PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE

Transcriptie

1 IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE In vorige hoofdstkken hebben we convergentie van getallenrijen bestdeerd. In de Analyse zijn echter rijen die fncties als termen hebben van groot belang. Zlke fnctierijen hebben we eigenlijk al wel gezien: ( e x = + x n, x R, n) x = n x j, x (,). j= Het is didelijk wat in elk van deze gevallen de rij f (x),f (x),... is. Convergentie van fnctierijen seelt onder andere een rol bij de vraag of de volgende identiteit geldt b a f n (x)dx = b a f n(x)dx. Met andere woorden kn je integraal en iet omwisselen? Het volgend voorbeeld geeft aan dat dit niet altijd kan. Voorbeeld Bekijk Hierdoor vermoeden we dat (nx+) 3 dx. Voor elke x [,] geldt dx =. (nx+) 3 (nx+) 3 =. We knnen in dit geval ook ieder van de integralen (nx+) dx itrekenen met 3 behl van de technieken it het vorige hoofdstk. Merk o dat (nx+) 3 = n(nx+) n (nx+) 3 = n (nx+) 2 De fnctie F n : [,] R gegeven door F n (x) = (nx+) 2 is een rimitieve van (nx+) 3, en er volgt Hierit zien we dat nx+ + 2 (nx+) 3 dx = F n() F n () = n+ + 2 (nx+) 3 dx = 2. n (nx+) 3. (n+) IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE

2 IX. Convergentie van rijen van fncties In deze aragraaf zllen we bekijken hoe we convergentie van een fnctierij knnen definiëren. Pntsgewijze Laten we de rij (f n ) n nemen, waarbij voor elke n N de fnctie f n o het convergentie interval (,) gedefinieerd is door f n (x) = x n, zie Figr 9.. y-as f f 2 f 3 f 4 f 5..ḟ... x-as Figr 9.: Fnctierij (f n ) n waarbij f n (x) = x n Een methode om een ietfnctie te definiëren ligt voor de hand: voor elke x (,) geldt f n(x) = ; de ietfnctie van deze rij is dan de fnctie f gedefinieerd door f(x) =. ntgewijze convergentie IX.. Definitie. Laat D R en, voor alle n N, f n : D R. We zeggen dat de fnctierij (f n ) n ntsgewijs convergeert als voor elke x D de reële rij (f n (x)) n convergent is. De ietfnctie f: D R is dan gedefinieerd door f(x) = f n(x). Notatie: f n IX..2 Omerking. (i) Merk o dat de ietfnctie, indien zij bestaat, niek is. Dit volgt direct it de niciteit van ieten van reele rijen. (ii) Er geldt f n f dan en slechts dan als als voor iedere x D en voor iedere ε > een N N bestaat zodanig dat voor alle n N geldt f n (x) f(x) < ε. (iii) De fnctierij (f n ) n is ntsgewijs convergent dan en slechts dan als voor elke x D, de reele rij (f n (x)) n een Cachy-rij is. IX..3 Voorbeeld. De fnctierij hierboven convergeert ntsgewijs o het interval (, ) naar de nlfnctie. IX. CONVERGENTIE VAN RIJEN VAN FUNCTIES 37

3 IX..4 Voorbeeld. Definieer n, net als in Voorbeeld IX..3, de rij (g n ) n, g n : [,] R, door g n (x) = x n. Er geldt (zie Stelling IV..8): g n g met { als x [,), g(x) = als x =. Merk o dat de continïteit verloren ging: hoewel elke g n contin is, is g niet contin. IX..5 Voorbeeld. We beschowen de fnctierij it de introdctie van dit hoofdstk. Zij f n : [,] R gegeven door f n (x) = n2 x (nx+) 3 voor n =,,... Dan volgt it de rekenregels voor ieten dat geldt f n. Inderdaad, voor x = geldt f n (x) = voor alle n N. Voor x (,] geldt f x n(x) = n(x+ = x n )3 x 3 =. Uniforme convergentie niforme convergentie Pntsgewijze convergentie is een natrlijk begri maar blijkt in de raktijk niet zo goed te werken: InVoorbeeldIX..4waselkeg n continmaardeietfnctiewasnietcontin. In Voorbeeld ( IX..5 convergeert de fnctierij ntsgewijs naar nl, maar de ) reele rij f n(x)dx convergeert naar 2 (zie introdctie). n In de volgende definitie introdceren we een sterkere vorm van convergentie, die veel betere eigenschaen heeft, maar wel lastiger te controleren is. IX..6 Definitie. Zij D R en laat voor elke n N, f n : D R. Laat ook f: D R. We zeggen dat de fnctierij (f n ) n niform naar f convergeert als voor iedere ε > een N N bestaat zodanig dat Notatie: f n voor alle n N en voor alle x D geldt f n (x) f(x) < ε. IX..7 Omerking. (i) Merk o dat in de bovenstaande definitie, het getal N N niet van x D af mag hangen. (ii) Er geldt f n f dan en slechts dan als (zie Ogave IX..3) ( s x D ) f n (x) f(x) =. (iii) Als f n f dan geldt ook fn f (zie Ogave IX..4). IX..8 Voorbeeld. Beschow de fnctierij (g n ) n it Voorbeeld IX..4. We zllen aantonen dat deze fnctierij niet niform convergeert naar de fnctie g. Neem ε = 2. Laat N N. Neem n n = N en x [,) met x = ( /N. 2) Voor deze n en x hebben we gn (x) g(x) ε, ds (g n ) n convergeert niet niform naar g. Analoog knnen we aantonen dat ook de (f n ) n it Voorbeeld IX..3 niet niform naar f convergeert, zie Ogave IX IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE

4 IX..9 Voorbeeld. Door de definitieverzameling kleiner te nemen kan de convergentie niform worden. Neem bijvoorbeeld h n : [,/2] [,] met h n (x) = x n voor elke x [,/2]. Dan geldt h n h met h(x) = voor elke x [,/2]. Immers, voor elke ε > is er een N met ε > ( 2 )N en met zo een N hebben we: voor alle x [,/2] en n N geldt h n (x) h(x) < ε. Continïteit Uniforme convergentie garandeert dat de ietfnctie van contine fncties contin is. IX.. Stelling. Laat D R. Laat, voor elke n N, f n : D R een fnctie zijn. Laat f: D R een fnctie zijn. Als elke f n contin is en f n f dan is ook f contin. Bewijs. We moeten bewijzen dat f contin in c is voor elke c D. Laat c D. Zij ε >. We zoeken een δ > zó dat voor alle x D met x c < δ geldt dat f(x) f(c) < ε. Omdat f n f is er een N N zodanig dat voor alle y D geldt fn (y) f(y) < ε 3. Volgens de veronderstelling is de fnctie f N contin in het nt c D; kies ds een δ > met fn (x) f N (c) < ε/3 voor alle x D met x c < δ. Er volgt dat voor elke x D met x c < δ geldt f(x) f(c) f(x) fn (x) + fn (x) f N (c) + fn (c) f(c) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Dit bewijst de continïteit van f. Ogaven. Zij D R en neem aan f n : D R en g n : D R voor elke n N. Toon aan: als f n f en gn g dan (a) f n +g n f +g; (b) αf n αf voor elke α R; (c) f n g n fg. 2. Laat zien dat de fnctierij it Voorbeeld IX..3 niet niform naar f convergeert. 3. Bewijs Omerking IX..7 (ii). 4. Bewijs de itsraak in Omerking IX..7 (iii). 5. Beschow de fnctierij (f n ) n met f n : R R gedefinieerd door f n (x) = x n. IX. CONVERGENTIE VAN RIJEN VAN FUNCTIES 39

5 6. Toon met behl van de definitie aan dat de fnctierij it Voorbeeld IX..5 niet niform naar de nlfnctie convergeert. 7. Beschowdefnctierij(f n ) n metf n : [,] Rgedefinieerddoorf n (x) = x/n. Toon aan dat f n. 8. Beschow de fnctierij (f n ) n met f n : R R gedefinieerd door f n (x) = cos(x/n). 9. Beschow de fnctierij (f n ) n met f n : R R gedefinieerd door f n (x) = x + 2. Laat a x b. Laat, voor elke n N, f n : [a,b] R een contine fnctie zijn. Bewijs het volgende: Als (f n ) n niform convergent is, dan geldt f n(x) = f n (x). x x x x. Contreer contine fncties f,f,...,: [,] R zó dat de rij (f n ) n ntsgewijs convergeert, maar f n(x) f n(x). x x 2. Laat a x b. Laat, voor elke n N, f n : [a,b] R een fnctie zijn. Neem aan dat A n = x x f n (x) bestaat en dat f n f met f : [a,b] R. Toon aan dat (A n ) n een convergente rij is en dat x x f(x) = A n. 3. Laat D R en, voor elke n N, f n : D R en g n : D R. Toon aan: als f n f en gn g dan (a) f n +g n f +g; (b) αf n αf voor elke α R; (c) als alle f n en g n begrensd zijn dan geldt ook f n g n fg; (d) de voorwaarde in (c) betreffende begrensdheid kan niet gemist worden. 4. Bewijs dat de fnctierij (f n ) n niform convergent is dan en slechts dan als voor iedere ε > een N N bestaat zodanig dat voor alle m,n N en voor alle x D geldt f n (x) f m (x) < ε. Dit is een sterkere itsraak dan in Ogave IX... Er is namelijk geen continïteit van de f n s geeist. 4 IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE