Bewegingen en Trillingen. Nokkenmechanisme: deel B

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Ingenieurswetenschappen Departement Werktuigkunde Bewegingen en Trillingen Nokkenmechanisme: deel B Groepsnummer 35 Jan-Pieter Jacobs Christophe Mestdag 1

2 Inhoudsopgave 1 Elastisch gedrag Analyse gegevens Single rise case Multi rise case

3 Hoofdstuk 1 Elastisch gedrag Deze tweede opdracht over een nok-volgersysteem gaat over het elastisch gedrag. Deze elasticiteit is het gevolg van de eindige stijfheid van de volger. Dit deel onderzoekt het gedrag voor volgende 3 soorten bewegingswetten: de harmonische hefwet de cycloïdale hefwet de polynomiale hefwet De eerste sectie geeft een snelle analyse van de gegevens. De tweede sectie beschrijft het probleem iets nauwkeuriger en beschouwt de singlerise-case. Dit houdt in dat slechts 1 stijging beschouwd wordt. De laatste sectie handelt over het volledige nokprofiel, dus de multirise-case. De numerieke data voor dit probleem staan in tabel 1.1 β d [ ] β r [ ] h [m] T [s] m [kg] k s [N/m] k f [N/m] c [N s/m] E Tabel 1.1: Numerieke data 1.1 Analyse gegevens Het doel van deze sectie is de toepasbaarheid van de single rise case. De voorwaarde hiervoor is dat de transiënt uitgestorven is voor de volgende rise of return. Deze voorwaarde is te verifiëren 3

4 met de dempingscoëfficient ζ en de ongedempte resonantiefrequentie λ. Conclusies die hieruit volgen: t 1 = β r T = 0.031s (1.1) 360 ω 2 n = k f + k s m = (3326.2rad/s) 2 (1.2) t n = 2π ω n = s (1.3) λ = t 1 t n = (1.4) ζ = c 2mω n = (1.5) ζ is klein: dus de voorwaarde van uitgestorven transiënt is niet noodzakelijk voldaan. Aangezien λ groter is dan 10, is het juist om te stellen dat hoe groter de graad van continuïteit, hoe beter de dynamische respons. λ ζ = 1.66 > 0.75 dus de eenvoudige benadering in vergelijking 1.10 zal vermoedelijk een fout groter 10% hebben. 1.2 Single rise case Deze sectie onderzoekt het effect van een enkele heffing, volgens een cycloïdale hefwet. Het traject ziet eruit als in figuur 1.1 Het is voldoende de trilling te onderzoeken in een tijdsinterval [ t 1 ] (opgave). De responsie van de volger voldoet aan de bewegingsvergelijking de vergelijking 1.6. m ÿ(t) + c ẏ(t) + (k f + k s ) y(t) = k f u(t) (1.6) Omdat Matlab niet over weg kan met 2de-graads differentievergelijkingen, is dit te transformeren naar een stelsel eerste-graads differentievergelijkingen als in vergelijkingen 1.7. { x2 = x 1 (1.7) x 1 = ẏ Dit invullen in vergelijking 1.6 geeft: { x1 = x 2 x 2 = k f +k s m x 1 c m x 2 + k f m u (1.8) In de output van lsim zit ook de snelheid ẏ. Uit (zie figuur 1.2). Controle van de lim t y(t) bevestigt deze conclusies. Formule 1.9 komt uit [1]: A = (x 0 ω d ) 2 + ( x 0 + ζωx 0 ) 2 ωn 2 (1.9) Nokkenmechanisme Pagina 4

5 Figuur 1.1: Heffing volgens cycloïdale hefwet Waarin : ω d = ω n 1 ζ 2 = rad s x 0 = y(t 1 ) h = x 0 = ẏ(t 1 ) = A = A 1 h is een benadering voor exponentiële omhullende van A. Figuur 1.3. Hieruit blijkt ook dat hoe hoger de dempingsconstante ζ is, hoe beter de benadering. De A 1 geïnterpoleerd uit de grafiek bij λ = is In figuur 3 uit de opgave komt een relatieve fout van ɛ A = 10 7 voor, bij onze numerieke waarden is dit iets groter, zijnde Vergelijking 1.10 voorspelt A 1 als: A 1 = Q (2πλ) N (1.10) In sectie 1.1 blijkt dat de benadering uit vergelijking 1.10 een vrij goede is. De waarde die hier voor de beschouwde numerieke waarden uitkomt is Hierbij is de relatieve fout 14.6 % (dit was te verwachten, zie sectie 1.1). Het verloop van de relatieve fout bij een cycloïdale hefwet in functie van λ en ζ is te zien in figuur Multi rise case Deze sectie vergelijkt de verschillende hefwetten, zijnde de harmonische, cycloïdale en polynomiale. Nu echter in de situatie waarbij heffingen en terugkeren elkaar opvolgen; dus zoals nokken in realiteit dienst doen. Matcam genereert de hefwetten in figuur 1.6. Deze vereisen nog een herschaling van h naar h c, en een hersampling. Hieruit volgen dan de maxima in tabel 1.2. Nokkenmechanisme Pagina 5

6 Figuur 1.2: Responsie op cycloïdale hefwet Bewegingswet Max. snelheid [m/s] Max. versnelling [m/s 2 ] Harmonisch Cycloïdaal Polynomiaal Tabel 1.2: Maximale waarden voor verschillende hefwetten Lecture 7 in [1] zegt dat uitdrukkingen 1.11 de snelheid en versnelling benaderen. d n S(t) dt n = L β n ωn s n ( T β ) (1.11) con v = L = 0.04 = 2.35 (1.12) T R 0.18 con a = L T 2 R = ( 34 = (1.13) )2 De amplitudes van de componenten van de ontwikkelde fourierreeks staan in figuur 1.7 Bewegingswet peak v [-] peak a [-] ( peak v) con v [m/s] ( peak a) con a [m/s] Harmonisch Cycloïdaal Polynomiaal Tabel 1.3: Pieksnelheden en -versnellingen. Nokkenmechanisme Pagina 6

7 Figuur 1.3: Dimensieloze amplitude A ifv. dimensieloze tijd λ voor ζ = 0.02 en Formule 22 uit lecture 9 in [1] zegt : k max = λ 1 2ζ 2 λ (1.14) Hieruit volgt dat vooral de coëfficienten rond de eigenwaarde λ = λ 360 β r = 175 een grote invloed hebben. Uit figuur 1.7 blijkt dat de polynomiale hefwet bij deze λ vermoedelijk de beste is. De coëfficiënten rond λ zijn hier namelijk het kleinst. Numerieke simulatie mbv. het lsim-commando levert de volgende resultaten voor de maximale versnelling a max in de 25ste periode: Harmonisch 410 m/s 2 Cycloïdaal m/s 2 Polynomiaal m/s 2 Deze resultaten zouden ook af te lezen op figuur 1.8 en bevestigen dus het vermoeden dat de polynomiale hefwet hier de beste keuze is. Een andere, meer nauwkeurige mogelijkheid om de versnellingen te bekomen is de algemene formule voor vrije respons ( formule 1.9). De x 0 en x 0 hier zijn nu die aan het begin van de dwell van de 25ste periode. Dit tijdstip komt overeen met sample samp 0 : samp 0 = 24 #samples T β d #samples T Deze informatie staat samengevat in tabel 1.4. Hieruit volgt weer dat de polynomiale hefwet de beste is, aangezien de amplitude van de vrije trilling het kleinst is. Nokkenmechanisme Pagina 7

8 Figuur 1.4: Benaderde dimensieloze amplitude A ifv. λ Figuur 1.5: Relatieve fout van de voorspelling voor de cycloïdale hefwet Nokkenmechanisme Pagina 8

9 Figuur 1.6: Harmonische, cycloïdale en polynomiale hefwet Hefwet x 0 [m] x 0 [m/s] A 1 = A/h [-] Harmonisch Cycloïdaal Polynomiaal Tabel 1.4: Beginvoorwaarden en amplitudes voor verschillende hefwetten Hefwet A 1 benaderd [-] A 1 [-] iδa 1 [%] Harmonisch Cycloïdaal Polynomiaal Tabel 1.5: Fout op de benadering van A 1. Nokkenmechanisme Pagina 9

10 Figuur 1.7: Amplitude van het frequentiespectrum van de responsie. De berekening van de amplitude kan ook via de benadering in formule De vergelijking van deze benadering en de exacte oplossing staan in tabel 1.5. De benaderingen blijken allen zeer slecht, blijkt toch de beste. De vereiste veerkracht om het contact tussen kam en volger te behouden volgt uit de 2de wet van Newton: F m in = m a = 16kg m = 14kN (1.15) s2 De meest negatieve versnelling die opgevangen moet worden wordt bereikt op tijdstip Op dit punt is de verplaatsing m. Hieruit volgt dan dat de veerconstante gelijk is aan k = N/m. Nokkenmechanisme Pagina 10

11 Figuur 1.8: Responsie op verschillende hefwetten. Nokkenmechanisme Pagina 11

12 Bibliografie [1] J. De Schutter. Beweging en trillingen, Deel1: Begewing. Cursusdienst VTK vzw., , 6, 7 12