== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u

Transcriptie

1 == Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking lnx = sinx miniml één oplossing heeft. De functie f :, R : x ln x sin x is continu. Te bewijzen: er bestt c met fc =. Merk op, dt de tussenwrdestelling niet direct toepsbr is, omdt, niet een gesloten intervl is. Omdt fx = en fx = x x bestn er > klein en b voldoende groot, zodt f < en fb >. Je kunt expliciet bijvoorbeeld nemen = f = sin < en b = e fe = sin e >. Volgens de tussenwrdestelling toegepst op f op het intervl, b] volgt dt er een c, b] moet bestn wrvoor fc =.. Bergumenteer of de volgende reeksen voorwrdelijk convergent, bsoluut convergent of divergent zijn. Geef duidelijk n welke stellingen je drbij gebruikt! n3 n= n n! Gebruik het quotiëntencriterium: We hebben L : n n+ n n n+ 3 n+! n 3 n! + n n n + 3 n n 3 3 n + n + = n! n + n + n! Omdt L < is de reeks bsoluut convergent en dus ook convergent. b sin n n= n We hebben voor lle n >, dt sin n n, dus sin n n n. De reeks is convergent, dus wegens het vergelijkingscriterium is de gevrgde n reeks bsoluut convergent en dus ook convergent.

2 c cosnπ n= n ln n Omdt n := cos nπ n ln n = n n ln n hebben we een lternerende reeks. De rij n = n is positief en dlend voor ln n n met iet n n =. Met het criterium vn Leibniz voor lternerende reeksen volgt dt de reeks convergent is. Met betrekking tot bsolute convergentie: x ln x ] R dx ln x =. R Het integrlencriterium geeft dt de reeks n= n divergeert. De gegeven reeks ln n convergeert dus niet bsoluut: de reeks is voorwrdelijk convergent. 3. Beschouw de functie f :, R gegeven door lnx+ fx := e t dt. Bergumenteer, dt f differentieerbr is op, en bereken f. De hoofdstelling vn de nlyse... vn de integrl rekening geeft, dt de functie g : y y e t dt differentieerbr is op R en g y = e y. Verder is x x differentieerbr op,. Bovendien, ln + x > voor x >, dus hx := ln + x is gedefinieerd en differentieerbr op,. Omdt fx = ghx, is f differentieerbr op, ls smenstelling vn differentieerbre functies. De kettingregel geeft f x = g hx h x = e ln+x = ln + x b Bewijs dt f concf is op,. ln + x + x f is concf op, ls f dlend is op,. Op, is x ln+x stijgend en positief, dus x ln + x is gedefinieerd en stijgend. Dus f x = ln+x is dlend op,.

3 4. Bereken Je kunt ook gebruiken, dt f concf is op, wnneer f x negtief is op,. Dit ltste volgt uit voor x >. f x = 4 ln + x 3/ x + < π sin θ cos θ e sin θ dθ Gebruik de substitutie u = sin θ en du = cos θ dθ en prtieel integreren: π sin θ cos θ e sin θ dθ = ue u du = ue ] u e u du = e + e u] = e e + = e. b 3x x + x + x + dx Breuksplitsen toepssen: zoek A, B en C in R zodt De ltste breuk smennemen geeft 3x x + x + x + = A x + + Bx + C x +. A x + + Bx + C x + = Ax + A + Bx + B + Cx + C x + x + Dus A + B = 3, B + C = en A + C =. Oplossen geeft A = 3, B = en C =. Dn 3x x + x + x + dx = 3 x + x + dx = 3 ln x + rctn x ] = 3 ln π 4..

4 c en de oneigenlijke integrl lnx x 4 dx. De integrl is oneingelijk zowel nr de grens ls nr. Dus per definitie, voor een c, bijvoorbeeld c = : Je mg ook nemen lnx x 4 dx c lnx x 4 dx + lnx x 4 dx b b b b c lnx x 4 dx, lnx x 4 dx. mr NIET lnx x 4 dx ε ε ε lnx x 4 dx! De grenzen moeten onfhnkelijk vn elkr nr de rndwrde kunnen convergeren. We vinden met c = genomen: / lnx x 4 dx = = / / ln x + x x dx ln x + ln + x + ln xdx = x ln x x + + x ln + x + x ] x ln x x ] ] / en een vergelijkbre uitdrukking voor de integrl over, b]. Smen geeft dit lnx x 4 dx b b ln b b + + b ln + b + b ] b ln b b ]] ln + + ln + + ] ln ]] = + ln ] ] = ln Bewijs dt de Tylorreeks rond het punt vn de functie ln x gegeven wordt door ln + n n x, n n=

5 en bepl de convergentiestrl rond x =. De formele Tylorreeks vn fx = ln x rond het punt wordt gegeven door n= f n n! x n. We berekenen eerst een uitdrukking voor de fgeleiden functies f n en de bijbehorende functiewrde in : fx = ln x f = ln f x = x f = f x = x f = 4 f n x = n+ n! f n n+ n! = x n n Invullen in de lgemene uitdrukking voor de Tylorreeks geeft n= f n n! x n = ln + n x n n n= b Lt T n x het n-de orde Tylorpolynoom zijn vn de functie ln x rond x =. Lt zien, dt voor de restterm R n x = ln x T n x geldt R n x < n + voor lle x : x <, en concludeer dt voor x < de functie ln x gelijk is n de reeks. Gebruik de Lgrnge uitdrukking voor de restterm: er bestt c tussen x en zodt R n x = f n+ c n +! x n+. Dus R n x = n! n +!c x n+ n+ = n + Als x <, dn is x > en dus c >. We vinden, dt x n+ c n+. R n x n + n+ = n+ n +. Hieruit volgt, dt voor iedere x met x <, R n x ls n. Tylorreeks convergeert dus nr ln x voor deze x. De

6 c Bereken lnx/ x. x 4 Gebruik lleereerst, dt lnx/ x x 4 ln x ln x x en substitueer dn het tweede-orde Tylorpolynoom vn ln x rond plus restterm dit is geoorloofd, omdt wnneer x, x < voor x voldoende dicht bij de Tylorreeks convergeert nr ln x: lnx/ x x 4 x x 8 + R x x + R x x x = 8, omdt R x = O x 3 voor x zie Lgrnge uitdrukking voor R x. Je kunt ook l Hôpitl gebruiken: lnx/ x x 4 x/ x x x x = 8 Opgve Punten