Lineaire recurrente rijen

Transcriptie

1 Hilal Moussa Lineaire recurrente rijen Bachelorscriptie, 17 juni 2010 Scriptiebegeleider: J.-H. Evertse Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1

2 Inhoudsopgave Inleiding Lineaire recurrente rijen p-adische absolute waarde Lichaam van p-adische getallen Theorie van machtreeksen in Q p Bewijs van de Stelling van Skolem-Mahler -Lech Literatuur

3 Inleiding Een lineaire recurrente rij (lrr) U {u n } n0 in C wordt gegeven door een lineaire recurrentie: u n c 1 u n 1 + c 2 u n c k u n k (n k) met coëfficiënten c 1,..., c k C en beginwaarden u 0,...,u k 1 C. In deze scriptie behandelen we de volgende Stelling van Skolem-Mahler-Lech: Zij U een lrr. Dan is de verzameling N(U) {n Z 0 ; u n 0} de vereniging van een eindige verzameling met een eindig aantal rekenkundige rijen. Deze stelling kan worden bewezen met behulp van de methode van p-adische getallen en p-adische machtreeksen. Skolem bedacht de methode gebaseerd op p-adische getallen en p-adische machtreeksen en bewees de stelling (1934)[4] [5] in het geval U {u n } n0 al zijn termen in Q heeft. Mahler (1935)[3] bewees de stelling in het geval alle termen van U algebraïsche getallen zijn. Lech (1953)[2] bewees de stelling in het algemene geval. Het idee van Lech was een nieuwe inbeddingsstelling waarmee hij een willekeurige lrr de rij kon afbeelden in het lichaam van de p-adische getallen. Voorbeeld: 1) Rij aan Fibonacci: u n u n 1 + u n 2 (n 2), u 0 0, u 1 1. Dan N(U) {0}. 2) Zij u n n 3 12 (3n ( 3) n ) Er geldt u 0 0, u 1 1, u 2 0, u 3 0. Verder is u n 18u n 2 81u n 4 voor n 4. Er geldt dat u n 0 voor alle even waarden van n, en u n 0 voor alle oneven waarden van n met n 5. Dus N(U) {3} {0, 2, 4, 6,...}. Ten eerste definiëren we lineaire recurrente rijen en geven enkele eigenschappen daarvan. Ten tweede definiëren we lichaam het Q p van de p-adische getallen We gaan daarna de nodige eigenschappen van p-adische getallen en p-adische machtreeksen bestuderen. Verder gebruiken we de Inbeddingsstelling van Lech (zonder bewijs), die een relatie geeft tussen de stelling van Skolem-Mahler-Lech en p-adische getallen. Tenslotte passen wij de stelling van Strassman over nulpunten van p-adische machtreeksen samen met lemma s en stellingen toe die eerder in deze scriptie worden behandeld en geven hiermee een bewijs van de stelling van Skolem-Mahler-Lech. 3

4 1 Lineaire recurrente rijen Definitie: Een lineaire recurente rij (lrr) U {u n } n0 in C wordt gegeven door een lineaire recurrentie: u n c 1 u n 1 + c 2 u n c k u n k (n k) (1) met coëfficiënten c 1,..., c k C en beginwaarden u 0,...,u k 1 C. Onder alle lineaire recurrenties waaraan een gegeven lrr voldoet is er een unieke recurrentie, waarvoor de lengte k minimaal is. Deze minimale waarde van k heet de orde van U. Zij U {u n } n0 een lrr van orde k met recurrentie zoals gegeven bij (1). Het karakteristiek polynoom van U is gegeven door F U (X) : X k c 1 X k 1 c k. We kunnen dit ook opschrijven als F U (X) (X α 1 ) e 1...(X α r ) er (2) waarbij α 1,...,α r C verschillend zijn, en e i > 0 voor i 1,...,r. Stelling 1. Er zijn uniek bepaalde polynomen f i C[X] van graad e i 1 voor i 1,...,r zodat: r u n f i (n)αi n (3) waarbij α i en e i (i 1,...,r) worden gegeven door (2). Bewijs. Er zijn een polynoom A van graad < k en constanten c ij met i1 Waarbij i1 u n X n n0 j1 n0 A(X) r 1 c 1 X c 2 X 2 c k X k r e i ( ) n + j 1 c ij αi n j 1 Xn e i f i (n) : j1 ( r e i n0 r f i (n)αi n i1 i1 j1 i1 e i j1 ( ) n + j 1 c ij voor i 1,...r. j 1 c ij (1 α i X) j ( ) ) n + j 1 c ij αi n X n j 1 4

5 In deze scriptie geven we het bewijs van de volgende stelling: Stelling 2 (Skolem,Mahler,Lech) De verzameling N(U) {n Z 0 ; u n 0} is de vereniging van een eindige verzameling en een aantal rekenkundige rijen. Het bewijs is gebaseerd op de theorie van p-adische getallen en p-adische machtreeksen. 2 p-adische absolute waarde Definitie: Zij p een priemgetal, dan definiëren we de orde van a Q door ord p (a) m als a p m b/c met m, b, c Z en p geen deler van b en c, ord p (0) Dan definiëren we de p-adische absolute waarde van a Q door: a p : p ordp(a). Voorbeeld: Zij a ,dan a 3 3 5, a en a p 1 voor alle priemgetallen p 3, 7, 11. Eigenschappen : ab p a p b p voor alle a en b Q; a + b p max ( a p, b p ) voor alle a en b Q; a + b p max ( a p, b p ) voor alle a en b Q met a p b p. 3 Lichaam van p-adische getallen Voor meer informatie over p-adische getallen zie [1].. p definieert een norm op Q. De rij {x n } n0 Q heet een Cauchy-rij m.b.t. p als lim m,n x m x n p 0 De rij {x n } n0 in Q heet een nulrij m.b.t. p als lim n x n p 0. De Cauchy-rijen m.b.t. p met termsgewijze optelling en vermenigvuldiging vormen een ring R. De nulrijen vormen een maximaal ideaal M in R. 5

6 Het quotient R/M is een lichaam, dat we aangeven met Q p, het lichaam van de p-adische getallen. We identificeren a Q met de restklasse modulo M van de constante Cauchy-rij {a}. Dan kunnen we Q opvatten als deellichaam van Q p. We kunnen. p eenduidig voortzetten tot Q p, door te definiëren: α p : lim n a n p als α de restklasse mod M is van de Cauchy-rij {a n } n0. Lemma 1 1. De absolute waarde. p is niet archimedisch. 2. De waardenverzameling van. p op Q p is {0} {p m : m Z}. Bewijs. (1) Zijn x, y Q p neem rijen {x n },{y n } uit Q die convergeren naar respectievelijk x en y, dan x + y p lim t x t + y t p lim t max ( x t p, y t p ) max ( x p, y p ). (2) Zij x Q p. Dan er is een rij {x n } in Q die convergeert naar x,dus x p lim k x k p. Voor alle k geldt x k p p m k voor zekere mk Z. De rij van {p m k } convergeert, dus er zijn m en k 0 zodat m k m voor alle k k 0. Dus x p p m. De verzameling Z p {x Q p : x p 1} is een deelring van Q p, de ring van p-adische gehelen. Er geldt Z Z p Q p. Lemma 2. Voor alle α Z p en alle m Z 0, is er een unieke a m Z, zodat α a m p p m en 0 a m < p m. Bewijs. Als a, b Q dan schrijven we a b ( mod p m ) als (a b)/p m Z p. Omdat Q dicht ligt in Q p is er een rationaal getal (a/b) met a en b Z met ggd(a, b) 1 zodat α (a/b) p p m. b is niet deelbaar door p want a/b p 1, dus er is een geheel getal a m met (ba m ) a( mod p m ) en 0 a m < p m. Dus α a m p max( α (a/b) p, (a/b) a m p ) p m Zij z m een ander geheel getal met de eigenschap van het lemma, dan geldt a m z m p p m dus z m a m ( mod p m ). Maar dan is z m a m, dus a m is uniek bepaald. Gevolg: Z ligt dicht in Z p. Stelling 3. (i) De eenhedengroep van Z p is (ii) De idealen ongelijk aan (0) van Z p zijn Z p /p m Z p Z/p m Z. Z p {x Q p : x p 1} p m Z p, (m 0, 1, 2, ).Verder is 6

7 Bewijs. (i) Wij hebben x Z p x p 1, x 1 p 1 x p 1 en x p 1 x p 1. (ii) Zij I een ideaal ongelijk aan (0) van Z p. Kies α I zodat α p maximaal is, en zij α p p m. Dan is p m α p p m p m 1, dus p m α Z p, m.a.w. pm α 1 Z p. Omdat I een ideaal is volgt dat p m α(p m α 1 ) I. Zij β I met βp m p 1. Dan is βp m Z p, dus β p m Z p. Bijgevolg is I p m Z p. Omdat ook p m Z p I, volgt dat p m Z p I. Volgens Lemma 2 is de inclusie Z p /p m Z p Z/p m Z surjectief. Hieruit volgt (ii). Lemma 3. Zij {a n } n0 een rij in Q p. Dan is k0 a k convergent in Q p lim k a k 0. Bewijs. ) Stel dat α n k0 a k convergeert. Dan a n n k0 a k n 1 k0 a k α α 0 als n. ) Stel a k 0 als k. Zij α n n k0 a k, dan geldt voor alle m, n met m > n > 0 dat α m α n p m kn+1 a k p max( a n+1 p,, a m k ) 0 als m, n, dus α n is een Cauchy rij in Q p dus α n convergeert want Q p is compleet. Opmerking (belangrijk): Iedere reeks n0 a n die in Q p convergeert is onvoorwaardelijk convergent, m.a.w. als we de termen van {a n } permuteren dan blijft de reeks convergent, en blijft de waarde van de reeks onveranderd. Feit 1. Definieer de bal B(a, r) {x Q p : x a p r}. Als b B(a, r), dan is B(a, r) B(b, r), m.a.w ieder punt in een bal is een middelpunt van die bal. Bewijs. Zij x B(a, r). Dan x b p max( x a p, a b p ) r dus x B(b, r). Bijgevolg is B(a, r) B(b, r). Op dezelfde manier volgt dat B(b, r) B(a, r). Dus B(a, r) B(b, r). Definitie. We zeggen dat U Q p open is, als U of als er voor alle a U een m > 0 is met B(a, p m ) U. De open verzamelingen in Q p vormen de p-adische topologie. Stelling 4. Zij a Q p, m Z. Dan is B(a, p m ) open en compact in de p-adische topologie Bewijs. Uit Feit 1 volgt direct dat B(a, p m ) open is. Stel B 0 : B(a, p m ) is niet compact. Dan is er een oneindige open overdekking {U i } i A van B 0, zodat geen eindige deelcollectie van {U i } i A de verzameling B 0 overdekt. Zij x B(a, p m ). Dan is x a p m p 1. Dus volgens Lemma 2, is er een b {0,...,p 1} zodat x a p m b p p 1. Met andere woorden, x B(a + bp m, p m 1 ). 7

8 Dan volgt: B(a, p m ) p 1 b0 B(a + bp m, p m 1 ). Dus er is een bal B 1 B(a, p m ) B 0 van straal p m 1, die niet overdekt wordt door een eindige deelverzameling van {U i } i A. Door dit argument te herhalen, vinden we een oneindige rij B 0 B 1 B 2..., waarbij B i een bal van straal p m i is die geen eindige deelverzameling van {U i } i A heeft. We laten zien dat de doorsnede van deze ballen niet leeg is: Kies voor alle i 0 een x i B i. Dus B i B(x i, p m i ). Dan is de rij {x i } een Cauchy-rij want x i x j p p m min(i,j) 0 als i, j. Maar Q p is compleet dus deze rij heeft een limiet x in Q p. Dan x B i voor alle i want x i x p lim j x i x j p p m i. Dus B i B(x, p m i ) voor alle i 0. Het punt x ligt in een open verzameling U uit {U i } i A, dus er is een m 1 > 0 zodat B(x, p m 1 ) U. Wij kiezen i zo groot mogelijk zodat B i (x, p m i ) B(x, p m 1 ) U. Dus B i wordt overdekt door een eindige deelcollectie van {U i } i A. Dus de aanname dat B 0 : B(a, p m ) niet compact is, was onjuist.. Gevolg 2. Z p is open en compact. Belangrijk. De volgende stelling geeft de relatie tussen de stelling van Skolem-Mahler- Lech en p-adische getallen. Inbeddingsstelling van Lech. Zij k het lichaam voortgebracht over Q door de α i en de coëfficiënten van f i (i 1,...,r), waarbij α i en de coëfficiënten van f i en r worden gegeven door (2) en (3) voor i 1,..., r. Dan er zijn een priemgetal p en een injectief homomorfisme Φ : k Q p met φ(α i ) p 1 i 1,...,r. Bewijs. Zie [2]. Gevolg 3: We kunnen φ(x) identificeren met x k, dus wij mogen aannemen dat α i en de coëfficiënten van f i (i 1,..., r) in Q p liggen en dat α i p 1 voor i 1,..., r. 8

9 4 Theorie van machtreeksen in Q p We proberen een machtreeks G(X) k0 a kx k te definiëren op Z p zodat G(n) r n0 f i(n)α n i voor alle n Z 0. Feit 2. zij a n Q p voor alle n 0 en x Q p. Q p lim n a n x n p 0. Dan convergeert n0 a nx n in Bewijs. Gevolg van Lemma 3. Definitie. Wij definiëren exp p (x) n0 xn /n! en log p (x + 1) n1 ( 1)n 1 x n /n voor alle x Q p waarvoor de machtreeksen convergeren. Wij gaan nu convergentiegebieden van exp p en log p bepalen. Lemma lim n x n /n! p 0 als x p < p 1/(p 1). 2. lim n ( 1) n 1 x n /n p 0 als x p < 1. Bewijs. 1. Zij r k het aantal getallen in {1,...,n} dat deelbaar is door p k. Dan ord p (n!) k(r k r k+1 ) kr k (k 1)r k k1 r k k1 k1 [n/p k ]. k1 k2 Neem nu aan dat x p < p 1/p 1. Dan is ord p (x) α met α > 1/(p 1), dus ord p (x n /n!) nα nα [n/p k ] k1 k1 Dus lim n x n /n! p p limn ( ordp(xn /n!)) 0 n/p k n(α 1 ) als n. p 1 2. Er geldt ( 1) n 1 x n /n p x n /n p Stel x p α, en n p p m. Dan volgt α < 1 en m > 0 x n /n p α n p m α n n. Zij z α n n, dan log(z) n(log(α) + log(n)/n) als 9

10 n want log(α) < 0. Dus α n n 0 en vervolgens lim n ( 1) n 1 x n /n p 0 als x < 1. Gevolg 5. exp p (x) en log p (x) convergeren respectievelijk op {x Q p : x p < p 1/(p 1) } en op {x Q p : x p < 1 }. Definitie. Zij U een open deelverzameling van Q p en f : U Q p een functie. We zeggen dat f differentieerbaar is op U als f(x) f(a) lim x a x a bestaat voor alle a U. We noemen deze limiet f (a), m.a.w voor alle a U is er een getal f (a) met de volgende eigenschap: voor alle ǫ > 0 is er een δ > 0 zodat Eigenschappen: f(x) f(a) f (a) p < ǫ voor alle x Q p met x a p < δ. x a Zijn f, g differentieerbare functies op een open deelverzameling U van Q p. Dan geldt: (f + g) f + g, (cf) cf voor c Q p, (fg) f g + g f, (f/g) gf g f g 2 als g(x) 0 voor alle x Q p. Zij V een open deelverzameling van Q p en h : V Q p differentieerbaar functie zodat h(v ) U. Dan is f h een differentieerbare functie van V naar Q p en f(h(x)) f (h(x))h (x) voor x V. Het bewijs gaat op dezelfde manier als in de reële analyse. Stelling. Zij f(x) n0 a nx n met a n Q p een machtreeks die convergeert op B(0, r), r > 0, dan is f een differentieerbare op B(0, r) en f (x) n1 na nx n 1 voor x B(0, r). Bewijs. zij ǫ > 0 en a B(0, r). Dan f(x) f(a) x a na n x n 1 p n1 n1 a n (x n a n ) x a na n x n 1 p (4) 10

11 Maar a n(x n a n ) x a na n x n 1 p a n (x n 1 + ax n 2 + a 2 x n a n 1 nx n 1 ) p a x p a n (x n 2 + x n 3 x2 a 2 x a + + xn 1 a n 1 ) p x a x a p a n (x n 2 + x n 3 (x + a) + + x n 2 + ax n a n 2 p x a p a n (x n 2 + (x n 2 + ax n 3 ) + p. In de tweede factor zijn alle termen van de vorm a n x (n 2 i) a i met i 0. We kiezen δ zodat δ < a p. Dan geldt voor alle x met x a p < δ dat x p a p. Dan volgt a n x n 2 i a i p a n a n 2 p. Zij M : max n 0 a n a n p. Dan M is eindig omdat n0 a na n convergent is. Kies nu δ zodat M < ǫ. Dan volgt a pδ 2 f(x) f(a) x a n1 na n x n 1 p < M x a a 2 p < M δ < ǫ p a 2 p voor alle x met x a p < δ, x a. Dus f is differentieerbaar en f (x) n1 na nx n 1. Lemma log p (x + 1) p x p als x p < p 1/(p 1). 2. exp p (x 1 + x 2 ) exp p (x 1 ) exp(x 2 ) als x 1 p < p 1/(p 1) en x 2 p < p 1/(p 1). 3. exp p (log p (1 + x)) 1 + x als x p < p 1/(p 1). 4. log p (exp p (x)) x als x p < p 1/(p 1). 5. exp p (x log p (1 + β)) is goed gedefinieerd als x Z p en β p < p 1/(p 1). 6. exp p (m log p (1 + β)) (1 + β) m voor m Z 0 en β p < p 1/(p 1). Bewijs. 1. Wij hebben log p (1 + x) x x 2 /2 + x 3 /3 x 4 /4 + dus log p (1 + x) p max( x p, x 2 p/ 2 p, x 3 p/ 3 p,....) Er geldt log p (x + 1) p x p als x i p i p < x p voor alle i 2 ( zie eigenschappen van. p ). Dus het is voldoende om te bewijzen dat x i 1 p < i p voor alle i 2, x Q p, x p < p 1/(p 1). (5) 11

12 Wij hebben twee mogelijkheden: 1. p is geen deler van i, dan volgt dat i p 1 en dus is (5) zeker juist. 2. p is een deler van i, dus er is een geheel getal i met i p 1 en i p m i met m > 0, dus geldt (5) d.e.s.d. als Er geldt x pm i 1 p < p m voor alle m 0 en alle i 1. (6) x pm i 1 p x pm 1 p want x p < 1 en p m i 1 p m 1, dus (6) geldt d.e.s.d. als voor alle m 1, dus er geldt ook (5) (7) Nu is x p < p 1 (p 1), d.e.s.d. als x p 1 p < p 1. Dan geldt x pm 1 p < p m (7) x pm 1 p x (p 1)(1+p+p2 + +p m 1 ) p (p 1 ) 1+p+p2 + +p m 1 p m. Dus (7) geldt. Hieruit volgt (5). 2. Als x 1 p < p 1/(p 1) en x 2 p < p 1/(p 1) dan geldt ook x 1 + x 2 p < max ( x 1 p, x 2 p ) < p 1/(p 1) (eigenschappen van. p ). Dus enerzijds 12

13 exp p (x 1 + x 2 ) (x 1 +x 2 ) n k0, en anderszijds wegens onvoorwaardelijke convergentie, k! 3. exp p (x 1 ) exp p (x 2 ) x n 1 /n! x m 2 /m! n0 n0 m0 m0 x n 1x m 2 n!m! ( k0 k0 m0 m+nk k k0 m0 k0 k0 1 k! x n 1x m 2 n!m! ) x k m 1 x m 2 (k m)!m! k 1 k! k! (k m)!m! xk m k ( ) k x1 k m x m 2 m m0 1 k! (x 1 + x 2 ) k exp p (x 1 + x 2 ). 1 x m 2 Definieer f(x) : exp p (log p (1 + x), g(x) 1 + x. Dan is f(x) n0 a nx n met zekere a n Q Volgens 2. is log p (x + 1) p x p als x p < p 1/(p 1) dus f(x) convergeert voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1). Nu geldt voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1) dat enerzijds f (x) n1 na nx n 1 en anderzijds Dus (1 + x) Uitwerking geeft: f (x) exp p (log p(1 + x)). log p (1 + x) 1 exp p (log p (1 + x)) 1 + x f(x) 1 + x na n x n 1 n1 [(n + 1)a n+1 + na n ]x n n0 a n x n voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1). n0 a n x n voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1) n0 dus (n + 1)a n+1 + na n a n voor alle n 0. 13

14 Omdat f(0) 1 volgt dat a 0 1. En dan volgt a 1 1 en met inductie a n 0 voor alle n 2. Dus f(x) n0 a nx n 1 + x voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1) 4. Wij laten eerst zien dat log p (exp p (x)) is goed gedefinieerd als x p < p 1/(p 1). Dan moeten we bewijzen exp p (x) 1 p < 1: exp p (x) 1 p x + x 2 /2! + x 3 /3! + p max( x p, x 2 /2! p, x 3 /3! p,...). Dus het is voldoende te bewijzen dat x i /i! p < 1, voor alle i 1 met x p < p 1/(p 1) Er geldt ord p (x i /i!) i(ord p (x) 1 (p 1) ), voor alle i 1 en x Q p met x p < p 1/(p 1). (zie het bewijs van lemma 4.1). Dus x i /i! p p i(ordp(x) 1 (p 1) ) < 1 want ord p (x) > 1/(p 1) en i 1. Dan volgt exp p (x) 1 p < 1. Definieer f(x) : log p (exp p (x)) voor alle x Q p met x p < p 1/(p 1). 1 Dan is f (x) exp p (x) exp p(x) 1, dus f(x) x + c. Maar f(0) 0 dus c 0 en f(x) x. 5. Er geldt: x log(1 + β) p x p β p < p 1/(p 1) als x Z p en β p < p 1/(p 1) ( volgens 1.) Dus exp p (x log p (1 + β)) is goed gedefiniëerd als x Z p en β p < p 1/(p 1). 6. Met inductie naar m. Als m 1 dan geldt volgens (3) dat exp p (log p (1+x)) 1+x als x p < p 1/(p 1). Stel de bewering waar is voor m 1. Dan geldt exp p ( (m 1) logp (1 + x) ) (1 + x) m 1 en Volgens 2. geldt exp p (m log p (1 + x)) exp p ( (m 1) logp (1 + x) ) exp log(1 + x) (1 + x) m Lemma 6. Zij β Z p met β p 1 en d p(p 1). Dan β d 1 p < p 1/(p 1). 14

15 Bewijs. Volgens Stelling 3 is : (Z p /p 2 Z p ) (Z/p 2 Z). Dus het aantal elementen van (Z p /p 2 Z p ) is gelijk aan het Euler-getal: φ(p 2 ) p(p 1). Maar dan is β p(p 1) i 1( mod p 2 ). Dus β d i 1 p p 2 < p 1/(p 1) waarbij d p(p 1). Gevolg 6. Wegens Gevolg 3 mogen we aannemen dat α i p 1 voor i 1...,r. Dan volgt : er is d > 0 met α d i 1 p < p 1/(p 1) voor alle i 1,...,r (8) In de volgende Stelling bekijken we de nulpunten van een machtreeks die convergeert op een bal en bestuderen we wanneer deze eindig of oneindig veel nulpunten heeft. Stelling 5 (Strassman) Zij f(x) n0 b nx n een machtreeks met b n Q p voor alle n > 0 die convergeert voor alle x Z p. Dan geldt het volgende : Stel f(x) is niet identiek nul op Z p, dan heeft f(x) maar eindig veel nulpunten in Z p Bewijs. Definieer S : {x Z p : f(x) 0}. Stel dat S oneindig is, Z p is compact. Dus S heeft een ophopingspunt y 0 Z p. Dan is er een een rij {y n } n0 in S met lim n y n y 0 en met y n y 0 voor alle n. Wij kunnen f(x) omschrijven als : f(x) b n ((x y 0 ) + (y 0 )) n n0 ( n ( n b n k k0 ( ( n b n k n0 k0 nk ) ( 1) n k y n k 0 (x y 0 ) k ) ) ( 1) n k y n k 0 ) (x y 0 ) k, vanwege de onverwaardelijke convergentie van reeksen in Q p. Dus f(x) c k (x y 0 ) k c 0 + c 1 (x y 0 ) + c 2 (x y 0 ) 2 +, k0 waarbij c k nk b n ) n( k ( 1) n k y0 n k. Omdat f(y 0 ) 0 dan geldt c

16 Zij k 0 de eerste k met c k0 0. Dan is f(x) c k0 (x y 0 ) k 0 + c k0 +1(x y 0 ) k c k0 +2(x y 0 ) k (x y 0 ) k 0 (c k0 + c k0 +1(x y 0 ) + c k0 +2(x y 0 ) 2 ) (x y 0 ) k 0 H(x) waarbij H(x) c k0 + c k0 +1(x y 0 ) + H(x) is continu in y 0 en H(y 0 ) c 0 0. Dus er is een ǫ > 0 zodat H(x) 0 voor alle x met x y 0 p < ǫ. Dan volgt dat f(x) 0 voor alle x Z p met x y 0 p < ǫ en x y 0. Maar er is een y n S met y n y 0 p < ǫ en daarvoor zou dan gelden f(y n ) 0, tegenspraak. Dus f heeft maar eindig veel nulpunten in Z p. 5 Bewijs van de Stelling van Skolem-Mahler-Lech Nu gaan wij terug naar de Stelling 2 van Skolem-Mahler-Lech. Om die te bewijzen gebruiken de lemma s en stellingen die eerder in deze scriptie zijn behandeld. Bewijs. Volgens Stelling 1 is u n r i1 f i(n)α n i voor alle n 0. Wegens gevolg 3 van de Inbeddingsstelling van Lech mogen we aannemen dat α i en de coëfficiënten van f i (i 1,...,r) tot Q p behoren en dat α i p 1 voor i 1,..., r. We schrijven n md + e waarbij d is gegeven door (8) en waarbij e {0,..., d 1}. Dan is: r r u md+e g i (m)(1 + β i ) m ; waarbij g i (m) : f i (md + e)αi, e en αi d : 1 + β, i1 met β i p α d i 1 p < p 1 (p 1) (Gevolg 6 ). Uit Lemma 6.5 en 6.6 volgt dat exp p (m log(1 + β i )) goed gedefinieerd is en (1 + β i ) m exp p (m log(1 + β i )) voor alle m Z. Dus u md+e i1 r g i (m) exp p (m log(1 + β i )) voor m Z i1 G e (m) waarbij G e (x) : r g i (x) exp p (x log p (1 + β i )) voor x Z p Wij gaan nu de stelling van Strassman op de machtreeks G e (x) toepassen: G e (X) convergeert op Z p. Dus er zijn twee mogelijkheden: i1 1. G e (x) is niet identiek nul. Dan heeft G e hoogstens eindig veel nulpunten in Z p. 16

17 2. G e (X) is identiek nul. Dan is G e (x) 0 voor alle x Z p. Definieer N e (U) {md + e : m Z 0, u md+e 0}. Gevolg van mogelijkheid 1: u md+e G e (m) 0 voor hoogstens eindig veel m Z 0. Dus N e (U) is eindig. Gevolg van mogelijkheid 2: u md+e G e (m) 0 voor alle m Z 0. M.a.w.N e (U) is een rekenkundige rij. We concluderen dat N(U) d 1 e0 N e (U) (9) de vereniging is van een eindige verzameling met een eindig aantal rekenkundige rijen. Dit bewijst de stelling van Skolem-Mahler-Lech. 17

18 LITERATUUR [1] N.KOBLITZ, p-adic numbers,p-adic Analysis. [2] C.LECH A note on recurring series. Arkiv för matematik Band 2 nr 22,1953, [3] K.MAHLER, Eine arithmetische Eigenschaft der Taylor-Koeffizienten rationaler Funktionen, Akad. wetensch. Amesterdam, Proc. 38,50-60 (1935). [4]Th. SKOLEM, Einige Sätze über gewisse Reihenentwicklungen und exponentiale Beziehungen mit Anwendung auf diophantische Gleichungen. Oslo Vid. akad. Skrifter I 1933 Nr 6. [5]Th.Skolem, Ein verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleichungen und diophantischer Gleichungen, C.r. 8 congr. scand. à Stockholm 1934,