Thermodynamica. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Transcriptie

1 Thermodynamica Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar

2 Inhoudsopgave Eerste hoofdwet - deel 1 3 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Eerste hoofdwet - deel 2 9 Oefening Tweede hoofdwet - deel 1 12 Oefening Tweede hoofdwet - deel 2 14 Oefening

3 Eerste hoofdwet - deel 1 Oefening 1.1 Een opslagtank met een inhoud van 25 L bevat gasvormig He bij een druk van 200 bar en een temperatuur van 30 C. De molaire massa van He is g/mol. Hoeveel kmol He bevat de tank? Hoeveel kg He bevat de tank? Als we alle gegevens in SI-eenheden zetten, geeft dat: V = m 3 p = P a T = K M = g/mol De hoeveelheid helium in de tank is dan gelijk aan: n He = p V R T n He = n He = 198 mol n He = kmol mol (1) De massa hiervan is gelijk aan: m He = n M m He = g m He = 794 g m He = kg (2) 3

4 Oefening 1.2 Op de bodem van de Siberische meren vormden 2000 jaar geleden organismen methaan. Af en toe vormt het methaan een grote bel die opstijgt. Beschouw een meer van 360 m diepte met op de bodem een temperatuur van 3 C en aan het oppervlak een temperatuur van 30 C. De druk op het wateroppervlak bedraag mbar en je mag rekenen met een gemiddelde dichtheid van water van 998 kg/m 3. Wat is de volumeverhouding van de methaanbel op 360 m diepte en aan het wateroppervlak? Wat beïnvloedt deze volumeverhouding het meest: de temperatuurverandering of de drukverandering? Leg uit. Uit de ideale gaswet halen we de volgende verhouding: V 1 V 2 = n R T 1 p 1 n R T 2 p 2 V 1 V 2 = T 1 p 2 T 2 p 1 (3) met T 1, T 2 en p 2 gegeven. De druk op de bodem van het meer is gelijk aan: p 1 = p atm + ρ g h p 1 = P a p 1 = P a (4) De volumeverhouding is dan gelijk aan: V 1 = T 1 p 2 V 2 T 2 p 1 V = V 2 V 1 = V 2 (5) De temperatuursverandering is minimaal: de verhouding T 1 /T 2 = 0.91 zorgt voor een minimale volumewijziging. Het enorme drukverschil heeft de grootste invloed op de volumeverandering. 4

5 Oefening kg water in toestand A met t A = 60 C en V A = 0.3 m 3 wordt isochoor gecomprimeerd tot toestand B die zich op de grens van het co-existentiegebied bevindt. Daarna expandeert het stelsel isotherm tot op de oorspronkelijke druk (toestand C). Bestaat het stelsel in toestand B uit vloeistof of damp? Geef een tabel met p, t, v en x van de toestanden A, B en C. Aangezien B zich op de grens van het co-existentiegebied bevindt en de druk dan hoger is dan in A (met constant volume), bevindt het water zich in toestand A in het co-existentiegebied. Volgens de tabel is de druk op deze temperatuur gelijk aan kp a. Om een specifiek volume van 0.03 m 3 /kg te hebben, moet de dampfractie x gelijk zijn aan: v = x v + (1 x) v 0.03 = x (1 x) x = (6) Om te weten of toestand B zich in de dampfase of vloeistoffase bevindt, moeten we het soortelijk volume van water in zijn kritisch punt weten. Volgens de tabel is dit m 3 /kg. Dit is kleiner dan dat van toestand B, dus het bevindt zich in de dampfase. Toestand B bevindt zich op de grens van het co-existentiegebied, dus de dampfractie is gelijk aan 1. Het wordt isochoor gecomprimeerd, dus het soortelijk volume blijft gelijk aan 0.03 m 3 /kg. Om de temperatuur en druk te weten, moeten we interpoleren tussen de waarden die overeenkomen met het soortelijk volume van m 3 /kg en m 3 /kg. Dit komt overeen met respectievelijk 280 C en 285 C: t B = ( ) C t B = C (7) Voor de druk wordt dit: p B = ( ) kp a p B = 6447 kp a (8) Naar toestand C expandeert het water isotherm, dus de temperatuur blijft C. Het stelsel komt terug op de oorspronkelijke druk van kp a. Het soortelijk volume dat hiermee overeenkomt is gelijk aan: v C = v 300 v ( ) + v 280 (9) 5

6 met v 300 : v 300 = ( ) m 3 /kg v 300 = m 3 /kg (10) en met v 280 : v 280 = ( ) m 3 /kg v 280 = m 3 /kg (11) Het soortelijk volume in toestand C wordt dan: v C = v 300 v ( ) + v v C = ( ) m 3 /kg v C = m 3 /kg (12) Oefening 1.7 De druk in een autoband bij een temperatuur van 20 C bedraagt 1.8 bar (overdruk). Na een lange rit is de druk opgelopen tot 2.5 bar (overdruk). De atmosferische druk bedraagt 1 bar. Wat is de temperatuur van de lucht in de band na deze rit? De autoband heeft een constant volume. Aangezien de verandering van toestand 1 naar toestand 2 isochoor verloopt, is de temperatuurverandering evenredig aan de drukverandering. De relatieve drukverandering is gelijk aan: p 1 = p p 1 = 0.8 p 2 (13) Dit is gelijk aan T 1 /T 2. De temperatuur op 2.5 bar overdruk is dus gelijk aan: T 1 T 2 = 0.8 T 2 = K 0.8 T 2 = K T 2 = 93.3 C (14) 6

7 Oefening 1.13 De lucht in een lokaal met een inhoud V = 1500 m 3 heeft om 8 uur s morgens een temperatuur T 1 = 10 C en een druk p 1 = 1013 mbar. Men wenst om 9 uur s morgens een temperatuur T 2 = 20 C. Er zijn warmte- noch lekverliezen. We beschouwen lucht als een ideaal gas met constante soortelijke warmte met r = 287 J/(kg K) en c v = 718 J/(kg K). Bereken de hoeveelheid toe te voeren warmte Q. Bereken de druk van de lucht in het lokaal om 9 uur s morgens. Bereken het vermogen Q van de verwarmingsinstallatie. Als stelsel nemen we de lucht binnen het lokaal. Het wordt traag verwarmd, dus kunnen we het als een evenwichtige toestandsverandering beschouwen. Het stelsel levert geen arbeid dus W = 0 J. E is dus gelijk aan Q. Aangezien de kinetische en potentiële energie gelijk zijn aan 0 J (het staat stil), is E ook gelijk aan U. Dit is gelijk aan: U = C v dt (15) met C v = c v m. De massa van de lucht kunnen we uit de ideale gaswet halen: p V = m r T m = kg m = 1870 kg De hoeveelheid toe te voeren warmte is dan gelijk aan: Q = U = C v dt Q = T J Q = kj (16) (17) De druk van de lucht om 9 uur kunnen we uit de ideale gaswet halen: p V = m r T p = 1500 p = P a p = 1048 mbar P a (18) 7

8 Het vermogen van de verwarmingsinstallatie is gelijk aan: Q = Q t Q = kw Q = 3.73 kw (19) 8

9 Eerste hoofdwet - deel 2 Oefening 2.24 Een afgesloten ruimte (5 m x 6 m 8 m) wordrt elektrsich verwarmd. Initieel is de kamer op een temperatuur van 15 C en een druk van 98 kp a. De ruimte verliest warmte aan de omgeving (200 kj/min). Een ventilator met een vermogen van 400 W doet de lucht door de verwarmingsinstallatie stromen met een debiet van 50 kg/min. De leiding kan als adiabatisch beschouwd worden. De ruimte moet op 15 min kunnen opgewarmd worden tot 25 C. Bepaal het vermogen dat moet worden toegevoegd via de elektrische weerstand. Bepaal de temperatuurstijging die de lucht ondervindt bij doorgang door de verwarmingsinstallatie. Beschouw lucht als een ideaal gas met r = 287 J/(kg K) en c p = J?(kg K). Volgens de eerste hoofdwet van gesloten stelsels geldt: E = Q W (20) Aangezien de verandering van de kinetische en potentiële energie gelijk is aan nul, wordt dat: U = Q W (21) De warmtewisseling met de omgeving over de 15 minuten is gelijk aan: Q = 200 kj/min Q = J Q = J (22) Deze is negatief aangezien het stelsel warmte verliest aan de omgeving. 9

10 De arbeidswisselingen met de omgeving zijn enerzijds die van de ventilator (400 W ) en anderzijds die van de elektrische weerstand. Als we deze laatste gelijkstellen aan x dan wordt dat: L = 400 x L = x 900 L = x (23) Deze is negatief aangezien er arbeid aan het stelsel geleverd wordt. De verandering van de inwendige energie van het stelsel is gelijk aan: U = m c v T, (24) met m de massa van de lucht in de ruimte, c v de soortelijke warmte, en T = 10 C de temperatuursverandering. De massa kunnen we uit de ideale gaswet halen: p V = m r T (5 6 8) m = m = kg kg (25) De soortelijke warmte c v is gelijk aan: c P c v = 1.4 c v = J/(kg K) (26) De verandering van de inwendige energie is dan gelijk aan: U = m c v T U = U = J (27) Als we dit invullen in (21), geeft dat: U = Q W = ( x) x = W 900 x = 5202 W (28) De elektrische weerstand moet dus een vermogen van 5.2 kw leveren. Om de temperatuurstijging in de verwarmingsinstallatie te berekenen, kunnen we de eerste hoofdwet voor open stelsels gebruiken: ṁ (h + e k + φ) = Q L (29) 10

11 De warmtewisseling met de omgeving is gelijk aan nul (adiabatisch) en de technische arbeid per tijdsinterval is gelijk aan het vermogen van de elektrische weerstand. De kinetische en potentiële energieverandering is weer gelijk aan nul. Dit invullen geeft: 50 h = c P T = /6 T = T = 6.2 C C (30) 11

12 Tweede hoofdwet - deel 1 Oefening 3.15 Onderstaand schema geeft de werkingscondities voor een stationair werkende, thermisch geïsoleerde machine. Aan één zijde stroomt lucht in, die aan de andere zijde uitstroomt, met een massadebiet van 10 kg/s. Bepaal op basis van de hoofdwetten van de thermodynamica de richting van de stroming en eht gewisselde mechanisch vermogen. Beschouw lucht als een ideaal gas met r = kj/(kg K) en κ = 1.4. p 1 = 1 bar, T 1 = 600 K, c 1 = 1000 m/s p 2 = 5 bar, T 2 = 900 K, c 2 = 5 m/s Om de richting van het proces te weten, moeten we de entropieverandering bepalen. Dit gaat met de volgende formule: s = c p ln( v 2 v 1 ) + c v ln( p 2 p 1 ) (31) Als de entropieverandering moet altijd positief zijn, dus als deze verandering negatief zou zijn, gaat het proces de andere kant op. Het volume van de lucht kunnen ew uit de ideale gaswet halen. Voor toestand 1: p v = r T v = m3 /kg v = 1.72 m 3 /kg (32) Het volume op toestand 2 is gelijk aan: p v = r T v = m3 /kg v = 0.52 m 3 /kg (33) 12

13 Als we dit invullen in (31) geeft dat: s = c p ln( v 2 v 1 ) + c v ln( p 2 p 1 ) s = ln( 1.72 ) ln( ) s = 46.8 J/(kg K) (34) Dit is negatief, dus gaat de stroming van rechts naar links. Uit de eerste hoofdwet voor open stelsels kunnen we het vermogen van de machine bepalen. Aangezien er geen warmtewisselingen zijn, en de verandering in potentiële energie gelijk is aan nul, wordt dit: ṁ (h + e k ) = L (35) De verandering in enthalpie is gelijk aan: h = c P T h = J/(kg) (36) De verandering in kinetische energie is gelijk aan: e k = 1 2 (c2 2 c 2 1) e k = J/kg (37) Het vermogen is dan gelijk aan: ṁ (h + e k ) = L L = 10 ( ) W L = kw (38) Aangezien de werking van de machine van rechts naar links is, en we in onze berekeningen zijn uitgegaan van links naar rechts, moet dit nog van teken veranderd worden. Het vermogen is dus gelijk aan kw. 13

14 Tweede hoofdwet - deel 2 Oefening 4.7 Een systeem voor elektriciteitsproductie op basis van zonne-energie werkt als volgt. De zonnecollector ontvangt stralingsenergie a rato van kw/m 2 en levert energie aan een opslagvat op 500 K. De cyclus voor elektriciteitsproductie maakt gebruik van dit opslagvat en levert een vermogen van 570 kw. Er wordt warmte afgevoerd naar een omgeving op 20 C. Bepaal de minimaal benodigde oppervlakte aan zonnecollectoren voor een stationair werkende elektriciteitscentrale. Volgens de eerste hoofdwet is de stralingsenergie gelijk aan de energie die het warmtereservoir op hoge temperatuur levert aan de elektriciteitscentrale. Per tijdsinterval is dit gelijk aan A kj met A de oppervlakte aan zonnecollectoren. In de cyclus van de elektriciteitsproductie geldt opnieuw de eerste hoofdwet: de energie geleverd door het warmtereservoir op hoge temperatuur is gelijk aan som van de geproduceerde elektrische energie en de energie die geleverd wordt aan het warmtereservoir op lage temperatuur: met W = 570 kj de geproduceerde arbeid per tijdsinterval. Volgens de tweede hoofdwet geldt ook dat: Q H = W + Q L (39) Q H T H + Q L T L = 0 (40) met T H = 500 K en T L = 293 K. Dit uitwerken geeft: A 500 Q H T H + Q L = 0 T L A 570 = A = 4372 m 2 (41) 14