Routh s stabiliteitscriterium voor convexe stabiliteitsgebieden (Engelse titel: Routh s stability criterion for convex stability regions)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Routh s stabiliteitscriterium voor convexe stabiliteitsgebieden (Engelse titel: Routh s stability criterion for convex stability regions) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BAHELOR OF SIENE in TEHNISHE WISKUNDE door Rens van Haveren Delft, Nederland Juni 2012 opyright 2012 door Rens van Haveren. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TEHNISHE WISKUNDE Routh s stabiliteitscriterium voor convexe stabiliteitsgebieden (Engelse titel: Routh s stability criterion for convex stability regions ) Rens van Haveren Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. J.W. van der Woude Overige commissieleden Dr. M.H.A. Haase Dr.ir. M. Keijzer Juni, 2012 Delft

4

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding 7 2 Autonome systemen Autonoom systeem Lineair autonoom systeem Stabiliteit van (gelineariseerde) autonome systemen Evenwichtspunten en stabiliteit van autonome systemen Stabiliteit van gelineariseerde autonome systemen Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium en de Hurwitz-matrix Stabiele en instabiele polynomen Even/oneven polynoom Bijzondere eigenschap van een familie van polynomen Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium Hurwitz-matrix Stabiliteitscriterium voor algemene polynomen Möbius-transformaties en de productregel voor polynomen Möbius-transformaties met a 0, c = 0 en d = Möbius-transformaties met c 0 en ad bc Productregel voor polynomen Stabiliteitscriteria voor specifieke gebieden in Verschuiving van de imaginaire as irkels met de oorsprong als middelpunt Verticale strip Horizontale strip Konisch gebied onvexe stabiliteitsgebieden onvexe polygonen onvexe stabiliteitsgebieden

6 8 Matlab-implementaties Routh tabel Hurwitz matrix onclusie 55 Literatuur 56 5

7

8 Hoofdstuk1 Inleiding In dit hoofdstuk zal de probleemstelling van het bachelorproject worden uitgelegd. Het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium staat centraal in dit onderzoek, het criterium geeft antwoord op de vraag of alle nulpunten van een gegeven polynoom met reële coëfficiënten in het open linkerhalfvlak = {z : Re(z) < 0} liggen zonder deze nulpunten te berekenen. De notatie voor het open linkerhalfvlak zal vaak gebruikt worden in het vervolg van dit verslag. Figuur 1.1: Het open linkerhalfvlak = {z : Re(z) < 0}. Binnen de systeemtheorie wordt het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium gebruikt om na te gaan of alle eigenwaarden van een systeemmatrix in liggen. Voor autonome systemen kan op deze manier worden nagegaan of de oplossing (lokaal) stabiel is. Deze eigenwaarden zijn namelijk precies de nulpunten van het karakteristieke polynoom van de systeemmatrix. Het criterium leidt tot de Routh-Hurwitz test. De test kan echter niet uitgevoerd worden op ieder willekeurig polynoom met reële coëfficiënten. Voor de polynomen waarvoor de test faalt (singuliere polynomen) bestaat er een aangepaste versie van de Routh-Hurwitz test die wel werkt, zie [10]. In dit bachelorproject wordt niet stilgestaan bij deze singuliere polynomen. Ervan uitgaande dat het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium uitsluitsel geeft (wat voor de meeste polynomen zo is) kan er op een eenvoudige manier worden nagegaan of alle nulpunten van een gegeven polynoom in liggen. Voor de duidelijkheid, dit criterium berekent of benadert de nulpunten van een polynoom niet. 7

9 Dit project is gericht op de volgende vraag: gegeven een open en convexe deelverzameling U en een polynoom p : met in het algemeen complexe coëfficiënten, kunnen we nu bepalen of alle nulpunten van het polynoom p in U liggen? Kunnen we hiervoor het Routh- Hurwitz stabiliteitscriterium gebruiken en hoe moet deze aangepast worden? Een reden om naar andere gebieden te kijken dan kan bijvoorbeeld zijn omdat je meer wilt weten over de convergentiesnelheid of de oscillaties van de oplossing van een autonoom systeem. Het open linkerhalfvalk als stabiliteitsgebied voor continue systemen is vergelijkbaar met de open complexe eenheidscirkel D = {z : z < 1} (met. de modulus) voor discrete systemen. Dit is een reden om het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium aan te passen voor het gebied D = {z : z < 1}. De opbouw van dit verslag is als volgt, in hoofdstuk 2 worden autonome systemen behandeld, met name hoe een dergelijk systeem lokaal benaderd kan worden rond een algemene oplossing door een lineair autonoom systeem. In hoofdstuk 3 wordt het begrip stabiliteit uitgelegd, met name voor (lokale) autonome systemen. Er wordt een relatie bepaald tussen de stabiliteit van een lineair autonoom systeem en de eigenwaarden van de bijbehorende systeemmatrix. In hoofdstuk 4 wordt het criterium van Routh-Hurwitz toegelicht en bewezen. Daarnaast wordt er ook een equivalentie tussen de Routh tabel en de Hurwitz-determinanten afgeleid. Verder wordt een Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium voor polynomen met complexe coëfficiënten afgeleid. Zo n criterium blijken we hard nodig te gaan hebben, want anders zijn we erg gelimiteerd qua gebieden U waarvoor de onderzoeksvraag beantwoord kan worden (namelijk de gebieden die symmetrisch zijn ten opzichte van de reële as). In hoofdstuk 5 wordt er nader ingegaan op zogenaamde Möbius-transformaties. Transformaties van deze soort blijken essentieel voor het beantwoorden van de onderzoeksvraag in dit project. In hoofdstuk 6 wordt de onderzoeksvraag beantwoord voor specifieke praktische open en convexe gebieden U. In hoofdstuk 7 richten we ons op algemenere gebieden in, wel eisen we dat deze gebieden open en convex blijven. Er wordt onder meer een stabiliteitscriterium afgeleid voor open en convexe polygonen. Tenslotte worden er in hoofstuk 8 twee Matlab-implementaties gegeven, namelijk die van de Routh tabel en van de Hurwitz-matrix. Deze tabel en matrix bevatten beide de essentiële informatie over een gegeven polynoom waaraan gezien kan worden of alle nulpunten van dit polynoom in liggen. 8

10 Hoofdstuk2 Autonome systemen In dit hoofdstuk wordt besproken wat een autonoom systeem is en hoe we een dergelijk systeem kunnen lineariseren rondom een algemene oplossing. 2.1 Autonoom systeem De definitie van een autonoom systeem is als volgt Definitie 2.1 (Autonoom systeem). Een autonoom systeem wordt gegeven door de relatie ẋ = f(x). (2.1) Hierbij is x R n de toestandsvector, f : R n R n een functie (n N) en de notatie ẋ staat voor d dt x(t). Omdat een autonoom systeem niet expliciet afhangt van de (tijds)variabele t wordt vaak de notatie (2.1) gebruikt, waarbij dus de afhankelijkheid van t is weggelaten. Autonome systemen zijn dus tijds-invariante systemen. Eigenlijk is een autonoom systeem niets anders dan een stelsel van eerste-orde differentiaalvergelijkingen waarin de tijd niet expliciet een rol speelt. Veel natuurkundige fenomenen kunnen met bepaalde aannames als een autonoom systeem gemodelleerd worden, dit omdat natuurwetten van kracht blijven voor verschillende tijdstippen. Vaak zijn we geïnteresseerd in het gedrag van een autonoom systeem rond bepaalde punten in R n. Rond dergelijke punten kunnen we de relatie (2.1) versimpelen door te lineariseren. Dit blijkt erg handig zijn om stabiliteitsanalyse uit te voeren. 2.2 Lineair autonoom systeem Een autonoom systeem kunnen we lineariseren rondom een algemene oplossing. Dit wel onder de aanname dat de functie f : R n R n voldoende glad is in de zin dat de partiële afgeleiden continu zijn tot de tweede orde. De procedure gaat als volgt, stel dat x een oplossing is van (2.1) met initiële waarde x(0) = x 0. Laat nu z een kleine verstoring zijn zodat x + z nog steeds een oplossing van (2.1) is met x(0) + z(0) = x 0 + z 0. Ofwel we hebben 9

11 d dt x = f( x), x(0) = x 0, (2.2) d dt ( x + z) = f( x + z), x(0) + z(0) = x 0 + z 0. (2.3) Door de aanname dat f : R n R n voldoende glad is kunnen we de Taylorreeks opstellen van f( x + z) rond x, dan volgt f( x + z) = f( x) + f ( x)z + h.o.t. (2.4) x De notatie h.o.t staat voor de hogere orde termen. Merk op dat er vectoren staan, met f x wordt de Jacobimatrix bedoeld. Als we nu het verschil nemen van vergelijking (2.3) met (2.2) en dan aan de rechterkant van het gelijkteken in (2.3) de Taylorreeks (2.4) substitueren krijgen we ż = f ( x)z + h.o.t. (2.5) x Het verwaarlozen van de hogere orde termen geeft ons nu een lineair autonoom systeem van eerste-orde differentiaalvergelijkingen. Noem f x ( x) = A Rn n, dan vinden we de dat (2.5) wordt ż = Az. (2.6) In de buurt van de algemene oplossing x vinden we dus het lineaire autonome systeem (2.6). 10

12 Hoofdstuk3 Stabiliteit van (gelineariseerde) autonome systemen Nu we weten wat autonome systemen voorstellen, zullen we nader ingaan op de stabiliteit hiervan. Eerst kijken we naar wat evenwichtspunten zijn. Vervolgens kijken we naar de precieze definitie van de begrippen stabiel, asymptotisch stabiel en instabiel met betrekking tot een autonoom systeem. Dan gaan we nader in op wat stabiliteit betekent voor de gelineariseerde versie van een autonoom systeem. Als laatst geven we een equivalentie tussen de stabiliteit van een lineair autonoom systeem en de eigenwaarden van de bijbehorende n n systeemmatrix A. 3.1 Evenwichtspunten en stabiliteit van autonome systemen Beschouw een autonoom systeem ẋ = f(x). (3.1) Met x R n en f : R n R n (n N). In de meeste gevallen zijn het niet de oplossingen van (3.1) waarin we geïnteresseerd zijn, maar bepaalde kwalitatieve eigenschappen van de oplossingen zodat we een idee krijgen van het gedrag van de oplossingen. Kan de toestandvector x een bepaalde configuratie in R n aannemen, zeg x = ξ waarbij de ξ = (ξ 1,..., ξ n ) en ξ k R voor k = 1, 2,..., n en tevens waarvoor ξ een oplossing is van (3.1)? Als zo n vector ξ bestaat noemen we dit een evenwichtspunt, voor deze vector geldt dat ξ = f(ξ) = 0. De formele definitie van een evenwichtspunt Definitie 3.1 (Evenwichtspunt). In een autonoom systeem, ẋ = f(x), met toestandvector x R n en functie f : R n R n, noemen we een (constante) vector x R n een evenwichtspunt als geldt f( x) = 0. Wat gebeurt er nu als de oplossing in de buurt van een evenwichtspunt komt. Zal de oplossing er voor de rest van de tijd bij in de buurt blijven, convergeert hij zelfs naar het evenwichtspunt of divergeert er tenminste een deel van de oplossing altijd weg van het evenwichtspunt. Respectievelijk legt dit intuïtief de begrippen stabiel, asymptotisch stabiel en instabiel uit. Formeel 11

13 Definitie 3.2 (Stabiliteit). Beschouw een autonoom systeem, ẋ = f(x), met toestandvector x R n en functie f : R n R n. Laat verder de beginvoorwaarde x(0) = x 0 gegeven zijn en noteer de oplossing op tijdstip t als x(t) x0. Als tenslotte x een evenwichtspunt is en. een norm, dan noemen we x stabiel als er voor alle ɛ > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat x 0 x < δ x(t) x0 x < ɛ, t 0. x asymptotisch stabiel als x stabiel is en bovendien geldt dat er een δ 1 > 0 bestaat zodat x instabiel als x niet stabiel is. x 0 x < δ 1 lim t x(t) x0 x = 0. In de meeste gevallen wordt de Euclidische norm gebruikt. Om na te gaan wat voor stabiliteitsgedrag een evenwichtspunt vertoond, moet deze natuurlijk wel eerst gevonden worden, oftewel vind een vector x R n zodat f( x) = 0. Voor alle systemen van de vorm (3.1) kunnen we echter niet een gemeenschappelijk evenwichtspunt aanwijzen, dit komt omdat de functie f : R n R n te algemeen is. In het gelineariseerde geval is dit gelukkig wel te doen. 3.2 Stabiliteit van gelineariseerde autonome systemen Bekijk nu een systeem van de volgende vorm ẋ = Ax. (3.2) Waarbij wederom x R n (n N) de toestandsvector voorstelt en A R n n de systeemmatrix. Vrijwel meteen is op te merken dat x = 0 R n altijd een evenwichtspunt is van een systeem die de vorm (3.2) heeft (niet noodzakelijkerwijs de enige, als er afhankelijkheid is in de rijen van de matrix A, ofwel als det(a) = 0, dan zijn er ook andere evenwichtspunten), dit komt omdat in dit geval A x = 0. Per definitie is x = 0 dus een evenwichtspunt. Dit is erg fijn, want nu kunnen we voor alle systemen van de vorm (3.2) praten over de stabiliteit van het evenwichtspunt x = 0. Nu zullen de eigenwaarden van A R n n een rol gaan spelen. Herinner dat een eigenwaarde van de matrix A een scalair λ is zodat geldt λv = Av. Voor een zekere v n \ {0}. Laat I n R n n de identiteitsmatrix zijn. Er volgt dat λ is een eigenwaarde ker(λi n A) {0} det(λi n A) = 0. De laatste vorm heeft een naam Definitie 3.3 (Karakteristiek polynoom). Zij A R n n en laat I n R n n de identiteitsmatrix zijn. Dan is het karakteristiek polynoom van A, p A :, als volgt gedefinieerd p A (λ) := det(λi n A). 12

14 Welbekend is dat als A R n n dan is het aantal eigenwaarden van A gelijk aan n (multipliciteiten meegerekend). Dit volgt uit de Hoofdstelling van de Algebra, Stelling 3.4 (Hoofdstelling van de Algebra). Voor ieder niet-constant polynoom p : is er een λ zodat p(λ) = 0. Bewijzen hiervan zijn te vinden in bijvoorbeeld [1], [2] of [3]. Een belangrijk gevolg hiervan Gevolg 3.5. Een polynoom p : gegeven door p(z) = n k=0 a kz n k (n N) met a 0 0 is te ontbinden in p(z) = a 0 n k=1 (z λ k) met λ k (k = 1, 2,..., n) de nulpunten van p. Omdat de eigenwaarden van een n n matrix A precies de nulpunten van het karakteristiek polynoom p A : zijn en dit polynoom van graad n N is, concluderen we dat matrix A door gevolg 3.5 inderdaad precies n eigenwaarden heeft (multipliciteiten meegerekend). Nu zijn we aanbeland bij de volgende belangrijke stelling die het verband geeft tussen de stabiliteit van het evenwichtspunt x = 0 van een systeem ẋ = Ax en de eigenwaarden van de systeemmatrix A. Stelling 3.6. Gegeven een systeem ẋ = Ax met x R n en A R n n met eigenwaarden λ 1,..., λ n (multipliciteiten meegerekend). Dan is x = 0 asymptotisch stabiel dan en slechts dan als Re(λ k ) < 0, k = 1, 2,..., n. x = 0 stabiel dan en slechts dan als Re(λ k ) 0, k = 1, 2,..., n, en als voor elke eigenwaarde λ k met Re(λ k ) = 0 geldt dat de algebraïsche multipliciteit gelijk is aan de geometrische multipliciteit. x = 0 instabiel dan en slechts dan als Re(λ k ) > 0 voor tenminste één k = 1, 2,..., n, of als er tenminste een λ k is met Re(λ k ) = 0 waarvoor de algebraïsche multipliciteit groter is dan de geometrische multipliciteit. Bewijzen van deze stelling zijn terug te vinden in [4] of [5], hier worden tevens de begrippen algebraïsche en geometrische multipliciteit toegelicht. Deze stelling is exact de reden waarom we willen dat alle eigenwaarden van een systeemmatrix in liggen, dan hebben we namelijk een asymptotisch stabiel lineair autonoom systeem. Of equivalent, we willen dat alle nulpunten van het karakteristieke polynoom van de systeemmatrix in liggen. In het geval dat het karakteristiek polynoom van graad 1 n 4 is kunnen de nulpunten expliciet berekend worden. Echter, als de graad n 5 is dan kunnen de nulpunten in het algemeen niet meer expliciet worden berekend. Een oplossing hiervoor is om met behulp van numerieke methoden zoals Newton-Raphson de nulpunten te benaderen. Een efficiëntere oplossing is om het stabiliteitscriterium van Routh-Hurwitz toe te passen, dit criterium zegt ons niet wat de nulpunten precies zijn maar wel of ze allen in liggen. 13

15 Hoofdstuk4 Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium en de Hurwitz-matrix We gaan in dit hoofdstuk verder in op asymptotische stabiliteit voor gelineariseerde autonome systemen. Hierbij leunen we geheel op stelling 3.6 uit het vorige hoofdstuk. Het bewijs dat in dit hoofdstuk voor het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium wordt gegeven is gebaseerd op [10], het bewijs wordt per sectie opgebouwd. Verder kijken we nog naar wat eigenschappen van de Hurwitz-matrix en leiden een stabiliteitscriterium af voor polynomen met complexe coëfficiënten. 4.1 Stabiele en instabiele polynomen Volgens stelling 3.6 is een gelineariseerd autonoom systeem asymptotisch stabiel in het evenwichtspunt x = 0 dan en slechts dan als alle nulpunten van het karakteristieke polynoom van de systeemmatrix in het open linkerhalfvlak liggen. Dit geeft aanleiding om polynomen die alle nulpunten in het open linkerhalfvlak hebben liggen een naam te geven. Een voor de hand liggende benaming zou zijn een asymptotisch stabiel polynoom. Echter, we zijn slechts geïnteresseerd in twee gevallen. Namelijk het geval dat wel alle nulpunten van een polynoom in het open linkerhalfvlak liggen en het geval dat dit niet zo is. Vandaar de volgende definitie Definitie 4.1 (Stabiel/instabiel polynoom). Een polynoom p : gegeven door p(z) = n k=0 a kz n k (n N) met a k (k = 0, 1,..., n) en a 0 0 noemen we stabiel als alle nulpunten van p in het open linkerhalfvlak liggen, instabiel als p niet stabiel is. Een stabiel polynoom correspondeert dus in feite met het asymptotisch stabiel zijn van een gelineariseerd autonoom systeem en een instabiel polynoom met een stabiel of instabiel gelineariseerd autonoom systeem. 4.2 Even/oneven polynoom In het bewijs van het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium worden een aantal eigenschappen van even en oneven polynomen gebruikt. In deze sectie geven we eerst de definitie van deze polynomen 14

16 en zullen daarna wat eigenschappen afleiden. Even en oneven polynomen zijn als volgt gedefinieerd (denk aan even en oneven functies) Definitie 4.2 (Even/oneven polynoom). Een polynoom p : noemen we even als p(z) = p( z) voor alle z, oneven als p(z) = p( z) voor alle z. Merk op, omdat een polynoom een uitdrukking is waarin slechts optelling en vermenigvuldiging eindig vaak voorkomen, kunnen we heel precies zeggen hoe een even (of oneven) polynoom eruit moet zien. Een even polynoom kan namelijk uitsluitend even machten in de gebruikte variabele hebben en oneven polynomen slechts oneven machten. Er geldt (z 2 ) n = (( z) 2 ) n en z(z 2 ) n = ( z)(( z) 2 ) n voor alle z en n N {0}. De machten komen lineair voor in een polynoom, een direct gevolg is dus Gevolg 4.3. Zij p : een polynoom, dan is p(z) even dan en slechts dan als deze te schrijven is als p(z) = q(z 2 ) voor een polynoom q :, p(z) oneven dan en slechts dan als deze te schrijven is als p(z) = zr(z 2 ) voor een polynoom r :. Nu volgen een paar belangrijke eigenschappen van even en oneven polynomen die in het bewijs van het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium een belangrijke rol spelen. Lemma 4.4. (1) Ieder willekeurig polynoom p : van graad n N kan worden geschreven als som van een even en oneven polynoom, (2) Voor een even polynoom p : met reële coëfficiënten geldt: p(iy) R, y R, (3) Voor een oneven polynoom p : met reële coëfficiënten geldt: p(iy) ir, y R. Bewijs. De bewijzen gaan als volgt: (1) Er zijn twee situaties mogelijk, n is even of oneven. (a) Stel dat n even is en n/2 = m N en p(z) = n k=0 a kz n k, uit gevolg 4.3 volgt dat er polynomen r, q : zijn zodat m m p(z) = a 2k (z 2 ) m k + z a 2k 1 (z 2 ) m k k=0 = r(z 2 ) + zq(z 2 ). (b) Stel dat n oneven is en (n 1)/2 = m N {0}, stel weer p(z) = n k=0 a kz n k. Er zijn polynomen r, q : zodat k=0 k=1 m m p(z) = a 2k+1 (z 2 ) m k + z a 2k (z 2 ) m k = r(z 2 ) + zq(z 2 ). Voor beide gevallen zien we dat p de som is van een even en oneven polynoom. 15 k=0

17 (2) Er is een polynoom q : zodat het even polynoom te schrijven is als p(z) = q(z 2 ). Neem een y R willekeurig, dan is p(iy) = q( y 2 ). Omdat volgens de aanname p(z) reële coëfficiënten heeft moet q(z) dat ook hebben, dus p(iy) = q( y 2 ) R. (3) Er is een polynoom r : zodat het oneven polynoom te schrijven is als p(z) = zr(z 2 ). Neem een y R willekeurig. Omdat r(z 2 ) even is en reële coëfficiënten moet hebben volgt uit (2) dat r( y 2 ) R. Dus p(iy) = iyr( y 2 ) ir. Met behulp van deze eigenschappen zal in de volgende sectie een opmerkelijke eigenschap gevonden worden voor een speciale familie van polynomen. 4.3 Bijzondere eigenschap van een familie van polynomen Het cruciale deel van het bewijs van Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium wordt in deze sectie behandeld. Het betreft een familie van polynomen met een erg speciale eigenschap. Deze eigenschap berust op volgende lemma Lemma 4.5. Zij p : een polynoom van graad n N >1 gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Schrijf p(z) = p even (z) + p oneven (z) (het even polynoom plus het oneven polynoom van p wat kan wegens lemma 4.4), laat verder y R. Dan zijn equivalent (1) iy is een nulpunt van p van tenminste multipliciteit k, (2) iy is een nulpunt van p even en p oneven van tenminste multipliciteit k. Bewijs. Schrijf p uit in zijn even en oneven deel p(z) = p even (z) + p oneven (z) Stel nu dat iy een nulpunt is van p. Lemma 4.4 zegt ons dat p even (iy) R en p oneven (iy) ir. Dus p(iy) = 0 p even (iy) + p oneven (iy) = 0 p even (iy) = 0 en p oneven (iy) = 0. Nu resteert nog de multipliciteit van het nulpunt iy. Onderscheid twee gevallen: Als iy = 0 een nulpunt is van p, zeg van tenminste multipliciteit k, dan is p te schrijven als p(z) = p 0 z n + p 1 z n p n k z k Als we weer schrijven p(z) = p even (z) + p oneven (z) is het duidelijk dat 0 een nulpunt van tenminste multipliciteit k is dan en slechts dan als 0 bij zowel p even (z) als p oneven (z) ook een nulpunt van tenminste multipliciteit k is. Als iy 0. De polynomen p, p even en p oneven hebben reële coëfficiënten. Nu is iy = iy ook een nulpunt van p want p(iy) = n p k (iy) n k = k=0 16 n p k (iy) n k = 0 = 0 k=0

18 Hierbij is het cruciaal dat p k = p k (k = 0, 1,..., n) wat hier het geval is omdat alle coëfficiënten reeël zijn. Nu is (z iy)(z + iy) = z 2 + y 2 dus een factor van p. Omdat p(z) = p even (z) + p oneven (z) volgt dat z 2 + y 2 ook een factor is van het even en oneven polynoom. Het polynoom p(z)/(z 2 + y 2 ) heeft wederom reële coëfficiënten, en dus het even en oneven deel hiervan ook. Hierdoor kunnen we voorgaande iteratief toepassen. Stel nu dat iy een nulpunt van p is met een multipliciteit van tenminste k, dan iy ook, en is (z 2 + y 2 ) k een factor van p, p even en p oneven. Dus kunnen we concluderen dat iy ook een nulpunt van tenminste multipliciteit k is van p even en p oneven. Omgekeerd geldt dit ook, als iy een nulpunt van tenminste multipliciteit k is van p even en p oneven, dan iy ook want, p even en p oneven hebben reële coëfficiënten. Er volgt dat (z 2 + y 2 ) k een factor is van p even en p oneven en dus ook van p, wat impliceert dat iy een nulpunt is van p van tenminste multipliciteit k. Stel we hebben een polynoom p : van graad n N >1 gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Vervolgens wordt de volgende familie van polynomen geïntroduceerd. Voor α R, definieer R α : gegeven door R α (z) := p(z) α(p 1 z n + p 3 z n ). Dit kunnen we herschrijven als { p(z) αzponeven (z) als n even R α (z) = p(z) αzp even (z) als n oneven Stel eens dat n even is, dan is R α te schrijven als (substitueer p(z) = p even (z) + p oneven (z)) R α (z) = [p even (z) αzp oneven (z)] + p oneven (z) Als nu y R, merk dan op dat p even (iy) αiyp oneven (iy) R en p oneven (iy) ir. Dus is iy een nulpunt van R α (z) dan en slechts dan als iy een nulpunt is van zowel p even (z) αzp oneven (z) als p oneven (z) dan en slechts dan als iy een nulpunt is van zowel p even (z) als van p oneven (z). Merk op dat dit klopt voor alle α R. De multipliciteit gaat op dezelfde manier als in het bewijs van lemma 4.5. Als n oneven blijft dit hierboven waar, om dit te zien schrijf dan R α (z) = [p oneven (z) αzp even (z)] + p even (z) Als gevolg vinden we dan de volgende fraaie eigenschap voor de familie {R α } α R. Gevolg 4.6. Zij p : een polynoom van graad n N >1 gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Schrijf p(z) = p even (z) + p oneven (z), het even polynoom plus het oneven polynoom van p. Definieer voor α R de familie polynomen R α : gegeven door { p(z) αzponeven (z) als n even R α (z) = p(z) αzp even (z) als n oneven Zij y R. Dan zijn equivalent (1) iy is een nulpunt van R α (z) van tenminste multipliciteit k, (2) iy is een nulpunt van p even (z) en p oneven (z) van tenminste multipliciteit k. Deze eigenschap van {R α } α R is zoals eerder gezegd het cruciale deel in het bewijs van het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium zoals zal blijken in de volgende sectie. 17

19 4.4 Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium Het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium is niets meer dan een equivalentie tussen een stabiel polynoom p : van graad n N >1 met reële coëfficiënten en een ander stabiel polynoom q : van graad n 1, ook met reële coëfficiënten. Als dit criterium met inductie wordt toegepast dan volgt een equivalentie tussen een stabiel polynoom p van graad n met een stabiel polynoom van graad 1, waarvan bekend is dat deze stabiel is dan en slechts dan als de twee reële coëfficiënten hetzelfde teken hebben. Het criterium kan op de volgende manier worden verwoord. Stelling 4.7 (Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium). Zij p : een polynoom van graad n N >1 gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Equivalent zijn (1) het polynoom p van graad n is stabiel. (2) sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ) en het polynoom q : van graad n 1 (met reële coëfficiënten) gegeven door q(z) = p(z) p 0 p 1 (p 1 z n + p 3 z n 2 + p 5 z n ). is stabiel. Bewijs. We beginnen het bewijs met de claim dat zowel (1) als (2) impliceert dat sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ). Dit is zeker zo bij (2) omdat het aangenomen wordt. Het volgt ook uit (1), want stel λ 1,..., λ n zijn de nulpunten van p, dan geldt wegens gevolg 3.5: p(z)/p 0 = n j=1 (z λ j) = z n (λ λ n )z n We zien p 1 p 0 = n λ j. Omdat bij (1) aangenomen wordt dat Re(λ j ) < 0 (j = 1,..., n) volgt dat sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ) 0 (p 1 /p 0 is goed gedefinieerd door de aanname p 0 0). Als we schrijven p(z) = p even (z) + p oneven (z), definieer dan voor α R de familie polynomen R α : gegeven door { p(z) αzponeven (z) als n even R α (z) = p(z) αzp even (z) als n oneven. Merk op: R 0 (z) = p(z) en R p0/p 1 (z) = q(z) met p 0 /p 1 R >0. Uit gevolg 4.6 volgt nu dat zowel p even als p oneven precies dezelfde puur imaginaire nulpunten heeft als R α voor alle α R. Dus p en R α hebben precies dezelfde puur imaginaire nulpunten voor alle α R. Schrijf nu R α als j=1 R α (z) = I(z)T α (z). Waarbij I : een polynoom is met alle puur imaginaire nulpunten van R α. Voor α R is T α : de familie polynomen die de overige nulpunten van R α heeft. Dus T α heeft voor alle α R geen puur imaginaire nulpunten. Neem nu aan dat p stabiel is. Als α van 0 naar p 0 /p 1 stijgt dan kunnen er geen nulpunten van R α van halfvlak wisselen. Met andere woorden, alle nulpunten van R α blijven in het open 18

20 linkerhalfvlak voor alle waarden van α R, want R 0 (z) = p(z) is een stabiel polynoom. Echter als α van 0 naar p 0 /p 1 stijgt, dan daalt R α van graad n naar graad n 1. Eén nulpunt verdwijnt dus als het ware, de vraag is waarheen. Schrijf R α uit als volgt R α (z) = (p 0 αp 1 )z n + p 1 z n Als α = p 0 /p 1 dan verdwijnt de hoogste macht van het polynoom R α en daarmee één nulpunt. Om iets over dit nulpunt te zeggen kijken we naar zijn asymptotische gedrag. Als α van 0 naar p 0 /p 1 stijgt wordt de coëfficiënt voor de hoogste macht erg klein. Om het asymptotische gedrag te bestuderen moet z (de modulus) zo groot zijn zodat we de bijdrage van de kopcoëfficiënt kunnen waarnemen. Tegelijkertijd, als z groot wordt zullen de relatieve bijdragen van de lagere machten afnemen en gaan er n 1 nulpunten naar 0. Anders gezegd, de bijdrage van het nulpunt dat verdwijnt wordt zo groot ten opzichte van de andere n 1 nulpunten dat deze laatsten naar 0 gaan. Dus als z erg groot dan geldt R α (z) (p 0 αp 1 )z n + p 1 z n 1 = z n 1 ((p 0 αp 1 )z + p 1 ). Dit laatste polynoom heeft nulpunten µ 1 = µ 2 =... = µ n 1 = 0 en nulpunt µ n = p 1 /(p 0 αp 1 ). De n 1 nulpunten µ 1 = µ 2 =... = µ n 1 = 0 corresponderen hier dus met de relatief kleine oplossingen van R p0/p 1 (z) = q(z) = 0. Het nulpunt µ n is precies diegene die we verliezen als p(z) = R 0 (z) R p0/p 1 (z) = q(z) gaat. Uit sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ) en 0 < α < p 0 /p 1 volgt dat αp 1 < p 0 als p 0, p 1 > 0 en αp 1 > p 0 als p 0, p 1 < 0. We zien dat sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ) en 0 < α < p 0 /p 1 dan en slechts dan als sgn(p 1 ) = sgn(p 0 αp 1 ). Gebruikmakende hiervan zien we dat als α naar p 0 /p 1 stijgt dan µ n lim αp 0/p 1 p 1 p 0 αp 1 =. We hebben nu bewezen dat p stabiel is dan en slechts dan q stabiel is en µ n, wat weer geldt dan en slechts dan als q stabiel is en sgn(p 1 ) = sgn(p 0 αp 1 ). Voorafgaande geldt weer dan en slechts dan als q stabiel is en sgn(p 0 ) = sgn(p 1 ). Hiermee is het Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium bewezen. Als we nu, zoals eerder genoemd, herhaaldelijk deze stelling toepassen krijgen we de volgende equivalentie die bekend staat als de Routh-Hurwitz test. Omdat de nulpunten van een polynoom p dezelfde zijn als die van p kunnen we zonder verlies van algemeenheid stellen dat de kopcoëfficiënt groter dan nul is. Gevolg 4.8 (Routh-Hurwitz test). Zij p : een polynoom van graad n N gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 > 0. Equivalent zijn (1) het polynoom p is stabiel. (2) alle elementen in de eerste kolom van de Routh tabel zijn groter dan nul. De Routh tabel wordt gegeven door r 1,1 r 1,2 r 1,3 r 1,4 r 1,5 r 2,1 r 2,2 r 2,3 r 2,4 r 2,5 r 3,1 r 3,2 r 3,3 r 3,4 r 4,1 r 4,2 r 4,3 r 4,4.... r n+1,1 19

21 De eerste rij wordt gegeven door { p2m 2 als p r 1,m = 2m 2 is gedefinieerd 0 als p 2m 2 niet is gedefinieerd, m N. De tweede rij wordt gegeven door { p2m 1 als p r 2,m = 2m 1 is gedefinieerd 0 als p 2m 1 niet is gedefinieerd, m N. Deze tabel heeft in totaal n + 1 rijen, de overige rijen worden recursief gegeven door r k,m = 1 r k 1,1 r k 2,1 r k 2,m+1 r k 1,1 r k 1,m+1, k {3, 4,..., n + 1}, m N. Deze test werkt voor de meeste polynomen met reële coëfficiënten, stabiel of instabiel. Er zijn echter gevallen waarvoor deze test niet uitvoerbaar is, bijvoorbeeld voor een instabiel polynoom p : van graad n N gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 0, maar p 1 = 0. We zien meteen dat we voor dit soort polynomen de Routh tabel niet kunnen maken (3 de rij in Routh tabel kan niet gemaakt worden). Er zijn uitbreidingen mogelijk voor dit soort polynomen, bijvoorbeeld in [10]. Hier wordt een manier gegeven om voor ieder polynoom met reële coëfficiënten het aantal nulpunten in het open linkerhalfvlak, op de imaginaire as en in het open rechterhalfvlak te bepalen. Merk verder nog op dat als de Routh tabel wel te maken is voor een instabiel polynoom, dan is het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom van de Routh tabel gelijk aan het aantal nulpunten in het open rechterhalfvlak (dit volgt uit het laatste deel van het bewijs van stelling 4.7). 4.5 Hurwitz-matrix Nu zijn we in staat om de Routh tabel te maken waaraan we kunnen zien of een polynoom met reële coëfficiënten wel of niet stabiel is. We moeten dan namelijk controleren of de elementen in de eerste kolom wel of niet allemaal hetzelfde teken hebben. Echter, als de graad n N van het polynoom groot is dan komen er in de Routh tabel erg veel rijen en kolommen te staan terwijl we nog steeds alleen maar in de eerste kolom geïnteresseerd zijn. In dit soort situaties zou het handig zijn als we een algoritme zouden hebben dat alleen die waarden uitrekent die ertoe doen, dus meteen een soort eerste kolom van de Routh tabel berekent zonder daarbij meerdere kolommen te maken. Zo n algoritme bestaat, waarbij te de te bepalen elementen worden gerepresenteerd door de leidende hoofdminoren van de zogenaamde Hurwitz-matrix. Definitie 4.9 (Hurwitz-matrix en Hurwitz determinanten). Zij p : een polynoom gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k (n N) met p k R (k = 0, 1,..., n) met p 0 0. Dan noemen we de n n matrix p 1 p 3 p 5 p 7 p p 0 p 2 p 4 p 6 p p 1 p 3 p 5 p H(p) = 0 p 0 p 2 p 4 p p 1 p 3 p p n 8 p n 6 p n 4 p n 2 p n 20

22 de Hurwitz-matrix. De j de (j = 1, 2,..., n) Hurwitz determinant, j (p), is de j de leidende hoofdminor van H(p). Dus gegeven een polynoom p : van graad n met reële coëfficiënten, dan is 1 (p) = p 1, 2 (p) = p 1 p 3 p 0 p 2,..., n(p) = H(p). Als p een stabiel polynoom is, dan kunnen we zonder verlies van algemeenheid veronderstellen dat p 0 > 0. Door gevolg 4.8 weten we nu p 1 = 1 (p) > 0. In zekere zin kunnen de tekens van de eerste kolom van de Routh tabel gerepresenteerd worden door de tekens van de Hurwitz determinanten. Om dit in te zien leiden we een algemene formule af voor de Hurwitz-determinanten. Bekend is dat een determinant van een matrix onveranderd blijft na vegen, het doel is om nu de Hurwitz-matrix H(p) zo te vegen dat het een bovendriehoeksmatrix wordt en we de elementen van de eerste kolom van de Routh tabel erin herkennen. Als we nu aannemen dat p een stabiel polynoom is, dan zijn de elementen in de eerste kolom van de Routh tabel ongelijk aan nul zodat we door deze elementen mogen delen. Veeg de Hurwitzmatrix op de volgende manier. Ten eerste, neem het verschil van de rijen 2, 4, 6,... met p 0 /p 1 (p 1 0) keer de rijen 1, 3, 5,.... Dan is het resultaat p 1 p 3 p 5 p 7 p r 3,1 r 3,2 r 3,3 r 3, p 1 p 3 p 5 p r 3,1 r 3,2 r 3, p 1 p 3 p Nu is 2 (p) = p 1 r 3,1. De volgende stap is om het verschil van de rijen 3, 5, 7,... met p 1 /r 3,1 (r 3,1 0) keer de rijen 2, 4, 6,.... Nu krijgen we de matrix p 1 p 3 p 5 p 7 p r 3,1 r 3,2 r 3,3 r 3, r 4,1 r 4,2 r 4, r 3,1 r 3,2 r 3, r 4,1 r 4, Hieruit volgt 3 (p) = p 1 r 3,1 r 4,1. Itereer dit proces, neem het verschil van de rijen 4, 6, 8,... met r 3,1 /r 4,1 (r 4,1 0) keer de rijen 3, 5, 7,.... Dan krijg je p 1 p 3 p 5 p 7 p r 3,1 r 3,2 r 3,3 r 3, r 4,1 r 4,2 r 4, r 5,1 r 5, r 4,1 r 4, Dus er volgt 4 (p) = p 1 r 3,1 r 4,1 r 5,1. Dit itereerproces is eindig omdat de graad van het polynoom, n, eindig is. We gaan door met het vegen op bovenstaande manier totdat de gehele Hurwitz-matrix een bovendriehoeksmatrix 21

23 is. In het algemeen vinden we dan dat m m (p) = p 1 r i+1,1, m = 2, 3,..., n. i=2 De volgende stelling geeft het verband tussen de Routh tabel en de Hurwitz determinanten. Stelling Zij p(z) = n k=0 p kz n k (n N) een polynoom met p k R (k = 0, 1,..., n) en p 0 > 0, dan is equivalent (1) p(z) is stabiel. (2) j (p) > 0 voor j = 1, 2,..., n. Bewijs. Aangetoond is dat m (p) = p 1 m i=2 r i+1,1 voor m = 2, 3..., n. Neem aan dat het polynoom p van graad n N stabiel is en reële coëfficiënten heeft met p 0 > 0, dan volgt uit gevolg 4.8 dat p 1, r 3,1,..., r n+1,1 > 0, dit zijn de elementen uit de eerste kolom van de Routh tabel. Nu volgt meteen 1 (p) = p 1 > 0, en ook m (p) = p 1 m i=2 r i+1,1 > 0 voor m = 2, 3,..., n omdat p 1, r 3,1,..., r n+1,1 > 0. Neem anderzijds aan dat j (p) > 0 voor j = 1, 2,..., n, dan volgt wederom meteen p 1 = 1 (p) > 0. Merk verder op dat geldt r m+1,1 = m (p)/ m 1 (p) > 0 voor m = 2, 3,..., n. Omdat ook p 0 > 0 volgt uit gevolg 4.8 dat p een stabiel polynoom is. De Hurwitz-matrix kunnen we meteen invullen als er een polynoom gegeven is, terwijl bij de Routh tabel ten eerste meer elementen berekend moeten worden en ten tweede steeds eerst geheel de vorige rij bekend moet zijn om verder te gaan. Wel zijn de elementen in de Routh tabel veel sneller uit te rekenen, terwijl de Hurwitz determinanten meer tijd kosten om te berekenen. 4.6 Stabiliteitscriterium voor algemene polynomen Wat er tot nu toe bereikt is in dit hoofdstuk is een stabiliteitscriterium voor polynomen met reële coëfficiënten, maar wat doen we als een polynoom complexe coëfficiënten heeft? Hiervoor zijn meerdere oplossingen bekend, zie [6], [8] en [12]. Stel dat we een polynoom p : hebben van graad n gegeven door p(z) = n k=0 a kz n k (n N) met a 0 0 en a k voor k = 0, 1,..., n. Het doel is om een stabiliteitscriterium te vinden dat antwoord geeft op de vraag of het polynoom p stabiel is. Met andere woorden, zij λ 1,..., λ n de nulpunten (multipliciteiten meegerekend) van ons complexwaardige polynoom, wanneer geldt dat Re(λ j ) < 0 voor j = 1, 2,..., n? Een methode om dit probleem op te lossen is om een nieuw polynoom q : van graad 2n te construeren die als nulpunten λ 1,..., λ n, λ 1,..., λ n heeft. Zie figuur 4.1 in het geval dat deg(p) = 4. Een polynoom q : die hieraan voldoet wordt gegeven door q(z) := p(z)p(z) (ook zijn de coëfficiënten van q reeël), hiermee komen we tot de volgende stelling Stelling Een polynoom p(z) = n k=0 a kz n k van graad n N met a 0 0 en a k is stabiel dan en slechts dan als het polynoom q(z) := p(z)p(z) stabiel is. Tevens zijn alle coëfficiënten van q(z) reeël. 22

24 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4, λ 4 λ 3 λ 2 λ 1 Figuur 4.1: Nulpunten van een polynoom q : in het geval dat deg(p) = 4. Bewijs. Neem aan dat alle nulpunten van p(z), λ 1,..., λ n, in liggen. Volgens gevolg 3.5 is p(z) te schrijven als p(z) = a 0 n j=1 (z λ j), dan volgt p(z) = a 0 n j=1 n (z λ j ), p(z) = a 0 (z λ j ). De n nulpunten p(z) zijn daarom λ 1,..., λ n. De nulpunten van q(z) zijn dan λ 1, λ 1,..., λ n, λ n. Omdat voor alle w geldt dat Re(w) = Re(w) zien we dat Re(λ j ) < 0 dan en slechts dan als Re(λ j ) < 0. Met andere woorden, alle nulpunten van q(z) liggen in en dus is q(z) een stabiel polynoom. Anderzijds is triviaal. Als alle 2n nulpunten van q(z) in liggen dan ook die van p(z). Dit is namelijk een polynoom die n nulpunten gemeenschappelijk met q(z) heeft. p(z) is stabiel ongeacht welke n nulpunten hij gemeenschappelijk heeft met q(z), want deze liggen volgens de aanname sowieso al in. Er resteert ons nog te bewijzen dat alle coëfficiënten van q(z) reeël zijn. We weten dat p(z) te n schrijven is als p(z) = a 0 j=1 (z λ n j) en p(z) als p(z) = a 0 j=1 (z λ j). Dus is q(z) te schrijven als n n q(z) := p(z)p(z) = a 0 a 0 (z λ j )(z λ j ) = a 0 2 (z 2 (λ j + λ j )z + λ j 2 ). j=1 Hier is. de modulus. Voor alle w kan w = x + iy met x, y R geschreven worden en dus w + w = 2x = 2Re(w), er volgt q(z) = a 0 2 n j=1 j=1 j=1 (z 2 2Re(λ j )z + λ j 2 ). Per definitie is de modulus een reeël getal, evenals het reële deel van een complex getal. Alle coëfficiënten van q(z) worden verkregen door middel van vermenigvuldiging en optelling van reële getallen en zijn dus wederom reeël (R is een lichaam). We concluderen dat het polynoom q(z) reële coëfficiënten heeft. Uit deze stelling volgt een methode om na te gaan wanneer een polynoom met complexe coëfficiënten stabiel is. Een polynoom complexe coëfficiënten p(z) is namelijk stabiel dan en 23

25 slechts dan als het polynoom q(z) := p(z)p(z) stabiel is. Omdat q(z) reële coëfficiënten heeft, kunnen we met de reeds bekende Routh tabel of Hurwitz-matrix nagaan of q(z) stabiel is (en dus of p(z) stabiel is). Het bepalen van de reële coëfficiënten van q(z) gegeven een polynoom p(z) met complexe coëfficiënten a k kan als volgt, stel polynoom q(z) heeft coëfficiënten q j (j = 0, 1,..., 2n) en deze willen we uitdrukken in termen van a k en a k (k = 0, 1,..., n). Introduceer m = k + l, dan q(z) = = = = 2n j=0 n q j z 2n k k=0 l=0 n k+n n a k a l z 2n k l k=0 m=k min(m,n) 2n a k a m k z 2n m m=0 k=max(m n,0) a k a m k z 2n m. De stap waar van sommatievolgorde gewisseld wordt is duidelijk aan de hand van de volgende figuur n k(m) = min(m, n) k k(m) = max(m n, 0) 0 n m 2n Figuur 4.2: Verwisselen van sommatievolgorde over de puntverzameling. We concluderen dat de reële coëfficiënten q j (k = 0, 1,..., 2n) gegeven worden door q j = min(j,n) k=max(j n,0) a k a j k, j {0, 1,..., 2n}. Het hoofdstuk wordt beëindigd met een algoritme dat gebruikt kan worden om na te gaan of een polynoom stabiel is. 24

26 Stabiliteitscriterium 4.12 (Stabiliteit van een polynoom). Bepalen of p(z) = n k=0 p kz n k van graad n N met p 0 0 stabiel is. 1. Als p k R voor alle k = 0, 1,..., n, construeer hiermee de Routh tabel of Hurwitz-matrix. 2. Als p k / R voor tenminste één k = 0, 1,..., n. Bereken q j = min(j,n) k=max(j n,0) p kp j k voor j = 0, 1,..., 2n. Pas 1. toe op het polynoom q(z) = 2n j=0 q jz 2n k. Dit algoritme is geïmplementeerd in Matlab, zowel met behulp van de Routh-Hurwitz test (gevolg 4.8) als met de equivalentie die gebruik maakt van de Hurwitz-matrix (stelling 4.10). Dit is terug te vinden in hoodstuk 8. 25

27 Hoofdstuk5 Möbius-transformaties en de productregel voor polynomen Nu is bekend dat de Routh tabel (of de Hurwitz-matrix) gebruikt kan worden om na te gaan of alle eigenwaarden van een gelineariseerd autonoom systeem wel of niet allen in liggen. In dit bachelorproject is het de bedoeling om voor andere gebieden in het complexe vlak een soortgelijk resultaat te vinden. Anders geformuleerd, stel we hebben een gebied U en een gelineariseerd autonoom systeem, kunnen we nu een test vinden die ons vertelt of dit systeem asymptotisch stabiel is ten opzichte van het gebied U? Met dit laatste wordt bedoeld dat alle eigenwaarden van de bijbehorende systeemmatrix in U liggen of equivalent alle nulpunten van het karakteristiek polynoom (van de systeemmatrix) in U liggen. Het basisidee om dit probleem op te lossen is als volgt: vind voor een geschikt gebied U een bepaalde afbeelding f : zodat de volgende eigenschap geldt. Alle nulpunten van een polynoom p : liggen in U dan en slechts dan als alle nulpunten van p f : in liggen. Tevens willen we de Routh test kunnen toepassen op p f, wat dus een polynoom moet zijn. Op deze manier wordt antwoord verkregen op de vraag of alle nulpunten van p in U liggen. Deze oplossingsmethode brengt de volgende vraag met zich mee. Voor wat voor gebieden U is dit mogelijk en wat voor eisen moeten gesteld worden aan de functie f : zodat aan de gewenste eigenschap voldaan wordt? In hoofdstuk 7 meer over de gebieden. Dit hoofdstuk zal nader ingaan op de voorwaarden waaraan de functie f : moet voldoen. Beschouw eerst de effecten van een paar algemene soorten van transformaties (1) f(z) = z + b, met b. Dit stelt een translatie voor, een gebied in het z-vlak wordt verschoven over b. (2) f(z) = e iθ z, met θ R. Dit stelt een rotatie voor, een gebied in het z-vlak wordt geroteerd onder een hoek θ. De oriëntatie is tegen de wijzers van de klok in als θ > 0 en met de wijzers van de klok mee als θ < 0. (3) f(z) = az, met a R >0. Dit stelt of een uitrekking of een inkrimping voor. Als a > 1 dan wordt een gebied in het z-vlak uitgerekt met factor a, als 0 < a < 1 dan wordt een gebied in het z-vlak ingekrimpt met een factor a. 26

28 (4) f(z) = 1/z. Dit stelt een inversie voor. Het effect van deze afbeelding op bijvoorbeeld de complexe eenheidscirkel is het verwisselen van het inwendige met het uitwendige. De rand blijft invariant onder deze afbeelding. In het algemeen is het niet meteen duidelijk wat deze afbeelding voor effect heeft. Deze afbeelding heeft verder nog een pool van orde 1 in het punt z = 0. Een transformatie die zowel transleert als roteert kan geconstrueerd worden door een samenstelling van (1) en (2). Algemener, een transformatie waarin alle vier de typen transformaties verwerkt zijn kan men construeren door samenstellingen van de bovenstaande vier functies te nemen. Deze samenstelling heeft altijd dezelfde vorm, deze vorm noemen we een Möbius-transformatie. Definitie 5.1. Een Möbius-transformatie is een functie f : { } { } van de volgende vorm f(z) = az + b cz + d. Hier zijn a, b, c, d en ad bc 0. Als c = 0, dan is f( ) =. Als c 0, dan is f( d/c) = en f( ) = a/c. Möbius-transformaties zijn bijectieve holomorfe functies op { }. Merk op dat het alleen zin om naar gevallen te kijken waar ad bc 0, anders zou de functie hierboven constant zijn (wat niet als een transformatie beschouwd wordt). Deze transformaties gaan we in hoofdstuk 6 en 7 gebruiken om ons probleem op te lossen. Wel gaan we het punt { } steeds ontwijken, we willen namelijk niet dat een nulpunt λ U van p naar de waarde gestuurd wordt in het polynoom p f of andersom. Dus zal zowel in het domein als codomein het punt { } steeds omzeild worden, wel willen we de bijectieve en holomorfe eigenschappen van de Möbius-transformatie bewaren. 5.1 Möbius-transformaties met a 0, c = 0 en d = 1. Als een opstapje naar Möbius-transformaties bekijken we eerst lineaire transformaties, dit zijn Möbius-transformaties met a 0, c = 0 en d = 1. Omdat c = 0, zouden we f( ) = moeten definiëren om een Möbius-transformatie te krijgen. Echter, als { } weg wordt gelaten in zowel het domein als codomein dan behouden functies f : gegeven door f(z) = az + b met a, b en a 0 de bijectieve en holomorfe eigenschap van de Möbius-transformatie. De volgende stelling zal in hoofdstuk 6 meerdere malen toegepast worden. Stelling 5.2. Zij U open en f : gegeven door f(z) = az + b met a, b en a 0 zodanig dat geldt z f(z) U. Laat p : gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k, (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Dan is p f : een polynoom van graad n N en geldt: p ligt stabiel in U dan en slechts dan als (p f)(z) stabiel is. Bewijs. Het is duidelijk dat (p f)(z) = n k=0 p k(az + b) n k een polynoom is van graad n. Merk verder op dat f(z) bijectief en holomorf is en dat de inverse f 1 : gegeven wordt door f 1 (z) = z b a. Zij λ j de nulpunten van p(z) en µ j de nulpunten van (p f)(z), j = 1, 2,..., n. We zullen vervolgens een relatie tussen de λ j en µ j afleiden, schrijf p(z) = p 0 n j=1 27 (z λ j ).

29 p(z) is zo te schrijven dan en slechts dan als (p f)(z) te schrijven is als n (p f)(z) = p 0 (f(z) λ j ) = p 0 j=1 n a n j=1 ( ) z f 1 (λ j ). Dus nu vinden we de relatie µ j = f 1 (λ j ) en λ j = f(µ j ), dit beschrijft precies wat er met de nulpunten gebeurt. Als λ j U dan, volgens de aanname, µ j = f 1 (λ j ), wat voor alle j = 1, 2,..., n geldt. Omgekeerd als µ j, dan volgt λ j = f(µ j ) U, voor alle j = 1, 2,..., n. Hiermee is de stelling bewezen. 5.2 Möbius-transformaties met c 0 en ad bc 0 Nu willen we een zelfde soort stelling als in de vorige sectie bewijzen, alleen dan voor andere Möbius-transformaties namelijk met c 0 en ad bc 0. De vraag is hoe we nu moeten omgaan in het domein en codomein met { }. Een ander probleem is dat p f geen polynoom meer is, maar een rationale functie. Om een soortgelijke stelling te formuleren als hiervoor moeten we deze problemen zien te omzeilen. Als eerst kijken we hoe p f aangepast moet worden, wat dus geen polynoom is. Wel is het te schrijven als een rationale functie en wel als volgt, stel dat p(z) = n k=0 p kz n k met p k, (k = 0, 1,..., n) en p 0 0, dan is (p f)(z) = n k=0 ( az + b ) n k n p k = k=0 p k(az + b) n k (cz + d) k cz + d (cz + d) n. (5.1) We willen dat f het deel op U afbeeldt en f 1 juist andersom. Neem aan dat d/c / en a/c / U, dan hebben in zowel het domein als codomein geen last meer van { }. Verder vormt (cz + d) n (p f)(z) een niet-constant polynoom. Een soortgelijke stelling als 5.2 wordt nu Stelling 5.3. Zij U open en f : gegeven door f(z) = (az + b)/(cz + d) met c 0 en ad bc 0. Laat p : gegeven door p(z) = n k=0 p kz n k met p k, (k = 0, 1,..., n) en p 0 0. Tevens geldt d/c /, a/c / U en z f(z) U. Dan is g : gegeven door g(z) = (cz + d) n (p f)(z) een polynoom van graad n N en geldt: p ligt stabiel in U dan en slechts dan als g(z) stabiel is. Bewijs. Uit (5.1) volgt dat g(z) een polynoom van graad n is. Merk op dat f(z) goed gedefinieerd is voor alle punten in behalve d/c. De inverse f 1 : gegeven wordt door f 1 (z) = dz b cz a. Een goed gedefinieerde functie voor alle punten in behalve a/c. Zij λ j de nulpunten van p(z) en µ j de nulpunten van (p f)(z), j = 1, 2,..., n. Schrijf p(z) = p 0 n j=1 28 (z λ j ).

30 p(z) is zo te schrijven dan en slechts dan als (p f)(z) te schrijven is als n (p f)(z) = p 0 (f(z) λ j ). j=1 Dan geldt voor µ j dat n (p f)(µ j ) = p 0 (f(µ j ) λ j ) = 0. j=1 Dus moet gelden f(µ j ) = λ j ofwel µ j = f 1 (λ j ). Omdat λ j a/c (vanwege aanname) kan µ j nooit de waarde oneindig aannemen. Anderzijds λ j = f(µ j ) en µ j d/c (vanwege aanname), dus kan λ j nooit de waarde oneindig aannemen. Met andere woorden, we hebben in zowel het domein als codomein geen last van { }. Dit geldt voor alle j = 1, 2,..., n. Verder volgt uit de aanname dat λ j U dan en slechts dan als µ j. Schrijf p f als n (p f)(z) = (z µ j ). Omdat d/c geen nulpunt is van p f geldt (cz + d) 0 en ook (cz + d) n 0. Beide kanten met deze term vermenigvuldigen verandert niets aan de nulpunten van p f. Dus heeft g(z) = (cz + d) n (p f)(z) dezelfde nulpunten als (p f)(z). We concluderen dat p(z) stabiel is in U dan en slechts dan als g(z) stabiel is. j=1 5.3 Productregel voor polynomen Het laatste stuk van dit hoofdstuk gaat over een productregel voor polynomen. Stel we hebben de gebieden U, U 1, U 2 open en U = U 1 U 2 en we willen bepalen of een polynoom p : alle nulpunten in U heeft liggen. Stel dat we wel Möbius-transformaties hebben van naar U 1 en van naar U 2, maar geen kunnen vinden van naar U. Alle nulpunten van p liggen dan in U dan en slechts dan als alle nulpunten van p zowel in U 1 als U 2 liggen, we kunnen nu de twee Möbius-transformaties gebruiken om nieuwe polynomen q 1 : en q 2 : te maken. Met behulp van de stellingen in dit hoofdstuk kunnen we dan concluderen dat als zowel q 1 en q 2 stabiel zijn dan is p stabiel in U. De productregel zegt dat we net zo goed naar de stabiliteit van het q 1 q 2 kunnen kijken. 29