w (n). w n+1 = w n+1 = w n + hf(w n ), w n+1 = w n + hf(w n+1 ), 1195w (n) [ ( 2) ( 2) =

Transcriptie

1 We bekijken het stelsel vergelijkingen { y 95y + 995y y 97y 997y, met als beginvoorwaarden { y (0) y (0) Op tijdsniveau t nh definieren we de vector w (n) w n+ w (n) Euler Voorwaarts is dan en Euler Achterwaarts met f(w n ) w n+ w n + hf(w n ), w n+ w n + hf(w n+ ), [ 95w (n) + 995w (n) 97w (n) 997w (n) volgt dat mbv Euler Voor- (a) Kies de stapgrootte h 0 Met w 0 [, T waarts w gelijk wordt aan w w 0 + hf(w 0 ) [ ( ) ( ) Met Euler Achterwaarts volgt dat het volgende stelsel vergelijkingen moet worden opgelost : w () w () Herschikken in () geeft w () w () [ + 0 [ [ [ I [ [ [ w () w () ()

2 Merk op : De inverse matrix kan worden bepaald met de regel van Kramer De exacte oplossing in t 0 wordt gegeven door y (0) 887 y (0) 49 (b) Ga na dat het stelsel vergelijkingen { y 95y + 995y y 97y 997y, te schrijven is als y [ waarbij de vector y gedefinieerd is als y [ y y y Ay, Zoals in Paragraaf 60 wordt afgeleid, is Euler Voorwaarts stabiel als voor alle eigenwaarden geldt : + λ i h <, i,, () waarbij h de stapgrootte is We beginnen met het bepalen van de eigenwaarden van A Aldus, de eigenwaarden worden bepaald door 95 λ λ gelijk aan nul te stellen De volgende vierkantsvergelijking moet dan worden opgelost λ + 80λ (λ + )(λ + 800) 0 λ of λ 800 Om aan () te voldoen is het voldoende om hieraan te voldoen voor λ 800 Ga na dat voor λ automatisch ook aan () wordt voldaan We zoeken dus alle h zodanig dat 800λ < Er volgt dat h < 0005

3 (c) We doen dezelfde berekeningen als bij (a) Voor Euler Voorwaarts volgt w w 0 + hf(w 0 ) [ ( ) ( ) Voor Euler Achterwaarts moeten we het stelsel w () [ w () [ w () w () (3) oplossen Ga na dat de oplossing kan worden bepaald door w () [ w () De exacte oplossing op t 0000 wordt gegeven door y (0000) 6 y (0000) 39 Beide methoden geven bij deze stapgrootte een even goed resultaat Daarbij moeten we wel opmerken dat de Euler Achterwaarts duurder is in de rekentijd Conclusie : Bij een stijf stelsel geeft Euler Achterwaarts een goed antwoord voor alle stapgrootten h, terwijl Euler Voorwaarts alleen goede resultaten geeft voor (zeer kleine) stapgrootten, die moeten voldoen aan de stabiliteitsvoorwaarde De oplossing van de differentiaalvergelijking y y t + in t 0 wordt in deze opgave benaderd met zowel Euler Voorwaarts als de Runge Kutta 4 (RK4) methode De Euler Voorwaarts methode is inmiddels al bekend De RK4 methode wordt beschreven in Paragraaf 67 en is als volgt gedefinieerd w n+ w n + 6 [k + k + k 3 + k 4, (4) waarbij de predictoren k,, k 4 worden gegeven door k hf(t n, w n ) (5) k hf(t n + h, w n + k ) (6) k 3 hf(t n + h, w n + k ) (7) k 4 hf(t n + h, w n + k 3 ) (8)

4 (i) In het eerste deel benaderen we y(0) met behulp van de Euler Voorwaarts methode met stapgrootte h 005 Dit betekent dat we vier stappen van het schema w n+ w n + h(w n t n + ) moeten uitvoeren Met de beginvoorwaarde y(0) w 0 volgende reeks van w i s : w w 0 + h(w ) , w w + 005(w ) w 3 w + 005(w ) w 4 w (w ) De benadering van y(0) wordt gegeven door w verkrijgen we de (ii)wederom gaan we y(0) benaderen We doen dit met de RK4 methode, beschreven door (4) t/m (8), met een stapgrootte van h 0 Merk op dat in (5) t/m (8) f(t n, w n ) w n t n + We beginnen met het berekenen van de vier predictoren, waarbij y(0) w 0 Aldus Dan volgt voor w : k hf(t 0, w 0 ) h(w 0 t 0 + ) 0( 0 + ) 05 k 0(w 0 + k ) 0575 k 3 0(w 0 + k ) k 4 0(w 0 + k ) w w [k + k + k 3 + k Mbv RK4 wordt de benadering van y(0) gegeven door w De exacte oplossing van de differentiaalvergelijking is y(t) et + t + t + Op t 0 is de exacte oplossing dus y(0) Conclusie : We zien dat de benaderingen van beide methoden goed zijn en de hoeveelheid werk ongeveer hetzelfde is Omdat de fout in de benadering van RK4 gelijk

5 is aan 0 7 en bij Euler Voorwaarts gelijk aan 0 3, verdient de RK4 methode de voorkeur 3 De versterkingsfactor van RK4 is: Q(hλ) + hλ + (hλ) met e hλ geeft dat de afbreekfout O(h 4 ) is 4 (a) s(x) x, x [0, s(x) 7x 3, x [, (b) Bovengrens 0375, echte afbreekfout 0875 (c) ε + (hλ)3 + (hλ)4! 3! 4! Vergelijking (d) Ja door verkleining van de stapgrootte neemt de afbreekfout af en blijft de afrondfout hetzelfde, zodat de totale fout zal afnemen Echter het heeft geen zin om de stapgrootte veel kleiner te nemen, omdat de fout dan voornamelijk bepaald wordt door de afrondfout