Modellen en Simulatie Recursies
|
|
- Petra van Dongen
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Utrecht, 13 mei 2013 Modellen en Simulatie Recursies Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/
2 N n : aantal individuen eind tijdvak n. Aanname [Malthus, 1798]: in ieder tijdvak: fractie s sterft, fractie g geboren Model. N n+1 = N n + g N n s N n = κ N n met κ = 1 + g s, κ is de groeicoëfficiënt Oplossing. N n = (1 + g s) n N 0 = κ n N 0 : de groei is exponentiëel
3 Bezwaren tegen het Malthus model groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, groeicoëfficiënt kan afhangen van n, groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, N n 1,... groeicoëfficiënt kan beïnvloed worden door andere soorten, veranderingen kunnen optreden op elk tijdstip (tijdsvakgedachte niet houdbaar) groei kan plaats afhankelijk zijn.
4 Bezwaren tegen het Malthus model groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, groeicoëfficiënt kan afhangen van n, groeicoëfficiënt kan afhangen van N n, N n 1,... groeicoëfficiënt kan beïnvloed worden door andere soorten, veranderingen kunnen optreden op elk tijdstip (tijdsvakgedachte niet houdbaar) groei kan plaats afhankelijk zijn.
5 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
6 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
7 Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Hoeveel leerlingen slagen er (op den duur) jaarlijks voor de opleiding?
8 Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Model. x n = (x n (1), x 2 (n), x 3 (n)) T, met x n (j) het aantal leerlingen in klas j in academisch jaar n.
9 Een opleiding heeft drie jaargangen (klassen). Aanname: In iedere klas gaat gemiddeld 70% over. In de derde klas slaagt 70% voor het eindexamen. Van de zittenblijvers doet 20% de klas en verlaat 10% de opleiding. Ieder jaar heeft de opleiding 1000,100,200 instromers in klas 1, 2, 3 respektievelijk. Model. x n = (x n (1), x 2 (n), x 3 (n)) T, met x n (j) het aantal leerlingen in klas j in academisch jaar n. x n+1 = Ax n + f met A = en f =
10 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
11 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet.
12 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0.
13 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0.
14 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k.
15 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1 stabiel evenwicht (Y n = α + ε n ε n = kε n 1 ).
16 In n-de jaar Economisch model C n : totale consumptie I n : totaal aan investeringen Y n = C n + I n : nationaal inkomen I Aanname [Keynes 1936]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van vorig jaar. Investeringen veranderen niet. Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en I 0. Dan Y n = k Y n 1 + C 0 + I 0. α evenwichtspunt α = k α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1 stabiel evenwicht (Y n = α + ε n ε n = kε n 1 ). Schommelingen in de conjunctuur?
17 Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen
18 Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0.
19 Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0.
20 Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0. α evenwicht α = (k + d ) α d α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k.
21 Economisch model II Aanname [Samuelson & Hicks 1939]: Consumptie hangt lineair af van het nationaal inkomen van het vorig jaar Investeringen hangen lineair af van de groei van het nationaal inkomen Model: C n = k Y n 1 + C 0 & I n = d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 voor zekere positieve (bekende) k, C 0 en d, I 0. Y n = k Y n 1 + C 0 + d (Y n 1 Y n 2 ) + I 0 = (k + d ) Y n 1 d Y n 2 + C 0 + I 0. α evenwicht α = (k + d ) α d α + C 0 + I 0 α = C 0 + I 0 1 k. Positief evenwicht k < 1. Stabiel?? Y n α als Y 0 α en Y 1 α??
22 Economisch model; Analyse Er geldt (companion vorm) [ ] [ Yn k + d d = 1 0 Y n 1 ] [ Yn 1 Y n 2 ] + [ C0 + I 0 0 ]. Met A= [ k + d d 1 0 ], c=[ C0 + I 0 0 ], x n = [ x1 (n) x 2 (n) ] geldt Y n =x 1 (n 1) ( n) Y n =x 2 (n) ( n) Y 1 = x 1 (0) Y 0 = x 2 (0) & x n = A x n 1 + c alle n.
23 x n = A x n 1 + c alle n α [ α1 α 2 ] evenwicht (x 0 = α x 0 = x 1 =...) α 1 = α 2 = (C 0 + I 0 )/(1 k). Stabiel als x n α (n ) voor x 0 α. Als x n = α + ε n dan ε n = A ε n 1 Stelling. Stabiel ε n 0 (n ) voor ε 0 0 λ < 1 alle eigenwaarden λ van A.
24 λ 1, λ 2 eigenwaarden A zodat λ 2 λ 1. Evenwicht is stabiel λ 1 < 1. Met Y n = α 1 + ε n is ε n = ε 1 (n) = e T 1 ε n. λ 2 < λ 1 (λ 1 dominant) ε n γ 1 λ n 1 : Evenwicht herstelt als λ 1 < 1. (Herstel is monotoon als λ 2 > 0.) λ 1 = λ 2 = ρ e iφ R. Hier ρ λ 1 ε n = ρ n (γ 1 cos(n φ) + γ 2 sin(n φ)): Slingerende herstel van het evenwicht als λ 1 < 1.
25 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
26 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
27 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
28 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
29 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
30 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
31 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
32 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
33 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
34 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
35 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < faseplot: n > (Y n,y n 1 ) k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
36 Voorbeeld. Karakteristieke vergelijking A: det(λ I A) = λ 2 (k + d) λ + d = 0. Reële oplossing 4d (k + d) 2 k > 1. Stel reële oplossing. Dan: λ 1 > 1 k > 1. Stel irreële oplossing. Dan: λ 1 < 1 d < Economisch model, k=0.1, d=0.7, C0= nationaal inkomen Y n Consumptie C n Y n en C n n k = 0.1, d = 0.7, C 0 = 8/9, I 0 = 2/9.
37 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
38 In jaar n: Model: Sluipwespen & Rupsen r n het aantal rupsen, w n het aantal sluipwespen. Aanname: groeicoëfficiënt rupsen neemt lineair af bij groeiend aantal rupsen en wespen, groeicoëfficiënt wespen neemt lineair toe bij groeiend aantal rupsen. { rn+1 = (a r n /R w n /W ) r n, w n+1 = γ r n w n, voor zekere positieve constanten a, γ, R en W.
39 In jaar n: Model: Sluipwespen & Rupsen r n het aantal rupsen, w n het aantal sluipwespen. Aanname: groeicoëfficiënt rupsen neemt lineair af bij groeiend aantal rupsen en wespen, groeicoëfficiënt wespen neemt lineair toe bij groeiend aantal rupsen. { rn+1 = (a r n /R w n /W ) r n, w n+1 = γ r n w n, voor zekere positieve constanten a, γ, R en W. Schaal: x n r n /R, y n w n /W levert { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. Is er evenwicht? Is dat stabiel? Hoe ontwikkelt de oplossing zich?
40 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
41 Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n )
42 Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n ) Evenwicht als { xn = x n 1 =... = x 0 = α, y n = y n 1 =... = y 0 = β. (α, β) evenwicht α = f(α, β) & β = g(α, β).
43 Niet-lineaire modellen { xn+1 = f(x n, y n ) of x n+1 [ ] xn+1 y n+1 y n+1 = g(x n, y n ) = f(x n ) [ ] f(xn, y n ). g(x n, y n ) Evenwicht als { xn = x n 1 =... = x 0 = α, y n = y n 1 =... = y 0 = β. (α, β) evenwicht α = f(α, β) & β = g(α, β). Evenwicht (α, β) is stabiel als x n α & y n β (n ) voor alle x 0 α & y 0 β en x 0 α & y 0 β x n α & y n β alle n.
44 Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y.
45 Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y. Drie evenwichtsoplossingen (α, β): (1) α = β = 0; (2) α = a 1 & β = 0; (3) α = 1/b & β = a 1 1/b.
46 0.4 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(0.9 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
47 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(0.9 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 0.3 x n (rupsen), y n (wespen) n
48 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(1.7 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
49 1.2 1 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(1.7 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 0.8 x n (rupsen), y n (wespen) n
50 1.6 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.1 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
51 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.1 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 1.2 x n (rupsen), y n (wespen) n
52 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.5 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
53 2 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.5 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 1.5 x n (rupsen), y n (wespen) n
54 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.93 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
55 2.5 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(2.93 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 2 x n (rupsen), y n (wespen) n
56 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
57 3 2.5 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y rupsen wespen 2 x n (rupsen), y n (wespen) n
58 Voorbeeld I. { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n. f(x, y) = (a x y) x & g(x, y) = b x y. Drie evenwichtsoplossingen (α, β): (1) α = β = 0; (2) α = a 1 & β = 0; (3) α = 1/b & β = a 1 1/b. Voorbeeld II. x n+1 = (a x n y n ) x n, x n y n+1 = b y n. 1 + x n
59 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
60 Linearizeren f(α + ε) f(α) + ε f (α) voor ε 0. 2-dimensionaal: ε, δ 0 f(α + ε, β + δ) f(α, β) + ε f f (α, β) + δ (α, β). x y
61 Linearizeren rond evenwicht Stel (α, β) evenwicht, α Als [ ] εn+1 δ n+1 { xn = α + ε n y n = β + δ n D [ ] εn δ n [ α β ] oplossing met, met D Df( α) =. { εn 0 δ n 0 f (α, β) f x g (α, β) g x de Jacobi matrix of totale afgeleide van f. (α, β) y (α, β) y,
62 Linearizeren rond evenwicht Stel (α, β) evenwicht, α Als [ ] εn+1 δ n+1 { xn = α + ε n y n = β + δ n D [ ] εn δ n [ α β ] oplossing met, met D Df( α) =. { εn 0 δ n 0 f (α, β) f x g (α, β) g x de Jacobi matrix of totale afgeleide van f. (α, β) y (α, β) y, [ εn+1 δ n+1 ] = D [ εn δ n ] { xn α + ε n y n β + δ n opl. mits { εn 0 δ n 0.
63 Lineariseren en stabiliteit Stelling. α evenwichtsoplossing. λ eigenwaarde Df( α). Evenwicht stabiel λ < 1 alle λ. Evenwicht instabiel λ > 1 zekere λ. Geen conclusie als λ 1 alle λ & λ = 1 zekere λ! Stelling ook goed in meer dan 2 dimensies.
64 Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. Hoe zie je eenvoudig of λ 1 < 1?
65 Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. det(a λ I) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = λ 2 s λ + d met d det(a) a 11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a) a 11 + a 22
66 Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. det(a λ I) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = λ 2 s λ + d met d det(a) a 11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a) a 11 + a 22 λ 2 s λ + d = (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) s = λ 1 + λ 2 en d = λ 1 λ 2
67 Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2
68 Stabiliteit evenwichten 2-d (reëel) [ xn+1 y n+1 ] = A [ xn y n ] met A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], a ij, [ x0 y 0 ] reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2, λ 2 λ 1. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2 4d s 2 λ 1, λ 2 R. Stabiel: 1 s + d > 0 en 1 + s + d > 0 1 < λ 2 λ 1 < 1 4d > s 2 λ 1, λ 2 R, λ 2 = λ 1 Stabiel: d = λ 1 2 : λ 1 = λ 2 < 1 d < 1 Bewering. Stabiel als s 1 < d < 1. Instabiel als s 1 > d of d > 1.
69 3 Stabiliteit evenwichten in 2 d 2 d 4d=s s Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det
70 Voorbeeld. Lineariseer rond (α, β): Evenwicht (1): Evenwicht (2): Evenwicht (3): { xn+1 = (a x n y n ) x n, y n+1 = b x n y n, [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 [ ] εn+1 δ n+1 met a, b 0. [ a 2α β α = b β b α [ ] [ ] a 0 εn =. 0 0 δ n [ ][ ] 2 a 1 a εn =. 0 b(a 1) = 1 1 b 1 b b(a 1) 1 1 δ n [ εn δ n ] [ εn δ n ]. ]. Evenwicht (1) is stabiel a < 1. Evenwicht (2) is stabiel 1<a<3 & a<1 + 1 b. Evenwicht (3) is stabiel max( 3 b 3, b )<a<1+ 2 b. Wat als a>1+ 2 b?
71 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
72 N n aantal individuen eind maand n Aanname: Alleen individuen ouder dan 1 maand produceren nakomelingen Productie is met vaste groeicoëfficiënt, Sterfte hangt lineair af van het totaal aantal individuen. Model: Voor zekere g > 0 N n+1 = (1 κ N n N ) N n + g(1 κ N n 1 N ) N n 1. Na schaling x n N n /N: x n+1 = (1 κ x n ) x n + g(1 κ x n 1 ) x n 1 of equivalent hiermee (companion vorm) { xn+1 = x n κ x 2 n + g(y n κ y 2 n), y n+1 = x n. (d.w.z. y 1 = x 0 y n+1 = x n ).
73 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
74 Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch
75 Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch α = κ(1 α)α b heeft twee (complexe) wortels α.
76 Verhulst x n+1 = f(x n ) waarbij f(x) κ(1 x)x b Afhankelijk van κ en b geen evenwicht(en) (stabiele) evenwichten (stabiele) p-periodieke banen (p = 2 l ) chaos Afhankelijk van x 0 (en van het bestaan van stabiele evenwichten,... ) x n voor n x n α voor n (als α stabiel evenwicht) (x n ) op den duur bijna p-periodiek (x n ) chaotisch α = κ(1 α)α b heeft twee (complexe) wortels α. Wat gebeurt er als we complex rekenen? Voor de notationele eenvoud bekijken we een ietsje eenvoudigere situatie.
77 Complex als 2-d reëel Voor c R, bekijk x n+1 = f(x n ) met f(x) x 2 + c (x R)
78 Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C)
79 Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b).
80 Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b
81 Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan Conclusie. x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b (1-d) Complex is equivalent met 2-dimensionaal reëel. In onze volgende voorbeelden rekenen we complex omdat dat de notatie vereenvoudigt.
82 Complex als 2-d reëel Voor c C, bekijk z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C) Voor z C, schrijf z = x+iy met x, y R. Evenzo c = a+ib. Dan F (x + iy) = (x 2 y 2 + a) + i(2xy + b). Schrijf z n = x n + iy n. Dan x n+1 = f(x n, y n ) x 2 n y2 n + a y n+1 = g(x n, y n ) 2x n y n + b [ 2x 2y Stabiliteit. Jacobi matrix in (x, y): 2y 2x met eigenwaarden λ 1 = 2(x + iy) en λ 2 = 2(x iy). Met z = x + iy is λ 1 = λ 2 = 2 z = F (z). Evenwicht (in C) in ζ ( c). Stabiel als 2ζ 1 < 1 ]
83 Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen)
84 Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Voorbeeld: c = 0. α = 0 is stabiel, α = 1 is instabiel (z n ) heeft eigenschap 1) als z 0 < 1 (z n ) heeft eigenschap 2) als z 0 > 1 (z n ) heeft eigenschap 3) als z 0 = 1, z 0 1
85 Julia set
86 Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Julia set: {z 0 C (z n ) heeft eigenschap 3)} Kies c = Kleur z 0 C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kleurnuance per n-de schil : S n (α) = {z 0 C z n 1 α > 10 8, z n α 10 8 }, S n ( ) = {z 0 C z n 1 < 10 8, z n 10 8 }, S (Julia set) is de rest; Kleurnuance voor n schil kan per plaatje verschillen.
87 Julia set
88 Julia set
89 Voorbeeld Kies c C. Definieer F (z) z 2 + c (z C). Voor iedere rij (z n ) met z n+1 = F (z n ) zijn er drie mogelijkheden: 1) z n α (n ) met α evenwicht: α = F (α) 2) z n (n ) 3) anders (chaos, periodieke banen) Julia set: {z 0 C (z n ) heeft eigenschap 3)} Kies c = Kleur z 0 C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kies z 0 = 1. Kleur c C met kleur afhankelijk van gedrag (z n ) voor n. Kleurnuances corresponderen met waarde n waarvoor z n α < 10 8 of z n > 10 8
90 Julia set
91 Julia set
92 Newton proces x n+1 = x n F (x n) F (x n ) (x R) Voorbeeld. F (x) = x 3 a. Dan x n+1 = x n x3 n a 3x 2 n
93 Newton proces z n+1 = z n F (z n) F (z n ) (z C) Voorbeeld. F (z) = z 3 a. Dan z n+1 = z n z3 n a 3z 2 n = G(z n ) met G(z) 2 3 z + a 3z 2.
94 Newton proces z n+1 = z n F (z n) F (z n ) (z C) Voorbeeld. F (z) = z 3 a. Dan z n+1 = z n z3 n a 3z 2 n = G(z n ) met G(z) 2 3 z + a 3z 2. Voor z C, schrijf z = x + iy met x, y R. Evenzo a = α + iβ. Definieer, f(x, y) Re(G(x + iy)), g(x, y) Im(G(x + iy)). Volgende plaatje: F (z) = z 5 + 3z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 3z 9 F (ζ j ) = 0. Kleur S n (ζ j ) {z 0 C z n 1 ζ j > 10 8, z n ζ j 10 8 } Verschillende kleuren voor verschillende ζ j, verschillende kleurnuances voor verschillende n ( schillen ).
95
96 Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Lineairiseren Companion vorm Complex als 2-d reeel Hoefijzer van Smale
97 x n+1 =f(x n,y n ), y n+1 =g(x n,y n ) met f(x,y)=(3.35 x y).*x, g(x,y)=1.1.*x.*y faseplot n (x n,y n ) y n x n
98 Chaotisch gedrag vertoont zich vaak op structuren met een zekere self similarity (zelf gelijkenis): details en details van details,..., vertonen zelfde structuren als het geheel (zoals bij broccoli en romanesco). Die structuur is fractaal (d.w.z., grillig zoals van broccoli en romanesco). Kunnen we deze broccoli structuur begrijpen? Kunnen we bewijzen dat het gedrag chaotisch is (en niet maar alleen bijvoorbeeld 64 periodiek)?
99 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 =
100 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = ad 1) x 0 = x 1 = x 2 = x 3 =
101 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = ad 2) x 0 = x 1 = x 2 = x 3 =
102 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 10 x n mod 1 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = ad 3) x 0 =
103 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. x n+1 = 2 x n mod 1 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 =
104 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 (z C), z 0 < 1 z n 0 (n ) z 0 > 1 z n (n ) z 0 = 1. Schrijf z n = e 2πiφ n voor een φ n [0, 1). z n+1 = zn 2 φ n+1 = 2 φ n mod 1: Chaos op {z C z = 1}. Is chaos zichtbaar hier?
105 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 (z C), z 0 < 1 z n 0 (n ) z 0 > 1 z n (n ) z 0 = 1. Schrijf z n = e 2πiφ n voor een φ n [0, 1). z n+1 = zn 2 φ n+1 = 2 φ n mod 1: Chaos op {z C z = 1}. Is chaos zichtbaar hier?
106 Chaos f : I I Een iteratief proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch (op I) als 1) er voor iedere x 0 I kleine verstoringen zijn die op den duur tot grote afwijkingen leiden, 2) er in de buurt van iedere x I een x 0 I te vinden is waarvoor de baan (x n ) periodiek is, 3) er een baan (x n ) te vinden is in I die voor iedere x I willekeurig dicht in de buurt van x komt. Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 2 + c (z C), De (Julia) set {z 0 (z n ) convergeert niet} is dik voor bv. c = Is de iteratie voor z 0 in die verzameling chaotisch?
107 Het hoefijzer van Smale We geven een constructie (bewijstechniek) die in een aantal gevallen naar een verzameling D leidt die self similarity vertoont en waarop het iteratief proces chaotisch is. De constructie kan uiteraard maar alleen werken als het proces daadwerkelijk chaotisch is op zekere verzamelingen. Voor de duidelijkeheid leggen we de constructie uit aan de hand van een drietal concrete voorbeelden. Maar de constructie (hoefijzer van Smale) is algemener uitvooerbaar.
108 Het eerste voorbeeld is in essentie 1 dimensionaal: Voorbeeld. z n+1 = F (z n ) met F (z) z 3 (z C). Omdat voor z 0 = 1 geldt z n = e 2πiφ n en φ n+1 = 3φ n mod 1, weten we dat het proces chaotisch is op de hele eenheidscirkel S {z C z = 1}. We negeren dit feit en gaan uit van een vermoeden dat er op zekere deelverzamelingen D van de eenheidscirkel (D S) het proces chaotisch is en proberen zo n verzameling D te construeren (en leveren impliciet het bewijs dat het proces daadwerkelijk chaotisch is op D).
109 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.
110 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.
111 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.
112 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.
113 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen.
114 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Is D =? Is er chaos op D?
115 Cantor verzameling
116 Cantor verzameling
117 Cantor verzameling
118 Cantor verzameling
119 Cantor verzameling i=1 2 a i 3 i met a i {0, 1}
120 Cantor verzameling i=1 2 a i 3 i met a i {0, 1} 1 i=1 a i 2 i met a i {0, 1}
121 Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} D wordt ook wel het Discontinuüm van Cantor genoemd.
122 Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} Self similarity: 3([0, 1 3 ] D) = D
123 Cantor verzameling. D i=1 2 a i 3 i a i {0, 1} Itereren op de Cantor verzameling. x n+1 = 2 x n mod 1 op [0, 1] is equivalent met (binair) j=1 a j 2 j Verplaats dit proces naar D: j=1 2 a j 3 j j=1 j=1 Zo correspondeert x 0 = a j+1 2 j. 2 a j+1 3 j ) = op D met Conclusie. Proces ) is chaotisch op de Cantor verzameling.
124 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). Wat gebeurt er met de bovenste helft van de eenheidscirkel? f 1 (V) V V f(v) D f φ 3φ mod 1 F beeldt de eenheidscirkel af binnen deze cirkel. Voor de uitleg hebben we echter in de rechter tekening V {z z = 1 + ε, Im(z) 0} genomen. 2 a j 3 j 2 a j+1 3 j j=1 D e π i φ e π i 3φ j=1
125 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Chaos op D?
126 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Chaos op D in vorige voorbeeld. Is deze constructie algemener toepasbaar? Wanneer werkt hij?
127 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). 0 is een stabiel evenwicht. Andere evenwichten? (z n ) convergeert naar 0 als z 0 < 1. (z n ) convergeert naar (divergeert) als z 0 > 1. Chaotisch gedrag voor z 0 = 1. Varianten. x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 2 (z C). F (z) z 2 + c voor zekere c. Julia set. F (z) = F (r e 2π i φ ) r e 2 π i 2φ.
128 x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 3 (z C). 0 is een stabiel evenwicht. Andere evenwichten? (z n ) convergeert naar 0 als z 0 < 1. (z n ) convergeert naar (divergeert) als z 0 > 1. Chaotisch gedrag voor z 0 = 1. Varianten. x n+1 = f(x n ) op R 2 op C met F (z) = z 2 (z C). F (z) z 2 + c voor zekere c. Julia set. F (z) = F (r e 2π i φ ) r e 2 π i 2φ. F (z) = F (r e π i φ ) ( 1 3 r φ ) e3π i φ (r [0, ), φ 1) Actie F op {z C z 1, Re(z) 0} is samendrukken, uitrekken, oprollen (Plaatjes op de volgende transparanten voor deze iteratie)
129 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n = f(v n 1 ) in groen, n =
130 1 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, n =
131 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 1)
132 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 2)
133 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 3)
134 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V 0 in rood, V n f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 4)
135 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V n f 1 (V n 1 ) f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 1)
136 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V n f 1 (V n 1 ) f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 2)
137 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V n f 1 (V n 1 ) f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 3)
138 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, oprollen V n f 1 (V n 1 ) f(v n 1 ) V n 1 in groen, (n = 4)
139 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n geldt n=0 f(d) = D Voorbeeld. V 0 {r e π i φ φ [0, 1], r 1 φ [0, 1]}, 3 en F (r e π i φ ) ( 1 3 r φ) e3π i φ. V 0 {(x, y) x [0, 1], y [0, 1 2 ]} en f(x, y) ((x + y)/2, 4(1 y)y). (De plaatjes op de volgende transparanten voor deze iteratie)
140 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V 1 = f(v 0 ) in groen, (n = 1).
141 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V n = (f f)(v n 2 V 0 ) in groen, (n = 2).
142 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen V 0 in rood, V n = (f f)(v n 2 V 0 ) in groen, (n = 4).
143 x n+1 = f(x n ) op R 2 f: samendrukken, uitrekken, opvouwen Voor (x 0, y 0 ) = (0.1, 0.1) is (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ) geplot.
144 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Voorbeeld. f(x, y) = ( 1 2 x, 1 2 y). Voor iedere V 0 die (0, 0) bevat is D = {(0, 0)}: geen Chaos of D. f(x, y) = (x, y). Voor iedere V 0 is D = V 0 : geen Chaos of D.
145 x n+1 = f(x n ) Definieer de keten van verzamelingen V n door V n+1 f 1 (V n ) f(v n ) V n Met D V n n=0 geldt f(d) = D Conclusie. Als f(v) in twee parallele stroken V doorsnijdt, en als l een lijn is in V en f(l) als een hoefijzer om l ligt, dan is er een Cantor achtige deelverzameling D van V met en f(d) = D het proces x n+1 = f(x n ) is chaotisch op D.
146 x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ) voor een (x 0, y 0 )
147 x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ) in rood en (x 2, y 2 ) in groen.
148 x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ) in rood en (x 3, y 3 ) in groen.
149 x n+1 = (3.35 x n y n )x n, y n+1 = 1.1 x n y n Geplot (x 0, y 0 ) in rood en (x 7, y 7 ) in groen.
Modellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatieModellen en Simulatie Populatiegroei
Utrecht, 26 april 213 Modellen en Simulatie Populatiegroei Program Populatie groei van één soort, recursies Evenwichtspunten Periodieke banen Bifurcatie Chaos Catastrofe Gerard Sleijpen Department of Mathematics
Nadere informatieModellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht
Nadere informatieModellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, 10 juni 2013 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x
Nadere informatieModellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Nadere informatieModellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB) Maandag, juli 0, 9:00-:00, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2)
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2) Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatiemaplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB34) Woensdag, 7 juni 0, 3:30-6:30, Educatorium, Beta Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieIterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB) Vrijdag, 7 april 9, 9:-:, Ruppert Gebouw, Blauwe Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatieMathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieWISB134. Modellen & Simulatie. Lecture 0 - Introductie & Voorkennis
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 0 - Introductie & Voorkennis Praktijk Wiskundige Wat doet een wiskundige na de studie? Stellingen bewijzen? Boekhouden? Sudoku s oplossen? U.S. Bureau of Labor Statistics:
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieBeeldverwerking. Scientific Computing. sleij101/ Program. WISB356, Utrecht, najaar WISB356, Utrecht, najaar 2010
WISB36, Utrecht, najaar Scientific Computing WISB36, Utrecht, najaar Beeldverwerking Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics http://wwwstaffscienceuunl/
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieSamenvatting. k 1 I = c i N i = c N, (1)
Samenvatting Dit proefschrift gaat over soorten waarvan de individuen zich slechts eenmaal in hun leven voortplanten en daarna sterven. Voorbeelden van zulke soorten zijn éénjarige en tweejarige planten,
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatieb) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf
opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieboek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 1. We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieRouth s stabiliteitscriterium voor convexe stabiliteitsgebieden (Engelse titel: Routh s stability criterion for convex stability regions)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Routh s stabiliteitscriterium voor convexe stabiliteitsgebieden (Engelse titel: Routh
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieModellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Nadere informatieClassificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese
Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese 1 Introductie van algebraïsche oppervlakken. Een algebraïsche oppervlak in R 3 wordt gegeven door een polynoom
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieLebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten
Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Departement Wiskunde Lebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten Proefschrift voor het behalen van de
Nadere informatiex(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11
Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieIntroductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps
Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie
Nadere informatieDe vragen van vandaag. Hoeveel elementen? Hoeveel provincies? Hoeveel natuurlijke getallen? Non impeditus ab ulla scientia
De vragen van vandaag Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? Hoeveel reële getallen
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieComputerized Tomography: The ART of inspection
Utrecht, caleidoscoop, 24 april, 212 Computerized Tomography: The ART of inspection Program Wat is tomografie? Zuiver wiskundige aanpak Praktische aanpak Praktische complicaties Gerard Sleijpen Department
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieOver rationale dynamische systemen
Over rationale dynamische systemen Michiel van Saagsvelt 2 juni 2009 Inhoudsopgave Voorwoord 3 Inleiding 4. Groei en iteratie................................... 4.2 Verhulst-proces....................................
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatie3 Rijen en reeksen van functies
3 Rijen en reeksen van functies 3.1 Uniforme convergentie van een rij functies Met het oog op latere toepassingen op machtreeksen en Fourierreeksen werken we in het vervolg steeds met complexwaardige functies.
Nadere informatiePUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE
IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE In vorige hoofdstkken hebben we convergentie van getallenrijen bestdeerd. In de Analyse zijn echter rijen die fncties als termen hebben van groot belang. Zlke fnctierijen
Nadere informatie