Higgs-mechanisme: het bestaan van W- en Z-bosonen
|
|
- Johanna de Smedt
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Chapter Higgs-mechanisme: het bestaan van W- en Z-bosonen. De Higgs-Lagrangiaan Beschouwd wordt de volgende Lagrangiaan L : L = 2 µφ µ φ + 2 µφ 2 µ φ µ2 φ µ2 φ 2 4 λ φ 2 + φ Deze Lagrangiaan beschrijft twee scalarvelden φ, φ 2 tegelijkertijd: de eerste twee termen zijn het kinetische deel van de velden, de twee termen erna de inherente eigenschap µ van de velden, en de laatste term is de interactie tussen φ en φ 2. Een aantal eigenschappen van de twee velden kunnen snel worden geconcludeerd: wanneer we deze Lagrangiaan vergelijken met die van een Klein-Gordon-deeltje, zien we direkt dat de twee velden een spin hebben van nul. Daaruit volgt dat deze deeltjes voldoen aan Bose-Einstein statistiek, oftewel dat het Pauli Principe niet geldt en er dus een willekeurig aantal φ en φ 2 deeltjes tegelijkertijd in dezelfde quantumtoestand kunnen zijn. Tenslotte laat de laatste term in de Lagrangiaan zien dat de twee deeltjes een fysische interactie met elkaar aangaan: deze term zal immers, via de Euler-Lagrange vergelijking, termen opleveren in de bewegingsvergelijking van elk deeltje waarin het andere deeltje een rol speelt. Het is eenvoudig om dit expliciet te maken: volgens de Euler-Lagrangevergelijking zijn de bewegingsvergelijkingen van de twee deeltes de volgende: 2 µ 2 φ = λ φ 2 + φ 2 2 φ,.2 2 µ 2 φ 2 = λ φ 2 + φ 2 2 φ2,.3 Twee verdere conclusies kunnen nog worden getrokken. Ten eerste is duidelijk de massatermen µ 2 φ en µ 2 φ 2 met het verkeerde minteken uitkomen, en ten tweede is te zien dat de rollen van de twee typen deeltjes geheel symmetrisch zijn: het onderling gelijk verwisselen van de velden φ met φ 2 levert precies dezelfde Lagrangiaan en bewegingsvergelijkingen op.
2 2 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN Deze laatste twee observaties hebben een nauwe verwantschap door middel van het begrip Spontane Symmetriebreking, en zullen cruciaal blijken te zijn voor het Higgs-mechanisme..2 Spontane Symmetriebreking De beschouwde Lagrangiaan heeft een Hamiltoniaandichtheid H die kan worden berekend met de gebruikelijke uitdrukking uit het Noether Theorema H = L 0 φ 0φ + L 0 φ 2 0φ 2 L..4 Uitgewerkt voor de huidige Lagrangiaan levert dit de volgende uitdrukking op: H = 2 0φ φ µ2 φ 2 + φ λ2 φ 2 + φ De ruimteintegraal van deze uitdrukking levert dan de energie op van het fysische systeem, en volgens het Noether Theorema is deze uitdrukking constant in de tijd. Duidelijk is dat de oplossing φ = 0, φ 2 = 0 niet de minimale energie oplevert voor dit systeem: door even te schrijven φ 2 + φ 2 2 = x en de afgeleide te nemen van het potentiele deel van de Hamiltoniaan en die gelijk te stellen aan nul, volgt dat de laagste energietoestand van het systeem voldoet aan µ λ2 x = 0.6 oftewel wanneer er voor de velden geldt µ 2 φ 2 + φ 2 2 =..7 λ Zoals is te zien is er een continuum aan oplossingen voor deze toestand van laagste energie. Elke keuze is, wat de fysica van het systeem betreft, identiek aan elke andere; immers, de Lagrangiaan is symmetrisch onder elke onderling gelijke verwisseling van de twee velden. We zullen als toestand van laagste energie de volgende kiezen: φ 0 = µ λ, φ 2 0 = 0..8 waarbij het onderschrift 0 aangeeft dat we met de waarde van het veld te maken hebben waarin de energie de laagste waarde heeft. Het wiskundig apparaat van de Quantumvelden Theorie gaat uit van het principe dat de natuur de laagste energietoestand aan probeert te houden; elke afwijking van de laagste energietoestand bijvoorbeeld door deeltjes op elkaar te laten botsen in een versneller moet gezien worden als een verstoring van die laagste energietoestand. Het is daarom handig om de oorspronkelijke Lagrangiaan te herschrijven in een wiskundig identieke! vorm waarin het duidelijk is welke bijdragen de laagste energietoestand beschrijven en welke bijdragen de verstoring van de laagste energietoestand. Hiertoe schrijven we de twee velden als φ = φ 0 + η, φ 2 = φ ξ,.9
3 .3. HET HIGGS-MECHANISME 3 oftewel als een constante term φ 0 voor φ en φ 2 0 voor φ 2 overeenkomend met de laagste energietoestand en een dynamische verstoring van die laagste energietoestand η voor φ en ξ voor φ 2. Voor onze gemaakte keuze levert dit op: φ = µ λ + η, φ 2 = ξ..0 Door deze herschrijving in te vullen in de Lagrangiaan wordt een wiskundig identieke! uitdrukking gevonden die, deze keer, de dynamica van de fysica beschrijft in termen van de afwijkingen η en ξ van de laagste energietoestand van het systeem. Er wordt dan gevonden dat de Lagrangiaan gegeven wordt door L = + 2 µη µ η µ 2 η µξ µ ξ µλη 3 + µληξ 2 4 λη4 + ξ 4 + 2η 2 ξ 2 + µ4 2λ 2.. De eerste set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje η met massa µ, en de tweede set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje ξ met massa nul. Daarna volgen een aantal interacties van de twee deeltjes met elkaar, en tenslotte is er een constante term die geen fysische betekenis heeft; hij wordt immers altijd weggedifferentieerd wanneer de Lagrangiaan wordt ingevuld in de Euler-Lagrangevergelijking. Zo is gevolgd dat de Lagrangiaan wel degelijk fysisch acceptabele dit wil zeggen: met reële massa deeltjes beschrijft, mits we maar het systeem beschrijven vanuit de toestand met laagste energie. Een deeltjesinterpretatie blijkt pas mogelijk wanneer we velden identificeren die de afwijkingen zijn van de laagste energietoestand. De werkelijke deeltjes worden dus beschreven door de velden η en ξ, en niet door de velden φ en φ 2. Het herschrijven van de Lagrangiaan in termen van de afwijkingen van de laagste energietoestand is ten koste gegaan van de symmetrie van de Lagrangiaan: waar de oorspronkelijke versie nog invariant was onder een onderling gelijke verwisseling van de twee velden, is de nieuwe versie dat niet. Met zegt dan dat de symmetrie is gebroken. De algemene regel is dit: na het breken van de symmetrie van een Lagrangiaan door over te gaan op velden die de afwijkingen van de laagste energietoestand beschrijven, worden imaginaire massa s reeel en zal een van de velden een scalardeeltje beschrijven dat geen massa heeft. Dit feit staat bekend als het Theorema van Goldstone..3 Het Higgs-mechanisme In wat volgt zullen we ons verder verdiepen in de symmetrie die de oorspronkelijke Lagrangiaan had. Zoals is besproken is de oorspronkelijke Lagrangiaan invariant onder onderlinge verwisseling van de twee oorspronkelijke velden φ en φ 2. Hiermee wordt niet louter bedoeld dat de twee velden door elkaar vervangen mogen worden, maar ook dat er de verwisseling zodanig mag zijn dat er net zoveel φ -heid als φ 2 -heid is voor als na de
4 4 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN verwisseling. Dit is compleet analoog aan de bespreking uit een eerder hoofdstuk van de verwisseling van de kleuren. Daar was aangetoond dat zo n toegestane kleurverwisseling beschreven kan worden met een unitaire matrix; in het huidige geval van de verwisseling van de velden φ en φ 2 is dat een te strenge eis: deze keer zijn de velden niet complex maar reëel, waardoor een orthogonale matrix volstaat. een orthogonale matrix O is een matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan de inverse, oftewel een matrix waarvoor geldt dat O T O gelijk is aan de eenheidsmatrix. We zouden daarom de verwisselingstransformatie als een orthogonale matrix kunnen schrijven en dan, analoog aan de bespreking in het hoofdstuk over Yang-Mills theorie, kunnen uitzoeken wat de consequentie van de invariantie onder deze verwisseling is. Dit is een wiskundig volkomen correcte aanpak, maar het is iets eenvoudiger om de symmetrie als volgt te onderzoeken: de huidige Lagrangiaan staat toe om de twee reële velden φ en φ 2 te schrijven als een enkel complex veld, Φ. De velden φ en φ 2 spelen dan de rol van de componenten dit complexe veld Φ. We definieren daarom: Hieruit volgt direkt dat we kunnen schrijven: Φ = φ + i φ 2..2 φ 2 + φ 2 2 = Φ Φ,.3 en 2 µφ µ φ + 2 µφ 2 µ φ 2 = 2 µφ µ Φ..4 Hiermee kan de oorspronkelijke Lagrangiaan geschreven worden in de wiskundig equivalente vorm L = 2 µφ µ Φ + 2 µ2 Φ Φ + 4 λφ Φ 2..5 Zoals gezegd is deze omschrijving gedaan om makkelijker de symmetrie van de Lagrangiaan onder verwisseling van de velden φ en φ 2 te kunnen onderzoeken. Immers, aangezien deze velden nu de componenten zijn van het veld Φ en de componenten van elk complex getal in elkaar kunnen worden overgeschreven door middel van een complexe faseverschuiving, is de nieuwe vorm van de Lagrangiaan invariant onder de transformatie Φ e iθ Φ..6 Dit is precies het type transformatie en invariantie dat we al hebben onderzocht in het hoofdstuk over ijkinvariantie, en wat leidde tot het bestaan van fotonen en het Maxwellveld. Precies dezelfde wiskunde kan hier nu direkt worden toegepast om lokale ijkinvariantie te bereiken. In direkte navolging van eerder behandelde stof doen we de stap van de minimale substitutie, µ µ + iqa µ.7 voor een zeker ijkveld A µ, gevolgd door de toevoeging aan de Lagrangiaan van een term F µν F µν die de bijdrage van het vrije A µ -veld beschrijft. De nieuwe Lagrangiaan is dan ook L = µ Φ + ia µ Φ µ Φ iqa µ Φ 2 2 µ2 Φ Φ + 4 λ2 Φ Φ 2 F µν F µν,.8
5 .3. HET HIGGS-MECHANISME 5 en deze is lokaal invariant onder de complexe verschuiving e iθx, voor elke functie θx. De symmetrie is op dit moment dus nog geheel behouden. Echter, zoals al aangetoond is een goede deeltjesinterpretatie alleen mogelijk wanneer de Lagrangiaan wordt omgeschreven naar de velden die de afwijking zijn van de laagste energietoestand, η en ξ. Hiertoe schrijven we wederom φ = µ λ + η, φ 2 = ξ,.9 en werken we de Lagrangiaan uit. We vinden dan, na triviale maar wat lange algebra de volgende uitdrukking 2 µξ µ ξ L = 2 µη µ η µ 2 η F µν F µν + qµ A µ A µ 2 λ 2i qµ µ 2 λ µξa µ + qη µ ξa µ qξ µ ηa µ + ηa µ A µ + λ 2 q2 ξ 2 + η 2 A µ A µ λµη 3 + ηξ 2 µ 4 λ2 η 4 + 2η 2 ξ 2 + ξ λ Hiermee is de symmetrie gebroken: door over te zijn gegaan op de afwijkingen η en ξ van de laagste energietoestand is de symmetrie van de oorspronkelijke Lagrangiaan verloren gegaan. Als gevolg hiervan is, net zoals in het globaal ijkinvariante geval, er een correcte deeltjesinterpretatie van de velden η en ξ voor teruggekomen: in de eerste regel beschrijft de eerste set haakjes een scalardeeltje met reële massa en de tweede set haakjes een massaloos scalardeeltje het Goldstone boson. Uiteraard zijn er vele extra termen bijgekomen die, net als in onze eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van Klein-Gordon velden, de interactie van het Maxwellveld A µ met de velden η en ξ beschrijven. Deze interacties, beschreven door de gehele derde regel, is een stuk ingewikkelder dan voorheen, als direkt gevolg van het feit dat het breken van de symmetrie. Bovendien blijkt dat de twee componenten η en ξ van het veld Φ ook interactie met elkaar hebben, en wel via de gehele vierde regel. Deze zelf-interactie is het direkte gevolg van de aanwezigheid van de term Φ Φ 2 in de Lagrangiaan. In de zo resulterende theorie is het Maxwell-veld dus niet louter het elektromagnetische veld dat de interactie tussen fotonen en Klein-Gordondeeltjes beschrijft, maar tevens het veld dat de interactie beschrijft tussen de twee typen Klein-Gordondeeltjes zelf. De enige regel die we nog niet hebben beschouwd is de tweede, en het is hier dat het beroemde Higgs-mechanisme zich presenteert. In deze regel staat de bijdrage van de Lagrangiaan die het vrije Maxwell-veld beschrijft: F µν F µν ; deze bijdrage is nog in complete overeenkomst met de eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van het Klein-Gordonveld in een eerder Hoofdstuk. Deze keer, echter, heeft de Lagrangiaan van het vrije Maxwell-veld een extra bijdrage, A µ A µ. Deze bijdrage is kwadratisch in het
6 6 CHAPTER. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN Maxwell-veld zelf, en stelt daarom een massa-term voor: wanneer de Lagrangiaan van het vrije Maxwell-veld in de betreffende Euler-Lagrangevergelijking wordt gesubstitueerd om zo de bewegingsvergelijking te vinden voor de fotonen, dan volgt een Klein-Gordon-achtige vergelijking waarin het veld A µ zelf voorkomt. Deze term heeft, net zoals in het geval van een Klein-Gordon vergelijking, de fysische betekenis van een massa. Dit betekent dat in deze theorie fotonen massa hebben gekregen! Het is op dit punt goed om even pas op de plaats te maken: we zijn begonnen met een Lagrangiaan waarin twee deeltjes en hun onderlinge interactie werden beschreven. De Lagrangiaan was van een type dat toeliet dat de twee velden onderling met elkaar worden verwisseld, en we zijn in staat gebleken deze Lagrangiaan te schrijven als die van een enkel, complex veld, waarin de verwisselingssymmetrie zich presenteerde als de vrijheid om het complexe veld een willekeurige globale complexe fase te geven. Door vervolgens op te leggen dat deze symmetrie ook lokaal moet gelden werd minimale substitutie toegepast, en werd een lokaal ijkinvariante versie van de Lagrangiaan gevonden. Deze draagt, zoals we al eerder hadden gezien, een Maxwellveld mee, waarmee de interactie tussen de velden en het Maxwellveld werd vastgelegd. Tenslotte werd er gebruik gemaakt van het feit dat de velden niet de laagste energietoestand beschrijven van het systeem; door tenslotte over te gaan op nieuwe velden als verstoringen van de laagste energietoestand. werd de theorie herschreven in een vorm die een massaloos scalardeeltje ξ beschrijft, een massief scalardeeltje η, en kreeg het Maxwell-veld een massa. Deze procedure heet het Higgs-mechanisme. Tenslotte kan een laatste herschrijving worden gedaan. Door expliciete constructie is de theorie invariant gemaakt onder verschuiving van de complexe fase, wat er fysisch op neerkomt dat de velden φ en φ 2 op elke plejk en op elk tijdstip naar willekeur onderling verwisseld mogen worden. In termen van de velden η en ξ bestaat die vrijheid nog altijd: door een geschikte keuze te maken voor de fasverschuiving θx mag op elke plek en op elk tijdstip de velden η en ξ in elkaar worden overgeschreven zonder dat dat de fysica beschreven door de Lagrangiaan verandert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat er een keuze voor θx mogelijk is die het Goldstone boson ξ en zijn afgeleiden gelijk maakt aan nul, zodat er volgt ξ = 0, µ ξ = 0..2 Het is officieel geen Klein-Gordonvergelijking, omdat de oplossing geen scalardeeltje is. In plaats daarvan heet de bewegingsvergelijking de Proca-vergelijking, en deze heeft veelal dezelfde eigenschappen als de Klein-Gordonvergelijking. Met name geldt óók in de Proca-vergelijking dat elke term evenredig met de oplossing zelf een massa-term voorstelt.
7 .3. HET HIGGS-MECHANISME 7 Voor deze specifieke keuze van de ijking reduceert de Lagrangiaan, tenslotte, tot de volgende vorm: L = 2 µη µ η µ 2 η 2 + F µν F µν + qµ A µ A µ 2 λ µ 2 ηa µ A µ + λ 2 q2 η 2 A µ A µ λµη 3 µ 4 λ2 η λ Deze Lagrangiaan, uiteindelijk, beschrijft een enkel massief scalardeeltje η, en zijn interactie met een massief Maxwellveld A µ. Het is op deze manier dat massieve krachtvelden worden gerealiseerd in de natuur: de Z- en W -bosonen van de zwakke interactie.
Yang-Mills theorie: het bestaan van gluonen
Chapter 9 Yang-Mills theorie: het bestaan van gluonen In het vorige Hoofdstuk hebben we gezien dat de eis van lokale ijkinvariantie direct leidt tot het bestaan van het Maxwell veld, en daarmee de electromagnetische
Nadere informatie1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier
OPGAVE. Opgave. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier : ρ = φ φ, waarin φ de Klein-Gordonfunctie is. De stroom j van kansdichtheid wor in Schrödingers
Nadere informatieIJkinvariantie: het bestaan van fotonen
Chapter 8 IJkinvariantie: het bestaan van fotonen 8.1 Globale ijkinvariantie van het Klein-Gordon veld Het complexe Klein-Gordon veld φ is een complexe functie: het kan, zoals elke complexe functie, worden
Nadere informatieChapter 10. Quantumveldentheorie
Chapter 10 Quantumveldentheorie In het voorgaande hebben we de relativistische quantummechanica in groot detail bestudeerd. We hebben gezien hoe we de speciale relativiteitstheorie kunnen inbouwen in de
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Populaire ideeën: - Scalair quantumveld met de juiste eigenschappen; (zoiets als Higgs Veld) - Willekeurig scalair quantum veld direct na de Oerknal
Nadere informatieRelativistische quantummechanica
Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen
Nadere informatieSupersymmetric Lattice Models. Field Theory Correspondence, Integrabillity T.B. Fokkema
Supersymmetric Lattice Models. Field Theory Correspondence, Integrabillity T.B. Fokkema De gecondenseerde materie is een vakgebied binnen de natuurkunde dat tot doel heeft om de fysische eigenschappen
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand Relativistische inflatie: 3 december 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme Quantumfenomenen Neutronensterren
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieSymmetie en Symmetrie. in het Standaard Model
Symmetie en Symmetrie in het Standaard Model Eric Laenen Utrecht Het Higgs deeltje Wat weet U wellicht al? - Higgs deeltje is klein (en duur) - media noemen het te vaak God-deeltje? - wordt gezocht onder
Nadere informatiet Hooft-Polyakov Monopool
Bachelorproject UvA - ITFA t Hooft-Polyakov Monopool Rik Danko 0583685 Begeleider: prof. dr. E.P. Verlinde 14 augustus 2008 Voorwoord Mijn project bestond voor een groot deel uit het bestuderen van ijktheorieen
Nadere informatie1 De Hamilton vergelijkingen
1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van
Nadere informatie1 Het principe van d Alembert
1 Het principe van d Alembert Gegeven een systeem, bestaande uit n deeltjes, elk met plaatscoördinaat r i en massa m i, i {1,, n}. Uit de tweede wet van Newton volgt onmiddellijk: p i F t i + f i, 1.1
Nadere informatieHet Standaardmodel. HOVO college Teylers 20 maart 2012 K.J.F.Gaemers
Het Standaardmodel HOVO college Teylers 20 maart 2012 K.J.F.Gaemers 20 maart 2012 HOVO 2012 I 2 20 maart 2012 HOVO 2012 I 3 C12 atoom 6 elektronen 6 protonen 6 neutronen 20 maart 2012 HOVO 2012 I 4 20
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 5 juli 2013, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 5 juli 2013, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica
Nadere informatieChapter 7. Het formalisme van Lagrange. 7.1 Het Principe van Extreme Actie
Chapter 7 Het formalisme van Lagrange 7.1 Het Principe van Extreme Actie De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTentamen Klassieke Mechanica, 29 Augustus 2007
Tentamen Klassieke Mechanica, 9 Augustus 7 Dit tentamen bestaat uit vijf vragen, met in totaal negen onderdelen. Alle onderdelen, met uitzondering van 5.3, zijn onafhankelijk van elkaar te maken. Mocht
Nadere informatieHet ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen
Het Standaardmodel Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen Lezing 13 februari 2015 - Koksijde Christian Rulmonde Er zijn 18 elementaire deeltjes waaruit de materie is opgebouwd. Ook de deeltjes die de natuurkrachten
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieATLAS: Detector & Fysica. Robin van der Leeuw
ATLAS: Detector & Fysica Robin van der Leeuw 14-11-2011 Doel Doel is om een idee te geven van: Hoe een detector deeltjes detecteert Waarom zoveel botsingen nodig zijn Hoe we onderzoek doen Een paar voorbeelden
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB januari 2013, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 23 januari 2013, 1400-1700 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC augustus 2010,
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC10 23 augustus 2010, 09.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld
Nadere informatieWetenschappelijke Nascholing Deel 1: Van de alchemisten tot het Higgs-deeltje
Wetenschappelijke Nascholing Deel 1: Van de alchemisten tot het Higgs-deeltje Dirk Ryckbosch Fysica en Sterrenkunde 9 oktober 2017 Dirk Ryckbosch (Fysica en Sterrenkunde) Elementaire Deeltjes 9 oktober
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatie-- V HOOFDSTUK V STORINGSREKENING
-- V - 1 - HOOFDSTUK V STORINGSREKENING Storingsrekening is een in eerste benadering goedkopere methode dan variatierekening. Indien de storingsreeks convergeert, is het in principe net zo exact als variatierekening.
Nadere informatieKromming van ruimtetijd vereist een verdubbeling van het aantal vrijheidsgraden.
3/13/2008 1:31:25 Kromming van ruimtetijd vereist een verdubbeling van het aantal vrijheidsgraden. Hieronder zal hier op worden ingegaan, waarbij gebruik gemaakt wordt van [1]. Het gravitatieveld, veroorzaakt
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieSamenvatting. (Summary in Dutch)
Samenvatting (Summary in Dutch) Al sinds mensenheugenis zijn mensen geïnteresseerd in de wereld om hen heen en zijn zij op zoek naar de meest elementaire bouwstenen waaruit deze is opgebouwd. Deze speurtocht
Nadere informatieSamenvatting Inleiding
Inleiding In onze dagelijkse ervaring wordt de wereld om ons heen goed beschreven door de klassieke mechanica die voornamelijk door Newton is ontwikkeld. Een van de kenmerken hiervan is dat aan voorwerpen
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieHet berekenbare Heelal
Het berekenbare Heelal 1 BETELGEUSE EN HET DOPPLEREFFECT HET IS MAAR HOE JE HET BEKIJKT NAAR EEN GRENS VAN HET HEELAL DE STRINGTHEORIE HET EERSTE BEREKENDE WERELDBEELD DE EERSTE SECONDE GUT, TOE, ANTROPISCH
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e +" 1 = 1. e (" )=(k BT )
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN 8 JUNI ) (Andere antwoorden zijn niet noodzakelijk (geheel) incorrect) (a) Volgens het Pauli-principe kunnen fermionen zich niet in dezelfde quantumtoestand
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieGravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6
1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen
Nadere informatieTentamen Quantum Mechanica 2
Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)
Nadere informatieSupplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 6 juli 2012, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 6 juli 2012, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij
Nadere informatienieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd
Samenvatting Inleiding De kern Een atoom bestaat uit een kern en aan de kern gebonden elektronen, die om de kern cirkelen. Dat de elektronen aan de kern gebonden zijn, komt doordat er een kracht werkt
Nadere informatieSymmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes.
Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes. Interacties zullen plaats grijpen voor zover ze kinematisch toegelaten
Nadere informatie-- IX (q)e - ie 2 t/h
-- IX - -- HOOFDSTUK IX TIJDSAFHANKELIJKE PROCESSEN Dit oofdstuk is bedoeld om enig inzict te geven in de manier waarop de intensiteiten van de lijnen in een spectrum berekend kunnen worden. Omdat een
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieDe Dirac vergelijking
De Dirac vergelijking Alexander Sevrin 1 Inleiding Deze nota s geven een korte inleiding tot de Dirac vergelijking en haar eigenschappen. Kennis van de Dirac vergelijking is onontbeerlijk bij de studie
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieUit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005
Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieKleinse Fles. Introductie String Zoologie Brane Worlds Zwarte Gaten
Van Leidsche Flesch tot Kleinse Fles Introductie String Zoologie Brane Worlds Zwarte Gaten Introductie String Theory is een Theorie van Gravitatie The Crux of the Matter Algemene Relativiteitstheorie stelt
Nadere informatievorige First Encounter
First Encounter Hét Standaard Model...van de deeltjesfysica : Willem Haverkort #Woorden: Geschatte leestijd: Moeilijkheidsgraad: Voorkennis: Bijpassend drankadvies: 4571 lang vorige First Encounter morfine
Nadere informatieTentamen Quantum Mechanica 2
Tentamen Quantum Mechanica mei 16 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 6 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer. 1. (a) (4 punten)
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieDe deeltjes die bestudeerd worden hebben relativistische snelheden, vaak zeer dicht bij de lichtsnelheid c. De interacties tussen deeltjes grijpen
1 2 De deeltjes die bestudeerd worden hebben relativistische snelheden, vaak zeer dicht bij de lichtsnelheid c. De interacties tussen deeltjes grijpen plaats op subatomaire afstanden waar enkel de kwantummechanica
Nadere informatieKwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016
Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieCommutatie-relaties voor impulsmoment
Commutatie-relaties voor impulsmoment Inleiding De operatoren voor impulsmoment in de quantum-mechanica zijn gedefiniëerd door de volgende commutatierelaties: i, j = i hε ijk k, 1) met ε ijk het evi-civita
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieHet inzicht van Galois
Het inzicht van Galois 1. Oplosbaarheid Kun je de nulpunten vinden van de polynoom x 5x + 6? Ongetwijfeld. Met onderbouw wiskunde is het al vrij eenvoudig om erachter te komen dat en 3 beiden nulpunten
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieCitation for published version (APA): Vos, K. K. (2016). Symmetry violation in weak decays [Groningen]: University of Groningen
University of Groningen Symmetry violation in weak decays Vos, Kimberley Keri IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check
Nadere informatieStelling. SAT is NP-compleet.
Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren
Nadere informatieCorrecties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.
Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de
Nadere informatieHet mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek
Het mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek 1 (Speciaal-) Orthogonale Matrix 1.1 Orthogonale Matrix Een orthogonale matrix A is een reële, vierkante matrix waarvoor geldt: A.A T = A T.A = I (met
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatie28 augustus 2012, Introductiecollege 1e jaars studenten UvA. Het Higgs boson. Ivo van Vulpen (UvA/Nikhef)
28 augustus 2012, Introductiecollege 1e jaars studenten UvA Het Higgs boson Ivo van Vulpen (UvA/Nikhef) VWO examen natuurkunde 2012 Tijdens de botsing ontstaan allerhande elementaire deeltjes. Hierbij
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatie2. (regulier vraag 3) 10-6 vergeten bij opzoeken ρ: eerste bolletje weg. bij werken met de dichtheid kan de berekening nog wel worden gecompleteerd.
Verslag examenbespreking pilot-examen VWO 2014 (eerste tijdvak) Utrecht, 19 mei 2015 Eerste resultaten: Totaal 62 kandidaten. Gemiddeld 40,3 punten. 5 lln 32+37+28+39+26 punten. (32,4 gemiddeld). 16 lln
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieLIEGROEPEN OPGAVEN. Gerard t Hooft
LIEGROEPEN OPGAVEN Gerard t Hooft Spinoza Instituut Postbus 80.195 3508 TD Utrecht e-mail: g.thooft@phys.uu.nl internet: http://www.phys.uu.nl/~thooft/ Opgaven behorende bij het college Liegroepen 003.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatie