Wiskundige Analyse 1

Transcriptie

1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe : Elke nietlege verzmeling vn reële getllen die nr onder begrensd is, heeft een infimum Kenmerkende eigenschppen vn het supremum : Zij X een nietlege verzmeling reële getllen Het reëel getl ω is dn en slechts dn het supremum vn X ls de volgende twee eigenschppen gelden: 1 voor elke x X is x ω 2 voor elke ε < 0 bestt er een x ε X met ω ε < x ε Kenmerkende eigenschp vn het infimum : Zij X een nietlege verzmeling reële getllen Het reëel getl α is dn en slechts dn het infimum vn X ls de volgende twee eigenschppen gelden: 1 voor elke x X is α x 2 voor elke ε > 0 bestt er een x ε X met x ε < α + ε 2 Reële rijen Convergentie : Een reële rij (x n ) convergeert nr ( R) ls ( ε > 0)( N N + )( n N + )(n N = x n < ε) Divergentie nr + :Een reële rij (x n ) divergeert nr + ls ( M R)( N N + )( n N + )(n N = x n > N) Divergentie nr :Een reële rij (x n ) divergeert nr ls ( M R)( N N + )( n N + )(n N = x n < N) Sndwich-regel : Als x n y n z n voor lle n, en ls x n, z n, dn ook y n Stelling vn de convergente deelrij, stelling vn Bolzno-Weierstrss : Als lle termen vn een rij in het compct intervl [, b] liggen, dn bezit die rij een deelrij die convergeert nr een punt vn dt intervl Kenmerk vn Cuchy : Een rele rij (x n ) convergeert dn en slechts dn ls er bij elke ε > 0 een ntuurlijke N ε bestt met de eigenschp x n x m < ε ls n > N ε, m > N ε Stelling vn de vernestelde compcte intervllen : Is [ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ], een rij vn nietlege compcte intervllen met de eigenschp [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ] 1

2 dn is n N +[ n, b n ], mw er bestt minstens één reële ξ die tot lle [ n, b n ] s behoort Als bovendien n (b n n ) = 0 dn is die ξ n N +[ n, b n ]uniek, en ξ = n = b n n + n Cntor : Een compct intervl [, b] met < b is niet ftelbr 3 Limieten vn functies Limiet vn f voor x : Zij f een functie R R, met domein D, en zij een ophopingspunt vn D L is de iet vn f (voor x ) : ( ε > 0)( δ > 0)( x D)(0 < x < δ = f(x) L < ε) Rijenkenmerk voor ieten : De eigenschp x f(x) = L is gelijkwrdig met: voor elke rij (x n ) n N + uit D/{}die nr convergeert, convergeert die rij vn de functiewrden (f(x n )) n N + nr L Behoud vn teken : Als f(x) L voor x, en L > 0 (resp L < 0), dn bestt er een doorprikte omgeving vn wrover f positief (resp negtief) is Gedrg op oneindig vn nietconstnte reële veeltermen : Is n 1 en n > 0, dn is ( x + + n x n ) = + x 4 Continuïteit Rijenkenmerk voor continuïteit : De functie f is dn en slechts dn continu in D ls geldt: voor elke rij uit D die convergeert nr is de rij vn de functiewrden convergent nr f() Behoud vn teken : Is f continu in en is f() 0, dn behoudt f hr teken in een omgeving vn Tussenwrdestelling, bijzonder gevl : Zij < b Als f() < 0 en f(b) > 0 (resp > b Als f() < 0), en ls f continu is over het compct intervl [, b], dn bestt er minstens één c ], b[ wrvoor f(c) = 0 Tussenwrdestelling, stelling vn Bolzno : Zij f continu over het intervl I (gelijk welk type) Elk getl dt ligt tussen twee verschillende functiewrden vn f/i is zelf een functiewrde vn f/i Inverse vn een continue strik monotone functie : 1 Zij f strikt stijgend en continu over een intervl I (gelijk welk type) Dn heeft f een inverse φ die strikt stijgend en continu is over het intervl J := f(i) 2 Zij f strikt dlend en continu over een intervl I (gelijk welk type) Dn heeft f een inverse φ die strikt dlend en continu is over het intervl J := f(i) Extremumstelling vn Weierstrss : Als f continu is over het compct intervl I = [, b], dn bereikt f/i minstens één keer hr kleinste wrde en minstens één keer hr grootste wrde, mw er bestn x 1 en x 2 in I wrvoor f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x I Heine : Is f continu over het compct intervl I = [, b], dn is f over I utomtisch gelijkmtig continu 2

3 5 Afleidbrheid Kettingregel : Beschouw twee functies f en g: R R, met smengestelde F (x) = g(f(x)) (x D F ) Als f fleidbr is in en g fleidbr in f(), dn is F eveneens fleidbr in, en F () = g (f()) f () Afleidbrheid vn inverse : Zij f continu en strikt stijgend of strikt dlend over het intervl I (gelijk welk type), en veronderstel dt f fleidbr is in een bepld punt c vn I, met f (c) 0 Dn is de inverse φ vn f fleidbr in f(c), en φ (f(c)) = 1 f (c) Nodige voorwrde voor extremum : Bereikt f in een lokl extremum, en is f in fleidbr, dn is f () = 0 Middelwrdestelling : Als < b en 1 f is fleidbr over ], b[ 2 f is continu over [, b] dn bestt er minstens één c ], b[ wrvoor f(b) f() = (b )f (c) Stijgen en dlen : Zij f fleidbr in het open intervl I Dn hebben we: 1 f is stijgend in I ( x I)(f (x) 0) 2 f is dlend in I ( x I)(f (x) 0) 3 f is constnt in I ( x I)(f (x) = 0) 4 Als voor elke x I geldt dt f (x) > 0, dn is f strikt stijgend in I Regel vn de l Hospitl voor rechteriet 0 0 : Veronderstel dt 1 f en g bestn in een open intervl ], + R[ (R > 0) 2 f(+) = g(+) = 0 3 g(x) 0 op ], + R[ 4 g (x) heeft een vst teken op ], + R[ Dn hebben we: Als x + f (x) g (x) = A R, dn ook x + f(x) g(x) = A Regel vn de l Hospitl voor iet 0 0 : Veronderstel dt 1 f en g bestn over ] R, + R[/{} (R > 0) 2 x f(x) = x g(x) = 0 3 g(x) 0 op ] R, + R[ / {} 4 g (x) 0 op ] R, + R[ / {} Dn hebben we: Als x f (x) g (x) = A R, dn ook x f(x) g(x) = A Regel vn de l Hospitl voor iet : Veronderstel dt 3

4 1 f en g bestn in een open intervl ], + [ met R 2 x + f(x) = x + g(x) = ± 3 g(x) 0 op ], + [ 4 g (x) heeft een vst teken op ], + [ Dn hebben we: 6 Integrtie Als x + f (x) g (x) = A R, dn ook x + f(x) g(x) = A Kenmerk vn Drboux : ls De fbeelding f :], b[ R is dn en slechts dn integreerbr over I 1 f begrensd is over I 2 er bij elke ε > 0 een prtitie π vn I bestt met de eigenschp dt S π s π < ε Lineriteit vn de integrl : 1 Is f integreerbr over I, dn is ook c f (met c constnt) integreerbr over I en (c f) = c 2 Zijn f en g integreerbr over I, dn is ook f + g integreerbr over I en f (f + g) = f + g Positiviteit vn de integrl : Is f integreerbr over I en is f(x) 0 voor lle x I, dn is f 0 De integrl is stijgend : Zijn f en g integreerbr over I, met f(x) g(x) voor lle x I, dn is f g Additiviteit vn de integrl : Zij < c < b Is f integreerbr over ], b[, dn ook over ]c, b[; omgekeerd, is f integreerbr over ], c[ en over ]c, b[, dnookover],b[ In beide gevllen geldt de identiteit f = Driehoeksongelijkheid voor integrlen : c f + c f f f Middelwrdestelling in integrlvorm : Als f continu is op [, b], dn bestt er minstens één c [, b] wrover f = (b )f(c) 4

5 Continuïteit vn een integrl met vernderlijke bovengrens : Veronderstel dt f integreerbr is over het intervl ], b[ en dn c [, b] Definieer de functie Dn is F continu over [, b] F (x) := x c f ( x b) 1e Hoofdstelling: fgeleide vn een integrl met vernderlijke bovengrens : Is f over het open intervl J continu, en is c J, dn bestt de functie en is F (x) = f(x) voor elke x J Of ls f continu is: F (x) := x c f (x J) ( x f) = f(x) c 2e Hoofdstelling: integrtie vn een fgeleide : Als f C 1 [, b], dn is f = f(b) f() Prtiële integrtie : Als f en g vn clsse C 1 zijn over [, b], dn is fg = [fg] b f g Grens-nr-grens trnsformtie vn een integrl : Zij < b, θ C 1 [, b] en f continu over het beeldintervl θ[, b] Dn is f ( θ(x) ) θ(x)dx = θ(b) θ() f(y)dy 7 Elementire functies en prktische integrtie De (ntuurlijke) logritme : ln : R + R wordt gedefinieerd ls ln x := x 1 dt t (x > 0) Eigenschppen vn x met > 1 : Is > 1, dn hebben we de volgende eigenschppen: 1 x is onbepld fleidbr over R, en ( x ) = x ln voor lle x 2 x is strikt stijgend met x + x = + en x x = 0 3 Voor een willekeurige veeltermfunctie P (x) : R R is P (x) x + x = 0 Eigenschppen vn x met 0 < < 1 : Is 0 < < 1, dn hebben we de volgende eigenschppen 1 x is onbepld fleidbr over R, en ( x ) = x ln voor lle x 2 x is strikt dlend met x + x = 0 en x x = + 5

6 Eigenschppen vn x met R/Z : 1 x x is onbepld fleidbr over R +, en (x ) = x 1 voor lle x > 0 2 Als > 0, dn is x x strikt stijgend; is < 0, dn is x x strikt dlend met x 0+ x = + ; is = 0, dn is x x constnt 1 3 Voor elke > 0 is x 0+ x = 0 Euler, 1743 : Voor elke reële x is (1 + x t + t )t = e x Hyperbolische functies : sinh x = ex e x 2 cosh x = ex + e x 2 tnh x = e2x 1 e 2 x + 1 Ongelijkheid vn Jordn : 2x π < sin x < x (met 0 < x < π 2 ) Poolcoördinten : Zij P (x, y) een punt vn het vlk R 2, met (x, y) (0, 0) Dn bestt er een unieke voerstrl r > 0 en een unieke poolhoek θ in een hlfopen intervl met lengte 2π (bijvoorbeeld in ] π, π] of in [0, 2π[) wrvoor 8 Complexe reeksen Boveniet vn de rij x n : x n = n + x = r cos θ en y = r sin θ sup x n = inf k + n k sup x n k N n k Hoofdeigenschp vn de boveniet : Is x 1, x 2, een begrensde rij vn reële getllen, dn bestt er bij elke ε > 0 een ntuurlijke N met de eigenschp dt voor lle n > N Onderiet vn de rij x n : x n < x n + ε n + x n = inf x n = inf inf x n n + k + n k k N n k Hoofdeigenschp vn de onderiet : Is x 1, x 2, een begrensde rij vn reële getllen, dn bestt er bij elke ε > 0 een ntuurlijke N met de eigenschp dt voor lle n > N n + x n ε < x n 6

7 Complexe wortels : Zij z 0 = z 0 e iθ0 (met θ 0 [0, 2π[ of θ 0 ] π, π]) een complex getl verschillend vn nul, en n een positief ntuurlijk getl Dn heeft de vergelijking ζ n = z 0 ls oplossingen in C de n complexe getllen z0 e i θ 0 n, n z 0 e i θ 0 +2π n n,, n z 0 e i θ 0 +2kπ n,, n z 0 e i θ 0 +2(n 1)π n Stelling vn de convergente complexe deelrij : Elke rij z 1, z 2, vn complexe getllen uit de gesloten schijf B(0, R) := {z C : z R (R > 0) heeft een deelrij z n1, z n2, die convergeert nr een punt z 0 vn B(0, R) Associtiviteit : Als men in een convergente reeks de termen door het pltsen vn hkjes groepeert, dn is ook de nieuwe reeks convergent, en wel nr de rekensom vn de oude reeks Lineriteit : 1 Als n en b n convergeren, dn is ( n + b n ) = n + b n 2 Als n convergeert, en α is een complexe constnte, dn is α n = α Kenmerk vn Cuchy voor reeksen : De complexe reeks z n convergeert dn en slechts dn ls er bij elke ε > 0 een ntuurlijke N ε bestt met de eigenschp dt voor n N ε, p 1 n z n+1 + z n z n+p < ε Driehoeksongelijkheid voor reeksen : Als de reële reeks z n convergeert, dn convergeert ook de complexe reeks z n, en z n z n Mjorntenregel : Zij x n en x n twee reële reeksen zonder negtieve termen, wrvoor n x n n x n Als x n convergeert, dn convergeert ook x n Quotiëntregel : Zij x n en y n twee reële reeksen met louter positieve termen, wrvoor x n = A R n + y n 1 ls A > 0, dn geldt: 2 ls A = 0, dn geldt: xn convergeert y n convergeert yn convergeert = x n convergeert Vergelijking vn groesnelheid : Als voor twee reeksen x n en y n met louter positieve termen vnf een zeker rngnummer xn+1 x n yn+1 y n is, dn is y n x n Integrltest : Zij f : [1, + [ [0, + [ continu en dlend Stellen we I n := n f(x)dx voor 1 n 1, dn convergeert de reeks n f(n) ls en slechts ls de rij (I n) convergeert 7

8 Worteltest vn Cuchy : Zij x n een reële reeks zonder negtieve termen, en noem Dn hebben we: 1 ls λ < 1, dn is x n convergent λ := n n x n = λ [0, + ] 2 ls λ > 1, dn is x n divergeert nr + Convergentieregel vn d Alembert : Zij x n een reële reeks met louter positieve termen wrvoor x n+1 := λ [0, + ] n + x n bestt Dn hebben we: 1 ls λ < 1, dn is x n convergent 2 ls λ > 1, dn is x n divergeert nr + Convergentieregel vn Rbe : Zij x n een reële reeks met positieve termen, wrvoor bestt Dn hebben we: 1 ls µ > 1, dn is x n convergent 2 ls µ < 1, dn is x n divergent n( x n 1) := µ [, + ] n + x n+1 Voldoende voorwrde vn Leibniz, 1714 : Zij p 1 > p 2 > p 3 > een strikt dlende rij vn positieve getllen, met p n 0 Dn hebben we: 1 de wisselreeks p 1 p 2 + p 3 convergeert 2 de reekssom ligt tussen elk tweetl opeenvolgende prtieelsommen 9 Gelijkmtige convergentie Overdrcht vn continuïteit : Veronderstel dt f n : [, b] R continu zijn in x 0 [, b] en f n [,b] f voor zeker f : [, b] R Dn is ook f continu in x 0 Omwisselen vn iet en integrl : Zij f n [,b] f, met elke f n continu over [, b] Dn is f n f of mw n f n = n f n Omwisselen vn iet en fgeleide : Veronderstel dt f n continu fleidbr zijn op ], b[, dt (f n) n gelijkmtige convergeert over elk gesloten deelintervl vn ], b[ en dt (f n (x 0 )) n convergeert voor zeker x 0 ], b[ Dn convergeert ook de rij (f n ) n op ], b[ en ( ) f n(x) n = n f n(x), x ], b[ Overdrcht vn continuïteit : Zij f = + f n gelijkmtig over [, b], wrbij f n : [, b] R continu zijn in x 0 [, b] Dn is ook f : [, b] R continu in x 0 8

9 Omwisselen vn reeks en integrl : Zij f = + f n gelijkmtig over [, b], wrbij elke f n continu is over [, b] Dn is ( ) ( + ) f n = f n Omwisselen vn reeks en fgeleide : Veronderstel dt f n continu fleidbr zijn op ], b[, dt f n gelijkmtig convergeert over elk gesloten deelintervl vn ], b[ en dt f n (x 0 ) convergeert voor zeker x 0 ], b[ Dn convergeert ook n f n op ], b[ en ( + f n (x)) = f n(x), x ], b[ M-test vn Weierstrss : Zij f n een reeks vn functies C C, lle gedefinieerd over A C Als er een rij ( n ) vn nietnegtieve getllen bestt wrvoor geldt: 1 f n (z) n voor lle n 1 en z A 2 n convergeert, dn is de reeks f n gelijkmtig convergent over A 10 Mchtreeksen Convergentiestrl vn de mchtreeks n z n : 1 R := [0, + ] n n + n Tylorontwikkeling fgeleid uit de meetkundige reeks ( 1 < x < 1) : x = 1 x + x2 x 3 + x 4 rctn x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + Reeks vn Leibniz : π 4 = Tylorformule met integrlgednte vn de restterm : Is f vn de clsse C m (n 1) over het open intervl U(x 0 U), dn is voor elke x U f(x) = f(x 0 )+(x x 0 )f (x 0 )+(x x 0 ) 2 f (x 0) 2! ++(x x 0 ) n 1 f (n 1) (x 0 ) x + (n 1)! x 0 (x t) n 1 f (n) (t)dt (n 1)! Tylorformule met de restterm vn Lgrnge : Is f vn de clsse C n (n 1) over het open intervl U(x 0 U), dn bestt er voor elke x U in het compct intervl met uiteinden x 0 en x een ξ x wrvoor f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 ) 2 f (x 0) 2! + + (x x 0 ) n 1 f (n 1) (x 0 ) (n 1)! + (x x 0 ) n f (n) (ξ x ) n! 9

10 Voldoende voorwrden voor Tylorontwikkeling : Zij > 0 Als f onbepld fleidbr is over ], [, en ls er een constnte C bestt met f (n) (x) C ( < x <, n = 0, 1, ) dn is f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + n! ( < x < ) Goniometrische en exponentiële reeksen (x R) : sin x = x x3 3! + x5 5! cos x = 1 x2 2! + x4 4! e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + sinh x = x + x3 3! + x5 5! + cosh x = 1 + x2 2! + x4 4! + Binomilreeks : Voor elke α R en 1 < x < 1: Gevolg: (1 + x) α = 1 + αx + rcsin x = x + 1 x α(α 1) x 2 α(α 1)(α n + 1) ! n! x x ( 1 < x < 1) Convergentiestelling vn Abel, 1826 : Zij x + 2 x + een reële mchtreeks met convergentiestrl R = 1 Als de mchtreeks ook in het punt x = 1 convergeert, dn convergeert ze over heel het lijnstuk [0, 1] gelijkmtig Limietstelling vn Abel : Zij n x n een reële mchtreeks, met convergentiestrl R = 1, en stel f(x) = + n=0 nx n voor 0 x < 1 Als de mchtreeks ook in het punt x = 1 convergeert, dn is hr rekensom in dt punt gelijk n x 1 f(x), mw x 1 n=0 + n x n = n=0 + n 11 Fourierreeksen Een Fourierreeks of goniometrische reeks is een reeks vn functies vn de vorm 0 + n 1( n cos nx + b n sin nx) Hulpstelling vn Riemnn : Is f continu op [,b], dn is λ + f(x) sin λxdx = 0 10

11 Convergentie vn de Fourierontwikkeling, bijzonder gevl : Als f 2π-periodiek is en vn klsse C 1 op heel R, dn convergeert de Fourierontwikkeling vn f op heel R nr f Convergentie vn de Fourierontwikkeling : Als f 2π-periodiek is en stuksgewijs C 1 over [ π, π], dn convergeert de Fourierontwikkeling vn f in elke x R nr f(x+)+f(x ) 2 De periodieke uitbreiding : Is f stuksgewijs C 1 over [ π, π], dn definieert men de functie f π (niet noodzkelijk overl gedefinieerd) die ontstt door de beperking f/[ π, π] periodiek met de periode 2π voort te zetten, ls de periodieke uitbreiding De genormliseerde periodieke uitbreiding wordt gedefinieerd door f π,ν (x) := f π (x+) + f π (x ) 2 (x R) 12 Lineire differentilvergelijkingen Oplossing vn een lineire differentilvergelijking vn de 1e orde (y +(x)y = R(x) : Zij U een open intervl wrover de functies en R : U R continu zijn Dn worden de oplossingen over U juist gegeven door wrbij c R willekeurig is ( e c + ) Re Differentilvergelijkingen met constnte coëfficiënten : Is + ib een complex getl ( R, b R) dn definiëren we e +ib := e e ib = e (cos b + i sin b) en (e λx ) = λe λx Onbeplde coëfficiënten : We bekijken de vergelijking t y + py + qy = e x( C(x) cos bx + S(x) sin bx ) ( ) met p, q,, b R, C(x) en S(x) veeltermen met grd ten hoogste N 1 Is +ib geen wortel vn de krkteristieke veelterm, dn heeft ( ) een oplossing vn de gednte y(x) = e x( C 0 (x) cos bx + S 0 (x) sin bx ) 2 Is + ib een enkelvoudige wortel vn de krkteristieke veelterm, dn heeft ( ) een oplossing vn de gednte y(x) = xe x( C 0 (x) cos bx + S 0 (x) sin bx ) 3 Is + ib de dubbelwortel vn de krkteristieke veelterm, dn is + ib = p/2 en vinden we een oplossing zols in voorbeeld 1242 Hierin zijn C 0, S 0 veeltermen met grd ten hoogste N 11