met de onder opgave b) gegeven uitdrukking voor de energie kan nu aangetoond worden dat de Helmholtz vrije energie F van het systeem voldoet aan βf/l = ϕ ln ϕ + (1 ϕ) ln (1 ϕ) zβϵϕ2 + uϕ, waarin β = (k B T ) 1. c) [1pt] Leid deze uitdrukking voor F af. Hierbij kan je gebruik maken van ln x! = x ln x x voor x zeer groot. d) [0.5pt] Leg uit wat een kritiek punt is. [0.5pt] Toon aan dat voor het systeem van amfifiele moleculen in de gemiddelde-veld benadering bij het kritieke punt de kritieke temperatuur gelijk is aan T c = zϵ/4k B en de kritieke concentratie aan ϕ c = 1/2. e) [1pt] Er blijkt een kracht nodig te zijn om het schuifje op zijn plek te houden. Beredeneer wat de richting is van deze kracht: richting de kant van het oppervlak met de amfifiele moleculen of juist de andere kant op? 5