Modellen en Simulatie Recursies

Transcriptie

1 Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen Department of Mathematics Lineairiseren Companion vorm Complex als -d reeel Hoefijzer van Smale sleij/ Economisch model I Economisch model II In n-de jaar C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen Aanname [Keynes 936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar Investeringen veranderen niet Model: C n = k Y n + C & I n = I voor zekere positieve (bekende) k, C en I Dan Y n = k Y n + C + I α evenwichtspunt α = k α + C + I α = C + I k Positief evenwicht k < stabiel evenwicht (Y n = α + ε n ε n = kε n ) Schommelingen in de conjunctuur? Aanname [Samuelson & Hicks 939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n + C & I n = d (Y n Y n ) + I voor zekere positieve (bekende) k, C en d, I Y n = k Y n + C + d(y n Y n ) + I =(k + d)y n d Y n + C + I α evenwicht α = (k + d)α d α + C + I α = C + I k Positief evenwicht k < Stabiel?? Y n α als Y α en Y α??

2 Economisch model; Analyse Er geldt (companion vorm) Yn k + d d Yn = Y n Y n Met A= [ k + d d ], c=[ C + I ] + [ C + I, x n = ] x (n) x (n) geldt α α α x n = Ax n + c alle n evenwicht (x = α x = x = ) α = α = (C + I )/( k) Stabiel als x n α (n ) voor x α Y n =x (n ) ( n) Y n =x (n) ( n) Als x n = α + ε n dan Y = x () Y = x () & x n = Ax n + c alle n ε n = A ε n Stelling Stabiel ε n (n ) voor ε λ < alle eigenwaarden λ van A λ, λ eigenwaarden A zodat λ λ Evenwicht is stabiel λ < Met Y n = α + ε n is ε n = ε (n) = e T ε n Voorbeeld Karakteristieke vergelijking A: det(λi A) = λ (k + d) λ + d = Reële oplossing 4d (k + d) k > Stel reële oplossing Dan: λ > k > Stel irreële oplossing Dan: λ < d < 5 faseplot: n > (Y n,y n ) λ < λ (λ dominant) ε n γ λ n : Evenwicht herstelt als λ < (Herstel is monotoon als λ > ) λ = λ = ρ e iφ R Hier ρ λ ε n = ρ n (γ cos(n φ) + γ sin(n φ)): Slingerende herstel van het evenwicht als λ < k =, d = 7, C = 8/9, I = /9

3 Voorbeeld Karakteristieke vergelijking A: det(λi A) = λ (k + d) λ + d = Reële oplossing 4d (k + d) k > Stel reële oplossing Dan: λ > k > Stel irreële oplossing Dan: λ < d < Y n en C n Economisch model, k=, d=7, C= nationaal inkomen Y n Consumptie C n In jaar n: Model: Sluipwespen & Rupsen r n het aantal rupsen, w n het aantal sluipwespen Aanname: groeicoëfficiënt rupsen neemt lineair af bij groeiend aantal rupsen en wespen, groeicoëfficiënt wespen neemt lineair toe bij groeiend aantal rupsen rn+ = (a r n /R w n /W) r n, w n+ = γ r n w n, voor zekere positieve constanten a, γ, R en W Schaal: x n r n /R, y n w n /W levert xn+ = (a x n y n ) x n, y n+ = b x n y n n k =, d = 7, C = 8/9, I = /9 Is er evenwicht? Is dat stabiel? Hoe ontwikkelt de oplossing zich? Niet-lineaire modellen xn+ = f(x n, y n ) 5 x n+ =f(x n ), y n+ =g(x n ) met f(x,y)=(335 x y)*x, g(x,y)=*x*y faseplot n (x n ) of y n+ = g(x n, y n ) xn+ x n+ = f(x y n ) n+ f(xn, y n ) g(x n, y n ) 5 Evenwicht als xn = x n = = x = α, y n = y n = = y = β y n (α, β) evenwicht α = f(α, β) & β = g(α, β) 5 Evenwicht (α, β) is stabiel als x n α & y n β (n ) voor alle x α & y β en x α & y β x n α & y n β alle n x n

4 3 x n+ =f(x n ), y n+ =g(x n ) met f(x,y)=(335 x y)*x, g(x,y)=*x*y rupsen wespen Linearizeren 5 f(α + ε) f(α) + ε f (α) voor ε x n (rupsen), y n (wespen) 5 5 -dimensionaal: ε, δ f(α + ε, β + δ) f(α, β) + ε f f (α, β) + δ (α, β) x y n Linearizeren rond evenwicht Stel (α, β) evenwicht, α Als xn = α + ε n y n = β + δ n α β oplossing met εn δ n Lineariseren en stabiliteit Stelling α evenwichtsoplossing λ eigenwaarde Df( α) Evenwicht stabiel λ < alle λ Evenwicht instabiel λ > zekere λ f εn+ εn x D, met D Df( α) = δ n+ δ n g x de Jacobi matrix of totale afgeleide van f (α, β) f y (α, β) g y (α, β), (α, β) Geen conclusie als λ alle λ & λ = zekere λ! Stelling ook goed in meer dan dimensies εn+ εn = D δ n+ δ n xn α + ε n y n β + δ n opl mits εn δ n

5 Stabiliteit evenwichten -d (reëel) Stabiliteit evenwichten -d (reëel) xn+ xn = A y n+ y n met A = a a x, a ij, a a y reëel xn+ xn = A y n+ y n met A = a a x, a ij, a a y reëel A met eigenwaarden λ en λ, λ λ det(a λi) = (a λ)(a λ) a a = λ (a + a ) λ + (a a a a ) = λ s λ + d met d det(a) a a a a s spoor(a) a + a λ s λ + d = (λ λ )(λ λ ) s = λ + λ en d = λ λ A met eigenwaarden λ en λ, λ λ d a a a a = det(a) = λ λ s a + a = spoor(a) = λ + λ 4d s λ, λ R Stabiel: s + d > en + s + d > < λ λ < 4d > s λ, λ R, λ = λ Stabiel: d = λ : λ = λ < d < Bewering Stabiel als s < d < Instabiel als s > d of d > 3 Stabiliteit evenwichten in d d 4d=s s Horizontaal: s=spoor Verticaal: d=det

6 Voorbeeld xn+ = (a x n y n ) x n, y n+ = b x n y n, met a, b Lineariseer rond (α, β): εn+ a α β α εn = δ n+ b β b α δ n Evenwicht (): εn+ a εn = δ n+ δ n Evenwicht (): εn+ a a εn = δ n+ b(a ) δ n Evenwicht (3): εn+ = b ] b [ εn δ n+ b(a ) δ n Evenwicht () is stabiel a < Evenwicht () is stabiel <a<3 & a< + b Evenwicht (3) is stabiel max( 3 b 3, + b )<a<+ b Wat als a>+ b? N n aantal individuen eind maand n Aanname: Alleen individuen ouder dan maand produceren nakomelingen Productie is met vaste groeicoëfficiënt, Sterfte hangt lineair af van het totaal aantal individuen Model: Voor zekere g > N n+ = ( κ N n N ) N n + g( κ N n N ) N n Na schaling x n N n /N: x n+ = ( κ x n ) x n + g( κ x n ) x n of equivalent hiermee (companion vorm) xn+ = x n κ x n + g(y n κ y n), y n+ = x n (dwz y = x y n+ = x n ) Voor c C, bekijk Complex als -d reëel z n+ = F(z n ) met F(z) z + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R Evenzo c = a+ib Dan F(x + iy) = (x y + a) + i(xy + b) Schrijf z n = x n + iy n Dan x n+ = f(x n, y n ) x n y n + a y n+ = g(x n, y n ) x n y n + b x y Stabiliteit Jacobi matrix in (x, y): y x met eigenwaarden λ = (x + iy) en λ = (x iy) Met z = x + iy is λ = λ = z = F (z) Evenwicht (in C) in ζ ( + 4c) Stabiel als ζ < Voorbeeld Kies c C Definieer F(z) z + c (z C) Voor iedere rij (z n ) met z n+ = F(z n ) zijn er drie mogelijkheden: ) z n α (n ) met α evenwicht: α = F(α) ) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Julia set: z C (z n ) heeft eigenschap 3)} Kies c = 5 Kleur z C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n Kies z = Kleur c C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n Kleurnuances corresponderen met waarde n waarvoor z n α < 8 of z n > 8

7 Chaos f : I I Cantor verzameling Een iteratief proces x n+ = f(x n ) is chaotisch (op I) als ) er voor iedere x I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, ) er in de buurt van iedere x I een x I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt Voorbeeld z n+ = F(z n ) met F(z) z (z C), a i 3 i i= met a i,} a i i i= met a i,} z < z n (n ) 5 z > z n (n ) z = Schrijf z n = e πiφ n voor een φ n [,) z n+ = z n φ n+ = φ n mod: 5 Chaos op z C z = } Is chaos zichtbaar hier? Cantor verzameling D a i 3 i a i,} i= Itereren op de Cantor verzameling x n+ = x n mod op [,] is equivalent met (binair) a j j a j+ j j= j= Verplaats dit proces naar D: a j 3 j j= Zo correspondeert x = a j+ 3 j ) j= = op D met Conclusie Proces ) is chaotisch op de Cantor verzameling x n+ = f(x n ) op R op C met F(z) = z 3 (z C) Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f (V) V D V f φ 3φ mod F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V z z = + ε,im(z) } genomen a j 3 j a j+ 3 j j= j= D e π i φ e π i3φ f(v)

8 x n+ = f(x n ) x n+ = f(x n ) op R op C met F(z) = z 3 (z C) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+ f (V n ) f(v n ) V n Met D V n n= f(d) = D Chaos op D in vorige voorbeeld Is deze constructie algemener toepasbaar? Wanneer werkt hij? geldt is een stabiel evenwicht Andere evenwichten? (z n ) convergeert naar als z < (z n ) convergeert naar (divergeert) als z > Chaotisch gedrag voor z = Varianten x n+ = f(x n ) op R op C met F(z) = z (z C) F(z) z + c voor zekere c Julia set F(z) = F(r e π i φ ) r e π iφ F(z) = F(r e π i φ ) ( r + 8 φ ) 3 9 e3π i φ (r [, ), φ ) Actie F op z C z,re(z) } is samendrukken, uitrekken, oprollen (Plaatjes op de volgende transparanten voor deze iteratie) x n+ = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+ f (V n ) f(v n ) V n Met D n= V n f(d) = D geldt Conclusie Als f(v) in twee parallele stroken V doorsnijdt, en als l een lijn is in V en f(l) als een hoefijzer om l ligt, dan is er een Cantor achtige deelverzameling D van V met en f(d) = D het proces x n+ = f(x n ) is chaotisch op D