Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 6 Januari 2009
|
|
- Annelies de Meyer
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C3 6 Januari 9 Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale aantal punten dat voor de opgave behaald kan worden Het gebruik van boeken, aantekeningen, collegedictaten, notebooks of rekenmachines is bij dit tentamen niet toegestaan Bij dit tentamen mag u gebruik maken van het bijgevoegd formuleblad Alle antwoorden dienen duidelijk geformuleerd en gemotiveerd te worden (a) Geef de definitie van een conservatieve kracht Antwoord: Een kracht F is conservatief als de hoeveelheid arbeid die de kracht verricht om een deeltje van een positie r naar een positie r te brengen onafhankelijk is van het gevolgde pad In formulevorm betekent dit dat W = r r F dr onafhankelijk is van het pad dat gevolgd wordt van r naar r Gegeven is een kracht F in het tweedimensionale x-y vlak beschreven door ( ) y x F(x,y) = x y (b) Maak een schets waarin duidelijk te zien is hoe de kracht F zich gedraagt Antwoord: Zie Figuur Figuur : Het vectorveld van de kracht F (niet op schaal), inclusief de baan van het deeltje in onderdeel d) (c) Is de kracht F een conservatieve kracht? Beargumenteer uw antwoord
2 Antwoord: De kracht F is conservatief De eenvoudigste manier om dit in te zien is dat V (x,y) = x y xy een bijbehorende potentiaal is Immers ) ( ) x + y V (x,y) = = = F y + x ( V x V x (d) Stel we laten op t = een deeltje met massa m = los in het punt (,) Het deeltje heeft geen beginsnelheid Beschrijf de baan van dit deeltje Antwoord: Het deeltje blijft op de lijn x + y = De beginpositie ligt immers op deze lijn, en de kracht is ook altijd gericht langs deze lijn Initieel heeft het deeltje een kinetische energie mv = en een potentiële energie U(x,y) = U(,) = De totale energie van het deeltje is dus Omdat het deeltje in een conservatief krachtveld beweegt, is de totale energie constant Als het deeltje het punt (, ) passeert, is de potentiële energie U(, ) = De kinetische energie is dan, met snelheid v = Na dit punt werkt de kracht het deeltje tegen Het deeltje komt weer tot stilstand in (,), daar is de potentiële energie weer Nu begint de beweging weer opnieuw, in de richting van het punt (, ) Het deeltje oscilleert dus harmonisch tussen de punten (,) en (,), met een maximale snelheid op (, ) Beschouw de potentiaal U(r) gegeven door U(r) = (r ) r 4 (voor r > ) (a) Bepaal het punt r min waar U(r) minimaal is en de waarde van U(r) in dat punt Antwoord: Voor r > is U(r) Verder is U(r) = alleen in r = Dus r min = en U(r min ) = (b) Bepaal het punt r max waar U(r) maximaal is en de waarde van U(r) in dat punt Antwoord: Om het maximum van U(r) te vinden stellen we de afgeleide gelijk aan Er geldt du dr = (r )r4 4r 3 (r ) (r )r 4(r ) r 8 = r 5 = (r )(r 4(r )) (r )(4 r) r 5 = r 4 De afgeleide van U(r) is dus in r = en in r = Omdat du du dr > voor < r < en dr < voor r > volgt nu dat r = een maximum is Dus r max = Dan is U(r max ) = 4 = 6 (c) Schets het verloop van deze potentiaal als functie van r Geef expliciet aan voor welke waarden van r de potentiaal afstotend respectievelijk aantrekkend is Antwoord: Zie Figuur De potentiaal U(r) heeft een minimum U() = in r = en een maximum U() = 6 in r = Verder is U(r) voor alle r > en is lim r U(r) = en lim r U(r) = De kracht F(r) = du dr De kracht F(r) is afstotend als F(r) >, dat is dus voor < r < en voor r > De kracht F(r) is aantrekkend als F(r) <, dat is dus voor < r < (d) Geef de expliciete uitdrukking voor de bij deze potentiaal behorende kracht als functie van r
3 Figuur : De potentiaal U(r) Antwoord: De grootte van de kracht is F(r) = du dr )(4 r) (r )(r ) = (r r 4 = r 4 De vector F, die grootte en richting van de kracht geeft, is dan F = U(r) = (r )(r ) r 4 (e) Stel een deeltje met massa m = bevindt zich op tijdstip t = op zeer grote afstand van de oorsprong Welke snelheid v in de richting van de oorsprong moeten we dit deeltje geven zodat het het punt r = passeert? Antwoord: Op zeer grote afstand van de oorsprong is de potentiaal gelijk aan Als het deeltje daar een beginsnelheid v krijgt, is de totale energie van het deeltje gelijk aan mv Om het punt r = te kunnen passeren, moet het deeltje het maximum van de potentiaal in r = kunnen passeren Stel het deeltje heeft in r = nog een snelheid w Dan geldt dus mv = U() + mw Dit kan alleen als mv > U() = 6 Omdat m = betekent dit dat v > 6, ofwel v > 4 in de richting van de oorsprong (netter v < 4 ) 3 Beschouw de differentiaalvergelijking dy dt = λy, waarbij λ een positieve parameter is Neem aan dat de waarde y(t) in een punt t bekend is (a) Geef de exacte uitdrukking voor y(t + t), waarbij t een gegeven positieve stapgrootte is Antwoord: De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is y(t) = Ae λt, waarbij de constante A wordt bepaald door de beginsituatie Omdat de waarde van y(t) gegeven is, schrijven we y(t + t) als volgt r r y(t + t) = Ae λ(t+ t) = e λ t Ae λt = e λ t y(t) 3
4 (b) Bereken nu een benadering voor y(t + t) met behulp van de verbeterde Euler (Heun) methode Noem deze benadering ŷ(t + t) Antwoord: Bij de verbeterde Euler methode wordt eerst y (t + t) (de predictor) berekend volgens y (t + t) = y(t) + t f(y(t)) Hier is de functie f(y) = λy We krijgen dan De benadering voor y(t + t) volgt dan uit In dit geval wordt dat y (t + t) = y(t) + t λy(t) = ( + t λ)y(t) ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(y (t + t))) ŷ(t + t) = y(t) + t (λy(t) + λy (t + t)) = y(t) + t (λy(t) + λ( + t λ)y(t)) = y(t) + λ t y(t) + λ t y(t) (c) De lokale afbreekfout van de verbeterde Euler methode is het verschil tussen de benadering en de exacte oplossing, dat wil zeggen ŷ(t + t) y(t + t) Laat zien dat in dit geval de lokale afbreekfout van de verbeterde Euler methode gelijk is aan O( t 3 ) Antwoord: We moeten dus onderzoeken in hoeverre ŷ(t + t) en y(t + t) op elkaar lijken Door e λ t in een Taylorreeks te ontwikkeling vinden we voor de exacte oplossing y(t + t) = e λ t y(t) = ( + λ t + ) λ t + O( t) 3 y(t) () Het verschil tussen de verbeterde Euler benadering ŷ(t + t) en de exacte waarde y(t + t) is dan ŷ(t + t) y(t + t) = y(t) + λ t y(t) + λ t y(t) = O( t) 3 y(t) ( + λ t + λ t + O( t) 3 ) y(t) Dus de lokale afbreekfout van de verbeterde Euler methode is O( t) 3 Dit betekent dus dat bij het halveren van de stapgrootte t de fout van één stap 8 keer zo klein wordt 4 Beschouw een zuiger met aan weerskanten ideaal gas Aan beide kanten van de zuiger zitten N deeltjes met temperatuur T Links van de zuiger is de druk P en het volume V, rechts van de zuiger is de druk P het volume V In de beginsituatie is de zuiger geblokkeerd; hij kan niet bewegen De blokkade van de zuiger wordt opgeheven zodat de zuiger zonder wrijving kan bewegen Het totale systeem is geïsoleerd: er wordt dus geen arbeid op verricht en geen warmte aan toegevoegd Wel kan er warmte via de zuiger van een deel naar het andere deel stromen (a) Laat zien dat de eindtemperatuur van het systeem weer T is U mag gebruiken dat de inwendige energie van N deeltjes van een ideaal gas met temperatuur T gelijk is aan E = 3 Nk BT 4
5 P P V V Figuur 3: de situatie van opgave 4 Antwoord: Aan weerskanten van de zuiger is de initiële temperatuur T De totale inwendige energie in de initiële toestand is dus E = 3 Nk BT + 3 Nk BT = 3Nk B T Omdat het systeem geïsoleerd is, is dit ook de inwendige energie in de eindtoestand Omdat er via de zuiger warmte van het ene deel naar het andere deel kan stromen is de eindtemperatuur T eind voor beide delen gelijk Er moet dan gelden Hieruit volgt dat T eind = T 3 Nk BT eind + 3 Nk BT eind = 3Nk B T (b) Bereken in de eindsituatie de drukken P eind en P eind van linker en rechterdeel en de volumes V eind en V eind van het linker en rechter deel U mag gebruik maken van de ideale gaswet PV = Nk B T Antwoord: In de eindsituatie is het systeem in evenwicht Omdat de zuiger zonder wrijving kan bewegen, moet dan P eind = P eind De ideale gaswet levert dan V eind = Nk BT P eind = Nk BT P eind = V eind Omdat ook V eind + V eind = V + V, volgt dan dat V eind = V eind = V + V Met de ideale gaswet vinden we dan voor de drukken P eind = P eind = Nk BT (V + V ) = Nk BT V + V We gaan nu de entropieverandering S van het gas links van de zuiger berekenen Omdat de entropie een toestandsfunctie is, kunnen we de entropieverandering van het gas links van de zuiger berekenen door aan te nemen dat bij constante temperatuur T de transitie van beginnaar eindtoestand heel langzaam verloopt doordat de zuiger heel langzaam beweegt totdat de eindpositie bereikt is (c) Gebruik de formule voor de om het verband tussen ds en dv voor het (ideale) gas links van de zuiger tijdens deze transitie te bepalen Antwoord: Tijdens de heel langzame transitie van begin- naar eindtoestand van het gas links van de zuiger is de temperatuur constant Uit E = 3 Nk BT volgt nu dat ook E constant is, ofwel de = Omdat het aantal deeltjes N ook constant is, volgt uit de = TdS PdV +µdn dat voor deze transitie TdS = PdV, ofwel ds = PdV T () (d) Bereken nu de totale entropieverandering S van het gas links van de zuiger 5
6 Antwoord: De totale entropieverandering van het gas links van de zuiger kunnen we berekenen door bovenstaande vergelijking te integreren Tijdens de transitie blijft de druk uiteraard niet constant Daarom herschrijven we () met behulp van de ideale gaswet als volgt ds = Nk BdV V Integreren levert nu voor de entropieverandering links van de zuiger S = V eind V Nk B dv V = Nk B ln(v eind ) Nk B ln(v ) = Nk B ln ( Veind V ) (e) Bereken op dezelfde manier de totale entropieverandering S van het gas rechts van de zuiger en de totale entropieverandering van het systeem Antwoord: Op dezelfde manier vinden we voor het gas rechts van de zuiger: ( ) Veind S = Nk B ln V Omdat de entropie additief is, is de totale entropieverandering dan ( ) ( ) ( ) Veind Veind Veind V eind S = S + S = Nk B ln + Nk B ln = Nk B ln V V V V (d) Wat geldt er voor het teken van S en waarom? Antwoord: Het proces van het opheffen van de blokkade van de zuiger is irreversibel De entropie van het hele systeem kan dus alleen maar stijgen, ofwel S > Uit de volgende stappen volgt dat inderdaad altijd S > (dit werd niet gevraagd op het tentamen) S > V eind V eind V V > V eind V eind > V V ( V +V ) > V V (V + V ) > 4V V V + V V + V > 4V V V V + V > (V V ) > Dus S, en alleen als V = V is S = In dit laatste geval is het systeem in de begintoestand al in evenwicht en gebeurt er niets 5 (a) Geef de totale differentiaal van de Gibbs vrije energie G Antwoord: Omdat G = E T S + P V krijgen we dg = de d(t S) + d(p V ) = TdS PdV + µdn TdS S dt + PdV + V dp = V dp S dt + µdn (b) Bereken daaruit de afgeleiden van G naar de temperatuur T, de de druk P en het aantal deeltjes N Geef daarbij duidelijk aan welke variabelen bij het differentiëren constant worden gehouden 6
7 Antwoord: Uit de formule voor dg volgt meteen ( ) G = V, P T,N (c) Leid de Maxwell relatie van de vorm ( ) G = S, T P,N ( ) µ =? P?,? ( ) G P,T = µ af Antwoord: Omdat de volgorde van differentiëren bij de tweede afgeleide omgedraaid mag worden, geldt ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) µ G G V = = = (3) P T,N P P,T P T,N T,N P,T P,T 6 De partitiefunctie van een een-atomig ideaal gas bestaande uit N deeltjes is van de vorm Q = Q kin Z N, waarin Q kin het kinetische deel is en Z N de configuratieintegraal Het kinetische deel Q kin wordt gegeven door Q kin = e βk(pn ) dp N, p i met K ( p N) = N i= m de kinetische energie Hierbij staat voor 3N integraaltekens, allen met grenzen en, en is dp i = dp i,x dp i,y dp i,z (a) Laat zien dat U mag gebruiken dat e ax = π a Q kin = (πmk B T) 3N/ voor a > Antwoord: De integraal kan geschreven worden als het product van N integralen: Q kin = = e βk(pn ) dp dp dp N e β p m dp e β p m dp e βpn m dp N Alle integralen in de laatste term zijn uiteraard gelijk Dus Q kin = ( e β p m dp ) N (4) De integraal binnen de N-de macht is weer het product van drie enkelvoudige integralen: e β p m dp = = ( dp,x e β p,x m e β p,x m e β p,y m e β p,z m dp,x dp,y dp,z ) ( ) ( dp,y e β p,y m dp,z e β p,z m ) 7
8 Met behulp van e ax = π a (met a = β m ) vinden we dan dat dp e β p m = Invullen in (4) levert dan uiteindelijk π β m Q kin = (πmk B T) 3N/ 3 = (πmk B T) 3/ (5) (einde antwoord 6a) De configuratieintegraal Z N is gegeven door Z N = N! h 3N e βu(qn ) dq N, met U ( q N) de potentiële energie Hierbij is dq i = dq i,x dq i,y dq i,z en staat voor 3N integraaltekens De integralen over q i,x gaan van tot L x, die over q i,y gaan van tot L y en de integralen over q i,z gaan van tot L z Het totaal beschouwde volume is dan V = L x L y L z (b) Bij een ideaal gas is er geen interactie tussen de deeltjes, ofwel de potentiële energie U ( q N) = Laat zien dat in dit geval Z N = N! V N h 3N Antwoord: Als de potentiële energie U ( q N) =, dan is Z N = N! h 3N e βu(qn ) dq N = N! h 3N dq N De integraal hierin is weer het product van N integralen dq N = dq dq dq N Al deze integralen zijn weer gelijk, dus ( dq N = dq ) N Nu is Dit impliceert dat (einde antwoord 6b) dq = Lx Ly Ly dq,x dq,y dq,z = L x L y L z = V Z N = V N N! h 3N Het resultaat van beide voorgaande onderdelen is dat voor een ideaal gas waarbij Λ = h πmk B T Q = N! V N h 3N (πmk BT) 3N/ = V N N!Λ 3N, (c) Geef de chemische potentiaal µ als afgeleide van de vrije energie F Geef hierbij aan welke variabelen bij het differentiëren constant worden gehouden 8
9 Antwoord: Uit F = E T S volgt df = de d(t S) = TdS PdV + µdn TdS S dt = PdV S dt + µdn Dus µ = ( ) F V,T (d) De vrije energie F = k B T ln(q) Bereken nu de chemische potentiaal voor een ideaal gas U mag gebruiken dat ln(n!) N ln(n) N Antwoord: µ = ( ) F V,T ( ) ln(q) = k B T V,T = k B T = k B T (N ln(v ) ln(n!) 3N ln(λ)) = k B T (N ln(v ) N ln(n) + N 3N ln(λ)) = k B T(ln(V ) N N ln(n) + 3ln(Λ)) = k B T(ln(V ) ln(n) 3ln(Λ)) = k B T ln ( ( )) V N ln N!Λ 3N V,T ( ) V NΛ 3 Dit is de standaardformule voor de chemische potentiaal van een ideaal gas Honorering: (totaal 6 punten) Opgave a: punten Opgave a: punten Opgave 3a: 3 punten Opgave b: 3 punten Opgave b: punten Opgave 3b: 3 punten Opgave c: 3 punten Opgave c: punten Opgave 3c: 4 punten Opgave d: punten Opgave d: punt Opgave e: 3 punten Opgave 4a: punt Opgave 5a: punten Opgave 6a: 3 punten Opgave 4b: punten Opgave 5b: punten Opgave 6b: punten Opgave 4c: punten Opgave 5c: 3 punten Opgave 6c: punten Opgave 4d: punten Opgave 5d: 3 punten Opgave 6d: 3 punten Opgave 4e: punten Opgave 4f: punt Opgave 5d ontbreekt, hiervoor heeft iedereen 3 punten gekregen Resultaten tentamen 6 januari 9: 4 deelnemers: 7 onvoldoendes, 34 voldoendes Hoogste cijfer:, laagste cijfer: 9
10 Formuleblad - 8/9 - Moleculaire Simulaties - 8C3 De Hamiltoniaan in cartesische coördinaten is gedefinieerd als H(p,q) = K + U = N i= p i m i + U(q,,q N ), In termen van de Hamiltoniaan worden de bewegingsvergelijkingen gegeven door de zogeheten Hamiltoniaanse vergelijkingen q = H p en ṗ = H q Gegeven een differentiaalvergelijking van de vorm dy dt = f(y(t)), dan zijn de volgende numerieke oplossingen voor één tijdstap t mogelijk: Expliciet Euler: ŷ(t + t) = y(t) + t f(y(t)) Impliciet Euler: ŷ(t + t) = y(t) + t f(ŷ(t + t)) Crank-Nicholson: ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(ŷ(t + t))) Verbeterde Euler: y (t + t) = y(t) + t f(y(t)) ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(y (t + t))) Runge-Kutta: k = f(y(t)) k = f(y(t) + t k ) k 3 = f(y(t) + t k ) k 4 = f(y(t) + t k 3 ) ŷ(t + t) = y(t) + 6 t (k + k + k 3 + k 4 ) Totale differentiaal van inwendige energie E de = TdS PdV + µdn Helmholtz vrije energie Enthalpie Gibbs vrije energie F = E T S H = E + P V G = E T S + P V
11 De ergodenstelling luidt waarbij O de observabele is Ō τ τ O (t)dt = ν P ν O ν O, De microscopische definitie van temperatuur is gegeven door β = ( ) ln Ω k B T =, E met k B = 38 3 J K de constante van Boltzmann Voor het microkanonieke ensemble geldt voor de entropie de vergelijking van Boltzmann S = k B ln Ω, welke overgaat in de Gibbs vergelijking voor entropie voor elk willekeurig ensemble S = k B P ν ln P ν De kanonieke moleculaire partitiefunctie wordt gegeven door ν N,V Q(N,V,T) = ν e βeν De Boltzmanndistributie is P ν = e βeν ν e βeν De klassieke partitiefunctie wordt geschreven als het product Q = Q kin Z N = N! h 3N e βk(pn ) dp N e βu(qn ) dq N met h = J s de constante van Planck De isochore warmtecapaciteit wordt gegeven door door ( E) = (E E ) = k B T C V De Taylorreeksbenadering van de functie f rond het punt x is gegeven door f(x + x) = f(x) + f (x) x + f (x) ( x) + + f(n) (x) ( x) n + n!
Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur
Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 11 November 2008-14.00-17.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 Januari 2008-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli 0-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het
Nadere informatieTentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 8 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 9 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 9 April 200-900-200 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina staat voor iedere opgave het maximale
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 3 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatieVoorblad bij Tentamen
Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Simulaties van Biochemische Systemen Vakcode: 8CB19 Datum: 06-04-016 Begintijd: 13:30 Eindtijd: 16:30 Aantal
Nadere informatieVoorblad bij Tentamen
Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Simulaties van Biochemische Systemen Vakcode: 8CB9 Datum: 06-04-06 Begintijd: 3:30 Eindtijd: 6:30 Aantal pagina
Nadere informatieUITWERKING. Thermodynamica en Statistische Fysica (TN ) 3 april 2007
UITWERKIG Thermodynamica en Statistische Fysica T - 400) 3 april 007 Opgave. Thermodynamica van een ideaal gas 0 punten) a Proces ) is een irreversibel proces tegen een constante buitendruk, waarvoor geldt
Nadere informatieExamen Statistische Thermodynamica
Examen Statistische Thermodynamica Alexander Mertens 8 juni 014 Dit zijn de vragen van het examen statistische thermodynamica op donderdag 6 juni 014. De vragen zijn overgeschreven door Sander Belmans
Nadere informatieEindtoets 3BTX1: Thermische Fysica. Datum: 3 juli 2014 Tijd: uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d
Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica Datum: 3 juli 2014 Tijd: 9.00-12.00 uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d Deze toets bestaat uit 3 opgaven die elk op een nieuwe pagina aanvangen. Maak de opgaven
Nadere informatieVoorblad bij Tentamen
Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Simulaties van Biochemische Systemen Vakcode: 8CB9 Datum: 0-04-07 Begintijd: :0 Eindtijd: 6:0 Aantal pagina
Nadere informatieThermodynamica 2 Thermodynamic relations of systems in equilibrium
Thermodynamica 2 Thermodynamic relations of systems in equilibrium Thijs J.H. Vlugt Engineering Thermodynamics Process and Energy Department Lecture 3 ovember 15, 2010 1 Today: Introductie van Gibbs energie
Nadere informatieTENTAMEN. Thermodynamica en Statistische Fysica (TN )
TENTAMEN Thermodynamica en Statistische Fysica (TN - 141002) 25 januari 2007 13:30-17:00 Het gebruik van het diktaat is NIET toegestaan Zet op elk papier dat u inlevert uw naam Begin iedere opgave bovenaan
Nadere informatieTechnische ThermoDynamica Samenvatter: Maarten Haagsma /6 Temperatuur: T = ( /U / /S ) V,N
2001-1/6 Temperatuur: T = ( /U / /S ) dw = -PdV Druk: P = - ( /U / /V ) S,N dq = TdS Chemisch potentiaal: = ( /U / /N ) S,V Energie representatie: du = TdS + -PdV + dn Entropie representatie: ds = du/t
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB januari 2013, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 23 januari 2013, 1400-1700 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die
Nadere informatieTentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08
Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de
Nadere informatieEindtoets 3BTX1: Thermische Fysica. Datum: 12 augustus 2014 Tijd: uur Locatie: Matrix Atelier 3
Eindtoets 3BTX: Thermische Fysica Datum: augustus 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Locatie: Matrix Atelier 3 Deze toets bestaat uit 3 opgaven. Begin de beantwoording van elke opgave op een nieuw antwoordvel. Een
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieBiofysische Scheikunde: Statistische Mechanica
Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica Vrije Universiteit Brussel 27 november Outline 1 Statistische Definitie van 2 Statistische Definitie van Outline 1 Statistische Definitie van 2 Statistische
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 6 juli 2012, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 6 juli 2012, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij
Nadere informatieBiofysische Scheikunde: Statistische Mechanica
Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica De Boltzmannverdeling Vrije Universiteit Brussel 4 december 2009 Outline 1 De Boltzmannverdeling 2 Outline De Boltzmannverdeling 1 De Boltzmannverdeling 2
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 5 juli 2013, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 5 juli 2013, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieTentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/2014
Tentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/214 Vraag 1. Soortelijke warmte ( heat capacity or specific heat ) De soortelijke warmte geeft het vermogen weer van een systeem om warmte op te nemen. Dit
Nadere informatie5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Nadere informatieTopologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 8 april 010 van 09.00u tot 1.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieUitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag 10 juni 2003
Uitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag juni 3 OPGAE : de horizontale slinger θ T = mg cosθ mg m mg tanθ mg a) Op de massa werken twee krachten, namelijk de zwaartekracht, ter grootte mg, en
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 20 20 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Integrerende factor (8.4) Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2 Herhaling Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dx
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieHERHALINGS TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA voor S2/F2/MNW2 Woensdag 14 januari, 2009, 18.30 20.30
HERHALINGS TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA voor S2/F2/MNW2 Woensdag 14 januari, 2009, 18.30 20.30 Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een GR en BINAS. NB: Geef bij je antwoorden altijd eenheden,
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.
Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1 1. Spelen met water (3 punten) Water wordt aan de bovenkant met een verwaarloosbare snelheid in een dakgoot met lengte L = 100 cm gegoten en dat
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieKlassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen
Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,
Nadere informatieXXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS
XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTentamen Klassieke Mechanica, 29 Augustus 2007
Tentamen Klassieke Mechanica, 9 Augustus 7 Dit tentamen bestaat uit vijf vragen, met in totaal negen onderdelen. Alle onderdelen, met uitzondering van 5.3, zijn onafhankelijk van elkaar te maken. Mocht
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieThermodynamica 2 Thermodynamic relations of systems in equilibrium
Thermodnamica 2 Thermodnamic relations of sstems in equilibrium Thijs J.H. Vlugt Engineering Thermodnamics Process and Energ Department Lecture 2 November 11, 2010 1 Toda: Partiële afgeleiden, Mawell relaties,
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieTentamen Quantum Mechanica 2
Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 1 10 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 1 10 november 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieTENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA voor F2/MNW2. Vrijdag 23 december 2005
TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA voor F/MNW Vrijdag 3 december 005 Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een GR. Mogelijk nodige constantes: Gasconstante R = 8.31447 Jmol 1 K 1 = 8.0574 10 L
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieMINISTERIE VAN ONDERWIJS, WETENSCHAP EN CULTUUR UNIFORM EXAMEN HAVO 2015
MINISTERIE VAN ONDERWIJS, WETENSCHAP EN CULTUUR UNIFORM EXAMEN HAVO 2015 VAK : NATUURKUNDE DATUM : DINSDAG 23 JUNI 2015 TIJD : 07.45 10.45 Aantal opgaven: 5 Aantal pagina s: 6 Controleer zorgvuldig of
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Opgave 1 Helikopter (3p) Een helikopter A kan in de lucht stilhangen als het geleverde vermogen door de motor P is. Een tweede helikopter B is een
Nadere informatien 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC augustus 2010,
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 en Statistische Fysica 3CC10 23 augustus 2010, 09.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA
TECHNISCHE UNIERSITEIT EINDHOEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Thermische Fysica 1 (3NB60, op vrijdag 20 april 2012, 09.00-12.00. Het tentamen levert maximaal 100 punten
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieTENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010)
TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) Opmerkingen: 1. Dit tentamen bestaat uit 4 vragen met in totaal 19 deelvragen. Elke deelvraag levert 3 punten op.. Het is toegestaan gebruik te maken van bijgeleverd
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieOpgave 2. Voor vloeibaar water bij 298.15K en 1 atm zijn de volgende gegevens beschikbaar:
Oefenopgaven Thermodynamica 2 (29-9-2010) Opgave 1. Een stuk ijs van -20 C en 1 atm wordt langzaam opgewarmd tot 110 C. De druk blijft hierbij constant. Schets hiervoor in een grafiek het verloop van de
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieTENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA. Dinsdag 25 oktober 2011 13.15 15.15
TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA Dinsdag 25 oktober 2011 13.15 15.15 Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van BINAS en een (grafische) rekenmachine. Let op eenheden en significante cijfers. 1.
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieDe twee snelheidsconstanten hangen op niet identieke wijze af van de temperatuur.
In tegenstelling tot een verandering van druk of concentratie zal een verandering in temperatuur wel degelijk de evenwichtsconstante wijzigen, want C k / k L De twee snelheidsconstanten hangen op niet
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieQUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven.
1 QUANTUM FYSICA 1 3NB5 donderdag 8 oktober 1 14. 17. uur Dit tentamen omvat opgaven. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van 1 punten. Het formuleblad voor dit
Nadere informatieScheidingstechnologie by M.A. van der Veen and B. Eral
Scheidingstechnologie 2017 by M.A. van der Veen and B. Eral Praktische zaken Docenten: M.A. van der Veen & Burak Eral Rooster: zie Brightspace Boeken: Thermodynamics and Statistica Mechanics, M. Scott
Nadere informatiew (n). w n+1 = w n+1 = w n + hf(w n ), w n+1 = w n + hf(w n+1 ), 1195w (n) [ ( 2) ( 2) =
We bekijken het stelsel vergelijkingen { y 95y + 995y y 97y 997y, met als beginvoorwaarden { y (0) y (0) Op tijdsniveau t nh definieren we de vector w (n) w n+ w (n) Euler Voorwaarts is dan en Euler Achterwaarts
Nadere informatieProeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B
Nadere informatieThermodynamica. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven
Thermodynamica Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2009-2010 Inhoudsopgave Eerste hoofdwet - deel 1 3 Oefening 1.1......................................
Nadere informatieTentamen Fysica: Elektriciteit en Magnetisme (MNW)
Tentamen Fysica: Elektriciteit en Magnetisme (MNW) Tijd: 27 mei 12.-14. Plaats: WN-C147 A t/m K WN-D17 L t/m W Bij dit tentamen zit aan het eind een formuleblad. Eenvoudige handrekenmachine is toegestaan
Nadere informatieTentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171)
Datum: 3 April 7 Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171) *** Schrijf duidelijk je naam, je Leidse studienummer en studierichting op je antwoordblad *** *** Het tentamen bestaat uit vijf opgaven. Maak
Nadere informatieTentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur
Tentamen Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April 2014 Tijd/tijdsduur: 3 uur Docent(en) en/of tweede lezer: Dr. F.C. Grozema Prof. dr. L.D.A. Siebbeles Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven:
Nadere informatie1. (a) De methode die in deze opgave wordt gebruikt is als volgt gedefinieerd
. (a) De metode die in deze opgave wordt gebruikt is als volgt gedefinieerd u = u n + βf(t n, u n ) () u n+ = u + ( β)f(t n + β, u ) () We gaan te werk als in et bepalen van de lokale afbreekfout van de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Thermische Fysica 1 (3NB60), op woensdag 13 april 2011, 900-1200 uur Het tentamen levert maximaal 100
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieExamen Algemene natuurkunde 1, oplossing
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieElke opgave moet op een afzonderlijk blad worden ingeleverd.
HERMODYNAMICA (WB14) 4 augustus 011 18.30-1.30 u. AANWIJZINGEN Het tentamen bestaat uit twee open vragen op 7 bladzijden. Het tentamen is een GESLOEN BOEK tentamen. Dit betekent dat tijdens het tentamen
Nadere informatieToets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieKrommen in de ruimte
Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn
Nadere informatieOefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatie