Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stabilityanalisis in a model of the human inner ear)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stabilityanalisis in a model of the human inner ear) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Eline Kleimann Delft, Nederland Juli 2015 Copyright 2015 door Eline Kleimann. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stabilityanalisis in a model of the human inner ear) Eline Kleimann Technische Universiteit Delft Begeleider Prof. dr. ir. C. Vuik Dr. ir. P.W.J. van Hengel Overige commissieleden Dr. J.L.A. Dubbeldam Dr. ir. M. Keijzer Juli, 2015 Delft

4

5 SAMENVATTING Dit bachelorproject is uitgevoerd in samenwerking met INCAS 3, een onderzoeksinstituut gevestigd in Assen. Het bouwt voort op de projecten van K. Lindenberg ([1]) en M. Wijchers ([3]). INCAS 3 heeft een model opgesteld van de menselijke cochlea (slakkenhuis). Hiervan is een numeriek model opgesteld in MATLAB. Er wordt een stabiliteitsanalyse uitgevoerd. Het model zag er in eerste instantie als volgt uit: 2 met beginvoorwaarden: en randvoorwaarden: x 2 (m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t)) 2ρb B M A ζ(x,0) = 0, ζ(x,0) = 0, 0 x L, p (0, t) = f (t), x p(l, t) = 0, t 0. ζ(x, t) = 0, 0 x L, t 0 Later, werd er een belangrijke aanpassing aan het model gedaan. De dempingscoëffiënt wordt negatief, de zogeheten Zweig impantie. Daarnaast werd een delay term toegevoegd. Er vindt onderstaande verandering van een normale differentiaalvergelijking (ODE) naar delay differentiaalvergelijking (DDE) plaats. 2 x 2 (m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t) + s (x)ζ(x, t τ)) 2ρb B M A ζ(x, t) = 0, 0 x L, t 0 Er wordt algemene theorie over DDE s bekeken in hoofdstuk 2, waar de vorm van een DDE wordt besproken. Vervolgens worden de definities asymptotisch stabiel en demp geïntroduceerd. De stabiliteitsanalyse wordt uitgevoerd voor een lineaire testvergelijking y (t) = λy(t) + µy(t τ). Het stabiliteitsgebied S τ weergeeft het gebied van parameters die een stabiele oplossing oplevert. Het S τ -stabiliteitsgebied bestaat uit de paren(λ,µ) waarvoor geldt λ < µ en µ 2 λ 2 < 1 ( ) λ τ ar ccos µ Het S τ -stabiliteitsgebied dat voor alle τ s geldt is het gebied weergegeven door λ µ < λ. Er wordt in (3.2) de algemene vorm van de Runge-Kutta methode voor DDE s beschreven. Bij het gebruik van Runge-Kutta 4 voor het oplossen in MATLAB worden ook waardes opgeroepen die niet op de benaderde discrete punten ligt. Daarom wordt er een continue existentie gemaakt. De theorie over stabiliteit die bestaat voor ODE s noemen we A-stabiliteit. Dit breidden we uit naar P-stabiliteit en D-stabiliteit. Bij D-stabiliteit bekijken we de stabiliteit voor een bepaalde waarde van τ, terwijl bij P-stabiliteit dit voor alle τ s moet gelden. Bij P-stabiliteit wordt hierdoor een deel van het S τ -gebied buiten beschouwing gelaten. In de analyse nemen we de stapgrootte h zodanig dat h = τ m, waarbij m 1 een integer. Runge Rutta 4 is niet onvoorwaardelijk D-stabiel. Wel zijn de D τ -stabiliteitsgebieden te vinden, ofwel de paren (λ,µ) waarvoor Runge Kutta 4 stabiel is bij zekere m. Er is ook gekeken naar het gedrag dat DDE s, in het algemeen en in het INCAS 3 model, vertonen bij overgang van stabiliteit naar instabiliteit. Deze overgang kan redelijk geleidelijk gaan doordat we een delay-term hebben. Bij het INCAS 3 model kunnen daarnaast de naburige oscillatoren een stabilisere werking hebben. Nietanalytisch onderzoek naar stabiliteit kan gedaan worden door een exitatiepatroon te maken. Neem dan een heel kleine stapgrootte als maatstaaf voor stabiliteit. Als het vergroten van de stapgrootte dan een afwijk exitatiepatroon geeft, is het model niet stabiel meer. v

6

7 VOORWOORD Tijdens de drie jaar dat ik Technische Wiskunde heb gestudeerd, ben ik altijd geïnteresseerd geweest in de toepassing van de theorie. Wat kun je met de stof van dit vak? en Bij welk bedrijf zou je deze kennis kunnen toepassen? waren vragen die in mij opkwamen. Het leukste vak vond ik numerieke methoden. Met het einde van mijn Bachelor in zicht, ben ik steeds meer aan het oriënteren op de keuze van mijn Master en de daar bijhore carrièreperspectieven. Toen er bij het kiezen van Bacheloreindprojecten ook een project bij zat wat in samenwerking was met een onderzoeksinstituut, INCAS 3, trok dat direct mijn aandacht. Twee bachelorprojecten over dit onderwerp waren me al voor geweest, dus ik ging daar op voort bouwen. Het zou een uitdaging zijn, omdat de basis was gevormd en ik nu sneller diep op de stof kon ingaan. Een ander aspect dat me aan trok was de directe koppeling naar INCAS 3. De mogelijkheid dat je iets bij kan dragen, vond ik heel erg leuk. Ik wil mijn begeleider, Kees Vuik, bedanken voor alle ondersteuning. Na elke bespreking werd ik weer gemotiveerd om aan de slag te gaan. Daarnaast, Peter van Hengel, bedankt voor de begeleiding vanuit INCAS 3. Het was erg interessant om te leren waar het onderzoek wat ik deed belangrijk voor was. Ik wens iedereen veel leesplezier toe. Eline Kleimann Delft, Juli 2015 vii

8

9 INHOUDSOPGAVE 1 Voorgaand onderzoek cochlea Inleiding Modelvergelijkingen Stabiliteit Runga-Kutta Modified Sielecki Analytische stabiliteitsanalyse Numerieke test voor stabiliteit DDE s in het algemeen Probleemstelling Delay differential equation DDE s in Matlab Interpretatie Runge-Kutta voor DDE s Stabiliteitsanalyse Stabiliteit van de DDE Demping en asymptotische stabiliteit Testvergelijking Stabiliteitsgebied S τ Stabiliteit methode Algemene vorm Runge-Kutta methode Implementatie MATLAB Groei van de fout Stabiliteit voor Runge-Kutta A-stabiliteit P-stabiliteit D-stabiliteit D τ -stabiliteitsgebieden Bepaling D τ -stabiliteitsgebieden met MATLAB Algemene vorm stabiliteitsgebied Overeenkomst ODE-theorie Cochlea model INCAS Interpretatie van het model Overgang stabiliteit naar instabiliteit Stabiliteit INCAS 3 -model Conclusie Voor vervolgonderzoek A Matlabcodes 27 A.1 Runge-Kutta 4 met interpolatie A.2 D-stabiliteit onderzoeken A.3 D τ -stabiliteitsgebied plotten A.4 Verschil grafieken door verandering van m A.5 INCAS 3 code Bibliografie 41 ix

10

11 1 VOORGAAND ONDERZOEK COCHLEA 1.1. INLEIDING Het Bacheloreindproject van Kimberley Lindenberg [1] is uitgevoerd in samenwerking met INCAS 3, een bedrijf dat zich onder andere bezig houdt met het modelleren van het (niet-lineaire) gedrag van de menselijke cochlea. Het is nuttig om de otoakoestische emissies (OAE s) van het oor te onderzoeken. Dit zijn geluiden die het oor produceert, als reactie op een stimulans of spontaan. Als de OAE s in verband gebracht kunnen worden met de werking van de cochlea, ontstaat er een objectieve test. Deze test is vooral nuttig voor groepen personen die niet in staat zijn een goede respons te geven op het horen van geluid. Denk hierbij aan baby s, mensen met een verstandelijke beperking of dementie. De cochlea, ook wel slakkenhuis genoemd, is een deel van het binnenoor. De cochlea zit vast aan de gehooren evenwichtszenuw, waar omzetting van geluidstrillingen naar zenuwimpulsen plaatsvindt. Een deel van de cochlea is de cochleaire partitie, bestaande uit het orgaan van Corti en het basilair membraan. In het orgaan van Corti zetten de haarcellen geluidstrillingen om in zenuwsignalen. Het basilair membraan is de scheiding tussen twee vloeistofgevulde holtes in de cochlea. Het membraam begint smal bij de basis en wordt breder richting de apex. Hoge frequenties resoneren bij de basis en lage frequenties bij de apex. Figuur 1.1: Schematische weergave van de cochlea [8] Bij het laten horen van een zuivere toon ontstaat er een lope golf langs de cochleaire partitie. De eigenschappen (golflengte, amplitude en voortplantingssnelheid) van deze golf zijn niet constant. Afhankelijk van de frequentie wordt er een karakteristiek ofwel resonantiepunt bereikt, waarbij de amplitude maximaal is. Op dit punt wordt alle energie van de golf overgedragen van de vloeistof naar de partitie. De voortplanting van de golf stopt na dit punt. 1

12 2 1. VOORGAAND ONDERZOEK COCHLEA 1.2. MODELVERGELIJKINGEN Het model van INCAS 3 gaat uit van individuele cochleaire deeltjes die zich gedragen als harmonische oscillatoren. De amplitude ζ gedraagt zich volgens onderstaande bewegingsvergelijking: p(x, t) = m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t) (1.2.1) waarbij p(x, t) de stuwkracht is, m de akoestische massa van een cochleair deeltje, d een akoestische dempings factor en s de akoestische stijfheid. Uit de massabehoud van vloeistof hebben we de volge vergelijking: 2 p x 2 (x, t) 2ρb B M ζ(x, t) = 0 (1.2.2) A waarbij ρ de dichtheid van de cochleaire vloeistof is, b B M de breedte van een oscillator is en A de oppervlakte van een vloeistofkanaal. Combineren van (1.2.1) en (1.2.2) geeft dan 2 x 2 (m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t)) 2ρb B M A ζ(x, t) = 0, 0 x L, t 0 (1.2.3) met beginvoorwaarden: en randvoorwaarden: ζ(x,0) = 0, ζ(x,0) = 0, 0 x L, p (0, t) = f (t), x p(l, t) = 0, t 0. Als we definiëren g (x, t) = d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t) dan volgt 2 p x 2 (x, t) + 2ρb B M Am p(x, t) = 2ρb B M g (x, t), 0 x L, t 0 (1.2.4) Am Met discretisatie naar de plaats delen we het interval 0 tot L op in N +1 equidistante deelintervallen. Na discretisatie kunnen we de differentiaalvergelijking (2.4) omschrijven naar matrixrepresentatie Ap(t) = b(t) waarbij 1 2 γ γ γ A =. 0 1 γ γ p(x 0, t) 2 p(x 1, t) γg (x 0, t) x f (t) p(t) =., b(t) = γg (x 1, t). p(x N, t) γg (x N, t) en de constante γ = 2ρb B M Am ( x)2. Bij discretisatie naar de tijd worden ζ(x, t) = v(x, t) en ζ(x, t) = v(x, t) bekeken en omgeschreven naar onderstaand stelsel: { v(x, t) = ζ(x, t) = v(x, t) p(x,t) g (x,t) m = ω[t,ζ(t), v(t)], Dit stelsel kan worden opgelost met Runge-Kutta 4 of Modified Sielecki. { ζ(x,0) = 0 v(x,0) = 0

13 1.3. STABILITEIT STABILITEIT RUNGA-KUTTA 4 We noemen een verschijnsel stabiel als een kleine verstoring van de parameters een klein verschil in de oplossing geeft. Er geldt dat een numerieke methode stabiel is als voor de versterkingsfactor geldt: Q(hλ) 1 Voor de Runga-Kutta 4 methode geldt Q(hλ) = 1 + hλ (hλ) (hλ) (hλ)4. Voor positieve λ is de versterkingsfactor altijd groter dan 1. Als λ reëel en negatief is, dan vinden we de eis h < 2.8 λ voor stabiliteit MODIFIED SIELECKI Voor de methode Modified Sielecki is er geen versterkingsfactor bek. Bekijken we weer het stelsel { ζ(x, t) = v(x, t) v(x, t) = ω[t,ζ(t), v(t)], dan krijgen we onderstaande methode voor Modified Sielecki: { ζ(x,0) = 0 v(x,0) = 0 { v(t + t) = v(t) + t ω[t,ζ(t), v(t)], ζ(t + t) = ζ(t) + t v(t + t) { ζ(x,0) = ζ0 v(x,0) = v 0 ω[t, ζ(t), v(t)] is in het scalaire geval λ ζ(t) + µ v(t) + c met λ, µ 0 en c R. Analoog met het gebruik van een testvergelijking bij standaardmethoden, nemen we nu ω[t,ζ(t), v(t)] = λ ζ(t) + µ v(t) (1.3.1) We kunnen nu de methode Modified Sielecki met (1.3.1) omschrijven naar a(t + t) = Q a(t) met a(t + t) = ( ) ( ) v(t + t) v(t), a(t) = ζ(t + t) ζ(t) ( ) 1 + t µ t λ en Q = t + ( t) 2 µ 1 + ( t) 2 λ Als a n de numerieke oplossing is, waarvoor geldt dat a n+1 = Q a n, dan: a n+1 = Q a n = Q n a 1 Q n a 1 Om stabiliteit te krijgen, moet Q n 0. Dan moet gelden κ 1 voor alle eigenwaarden κ van Q ANALYTISCHE STABILITEITSANALYSE Er wordt bekeken hoe de theorie kan worden toegepast op het gegeven model. Bij discretisatie naar de plaats kregen we de matrixrepresentatie Ap(t) = b(t). Met de stelling van Gershgorin kunnen de eigenwaarden van A bepaald worden. De stelling van Gershgorin zegt dat eigenwaarden λ van A geldt: λ a kk N+1 a ki. Er geldt dus voor i=1,i j iedere eigenwaarde λ i C dat deze in tenminste één van de cirkels C 1,C 2,...,C N+1 ligt. Hierbij heeft C i als centrum a i i en straal a ki. Dus er volgt N+1 dat: i=1,i j C 1 centrum 1 2 γ + 1 en straal 1 heeft. C 2,...,C N centrum γ + 2 en straal 2 hebben. C N+1 centrum γ + 2 en straal 1 heeft.

14 4 1. VOORGAAND ONDERZOEK COCHLEA Om de stabiliteit van de tijdsdiscretisatie te analyseren wordt er eerst omgeschreven naar onderstaande matrixrepresentatie: ζ(x 0, t) ζ(x 0, t) 0 ζ(x 1, t) ζ(x 1, t) 0. ( ).. ζ(x N, t) O I ζ(x N, t) v(x 0, t) = QA 1 0 MS MD v(x v(x 1, t) 0, t) x f (t) v(x 1, t) 0... v(x N, t) v(x N, t) 0 Waarbij O een N N nulmatrix en I de N N eenheidsmatrix en 1 2 γ γ 0 0 M = Q[A γ..... I], γ s(x 0 ) s(x 1 ) 0 0. S = 0 0 s(x 2 ) s(x N ) d(x 0 ) d(x 1 ) 0 0. en D = 0 0 d(x 2 ) d(x N ) Analytisch bekijken van de stabiliteit lijkt te ingewikkeld, dus wordt niet gedaan NUMERIEKE TEST VOOR STABILITEIT We gebruiken voorbeeldwaardes gebaseerd op de publicatie van Van den Raadt [2] om zo op een niet-analytische manier de stabiliteit te bepalen. ( ) O I Er wordt gekeken naar de eigenwaarden van om te onderzoeken voor welke grootte van de tijdsstap de methode Runga-Kutta 4 stabiel is. Oplossen met MATLAB geeft dat alle eigenwaarden van deze ma- MS MD trix een negatief reël deel hebben. Ook wordt bepaald dat voor t = s Runga-Kutta 4 stabiel is. Bij het testen van de tijdstappen in het model was te observeren dat de fout begrensd blijft bij een tijdsstap van t = s en onbegrensd wordt voor t = s Vervolgens wordt de tijdstap waarvoor Modified Sielecki nog stabiel is onderzocht. ( Er wordt steeds bij een ) I + t MD t MS gekozen tijdstap gekeken of κ < 1 geldt voor alle eigenwaarden κ van Q = t I + ( t) 2 MD I + ( t) 2. MS Gevonden wordt dat voor t = s de methode stabiel is en voor t = s niet meer. Weer testen we de gevonden tijdsstappen in het model en observeren dat de fout begrensd blijft bij t = s en onbegrensd wordt bij t = s.

15 2 DDE S IN HET ALGEMEEN 2.1. PROBLEEMSTELLING In het onderzoek van Melissa Wijchers [3] is er een aanpassing gedaan aan het model van het menselijk binnenoor. Ten aanzien van K. Lindebergs onderzoek [1] wordt er een belangrijke aanpassing aan de bewegingsvergelijking van de individuele oscillatoren gedaan. Er wordt een negatieve dempingscoëffiëcent toegevoegd, de Zweig impantie. Door deze negatieve demping worden individuele oscillatoren instabiel. Er wordt een delayed feedback force term toegevoegd om deze oscillatoren te stabiliseren. We onderzoeken hetzelfde model als gezien in (1.2), alleen voegen we nu een delayterm toe. Hierbij vindt een verandering van een gewone differentiaalvergelijking (ODE) naar een delay differentiaalvergelijking (DDE) plaats. We krijgen dan onderstaande differentiaalvergelijking: 2 x 2 (m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t) + s (x)ζ(x, t τ)) 2ρb B M A ζ(x, t) = 0, 0 x L, t 0 (2.1.1) Doel van dit onderzoek is het uitvoeren van een stabiliteitsanalyse voortbouw op de projecten van K. Lindeberg [1] en M. Wijchers [3]. Uiteindelijk willen we te weten komen voor welke keuze van parameters er voor het INCAS 3 -model, een systeem van DDE s, een stabiele oplossing is. Daarbij kunnen we dan bepalen voor welke discretisatie in plaats en tijd we een stabiele numerieke oplossing krijgen DELAY DIFFERENTIAL EQUATION Voordat er begonnen kan worden met het onderzoek naar stabiliteit van DDE s is het belangrijk om eerst wat algemene kennis over DDE s op te doen. Er wordt ook gekeken naar de verschillen ten opzichte van ODE s. Een normale differentiaal vergelijking (ODE) heeft onderstaande vorm: { y (t) = g (t, y(t)) t t 0 y(t 0 ) = y 0 t = t 0 Een delay differential equation (DDE) is van onderstaande vorm: { y (t) = f (t, y(t τ 1 ),..., y(t τ n )) t t 0 y(t 0 ) = φ(t) t t 0 Hierbij geven de τ s de delay aan. τ is niet-negatief en daarnaast ofwel constant of een functie van t of een functie van zowel t als y. We hebben een beginfunctie φ(t) in plaats van een{ beginwaarde } y(t 0 ), zoals bij ODE s, omdat t τ < t 0 kan zijn. φ(t) is gedefinieerd op [ρ, t 0 ] waarbij ρ = min 1 i n min i ) t 0. Merk op dat bij constante τ s geldt dat ρ = min 0 τ i ). 1 i n 5

16 6 2. DDE S IN HET ALGEMEEN Er wordt in het verslag ([3]) geconcludeerd dat de theorie van de ODE s voldoe is om DDE s op te lossen. We gebruiken een aanpak met de naam method of steps. Beschouw weer de standaardvorm van een DDE: { y (t) = f (t, y(t τ 1 ),..., y(t τ n )) t t 0 y(t 0 ) = φ(t) t t 0 De delay term y(t τ) wordt vervangen door een functie x(t τ). Hierbij is x(t τ) gelijk aan de beginfunctie φ(t τ) (als t τ < 0) of een continue extensie η(t τ) van een ODE methode ([4],p41). Wanneer we y n benaderd hebben op t n kunnen we de (n+1)e stap vinden door het oplossen van: { w n+1 = f (t, w n+1 (t), x(t τ(t, w n+1 (t)))) t n t t n+1 w n+1 (t n ) = y n φ(s) voor s t 0 met x(s) = η(s) voor t 0 s t n w n+1 (s) t n s t n+1 ([4], p.47) Door de continue extensie (ook wel interpolant genoemd) ontstaat er onnauwkeurigheid. Om dit te voorkomen kan de stapgrootte h zo gekozen worden dat k h = τ voor k N DDE S IN MATLAB In Matlab bestaat de functie dde23, deze lost DDE s van onderstaande vorm op: { y (t) = f (t, y(t τ 1 ),..., y(t τ k )) t t 0 y(t) = S(t) t t 0 dde23 maakt gebruik van de matlab functie ode23. Deze uitbreiding is vergelijkbaar met de method of steps. De differentiaal vergelijkingen worden geïntegreerd met Runge-Kutta(2,3) In ([3], p.11) staat beschreven hoe dde23 gebruikt kan worden in Matlab INTERPRETATIE RUNGE-KUTTA VOOR DDE S Een methode om ODE s op te lossen is om te schrijven naar een explicite uitdrukking door een predictor uit te rekenen en in te vullen in de corrector. Voor de Modified Euler ( ofwel Runga-Kutta 2) methode ziet dit er als volgt uit: predictor: w n+1 = w n + h f (t n, w n ) corrector: w n+1 = h 2 [f (t n, w n ) + f (t n+1, w n+1 )] Voor DDE s is de vraag of de delay-term af zou moeten hangen van de predictor of niet. Hieronder de twee mogelijke interpretaties voor de Modified Euler methode. predictor: w n+1 = w n + h f (t n, w n, w n τ/h ) corrector: w n+1 = h 2 [f (t n, w n, w n τ/h ) + f (t n+1, w n+1, w n (τ/h)+1)] (2.4.1) of predictor: w n+1 = w n + h f (t n, w n, w n τ/h ) corrector: w n+1 = h 2 [f (t n, w n, w n τ/h ) + f (t n+1, w n+1, w n (τ/h)+1 )] (2.4.2) In matlab wordt bekeken hoe een functie opgelost met (2.4.1) en (2.4.2) er uit ziet in vergelijking met het oplossen met Runge-Kutta 4. Runge-Kutta 4 heeft een hogere orde nauwkeurigheid, dus de interpretatie die hier het dichts bij ligt heeft de voorkeur. Dit blijkt de uitdrukking van (2.4.1) te zijn.

17 3 STABILITEITSANALYSE 3.1. STABILITEIT VAN DE DDE Om de stabiliteit van DDE s intuïtief te verduidelijken eerst een voorbeeld ([4],p8). Beschouw de lineaire scalar vergelijking, met reële coefficiënten λ en µ, { y (t) = λy(t) + µy(t 1) t 0 y(t) = t + 1 t 0 Stel µ = 0 dan geldt dat de oplossing asymptotisch stabiel is voor negatieve λ en instabiel voor positieve λ. Als µ 0 dan noemen we deze term een forcing term. Bovenstaande conclusies gelden dan niet altijd meer. Voor bepaalde keuze van µ kan bij positieve λ toch stabiliteit gelden. Met de method of steps kan een stabiliteitsanalyse gedaan worden voor vergelijkingen van de vorm y (t) = f (t, y(t),u(t)) met de forcing term u(t) vervangen door y(t τ). Hierbij kan τ afhankelijk zijn van t als voldaan is aan onderstaande hypothesen ([4], p249): H1 Er bestaat een constante τ 0 zodanig dat τ(t) τ 0 voor alle t t 0 H2 lim t t τ(t) = H3 Er bestaat een constante τ 1 > 0 zodanig dat τ(t) τ 1 voor alle t t 0 H4 t τ(t) is een strikt stijge functie voor alle t 0 Als er aan (H1) is voldaan, geldt er dat de afstand tussen twee discontinue punten minimaal τ 0 is. Op een begrensd interval zijn er dan eindig veel discontinue punten. (H2) kan grofweg gezien worden als het niet oneindig zijn van τ(t), want als t naar oneindig gaat, dan moet gelden lim t t τ(t) =. Met de voorwaarde (H3) geldt dat de integratie van de DDE hoogstens afhangt van een vaste waarde terug in de tijd DEMPING EN ASYMPTOTISCHE STABILITEIT Om de definities van asymptotisch stabiel en demp te geven, introduceren we twee stelsels. { y (t) = f (t, y(t), y(t τ(t))) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 (3.1.1) en een soortgelijk stelsel met dezelfde functie f, maar een andere beginfunctie φ {ỹ (t) = f (t, ỹ(t), ỹ(t τ(t))) t t 0 ỹ(t) = φ(t) t t 0 (3.1.2) Vervolgens definiëren we δy(t) = ỹ(t) y(t) en δφ = φ(t) φ(t). Het stelsel (3.1.1) heet demp als voor iedere 7

18 8 3. STABILITEITSANALYSE beginfunctie φ(t) voldaan wordt aan δy(t) max x t 0 δφ(x), t t0 Een stelsel (3.1.1) heet asymptotisch stabiel als voor elke beginfunctie φ(t) wordt voldaan aan lim δy(t) = 0 t We kunnen ook onderzoeken of het systeem aan een sterker criterium voldoet, namelijk het demp of asymptotisch stabiel zijn, ongeacht de beginfunctie φ(t) en delay τ(t). Hierbij moet τ(t) voldoen aan (H1). Beschouw (3.1.1) en (3.1.2) en laat, inwig product in C d en de bijbehore norm. Laat X (t) en Y (t) continue functies zijn die voldoen aan ([4],p250): Re( f (t, y 1, x) f (t, y 2, x), y 1 y 2 ) Y (t) sup x,y 1 y 2 y1 y 2 2 en X (t) sup y,x 1 x 2 f (t, y, x1 ) f (t, y, x 2 ) x 1 x 2 Als Y (t) + X (t) 0, t t 0 (3.1.3) dan is het stelsel (3.1.1) demp voor alle beginfuncties φ(t) en alle delays τ(t) die voldoen aan (H1). Als Y (t) Y 0 < 0 voor t t 0 en R Y (t) + X (t) 0 (3.1.4) voor een positieve reële R < 1 dan is het stelsel (3.1.1) naast demp, ook asymptotische stabiel voor alle beginfuncties φ(t) en alle delays τ(t) die voldoen aan (H1) en (H2). Voldoet τ(t) ook aan (H3) dan convergeert de verstoring sneller naar 0 dan e α(t t 0) voor een α > TESTVERGELIJKING We bekijken de algemene theorie uit de vorige sectie toegepast op een een lineaire scalar vergelijking. Een lineaire testvergelijking is van de vorm { y (t) = λ(t)y(t) + µ(t)y(t τ(t)) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 (3.1.5) Waarbij λ en µ al dan niet van t afhankelijk zijn. Als de delay τ constant is kunnen we X (t) en Y (t) uitrekenen. We berekenen Y (t) en X (t) om zo een uitdrukking voor (3.1.3) te krijgen. Er volgt dat: Re( f (t, y 1, x) f (t, y 2, x), y 1 y 2 ) Y (t) sup x,y 1 y 2 y1 y 2 2 Re( λ(t)y 1 + µ(t)x (λ(t)y 2 + µx), y 1 y 2 ) = sup x,y 1 y 2 y1 y 2 2 Re( λ(t)(y 1 y 2 ), y 1 y 2 ) = sup x,y 1 y 2 y1 y 2 2 Re(λ(t)) y1 y 2 2 = sup x,y 1 y 2 y1 y 2 2 = Re(λ(t))

19 3.1. STABILITEIT VAN DE DDE 9 en X (t) sup y,x 1 x 2 = sup x,y 1 y 2 = sup x,y 1 y 2 f (t, y, x1 ) f (t, y, x 2 ) x 1 x 2 λ(t)y + µ(t)x1 (λ(t)y + µ(t)x 2 ) µ(t)(x1 x 2 ) x 1 x 2 µ(t) x 1 x 2 = sup x,y 1 y 2 x 1 x 2 = µ(t) x 1 x 2 Hiermee zien we dat Re(λ(t)) + µ(t) 0, t t 0 de voorwaarde voor demping is. Uit (3.1.4) krijgen we R Re(λ(t)) + µ(t) 0, t t 0, voor een positieve reële R < 1, als voorwaarde voor asymptotische stabiliteit. Als λ en µ constant, dan geldt daarnaast dat Re(λ) + µ < 0. Naast deze theorie kunnen we de stabiliteitsanalyse toepassen met behulp van de testvergelijking. Laat een oplossing van (3.1.5) is van de vorm y = C e ζt. Substitutie hiervan in (3.1.5) geeft C ζ e ζt C λe ζt µ C e ζ(t τ) = 0. Gelijke termen wegdelen geeft de karakteristieke vergelijking ζ λ µe τζ = 0. Deze vergelijking heeft oneindig veel nulpunten ([4],p.256). Het stelsel is asymptotisch stabiel dan en slechts dan als voor ieder nulpunt ζ i geldt Re(ζ i ) < STABILITEITSGEBIED S τ Een stabiliteitsgebied S τ wordt gedefinieerd als de verzameling van paren (λ,µ) zodanig dat de bijbehore oplossing asymptotisch stabiel is voor elke initiële functie φ(t) en voor een vaste waarde van τ. In het INCAS 3 model zullen de coëfficiënten λ en µ reëel zijn. Daarom bekijken we alleen stabiliteitsgebieden voor reële coëfficiënten. Hayes [5] heeft gevonden dat dit gebied van asymptotische stabiliteit voor een vaste waarde van τ wordt in gesloten door de paren (λ,µ) die voldoen aan λ < µ en µ 2 λ 2 < 1 ( ) λ τ ar ccos µ Dit gebied is weergegeven in afbeelding (3.1). Om stabiliteit van alle constante delays τ te bereiken, geldt voor λ, µ R dat het stabiliteitsgebied beschreven wordt door λ µ < λ. De onderrand van dit S τ -stabiliteitsgebied wordt in de afbeelding (3.1) weergegeven door de onderbroken lijn.

20 10 3. STABILITEITSANALYSE Figuur 3.1: Stabiliteits gebied voor vergelijking (3.1.5) met reële constanten λ en µ en constante delay τ ([4],p259) 3.2. STABILITEIT METHODE Voor stabiliteit van een numerieke methode willen we een zo groot mogelijke stapgrootte vinden, opdat de gemaakte fout beperkt blijft. Deze fout kan twee mogelijke afkomsten hebben. De eerste manier waarop een fout ontstaat, is door een fout in de beginwaarde. De tweede manier is de fout die ontstaat door een fout in de forcing term. Laatst genoemde fout kan betekenen dat een methode wel demp is voor ODE s, maar niet voor DDE s ALGEMENE VORM RUNGE-KUTTA METHODE We bekijken eerst een notatie van hoe een differentiaalvergelijking numeriek kan worden opgelost met een Runge-Kutta methode. Allereerst bekijken we dit voor ODE s ([4], p.110) en daarna voor DDE s ([4],p.152). Gegeven een ODE { y (t) = f (t, y(t)) t 0 t f y(t 0 ) = y 0 (3.2.1) Met een partitie = {t 0, t 1,... t n... t N = t f } en uitgaande van constante stapgrootte h, heeft een ν-stage Runge- Kutta methode onderstaand de vorm (in de zogeheten Y notatie), Y i n+1 = y n + h ν j =1 y n+1 = y n + h waarbij c i = ν j =1 a i j, t i n+1 = t n + c i h, i = 1,...,ν en h = t n+1 t n a i j f (t j n+1,y j n+1 ) i = 1,...,ν, (3.2.2) ν b i f (tn+1 i,y n+1 i ) (3.2.3) i=1

21 3.2. STABILITEIT METHODE 11 Als voorbeeld kunnen we Runge-Kutta 2 nemen, hierbij is ν = 2. Y 1 n+1 = y n + h(a 11 f (t 1 n+1,y 1 n+1 ) + a 12 f (t 2 n+1,y 2 n+1 )) = y n Y 2 n+1 = y n + h(a 21 f (t 1 n+1,y 1 n+1 ) + a 22 f (t 2 n+1,y 2 n+1 )) = y n + h f (t n+1,y 1 n+1 ) = y n + h f (t n+1, y n ) y n+1 = y n + h(b 1 f (t 1 n+1,y 1 n+1 ) + b 2 f (t 2 n+1,y 2 n+1 )) = y n + h( 1 2 f (t n, y n ) f (t n+1,y 2 n+1 )) De coëfficiënten van de matrix A en b i en c voor i = 1,...,ν kunnen worden weergeven in het zogeheten i c 1 a a 1ν Butcher tableau: c ν a ν1 a νν b 1... b ν In het geval van Runge-Kutta 2: /2 1/2 Voor DDE s kunnen we een soortgelijke beschrijving geven. We gaan uit van constante stapgrootte h en constante delay τ. Y i n+1 = y n + h ν j =1 η(t n + θh) = y n + h a i j f (t j n+1,y j n+1,η(t j n+1 τ)) i = 1,...,ν, (3.2.4) ν i=1 waarbij b i (θ) polynomen van graad zodanig dat b i (θ)f (tn+1 i,y n+1 i,η(t n+1 i τ)) 0 θ 1, (3.2.5) b i (0) = 0 en b i (1) = b i, i = 1,...,ν en dat er voldaan wordt aan η(t n ) = y n en η(t n+1 ) = y n+1 Merk op dat er een verband tussen het polynoom b i (θ) en de waarde b i uit het Butcher tableau is. Bij sommige methodes, zoals die in de volge sectie, zijn de waardes b i op de discretisatie niet voldoe en is een continue extentie b i (θ) nodig IMPLEMENTATIE MATLAB De algemene vorm uit voor Runge-Kutta is uit te schrijven naar een specifieke methode met behulp van de theorie uit de vorige sectie. Bij Runge-Kutta 2 levert het uitschrijven geen bijzonderheden op, maar bij Runge- Kutta 4 moet er gebruik gemaakt worden van interpolatie voor de implementatie in MATLAB /2 1/ Het Butcher tableau behore bij Runge-Kutta 4 is: 1/2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6 De algemene vorm uitschrijv krijgen we: Yn+1 1 = y n Yn+1 2 = y n + h (t 2 f n + h 2, y n,η (t n + h2 )) τ

22 12 3. STABILITEITSANALYSE Y 3 n+1 = y n + h 2 f ( t n + h 2,Y 2 n+1,η ( t n + h 2 τ )) Y 4 n+1 = y n + h 2 f ( t n+1 Y 3 n+1,η ( t n+1 + h 2 τ )) ( 1 η(t n + θ) = y n + h 6 f (t n,yn+1 1,η(t n τ)) f (t n + h 2,Y n+1 2,η(t n + h 2 τ)) f (t n + h 2,Y n+1 3,η(t n + h 2 τ)) + 1 ) 6 f (t n+1,yn+1 4,η(t n+1 τ)) Voor de benadering met behulp van Runge-Kutta methodes wordt steeds de waarde y n bepaald op t n. Vervolgens y n+1 op tijdstip t n+1 = t n + h. Bij Y 2 n+1 en Y 3 n+1 is te zien dat η ( t n + h 2 τ ) wordt aangeroepen. In de MATLAB-code van (A.1) wordt de waarde op tijdstip t n + h 2 niet benaderd, dus voor benadering van deze waarde gebruiken we Lagrange interpolatie. We willen de orde van nauwkeurigheid behouden zoals die is in de gebruikte Runge-Kutta methode. Hiervoor moet de Lagrange interpolatie van orde ν zijn, waarbij ν gedefinieerd is zoals in sectie (3.2.1). In het geval van Runge-Kutta 4 geldt ν = 4. Uit ([7],p.14) zien we dat we een n-de graads polynoom L n kunnen vinden, die een benadering van de functiewaarde is. Hierbij is L n gelijk aan de functiewaarde in n + 1 verschille punten x 0,... x n. Als L n dan in onderstaande vorm, dan voldoen we aan genoemde eisen. waarbij L n (x) = n f (x k )L kn (x) k=0 L kn (x) = (x x 0) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) GROEI VAN DE FOUT Voor een DDE van de vorm { y (t) = f (t, y(t), y(t τ(t))) t 0 t t f y(t) = φ(t) t t 0 (3.2.6) willen we dat de fout beperkt blijft op het interval [t 0, t f ] met partitie = {t 0, t 1,..., t n,... t N = t f } Om de voorwaarde voor stabiliteit te bekijken, beschouwen we twee lokale problemen. Allereerst het lokale probleem zoals besproken in paragraaf 2.2. Hierbij is de benadering van y n op tijdstip t n gegeven. Om de discrete benadering y n+1 en de continue benadering η(t n + θh n+1 ), voor 0 θ 1, te berekenen, moet het onderstaande lokale probleem opgelost worden. { w n+1 (t) = f (t, w n+1 (t), x(t τ(t))) t n t t n+1 w n+1 (t n ) = η(t n ) = y n (3.2.7) met φ(s) s t 0 x(s) = η(s) t 0 s t n w n+1 (s) t n s t n+1 Hiernaast bekijken we een fictief lokaal probleem, dit gebruiken we zodat we de fout kunnen definiëren. In onderstaand probleem wordt er vanuit gegaan dat we op tijdstippen t 0 t t n de exacte oplossing y(t) weten weten. { z n+1 (t) = f (t, z n+1 (t),u(t τ(t))) t n t t n+1 (3.2.8) z n+1 (t n ) = y(t n ) met φ(s) s t 0 u(s) = y(s) t 0 s t n z n+1 (s) t n s t n+1

23 3.3. STABILITEIT VOOR RUNGE-KUTTA 4 13 Oplossing van z n+1 (t) y(t) en dit is ook de oplossing van (3.2.6). Noem de discrete benadering z n+1 en de continue benadering ζ n+1 (t n + θh n+1 ) voor 0 θ 1. In tegenstelling tot de fout bij ODE s, moeten we nu ook kijken wat de fout doet op punten tussen de discrete benaderingen. Daarom definiëren we de maximum uniform global error : E n = max 0 t tn y(t) η(t). De fout die in een stap gemaakt wordt, omdat de beginvoorwaarde niet exact is, noemen we de uniform propagated error : max tn t t n+1 ζn+1 (t) η(t). Met de stabiliteitsvoorwaarde max tn t t n+1 ζn+1 (t) η(t) En is gegarandeerd dat de fout niet sneller dan lineair groeit ([4],p291) STABILITEIT VOOR RUNGE-KUTTA 4 We noemen een methode stabiel als deze stabiel is voor een bepaalde testvergelijking. In het INCAS 3 -model gaan we gebruik maken van de numerieke methode Runge-Kutta 4. Onderstaande theorie is dan ook toepasbaar op Runge-Kutta methodes en deels specifiek voor Runge Kutta A-STABILITEIT Bij ODE s geldt A-stabiliteit als de lineaire scalar testvergelijking met constante coëfficiënt, y (t) = λy(t), stabiel is. De A-stabiliteitsfunctie van een Runge-Kutta methode wordt gedefinieerd door ([4],p.216) R(α) = 1 + αb T (I αa) 1 e (3.3.1) waarbij b = [b 1,...b ν ] T, A = [a i j ] ν zoals we gezien hebben in de notatie van sectie (3.2.1). i,j =1 Daarnaast, e = [1,...1] T is de unit ν-vector en I de ν ν identiteits matrix. Deze R(α) is gelijk aan de versterkingsfactor van een numerieke methode. Er geldt namelijk dat y n+1 = R(h n+1 λ)y n. Als we een Runge-Kutta methode hebben, zodat het in de vorm van (3.2.2), (3.2.3) staat, dan is het A-stabiliteitsgebied S A = {α C : R(α) < 1} In onderstaande figuur staan deze A-stabiliteitsgebieden weergegeven. Het kleinste gebied (blauw) hoort bij Runge-Kutta 1 en dit bouwt zo voort tot het grootste gebied (magenta) dat hoort bij Runge-Kutta 4. Figuur 3.2: A-stabiliteitsgebieden voor Runge-Kutta 1 (blauw), 2 (rood), 3 (groen) en 4 (magenta) [9]

24 14 3. STABILITEITSANALYSE P-STABILITEIT Bij uitbreiding naar DDE s krijgen we onderstaande lineaire testvergelijking: { y (t) = λy(t) + µy(t τ) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 (3.3.2) We definiëren het P-stabiliteitsgebied voor DDE s als de verzameling S P met complexe paren (α,β), met α = hλ,β = hµ, zodanig dat de numerieke discrete oplossing {y n } n 0 van (3.3.2), voldoet aan lim n y n = 0 voor alle constante delays τ en alle initiële functies φ(t). Hierbij moet stapgrootte h zo zijn dat h = τ, m 1, m geheel getal (3.3.3) m Een numerieke methode heet P-stabiel als S P {(α,β) C 2 : Re(α) + β < 0} Als bovenstaande definities toepassen op reële λ en µ, veranderen we de namen van definities in P(0)-stabiliteitsgebied en P(0)-stabiliteit. We bekijken hier de numerieke oplossingen y n die asymptotisch stabiel zijn voor alle delays τ. Uit de theorie van sectie (3.1.3) weten we dat het S τ -stabiliteitsgebied beschreven wordt door λ µ < λ. Hierdoor wordt een deel van het S τ buiten beschouwing gelaten, omdat het moet gelden voor alle delays. Het bekijken van stabiliteit voor alle τ s is daarom minder nuttig dan het apart beschouwen van een bepaalde τ D-STABILITEIT In het INCAS 3 -model hebben we te maken met een paren (λ,µ) die buiten λ µ < λ liggen. We bekijken daarom een andere stabiliteit, namelijk D(0)-stabiliteit ([4],p.299), waarbij we τ vast nemen. Definieer dan het D τ -stabiliteitsgebied als de verzameling S Dτ van tripels (h,λ,µ), met h als in (3.3.3), waarvoor geldt dat de discrete numerieke oplossing lim n {y n } = 0 voor alle initiële functies φ(t). Een numerieke methode voor DDE s is D(0)-stabiel als voor elke vast paar (λ,µ) S τ (h,λ,µ) S Dτ voor elke constante stapgrootte h die voldoet aan (3.3.3). Bij onderzoek naar stabiliteit bekijken we vaak de nulpunten van een karakteristieke vergelijking. Equivalent kunnen we, in dit geval, ζ = R( 1 τµ m (τλ + ζ m )) bekijken. Hierbij is h = τ/m en R de A-stabiliteitsfunctie. Laat ξ = τλ + τµ/ζ m. Er volgt ([4],p.321) dat het D τ -stabiliteitsgebied wordt beschreven door de tripels (h,λ,µ) waarvoor geldt dat ( ) ( ) τµ ξ τλ R (R( ξ = 0 ξ R < 1 (3.3.4) m ))m m We beschouwen de onderstaande eigenschap waar we gebruik van maken bij verdere analyse: (P) De stabiliteitsvoorwaarde (3.3.4) geldt voor alle (λ,µ) S τ Een Runge-Kutta methode is D-stabiel dan en slechts dan als (P) geldt voor alle m 1. Bovien, als (P) geldt voor m = 1, dan geldt het voor elk geheel getal m 1. Als (P) met m = 1 geldt voor de stabiliteitsfunctie R(α), dan is de methode D-stabiel. Een andere manier om dit te onderzoeken is via onderstaande stelling: Definitie Definieer de verzameling voor elke c 0 H c = {h C : v C, z C zodanig dat Re(z) c en z + vh ve z = 0}

25 3.3. STABILITEIT VOOR RUNGE-KUTTA 4 15 Stelling De A-stabiliteits functie R(α) voldoet aan (P) met m = 1 dan en slechts dan als waarbij S A het complement is van S A. { } e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c H c, voor alle c 0 Uit ([4], p.325) zien we dat H c handig via poolcoördinaten beschreven kan worden. Hierbij nemen we de hoek zo dat π φ < π. Stelling Als c 2 dan H c = {r e iφ : 0 r e c } Als 1 c 2 dan { H c = r e iφ : 0 r e c en r > e c (c 1) φ ar ccos ( e c (c 1) r ) } r 2 e 2c (1 c) 2 Als 0 c < 1 dan { ( e H c = r e iφ : 0 r e c, r e c c ) (c 1) } (c 1) en φ ar ccos r 2 e 2c (1 c) 2 r Combinatie van de twee stellingen heeft{ geleid tot de MATLAB-code } (A.2) om D-stabiliteit te onderzoeken. Hierbij worden de verzamelingen H c en e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c geplot. Als er geen D-stabiliteit geldt, is dit via deze manier goed zichtbaar te maken. Voor de methode Euler achterwaarts is D-stabiliteit bewezen ([4],p.326). Hierbij geldt dat de A-stabiliteitsfunctie R(α) = 1 1 α. De methode is D-stabiel en er geldt dus (P). Uit stelling (3.3.1) zien we dat moet gelden { } e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c H c, voor alle c 0 Dat aan deze voorwaarde voor c = 1.1 is voldaan is te zien in {(3.3). Hierbij zijn rode sterretjes elementen uit de verzameling e ξ R(ξ) : ξ S A, } Re(ξ) = c en het blauwe gebied geeft H c weer. { } Figuur 3.3: Complexe vlak met H c voor c = 1.1 (blauw) en e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c door (*)

26 16 3. STABILITEITSANALYSE Bij Runge-Kutta 4 krijgen we de A-stabiliteitsfunctie R(α) = 1 + α α α α4. Bij het plotten krijgen we een soortgelijke vorm van H c als in figuur (3.3). Ingezoomd { op de linkerrand } (3.4) zien we dat er oranje sterren buiten de rand van H c liggen. Er geldt dus dat e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c H c voor c = Uit stelling volgt dan dat er niet wordt voldaan aan (P), wat dan weer impliceert dat Runge-Kutta 4 niet D-stabiel is. { } Figuur 3.4: H c met c = (links van de oranje lijn) en e ξ R(ξ) : ξ S A, Re(ξ) = c door (*) ingezoomd We kunnen concluderen uit het bovenstaande dat er geen D-stabiliteit geldt bij de Runge-Kutta 4 methode. Met andere woorden: Runge-Kutta 4 is niet stabiel voor elke tijdstap.

27 4 D τ -STABILITEITSGEBIEDEN Als er geen (onvoorwaardelijke) D-stabiliteit geldt, is het interessant is dan om te kijken naar de D τ -stabiliteitsgebieden bij vaste stapgrootte. Er kan dan voor een bepaalde stapgrootte gekeken worden, bij welk paar (λ, µ) de integratie stabiel is BEPALING D τ -STABILITEITSGEBIEDEN MET MATLAB Er wordt MATLABcode geschreven om afbeeldingen zoals in ([4], p.324, fig. 10.5) te maken. In onderstaande figuur is te zien dat dat gelukt is voor de Euler voorwaarts methode (Runge-Kutta 1). Hierbij corresponderen de zwarte bolletjes met m = 5, de blauwe sterretjes met m = 3 en de rode punten met m = 1. Figuur 4.1: D τ -stabiliteitsgebieden voor m = 1,3 en 5 Bij het testen van het D τ stabiliteitsgebied door implementatie van de testvergelijking in MATLAB blijkt vaak dat het stabiliteitsgebied groter is dan in bovenstaande afbeelding. Een aannemelijke verklaring hiervoor heeft te maken met de gekozen beginfunctie. Het D τ -stabiliteitsgebied geldt namelijk voor willekeurige beginfuncties φ(t). Bij het nemen van een vaste beginfunctie φ(t) zal het stabiliteitsgebied groter uit kunnen vallen. 17

28 18 4. D τ -STABILITEITSGEBIEDEN We breidden de MATLAB-code uit, zodat het de D τ -stabiliteitsgebieden voor Runge-Kutta 4 geconstrueerd worden. Hierbij worden de gebieden voor verschille waardes van m geplot, zodat de delay τ een veelvoud is van de stapgrootte h. Bij de D τ -stabiliteitsgebieden van Runge-Kutta 4 bekijken we alleen reële waarden van λ en µ. In sectie (A.3) is de bijbehore MATLAB-code te vinden. Er wordt met behulp van de voorwaarde (3.3.4) gecheckt of een paar (λ,µ) wel of niet voldoet. We nemen dus eerst een vaste waarde van m. Vervolgens bekijken we een gekozen λ en µ. Hiermee kunnen de oplossingen ξ van de vergelijking ξ τλ R ( τµ (R( ξ m ))m bepaald worden. Als elk van deze oplossingen ξ voldoet aan ) = 0 R ( ξ m ) < 1, dan behoort het paar (λ,µ) tot het D τ -stabiliteitsgebied voor die waarde van m. Doen we dit voor een groot aantal verschille waarden van λ en µ, dan krijgen we een beeld van het D τ -stabiliteitsgebied. In afbeelding (4.2) is het D τ -stabiliteitsgebied voor Runge-Kutta 4 met delay τ = 1 te zien. Hierbij weergeven de zwarte bolletjes m = 6, de blauwe sterretjes m = 5 en de rode punten m = 4. Figuur 4.2: D τ -Stabiliteitsgebieden met τ = 1 voor m = 4,5,6 De groene lijnen die geplot zijn in de afbeelding, geven de randen van het S τ -stabiliteitsgebied, zoals we gezien hebben in figuur (3.1). De groene onderbroken lijn geeft de rand van het S τ -stabiliteitsgebied aan voor alle delays τ. We zien dus voor m = 4,5,6 dat dit geen moeilijkheden oplevert. Als een paar (λ,µ) namelijk in het D τ -stabiliteitsgebied ligt, dan ligt het ook in het S τ -stabiliteitsgebied. De gevonden resultaten worden getest met behulp van MATLAB, bij steekproefsgewijs testen zien we het verwachtte stabilisere gedrag. Neem bijvoorbeeld het paar (λ,µ) = ( 14, 2). Volgens het D τ -stabiliteitsgebied (4.2) is de testvergelijking niet stabiel voor m 5 en wel voor m = 6. Bij plots van de testvergelijking hieronder in MATLAB (A.4), zien we dat dit aansluit bij de theorie.

29 4.2. ALGEMENE VORM STABILITEITSGEBIED 19 Figuur 4.3: Testvergelijking met τ = 1 voor m = 5 (links) en m = 6 (rechts) geïntegreerd met Runge-Kutta 4 Bij paren (λ, µ) die in het stabiliteitsgebied vallen, zien we ook stabiliteit. Ook bij deze stabiliteitsgebieden geldt dat voor een aantal beginfuncties het gebied groter is dan weergegeven, omdat dat het gegeven gebied voor alle beginfuncties φ(t) geldt ALGEMENE VORM STABILITEITSGEBIED Deze stabiliteitsgebieden zijn te vinden voor willekeurige, maar vaste delays τ. Zo ook voor τ = 2. Hierbij gelden de D τ -gebieden weer voor een m zo dat h = τ m. Bij de zwarte bolletjes geldt m = 7, bij de blauwe plusjes geldt m = 6, bij de rode plusjes m = 5 en de groene puntjes geldt m = 4. Figuur 4.4: D-Stabiliteitsgebieden met τ = 2 voor m = 4,5,6,7

30 20 4. D τ -STABILITEITSGEBIEDEN Ook deze gebieden lijken binnen het S τ -stabiliteitsgebied te vallen. De D τ -stabiliteitsgebieden lijken steeds een gelijksoortige vorm te hebben. Afhankelijk van de delay τ wordt de rechterrand van het gebied bepaald. Dit lijkt volgens de beschrijving gegeven bij het S τ -stabiliteitsgebied te gaan. Hiervoor geldt: λ < µ voor de rechterbovenrand en µ 2 λ 2 < 1 τ ar ccos ( λ µ ) voor de rechteronderrand. Figuur 4.5: D τ -stabiliteitsgebieden voor τ = 1 met m = 4 (blauw), τ = 2 met m = 8 (zwart) en τ = 3 met m = 12 (magenta) Bij D τ -stabiliteitsgebieden waarbij h gelijk is met verschille τ s en m s zien we dat het gebied ongeveer even groot is. Aan de rechterrand is het gebied groter voor kleinere τ s, dit volgt de hierboven beschreven grenzen. Ook op de linkerkant van het gebied blijkt een kleine delay τ een groter D τ -stabiliteitsgebied te geven OVEREENKOMST ODE-THEORIE De stabiliteitsgebieden die we hebben gevonden moeten ook kloppen met de theorie die we voor ODE s hebben. Als we µ = 0 nemen, wordt de DDE een ODE. Voor het stabiliteitsgebied van Runge-Kutta 4, met reële λ moet voor stabiliteit gelden: 2.8 < hλ < 0. In onderstaande tabel zijn de minimale λ s per gebied (afhankelijk van τ en m) waarvoor stabiliteit zou moeten gelden berek. De grens van de maximale λ is nog steeds 0 (voor stabiliteit moet λ < 0). τ m h = τ m λ mi n = 2.8 h 1 4 1/ / / / / / /7-9.8 We bekijken de kleinste λ op de x-as (µ = 0) in afbeeldingen (4.2) en (4.4). Hierbij zien we dat deze waardes overeen komen met de waardes uit de tabel.

31 5 COCHLEA MODEL INCAS 3 De analytische aanpak om stabiliteit te onderzoeken voor een lineair stelsel is nog een veel grotere uitdaging dan dit voor één vergelijking. Zoals aangegeven in ([4],p.355) zijn er vooral negatieve resultaten bewezen over de stabiliteit van lineaire stelsels. Dit houdt in dat er bewezen is voor specifieke methoden dat er geen onvoorwaardelijke stabiliteit geldt. Er is in de vorige sectie gekeken naar de stabiliteit van één oscillator. Om een redelijke benadering van de werkelijkheid van het oor te krijgen zal dit moeten worden uitgebreid naar een niet-lineair stelsel met ongeveer 400 tot 1000 oscillatoren. Omdat hiervoor nog te veel stappen gezet moeten worden, zullen we overgaan op een numerieke manier om de stabiliteit van het INCAS 3 -model te onderzoeken INTERPRETATIE VAN HET MODEL Vanuit INCAS 3 is er een model aangeleverd dat de cochlea modelleert, zie Matlabcode (A.5). Er is weinig informatie beschikbaar over de cochlea. Zo is er bijvoorbeeld een zeer beperkte set metingen van de exitatie van het basilair membraam beschikbaar. Hiermee kunnen de exitatiepatronen die geproduceerd worden door de code mee vergeleken worden. In onderstaande afbeeling is een exitatiepatroon te zien van 600 oscillatoren bij een stimulans van 1 khz. Hiervan wordt verondersteld dat dit een goede benadering is van de werkelijkheid. Figuur 5.1: Exitatiepatroon met 600 oscillatoren 21

32 22 5. COCHLEA MODEL INCAS 3 Op de x-as van de grafiek staan de oscillators genummerd. De oscillators bevinden zich naast elkaar op het basilair membraam, deze as geeft dus de plaats weer. Op de y-as staat log (u_ti lde_log ). In het INCAS 3 - model worden de amplitude en de verandering van de amplitude benaderd. u_ti l de weergeeft de verandering van de amplitude, u_ti lde_l og is het maximum over de tijd hiervan. Door het omschrijven komen we uit op een logaritmische schaal, de decibel OVERGANG STABILITEIT NAAR INSTABILITEIT We bekijken de verschillen tussen de overgang van stabiel naar instabiel door het vergroten van de stapgrootte. Bij ODE s is het omslagpunt van stabiliteit naar instabiliteit duidelijk te zien. Eerst weergeeft een grafiek een stabiele oplossing en door de stapgrootte iets groter te maken vertoont de grafiek direct wild gedrag: instabiliteit. Hierbij convergeert de numerieke benadering niet naar de oplossing maar wordt erg groot of klein. Bij DDE s lijkt dit wat ingewikkelder te liggen. Met behulp van MATLAB worden er grafieken geplot rondom het omslagpunt van stabiliteit naar instabiliteit. Dit doen we voor een DDE van de vorm { y (t) = λy(t) + µy(t τ) t 0 y(t) = φ(t) t 0 De restrictie h = τ m maakt dat we niet de (in)stabiliteit zo dichtbij het omslagpunt kunnen onderzoeken als we zouden willen. We nemen een grote delay τ zodat we ook een grote m krijgen om stabiliteit te verkrijgen. Hierdoor zit tussen op een volge verschille m s een redelijk klein verschil in stapgrootte h. Als voorbeeld nemen we τ = 200, λ = 5, µ = 4 en beginfunctie φ(t) = t 1. Voor m 360 krijgen we stabiliteit en voor m < 360 instabiliteit, zoals te zien is in (5.2). Figuur 5.2: Testvergelijking voor verschille stapgroottes Te zien is in de figuur dat bij m = 359 instabiliteit optreedt. Het lijkt er op dat we, net zo als bij ODE s, een omslagpunt kunnen vinden. Door de delay term kan de instabiliteit als het ware afgeremd worden, waardoor voor m = 359 de grafiek nog niet naar heel grote of kleine waardes gaat. Bij hogere m s zien we dit wel, hierbij schiet de numerieke benadering als snel naar waardes ter grootte van en vervolgens Voor kleinere delays lijkt soortgelijk gedrag op te treden, maar dan in mindere mate. Omdat er bij een kleine delay gekeken wordt naar recentere waardes dan bij een grote delay wordt het instabiele effect eerder versterkt. Wederom is dit lastig te zien, doordat er geen willekeurige stapgroottes bekeken kunnen worden.

33 5.3. STABILITEIT INCAS 3 -MODEL STABILITEIT INCAS 3 -MODEL Een niet-analytische manier om toch grip te krijgen op de stabiliteit van het model, is het vergelijken van exitatiepatronen bij verschille stapgroottes. Hierbij wordt eerst een stapgrootte genomen waarvan vrijwel zeker is dat het model daarbij stabiel is. Vervolgens de stapgrootte steeds verhogen tot de exitatiepatronen gaan afwijken. Deze methode is erg tijdrov en daarnaast niet heel nauwkeurig. Figuur 5.3: Exitatiepatroon voor h= 2.5e-7 (zwart) en h= 2e-6 (blauw) In (5.3) zien we dat een verhoging van de stapgrootte nog steeds een goede benadering geeft. De verwachting hierbij is dat het model nog steeds stabiel is. In (5.4) zijn de stapgroottes nog groter gemaakt. Voor een stapgrootte h = 7e 6 is duidelijk te zien dat er instabiliteit optreedt. Het precieze omslagpunt is lastig te vinden. Het verloop van stabiliteit naar instabiliteit verloopt wat geleidelijker dan bij ODE s, zoals we in voorgaande sectie gezien hebben. We hebben te maken met een systeem van ongeveer 400 tot 1000 oscillatoren. Als een individuele oscillator instabiel dreigt te worden, kan het zo zijn dat de buren van deze oscillator een stabilisere werking hebben.

34 24 5. COCHLEA MODEL INCAS 3 Figuur 5.4: Exitatiepatroon voor h= 2.5e-7 (zwart), h= 4e-6 (blauw) en h = 7e-6 (oranje)

35 6 CONCLUSIE Het projectvoorstel voor dit Bacheloreindproject bleek achteraf minder goed op te lossen dan in eerste instantie werd gedacht. De theorie over DDE s is nog volop in ontwikkeling en is daarom niet volledig beschikbaar om toegepast te worden. Hierdoor is de onderzoeksvraag niet beantwoord voor het INCAS 3 -model. De stabiliteitsanalyse is uitgevoerd voor de testvergelijking met een delay-term. Voor het verkrijgen van stabiliteit is vereist dat de parameters in het stabiele gebied liggen en dat de numerieke methode gebruikt voor de tijdsintegratie stabiel is. De analyse is uitgevoerd voor een lineaire testvergelijking van de vorm: { y (t) = λy(t) + µy(t τ) t 0 y(t) = φ(t) t 0 Er is gekeken naar reële parameters λ en µ, omdat dit relevant is voor het INCAS 3 model. Ook is vooral gekeken naar de numerieke methode, Runge-Kutta 4, die in het model wordt gebruikt. Voor een vaste delay τ moet voor een paar (λ,µ) gelden dat het binnen het S τ -stabiliteitsgebied ligt. De grenzen van dit gebied zijn als onderstaand: λ < µ en µ 2 λ 2 < 1 ( ) λ τ ar ccos µ Als we S τ willen vinden voor alle τ s dan hebben we het stabiliteitsgebied voor λ µ < λ. Voor de stabiliteitsanalyse van de Runge-Kutta 4 is gekozen voor D-stabiliteit. P-stabiliteit geldt voor alle delays τ waardoor een deel van het S τ -stabiliteits buiten beschouwing wordt gelaten. Voor de analyse van stabiliteiten wordt de stapgrootte h zo gekozen dat h = τ m, waarbij m 1 geheeltallig. We kunnen concluderen dat Runge- Kutta 4 niet onvoorwaardelijk D-stabiel is. Er wordt MATLAB-code geschreven om de D τ -stabiliteitsgebieden te plotten. Voor zekere m zodat h = τ m en τ kunnen dan de paren (λ,µ) gevonden worden, zodat er D-stabiliteit geldt. Het lijkt zo te zijn dat het D τ -stabiliteitsgebied altijd binnen het S τ -gebied ligt. Ook is er bekeken of er niet-analytische stabiliteitsanalyse mogelijk is op het INCAS 3 -model. Dit blijkt lastig te zijn, omdat het optreden van instabiliteit niet makkelijk zichtbaar te maken is in een figuur. Door de delayterm en de stabiliser werking van naburige oscillatoren kan de instabiliteit geleidelijker optreden dan bij gewone differentiaalvergelijkingen. Het exitatiepatroon verkregen door het model bij een heel kleine tijdsstap kan dienen als een maat voor stabiliteit. Hierbij kunnen dan exitatiepatronen van grotere tijdsstappen mee vergeleken worden. Er kan dan wel een goede inschatting gemaakt worden voor welke tijdstap het model stabiel is en voor welke tijdstap instabiel, maar het precieze omslagpunt is niet goed zichtbaar. Daarnaast is deze manier van onderzoeken erg tijdrov. 25