boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)

Transcriptie

1 boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging 30 0 delen machtsverheffen 40 3 all alle 4 6 allen alle 43 7 neutral neutraal 3 Tellen 5-3 zullen we te noteren zullen we 53-0 verzamelingen verzameling 64 7 f(a b ) = b. f(a b ) = b. We hebben zo een afbeelding g : n m, b a b Propositie 3.4 Propositie graad.) graad. 69 t(x, y) = (x +, y + ) en u(z) = z. t(x, y) = (x, y ) en u(z) = z χ U (a) + χ V (a) χ U (a) + χ V (a) χ U (a)χ V (a) 4 Iteratie 75 9 f n + f n f n + f n (b n+, a n+ + b n+ ) (b n, a n + b n ) 79-6 Omdat hij Omdat 80-5 om wille omwille

2 5 De gehele getallen 85-7 equivalentierelatie een partitie 96 gedefinieerd gedefinieerd door 96 a 0 a 0 = 96 4 nachten machten 99 4 alle G alle g G 99-6 (a + b)c = ac + ba (a + b)c = ac + bc 00,3 ring commutatieve commutatieve ring 00-3 N 4 N N 4 N inductieaaname inductieaanname 07 - opgaven 3 en 4 en opgaven 3 en regenregels rekenregels 6 Talstelsels 0 4 rest a rest r 0 veelvouden met b veelvouden van b te -8 associative associatieve -4 is rij is een rij -6 (En En 5-9 alle n N. alle n N. 5-5 alle n N.) alle n N). 5-4 a N q N 6 g-tallige schrijwijze Laat Laat (6.) (6.) 7 [..., a, a, a 0 ] [..., a, a, a 0 ] g (6.3) 7 9 r g ([..., c, c, c 0 ] g ) = c r g ([..., c, c, c 0 ] g ) = c 0-6 rechtsreeks rechtstreeks 4-3 in in in 5-9 door door door 6 bepalen. bepalen? 6 3 etc. etc.?

3 7 De rationale getallen 9 - n Z n N 3 7 r a r b = r a r b r a r b = r a+b 36-0 = 0 = Het getal d Het gehele getal d 38 4 n a 38-6 yx = yx = ±,±3 ±, ±3 43 U = V = 44-7 r = a m met m N r = a b met b N 47 3 het bewijs van Stelling 7.30 Lemma x, x, x 3,..., x n x, x, x 3,..., x n procédé procedé 8 De hoofdstelling van de rekenkunde 63 - Vermenigvuldigen in N Vermenigvuldigen in N 63-6 p vpa(a)+vp(b) p vp(a)+vp(b) p 66 0 natuurlijk rationaal 66-5 v p (s) v p (a) 69 7 Figuur 8. Figuur f(d d ) f(d d ) 73 0 g( m d ) g( n d ) 73 g( m d ) g( n d ) 77 - (p k )p (p k )p p 3

4 9 Combinaties 8 3 #(A) #(B) #(A) #(B) 90 s = a a + a a 3 + a a 3 + a a 3 + a a 4 + a 3 a 4 s = a a + a a 3 + a a 4 + a a 3 + a a 4 + a 3 a < k < n 0 < k n < ( k < n ) 0 < ( k n ) n n 95 = + n n < k < 0 < k 99 5 n n S m (n) = n m. S m (n) = k m naar n. Voor n = 0 naar m. Voor m = n m+ n m+ n m (S m+ ) (S m+ (n)) 00 S n (m) S m (n) 00-8 n m ( m + j j=0 m ( ) n m + j=0 j ) n j = n j n m ( m + j j=0 m ( ) n m + j=0 j ) k j = 0 7 Ofwel b k = b k+ en Σb k+ = b k. Ofwel b k+ = b k en Σb k = b k machten van machten van n 07-0 Stelling 9.34 Stelling temple Temple 7 5 met geldt geldt k j 0 Permutaties 5 - zijn van van 5-0 de deelverzameling van de deelverzameling A j van 6-4 worden.. worden. 4

5 Modulorekenen 40 = ab ac = = ab + ac = 46 5 vergelijking. vergelijking (.) 46 #(Zm) #(Z m) 47-8 de orde van een deler is de orde een deler is 48 5 getal in N behoeft te zijn zo dat a m 50 getal k in N behoeft te zijn zo dat a k f(a a ) = f(a ) + f(a ) f(a a ) = f(a )f(a ) 5-0 o(a k ) = o m (a k ) = 53 gelijk aan gelijk is aan 53 5 o m (a l ) n o m (a l ) n 53-5 de maximale orde modulo m. de maximale orde modulo m zijn er primitieve er een primitieve 54-6 o n (a) n o n (a) k 56 M = a ϕ(m) N M = a ϕ(m) N. 3 6 Kwadraatresten 59-6 k + + k m k + + k n 60-5 (ii) (i) (ii) (i) 60 - een priemgetal een een priemgetal p een 6 6 ven van priemfactorontbinding de priemfactorontbinding 77 modulo 9 modulo getalen getallen 8 7 x + 3y = p x 3y = p 8 8 x + 3y = p x 3y = p 8-8 is een kwadraat is is een kwadraat 5

6 3 Priemtesten en factorisatie 83 3 het gesteld is het samengesteld is n 84 d > d n d < d 84 3 n pq 85-5 procédé procedé 87 7 priemgetallen heb priemgetallen hebt 87 - of het na of het 88 3,4 namelijk alle even getallen 4 bijvoorbeeld alle producten van twee oneven priemgetallen 88-4,-3 Fermatpseudop-riemgetallen Fermatpseudo-priemgetallen 89 3 a 560 (mod 3), a 560 (mod ) en a 560 (mod 7) a 56 a (mod 3), a 56 a (mod ) en a 56 a (mod 7) 89 4 (ii) (iii) (ii) (iii) 90 5,6 Fermatpseudop-riemgetal Fermatpseudo-priemgetal 90 8,9 Fermatpseudop-riemgetal Fermatpseudo-priemgetal 9 6 pseudopriemgetal Eulerpseudopriemgetal 9 6,7 Eulerpseudop-riemgetal Eulerpseudo-priemgetal 93-5 zonodig zo nodig 94 0 preudopriem- pseudopriem vermoedens vermoeden ) ,0) ,50) ,50,0) ,50) ( ) ,50,0) ( ) (mod F m ) F m 99 6 deler k deler k van n 30 8 niet-tiviale niet-triviale 30 7 verloop van algoritme verloop van het algoritme L >>> p 30 8 >>> p L L L 30-5 factorizeren factoriseren algoritme 3 algoritme L L (l, m, a) (l, m, e) F m 6

7 4 Limieten 3 3 x + bijvoorbeeld niet x + = 0 bijvoorbeeld niet 33 - tiendelinge tiendelige 34 - eeuwen lang eeuwenlang 35 - ɛ ε 36 3 wiksundige wiskundige 30 a n a n+ (resp. a n a n+ ) a n+ a n (resp. a n+ a n ) 30 6 a n a > a m a a n a a m a 30-8 a a i(m) a a n a a i(m ) a a i(m ) a a n a a i(m) 37 - We hebben Omdat a n a m = a na m a m a n. Omdat 37 - a m a n < C ε. a m a n < C ε voor alle m, n K m, n N m, n N 37 7 b n b m < ε C b n b m < ε C voor alle m, n N 37 - max(m, N) max(k, N) 38 0 Cauchrij Cauchyrij 38 a n a m < C. a n a m < C voor alle m, n K v(a + b) v p (a + b) 33 8 een een een 33-3 a a p 33-0 uit uit uit Z (p) p Z (p) p_adic(-3,87,6) p_adic(-3,87,7) [[], [4,0,8,7,,8,]] [[], [, 0, 8, ]] Cauchrij Cauchyrij a N < a n < a N+ a N a n a N Zie opgave 5. Zie opgave 5 van hoofdstuk. 7

8 5 De reële getallen 339 R 0 R > constueren construeren 34 8 rα / Q α / Q α = α = (toegepast op (e a m a n ) (toegepast op (e a m a n )) 346 (a n ) n (a n ) n met a n = n k= Merk op dat er Merk op dat kleinste grootste 348 +α k x n k + + α n +α k x m k + + α m α,..., α n α,..., α m n-de-graads m-de-graads δ > δ > Zij f(x) = x m + α x m + + a k x m k + + α m waarbij α..., α m c k g k Zij f(x) = x m +α x m + +α k x m k + +α m waarbij α,..., α m a = x x 3 a = x x 53 7 (a + b )(a + b ) (a + b )(a + b ) z t z t k!t! t! getallen zijn getallen zijn met < γ n < γ n procédé procedé oneidige oneindige 36-5, , , , ,40..., ,456..., overaftelbere overaftelbare rationale reële k(k+) n(n+) laten Laten U R x f(x) g(x) U R, x f(x) g(x) 8

9 6 De p-adische getallen 37-5 α 0 α = m, n N m, n > N Cauchrij Cauchyrij c n p n c k p k 377 met hebben hebben 379 µ xn µ xn p 380 µ Z µ Z () 38 3 a ω(a) a ω(a) 38-5 n 5 n 38-0 ω(ab) = a b ω(ab) = ω(a)ω(b) voor x Z p en voor Z/p n+ Z/p n Z/p n+ Z/p n+ 385 hieboven hiervoor 387 a 0.Bewijs a 0. Bewijs 7 De complexe getallen n z n n z k n! k! 396 rij rij (γ n ) z S z S φ R ϕ R volgt de functie volgt dat de functie coëfficienten coëfficiënten in 98 in ,3 Berlijn., Berlijn, maximaal minimaal eenheidwortels eenheidswortels 409 homorfime homomorfisme 9

10 8 Kwadratische getallen 4 6 zijn.bij zijn. Bij 43-8 heeft, heeft en niet in K, 43-6 elementen niet-kwadraten 44 K K 44 K(α) K( a) 45 5 postief positief 47 b, c Z b, c Z 40-5 = + = 44 8 a,... a n a,..., a n 46 - alsvolgt als volgt 47 N N 47 - x dy = x 34y = ( q ) ( qm ) 48 8 p p 43 5 aan kwadraat een kwadraat ( 8t 4t t, 7t 40t + 5 ) ( 8t 4t t + 5 7t Figuur 8. Figuur Propositie 8.0 Propositie volgens () volgens (i) Propositie 8.0 Propositie Propositie 8.0 Propositie α, β R α, β R Z Z 437 nemen de als nemen als Propositie 8. Propositie Propositie 8.0 Propositie teits wet teitswet 44 7 t a c a 44-5 voor alle p betekent betekent dat de vergelijking de de vergelijking de, t 40t + 5 ) 7t + 5 0