Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stability analysis in a model of the human inner ear)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stability analysis in a model of the human inner ear) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Melissa Wijchers Delft, Nederland April 2014 Copyright c 2014 door Melissa Wijchers. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Stabiliteitsanalyse in een model van het menselijk binnenoor (Engelse titel: Stability analysis in a model of the human inner ear MELISSA WIJCHERS Technische Universiteit Delft Begeleider Prof.dr.ir. C. Vuik Dr.ir. P.W.J. van Hengel Overige commissieleden Dr. J.L.A. Dubbeldam Dr. B. van den Dries April, 2014 Delft

4

5 i In dit verslag wordt een speciaal soort differentiaalvergelijking onderzocht, namelijk de delay differential equation. Voor de testvergelijkingen wordt ook het stabiliteitsgedrag onderzocht en gekeken of er een methode is om stabiliteit aan te tonen. Vervolgens wordt voor het model, aangeleverd door INCAS 3, een uitgebreide beschrijving gegeven.

6 ii Samenvatting Dit bachelorproject is in opdracht van INCAS 3 uitgevoerd. INCAS 3 is een onderzoeksinstituut op het gebied van sensorsystemen en is gevestigd in Assen. Het is het vervolg op het werk van Kimberley Lindenberg. Er is namelijk een belangrijke aanpassing gekomen in de bewegingsvergelijking van een cochlair deeltje. Analyse van metingen in het binnenoor en omgekeerd modelleren heeft geleid tot de aanpassing van p = m ζ + d ζ + sζ naar p = m ζ + d ζ + sζ + s ζ t τ. De waarde van d die door het omgekeerd modelleren wordt verkregen is negatief. Het achterlopend argument (de delay term ) s ζ t τ schijnt een stabiliserende werking te hebben op het anders instabiele systeem van vergelijkingen. In Hoofdstuk 1 wordt eerst uitgelegd hoe het oor, in het bijzonder de cochlea, werkt om de wiskunde in context te plaatsen (1.1). Vervolgens worden de bevindingen van het voorgaande project uitgelegd (1.2). In Hoofdstuk 2 wordt er gekeken naar het achterlopend argument. Het verschil tussen een DDE ( Delay Differential Equation ) en ODE ( Ordinary Differential Equation ) wordt besproken in (2.1). De method of steps wordt ook behandeld, aangezien dit een bouwsteen is voor het oplossen van een DDE van de vorm: { y (t) = f(t, y(t), y(t τ(t, y(t)))) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0. Er bestaat een Matlab functie genaamd dde23, die DDE s van de vorm { y (t) = f(t, y(t), y(t τ 1 ),.., (y τ n )) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 numeriek kan oplossen. In (2.2.1) staat hoe dit met de hand kan worden gedaan en hoe dde23 werkt. In (2.2.2) zijn er 2 manieren gegeven om zelf een DDE numeriek op te lossen, waaruit blijkt dat één van de twee manieren handiger is om uit te breiden (met betrekking tot de numerieke integratiemethode). In (2.3) is eerst gekeken hoe Runge-Kutta 2 geinterpreteerd moet worden voor DDE s. Voor ODE s is de predictor wn+1 = w n + hf(t n, w n ) en de corrector w n+1 = w n + h 2 (f(t n, w n ) + f(t n+1, wn+1 )). Voor DDE s zal de functie f niet alleen van t n+1, wn+1 afhangen, maar ook van w n+(τ/h) of wn+(τ/h). Daarnaast wordt ook gekeken wat de onbekende stapgrootte h van dde23 ongeveer is, door een vergelijking te maken met Runge-Kutta 4, waarop deze Matlabfunctie gebaseerd is. Vervolgens zal in Hoofdstuk 3 de stabiliteit van DDE s behandeld worden (3.1). De definities asymptotische stabiliteit en dempend komen aan bod in (3.1.2) voor lineaire scalar testvergelijking die de vorm y (t) = λy(t) + µy(t τ) heeft. Er wordt onderscheid gemaakt tussen reeele en imaginaire λ en µ. Voor het geval dat deze reeel zijn is in (3.1.3) een beschrijving van het asymptotisch stabiliteitsgebied gegeven. Er blijkt ook dat τ een belangrijke rol speelt in de stabiliteit. Naast de stabiliteit van een DDE kun je ook kijken naar de stabiliteit van de numerieke methode, Runge-Kutta 4 in dit geval (3.2).Volgens Barwell [16] geldt GP-stabiliteit P-stabiliteit A-stabiliteit. GP-stabiliteit komt in dit verslag niet aan bod, maar A- en P- stabiliteit wel in respectievelijk paragraaf (3.2.2) en (3.2.3). De vraag of het nodig is dat τ een meervoud van

7 iii h is, wordt hier ook beantwoord. Het blijkt nodig te zijn voor P- en A-stabiliteit naast nog een aantal andere voorwaarden zoals lim n y n = 0 voor de discrete numerieke oplossing {y n } n 0 van de standaard lineaire testvergelijking. Om alle bovenstaande theorie te kunnen toepassen op het model van INCAS 3 is het belangrijk om te begrijpen hoe hun Matlabcode in elkaar steekt. Zowel de implementatie van Runge-Kutta 4 (4.1.1) als de implementatie van DDE s (4.1.2) komen ter sprake.

8 iv Summary This project is commissioned by INCAS 3. INCAS 3 is a research institute in the field of sensor systems and is based in Assen. This project is the sequel to the work of Kimberley Lindenberg. There is one important change in the equation of motion (cochlear) particles. Analysis of measurements of the inner ear and inverse modeling has led to the adjustment of p = m ζ + d ζ + sζ to p = m ζ + d ζ + sζ + s ζ t τ. The value of d, which is obtained by inverse modeling, is negative. The term s ζ t τ is a delayed feedback stiffness which serves to stabilize the otherwise unstable system of equations. How the ear, specifically the cochlea (1.1), works will be explained in Chapter 1. As well as the results of the previous project (1.2). In Chapter 2 the delayed feedback term will be analyzed. The difference between a DDE ( Delay Differential Equation ) and an ODE ( Ordinary Differential Equation ) is discussed in (2.1). The method of steps is also discussed, as this is an important part of finding the solution of a DDE of the form: { y (t) = f(t, y(t), y(t τ(t, y(t)))) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0. There exists a Matlab function dde23, which solves DDE s of the form { y (t) = f(t, y(t), y(t τ 1 ),.., (y τ n )) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 numerically. How the solution is computed by hand and with dde23 is shown in (2.2.1). I have written two Matlabfiles with different ways of solving a DDE numerically (2.2.2), but time showed that one of the two ways is more convenient to expand upon (with regard to the numerical integrationmethod). For ODE s the predictor of the Runge-Kutta 2 method is wn+1 = w n + hf(t n, w n ) and the corrector w n+1 = w n + h 2 (f(t n, w n ) + f(t n+1, wn+1 )). How this is interpreted for DDE s is analyzed in (2.3), because the function f won t only contain t n+1, wn+1, but also w n+(τ/h) or wn+(τ/h). In addition, there will be looked at the unknown step size h of dde23, by comparing it to Runge-Kutta 4 on which it is based. The stability will then be discussed in Chapter 3 (3.1). The definitions asymptotic stability and contractive are given in (3.1.2) for linear scalar test equations of the form y (t) = λy(t) + µy(t τ). A distinction is made between real and imaginary λ and µ. A description of the asymptotic stability region is given in case of λ, µ R (3.1.3). It also appears that τ plays an important role in the stability. Another important part of the stability is the stability of the numerical method, Runge-Kutta 4 in this case (3.2). According to Barwell [16] GP-stability P-stability A-stability. GPstability will not be discussed in this report, but A- and P-stability will (in section (3.2.2) and (3.2.3) respectively). The question that arose in the first chapters was: Does τ need to be a multiple of h? This question will be answered here as well. It seems to be a necessary condition for P- and A-stability, as well as a few other conditions like lim n y n = 0 for the discrete numerical solution {y n } n 0 of the standard linear test equation.

9 To put all the above theory in practise and to use this on the INCAS 3 model, it is important to understand the Matlab code. The implementation of Runge-Kutta 4 (4.1.1) as well as the implementation of DDE s (4.1.2). v

10 vi Voorwoord Dit project is in opdracht van INCAS 3 uitgevoerd. INCAS 3 gaf een voorstel voor een project (zie bijlage B) aan mijn begeleider Prof.dr.ir. C. Vuik. De motivatie achter de keuze van dit project is dat het een recent onderwerp is, waar nog niemand echt een oplossing voor heeft gevonden. Een uitdaging grijp ik graag met beide handen aan. Het idee dat dit onderzoek veel kan betekenen in bijvoorbeeld de gezondheidszorg spreekt mij aan. Daarnaast kun je als wiskundige later veel verschillende kanten op qua beroep. Door tijdens dit onderzoek stage te lopen bij INCAS 3 hoop ik een indruk te kunnen krijgen hoe het is als wiskundige in het bedrijfsleven. INCAS 3 is een onafhankelijke, non-profit onderzoeksinstituut dat zich toelegt op het oplossen van uitdagende industriële en sociaal-technologische problemen. Het onderzoeksgebied waar dit project onder valt is Cognitive Systems en is gewijd aan het overbruggen van de kloof tussen de menselijke zintuiglijke waarneming en kunstmatige sensorsystemen. Meer informatie is te vinden op de website

11 Inhoudsopgave 1 Inleiding De cochlea Het onderzoek van K. Lindenberg Het onderzoek van K. in t Hout Delay Differential Equations ODE vs DDE DDE s in Matlab De Matlabfunctie dde Beschrijving van code 1 en code Interpretatie Runge-Kutta voor DDE s Runge-Kutta Runge-Kutta Stabiliteit Stabiliteitsanalyse van DDE s Niet-lineaire DDE s Lineaire scalar testvergelijking Asymptotisch stabiliteitsgebied S τ voor reële coëfficiënten Stabiliteitsanalyse van Runge-Kutta methoden voor DDE s Lineaire groei A-stabiliteit van DDE s P-stabiliteit van DDE s Het model van INCAS Uitleg van het model in Matlab Deel 1 - Implementatie van Runge-Kutta Deel 2 - Implementatie van de DDE Conclusies Voor verder onderzoek A Matlabcodes 39 A.1 De functionfiles voor dde A.2 Modified Euler voor DDE s (code 1) A.2.1 Modified Euler voor DDE s (code 1) zonder ster A.2.2 Modified Euler voor DDE s (code 1) met ster A.3 Modified Euler voor DDE s (code 2) A.4 Runge-Kutta 4 voor DDE s (code 2) vii

12 viii INHOUDSOPGAVE A.5 Niet-lineaire model met Runge-Kutta B Projectvoorstel INCAS 3 53

13 Hoofdstuk 1 Inleiding INCAS 3 wil binnen het gebied Cognitive Systems de menselijke cochlea modelleren. Daarvoor is het handig eerst wat meer te weten te komen over de cochlea, omdat deze een belangrijke rol speelt in het proces van het verwerken van geluid dat we horen. In de cochlea vindt de omzetting van mechanische trillingen naar elektrische informatie plaats. Daarnaast speelt de cochlea een belangrijke rol in het comprimeren van het bereik aan geluiden met een intensiteitsverschil met factor naar het bereik van 10 5 dat zenuwcellen maximaal kunnen overbruggen [3]. De cochlea vertoont een niet-lineair gedrag. Dit betekent dat een verdubbeling van het inkomende geluid niet leidt tot een verdubbeling van het zenuwsignaal. Het niet-lineaire gedrag speelt bij veel otoakoestische emissies (OAE s) een rol. Een otoakoestische emissies is een verschijnsel waarbij het oor zelf geluid voortbrengt. Het produceren van een OAE is een eigenschap van oren met gezonde haarcellen. Dit wijkt echter af bij personen bij wie het binnenoor beschadigd is [6]. Om het functioneren van het gehoor te testen worden persoonlijke drempels bepaald bij gestandaardiseerde frequenties en vergeleken met gestandaardiseerde gemiddelde drempels. Het nadeel is dat deze test niet kan worden uitgevoerd bij personen die niet in staat zijn goed te reageren. Hierbij kun je denken aan mensen met een verstandelijk handicap, baby s en kleine kinderen. Daarnaast wordt bij deze test het functioneren van het gehele oor getest en niet alleen van de cochlea. 1.1 De cochlea Het oor bestaat uit drie delen: het uitwendige oor, het middenoor en het binnenoor. De cochlea, oftewel het slakkenhuis, bevindt zich in het binnenoor, samen met het evenwichtsorgaan en de gehoor- en evenwichtszenuw. In het binnenoor vindt de omzetting van mechanische trillingen (beweging) naar elektrische informatie (zenuwimpulsen) plaats [3]. De cochlea bevat drie kamers de scala vestibuli, de scala tympani en de scala media. In figuur 1.1 zijn deze kamers te zien. Mechanisch gezien vormen de bovenste twee kamers, de scala vestibuli en de scala media, één geheel. In het figuur is ook te zien dat de cochleaire partitie bestaat uit het basilair membraan en het orgaan van Corti. Op het basilair membraan zitten cochleaire haarcellen en ondanks dat veel andere cellen in het lichaam geregenereerd kunnen worden, kan dat niet bij deze haarcellen. Dit houdt in dat de haarcellen onherstelbaar beschadigd kunnen worden door hoge geluidsdoses [8]. Het basilair membraan is ook de scheiding tussen twee met vloeistof gevulde holten in de cochlea (de scala tympani en de scala media). Er wordt aangenomen dat deze twee vloeistoffen eigen- 1

14 2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Figuur 1.1: Dwarsdoorsnede cochlea [5]. schappen hebben die equivalent zijn aan die van water [2]. Het geluid van buiten komt terecht op het ovale venster (zie figuur 1.2) waardoor het venster gaat trillen met de frequentie van het geluid. Deze trillingen zorgen ervoor dat de vloeistof in de scala vestibuli wordt aangestoten. De trillingen lopen door de cochlea heen en komen weer terug uit het ronde venster. De reden hiervoor is dat de vloeistoffen niet uit het slakkenhuis kunnen gaan en dat de ruimte niet kan uitzetten [5]. Figuur 1.2: Schematische weergave cochlea [5]. In de scala media bevindt zich het orgaan van Corti. Het bevat de haarcellen die gaan bewegen als er geluidstrillingen in het oor terechtkomen. Deze haarcellen zetten de mechanische stimuli om naar zenuwsignalen. De haarcellen kunnen ook zelf actief (mee)bewegen, waardoor de me-

15 1.1. DE COCHLEA 3 chanica van de cochleaire partitie niet als een passief systeem te beschrijven is [3]. In figuur 1.3 is de uitgerolde cochlea te zien. Merk op dat het basilair membraan breder wordt naarmate je van de basis richting de zogenaamde apex gaat. Bij de omzetting van de trillingen naar zenuwimpulsen, wordt het geluid als het ware gefilterd op grond van de samenstelling van de frequentie. Bij hoge frequenties van inkomend geluid prikkelen de cochleaire deeltjes bij de basis en bij lage frequenties gebeurt dit juist bij de apex [3]. Figuur 1.3: Cochlea uitgerold [7]. De cochleaire partitie zal gaan bewegen wanneer de vloeistof in de cochlea in beweging wordt gebracht. In figuur 1.4 zijn deze twee resonanties geïllustreerd, in transversale en longitudinale richting. Bij beweging A is een transversale golf te zien. De cochleaire partitie beweegt op en neer zoals een touw dat aan een kant op en neer bewogen wordt. De golf verplaatst zich van de basis naar de apex. Elk cochleair deeltje heeft een eigen karakteristieke frequentie. De karakteristieke frequenties nemen monotoon af van de basis naar de apex. De cochleaire deeltjes bij de apex hebben dus een kleinere karakteristieke frequentie dan de deeltjes bij de basis [2]. Dit betekent dus dat het deel van de cochleaire partitie bij de basis resoneert bij hogere frequenties en bij de apex bij lagere frequenties [9]. Bij beweging B trillen de onafhankelijke deeltjes van de cochleaire partitie in harmonie met het inkomende geluid. Deze deeltjes gedragen zich als harmonische oscillatoren met een resonantiefrequentie en een kwaliteitsfactor [5]. Wanneer de cochlea wordt gestimuleerd met een zuivere toon, ontstaat er een lopende golf langs de cochleaire partitie. De golflengte, amplitude en voortplantingssnelheid van de golf zijn niet

16 4 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Figuur 1.4: Trillingen van de cochleaire partitie [5]. constant. Deze golf wordt sterk beinvloed door de mechanische eigenschappen van de cochleaire partitie die reageert op de drukverschillen die de golf veroorzaakt. De lopende golf neemt namelijk in voortplantingssnelheid af en de amplitude neemt toe totdat het punt van maximale excitatie is bereikt. Dit punt, het resonantiepunt, is afhankelijk van de frequentie van de toon. Alle energie in de golf wordt net voor het resonantiepunt overgedragen van de vloeistof naar de partitie [2]. We willen dus de diagnose van gehoorverlies verbeteren door de werking van de cochlea te modelleren en dus te scheiden van de rest van het proces. Als OAE s direct gekoppeld kunnen worden aan de cochleaire werking, dan geeft dit mogelijkheid tot een objectieve test van de cochleaire werking. Deze test kan dan op elk persoon worden uitgevoerd. [2]. Bij het interpreteren van de OAE metingen en het relateren van de uitkomsten aan schade in de cochlea, speelt het gebruik van modellen een essentiële rol. Ook geeft figuur 1.4 aan dat er twee processen gaande zijn. Enerzijds de lopende golf in de vloeistof, anderzijds de lokale beweging van de cochleaire partitie. Deze twee processen beinvloeden elkaar in een zogenaamde sterke interactie. Dit houdt in dat geen van beide dominant is, maar dat beide processen gekoppeld gemodelleerd moeten worden.

17 1.2. HET ONDERZOEK VAN K. LINDENBERG Het onderzoek van K. Lindenberg Zoals te lezen is in Bijlage B is dit project het vervolg op het project van Kimberley Lindenberg, dat gebaseerd is op het onderzoek van P. van Hengel [3]. Daarvoor is het nuttig om te kijken naar wat haar bevindingen waren. Dit is ook terug te lezen in haar bachelor eindproject verslag [2]. INCAS 3 beschikt over een 1-dimensionaal model van de cochlea, welke bestaat uit ongeveer 400 individuele cochleaire deeltjes die zich gedragen als harmonische oscillatoren. De beweging van zo n deeltje kan beschreven worden door de golfvergelijking: 2 ( x 2 m ζ(x, t) + d(x) ζ(x, ) t) + s(x)ζ(x, t) met beginvoorwaarden: + 2ρb BM A ζ(x, t) = 0, 0 x L, t 0 ζ(x, 0) = 0, ζ(x, 0) = 0, 0 x L, en randvoorwaarden: p (0, t) = f(t), p(l, t) = 0, t 0, x waarbij ζ de amplitude is en p de stuwkracht. Deze golfvergelijking is gediscretiseerd naar zowel de plaats als de tijd. Bij de plaatsdiscretisatie wordt het interval [0, L] in N + 1 equidistante deelintervallen verdeeld en wordt gebruik gemaakt van de centrale differentieformule om de tweede afgeleide van p(x, t) te benaderen. De vergelijking kan dan herschreven worden naar een matrixrepresentatie Ap(t) = b(t), met 1 2 γ γ γ A = γ , γ p(x 0, t) 2 p(x 1, t) γg(x 0, t) xf(t) γg(x 1, t) p(t) =. p(x N, t) b(t) =. γg(x N, t) Hierbij geldt γ = 2ρb BM Am ( x)2 en g(x, t) = d(x) ζ(x, t) + s(x)ζ(x, t). Bij de tijdsdiscretisatie is er gekeken naar ζ(x, t) = ν(x, t) en ζ(x, t) = ν(x, t). Dit geeft een stelsel differentiaalvergelijkingen welke in vectorvorm te schrijven is met het volgende resultaat: { ζ(t) = ν(t) ζ(0) = 0 ν(t) = ω[t, ζ(t), ν(t)] ν(0) = 0. Het stelstel wordt op het tijdsinterval [0, T ] bekeken, waarbij het interval wordt opgedeeld in M equidistante deelintervallen. De bovenstaande vergelijkingen worden vervolgens geïntegreerd van t j 1 tot t j. Dit is gedaan met de tijdsintegratiemethoden Runge-Kutta 4 en Modified Sielecki..

18 6 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Vervolgens zijn er voor beide tijdsintegratiemethoden de stabiliteit onderzocht. Het was al bekend dat voor Runge-Kutta 4 een grotere tijdstap kan worden gebruikt dan voor Modified Sielecki. Een numerieke tijdsintegratiemethode is stabiel als een kleine verstoring van de beginoplossing maar een klein verschil in de oplossing geeft. Dit betekent dat voor een tijdstap Runge-Kutta 4 numeriek stabiel is, terwijl Modified Sielecki niet meer numeriek stabiel is. Het doel van Kimberley s onderzoek is om te onderzoeken of er inderdaad een grotere tijdstap gebruikt kan worden voor Runge-Kutta 4 dan voor Modified Sielecki. Dit blijkt zo te zijn: de tijdstap waarvoor Runge-Kutta 4 nog numeriek stabiel is is en is niet meer stabiel voor een tijdstap van Modified Sielecki daarentegen is nog numeriek stabiel voor een tijdstap van , maar niet meer voor een tijdstap van Het lijkt dus dat Runge-Kutta 4 de voorkeur krijgt, want Runge-Kutta 4 is nog stabiel bij een grotere tijdstap. Maar voor Runge-Kutta 4 moet de vector p(t) 4 keer uitgerekend worden per tijdstap en Modified Sielecki maar 1 keer bij een even grote tijdstap, waardoor qua efficiëntie Modified Sielecki de voorkeur heeft. Als uiteindelijk de stimulus p e (t) gedefinieerd is, dan is de verwachting dat het minder tijd kost om de code met Runge-Kutta 4 (tijdstap s) uit te voeren dan om de code met Modified Sielecki (tijdstap s) uit te voeren. Dit vanwege de nieuwe definitie van de stimulus. De tijd om de code uit te voeren van Runge-Kutta 4 blijkt dan ook 1.3 keer kleiner te zijn dan bij Modified Sielecki. 1.3 Het onderzoek van K. in t Hout In t Hout heeft een éénstapsmethode voor DDE (1.2) geconstrueerd. Dit is gedaan met behulp van een methode voor ODE en een interpolatieformule welke de waarde van de oplossing in het achterlopend argument benaderd. Beschouw de ODE : { X(0) = 0 X (t) = g(t, X(t)), t 0 (1.1) Zij tijdstap h > 0, N 1 geheel en t n = n h met n = 0,..., N. Dan luidt de Runge Kutta 4 methode voor (1.1) als volgt: { x0 = 0 x n+1 = x n + h Ψ(t n, x n, g, h) met Ψ(t 0, x, g, h) = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) k 1 = g(t, x) k 2 = g(t h, x hk 1) k 3 = g(t h, x hk 2) k 4 = g(t + h, x + hk 3 ) Beschouw nu de DDE: { ( ) U (t) = f t, U(t), U(t τ) t 0 U(t) = 0 t 0 (1.2)

19 1.3. HET ONDERZOEK VAN K. IN T HOUT 7 Laat U(t) een oplossing zijn op [ τ, ). Zij M, N 1 geheel, h = τ M en t n = n h(n = 0,..., N) waarbij N van M mag afhangen. Schrijf m = n M. Definieer voor n = 0,..., N 1 de functies r n : [0, t n+1 ] R k door r n = 0 als n M 1 en anders { rn 1 (t) 0 t t r n (t) = n P (t τ,, u m, u m, u m+1, u m+1 ) t n < t t n+1 als de benadering van U(t τ) op [0, t n+1 ]. Hierin is P = (P 1,..., P k ) T waarbij P j = P j (t τ, u m,j, u m,j, u m+1,j, u m+1,j ) het derdegraads Hermite interpolatie polynoom door de steunpunten (t m, u m,j, u m,j ) en (t m+1, u m+1,j, u m+1,j ) is. Definieer voor n = 0,..., N 1 de functie g n : [0, t n+1 ] R k R k gegeven door g n (t, x) = f(x, r n (t)), dan wordt de éénstapsmethode voor (1.2) gegeven door: u 0 = 0 u 0 = g 0 (t 0, u 0 ) u n+1 = u n + h Ψ(t n, u n, g n, h) u n+1 = g n (t n+1, u n+1 ) (n = 0,..., N 1)

20

21 Hoofdstuk 2 Delay Differential Equations In het onderzoek van K. Lindenberg, had je te maken met een differentiaalvergelijking van de vorm p = m ζ + d ζ + sζ. Maar in de jaren 90 is er een belangrijke aanpassing gemaakt in de bewegingsvergelijkingen van de individuele oscillatoren. Een analyse van de excitation in het binnenoor heeft geleid tot een differentiaalvergelijking van de vorm p = m ζ + d ζ + sζ + s ζ t τ waarin de term s ζ t τ een delayed feedback stiffness is welke een stabiliserende werking heeft op de anders instabiele differentiaalvergelijking. Er komt een negatieve demping uit het omgekeerd modelleren van Zweig en die is per definitie instabiel zonder de delayed feedback stiffness. De Zweig impedantie is een manier om de complexe actieve mechanica (de activiteit van de haarcellen) van de cochleaire partitie te representeren in een 1D model. Daarom is het van belang een beter begrip te krijgen van deze delayterm en dus ook van deze differentiaalvergelijking: een delay differential equation (DDE). 2.1 ODE vs DDE Herinner dat een normale differentiaalvergelijking van de volgende vorm is: { y (t) = g(t, y(t)) t t 0 y(t 0 ) = y 0 t = t 0. Een delay differential equation (DDE) is een differentiaalvergelijking van de vorm: { y (t) = f(t, y(t τ 1 ),..., y(t τ n )) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0. Het verschil met een normale differentiaalvergelijking zijn de delay-termen τ. Deze τ zijn altijd niet-negatief en kunnen constant zijn, functies van t zijn (τ i = τ i (t)) of zelfs functies van t en y zijn (τ i = τ i (t, y(t))). Om de notatie gemakkelijker te maken is de functie φ(t) gedefinieerd op [ρ, t 0 ], met { } ρ = min min(t τ i ). 1 i n t t 0 Merk op dat voor een t t 0, t τ < t 0 kan zijn. Hierdoor heeft een DDE een beginfunctie ( initial function ) φ(t) in plaats van een beginvoorwaarde y(t 0 ) = y 0. Door deze beginfunctie 9

22 10 HOOFDSTUK 2. DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS treden er onverwachte consequenties op bij het oplossen van een DDE. Dit kan geïllustreerd worden aan de hand van een voorbeeld: Beschouw de DDE: { y (t) = λy(t) + µy(t 1) t 0 y(t) = t + 1 t 0 met reële coëfficienten λ en µ. (2.1) Voor µ = 0 is het stelsel weer een ODE: { y (t) = λy(t) t 0 y(0) = 1, waarbij de oplossing stabiel is voor λ < 0 en begrensd is door de beginwaarde 1. Voor µ 0, dus een DDE, zal de stabiliteit niet meer hetzelfde zijn. Figuur 2.1 laat voor verschillende mogelijke waarden voor λ en µ zien en hoe de oplossing er uit ziet en dus of deze stabiel of instabiel zijn. De implementatie is te vinden in paragraaf (a) λ = 3.5, µ = 4 (b) λ = 5, µ = 4, (c) λ = 0.5, µ = 1 Figuur 2.1: Stabiele en niet stabiele oplossingen van (2.1) bij tijdstap h = 0.01 Voor de numerieke oplossing van DDE s is de vraag of de theorie van ODE s voldoende is voor de analyse. Bekijk de volgende DDE: { ( ( y (t) = f t, y(t), y t τ ( t, y(t) ))) t 0 (2.2) y(t) = φ(t) t 0 De meest voor de hand liggende methode om (2.2) numeriek op te lossen is om de stapgrootte h τ te nemen. Als de delay term y(t τ) vervangen wordt door een functie η(t τ) zijn de verkregen ODE s stap voor stap te integreren. Hierbij wordt η(t τ) gegeven, afhankelijk van de waarde van t, door de beginfunctie φ(t τ) of een continue extensie van de numerieke oplossing die door de methode zelf is berekend. Dit wordt ook wel de method of steps genoemd. Voor de (n + 1)e stap geldt dus ([12], p152): met { w n+1 (t) = f(t, w n+1 (t), x(t τ(t, w n+1 (t)))) t n t t n+1 w n+1 (t n ) = y n (2.3) φ(s) s 0 x(s) = η(s) 0 s t n w n+1 (s) t n s t n+1.

23 2.2. DDE S IN MATLAB 11 Het gebruik van een continue extensie, dat meer onnauwkeurigheden met zich mee brengt, is te voorkomen door de stapgrootte h te kiezen zodanig dat k h = τ voor een k N. Dan is de continue extensie niet nodig, omdat er gebruikt gemaakt kan worden van de discrete waarden voor t. Er kan geconcludeerd worden dat de theorie van ODE s voldoende is om een DDE numeriek op te lossen. Dit kan dus door middel van de method of steps. De moeilijkheid van het oplossen van een DDE hangt onder andere af van de gekozen stapgrootte h. 2.2 DDE s in Matlab In Matlab bestaat er een commando die een numerieke benadering geeft van een DDE. Deze functie wordt eerst uitgebreid bekeken waarna we de functie gaan nabootsen, met behulp van de theorie die tot nu toe bekend is De Matlabfunctie dde23 Voorbeeld: een DDE oplossen met eigen implementatie van een DDE solver Om Figuur 2.1 te maken in Matlab, is er gebruik gemaakt van de in Matlab geïntegreerde functie dde23. In deze paragraaf wordt samengevat wat deze functie ongeveer doet. De dde23 functie lost DDE s van de vorm { ( ) y (t) = f t, y(t), y(t τ 1 ),..., y(t τ k ) t t 0 (2.4) y(t) = S(t) t t 0 op. Deze oplossingen zijn in het algemeen continu, maar hebben discontinuïteiten in de afgeleides. De dde23 functie zoekt deze discontinuïteiten op in de lagere orde afgeleiden. Het integreert de differentiaalvergelijkingen met de expliciete Runge-Kutta(2,3) en de interpolant die gebruikt wordt bij ode23. De Runge-Kutta formules zijn impliciet voor stapgroottes groter dan de delays. Als y(t) glad genoeg is zodat de stapgrootte van deze grootte gebruikt kan worden, dan worden de impliciete formules geëvalueerd bij een predictor-corrector iteratie. De meest gangbare aanpak om DDE s op te lossen is om een methode die gebruikt wordt om ODE s op te lossen uit te breiden. Zo gebruikt Matlab de methode van ode23 om de methode van dde23 te maken. De meeste codes zijn gebaseerd op expliciete Runge-Kutta methodes. De uitbreiding van ode23 komt neer op de al genoemde method of steps, welke het eenvoudigst te illustreren is aan de hand van een voorbeeld. Beschouw { y (t) = y(t 1) t 0 S(t) = 1 t 0. (2.5) Om (2.5) op te lossen op het interval 0 t 1, verandert men de DDE naar een beginwaardeprobleem voor een ODE met y(t 1) = S(t 1) en beginwaarde y(0) = 1. Dan: y (t) = 1 y(t) = t + c 0 1 = y(0) = 0 + c 0 y(t) = t + 1 Dus de oplossing op dit interval is y 0 (t) = t + 1.

24 12 HOOFDSTUK 2. DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS Vervolgens bekijken we het interval 1 t 2, welke op dezelfde manier opgelost zal worden als het eerste interval. Nu is y (t) = y(t 1) = y 0 (t 1) = t met beginvoorwaarde y(1) = y 0 (1) = 2. Dit is weer een ODE en kan weer analytisch opgelost worden op het interval. Voor de numerieke oplossing ligt het wat gecompliceerder bij elk opvolgend tijdsinterval. De methode maakt gebruik van continue extensies, die (zoals eerder genoemd) een continue functie maakt van de discrete punten berekend door de numerieke methode. Voorbeeld: een DDE met dde23 oplossen Nu aan de hand van een voorbeeld laten we zien wat dde23 doet, bekijken we de functie met betrekking tot de input, output en opties. [10] 1 opl= dde23 ( dde1, lags, h i s t o r y, tspan ) %syntax hierbij is dde1 de functie f bij een differentiaalvergelijking van de vorm y (t) = f(t, y(t), y(t τ 1 ),..., y(t τ k )). In Matlab is de differentiaalvergelijking van de vorm dydt = dde(t, y, Z), met t de waarde voor de huidige t en y een kolomvector die y(t) benadert. Z(:, j) benadert y(t τ j ) voor delay τ j. De output is een kolomvector die f weergeeft. Voor DDE (2.1) is er een function file gemaakt : 1 f u n c t i o n opl= dd1 ( t, y, Z) 2 lambda =4; 3 mu= 3.5; 4 opl=lambda y+mu Z ; 5 end Dit is dus de functionfile voor de De input lags oftewel lags(j) is een vector van constanten: de positieve delays τ 1,..., τ k voor 1 j k. Merk op dat dde23 alleen DDE s met een constante τ kan oplossen. Voor (2.1) is er maar één τ, namelijk 1. De input history is de beginfunctie, die weergeeft wat er voor t t 0 gebeurd. Als history een functie van t is waar t ook in zit, dus als y=history(t), dan is de output een kolomvector met de oplossing y(t) voor t t 0. Als history een constante functie is, dan is de output een kolomvector met constante waarden. Voor (2.1) is er een function file dd1hist gemaakt: 1 f u n c t i o n opl=dd1hist ( t ) 2 opl= t +1; 3 end De input tspan is het interval waarop de DDE geïntegreerd moet worden, van t0=tspan(1) tot tf=tspan(end) met t0<tf. Voor Figuur 2.1a is tspan= [0, 9] gebruikt. Om nu de numerieke oplossing van de DDE (2.1) te berekenen gebruiken we de syntax zoals hierboven weergegeven is en de daar bijbehorende genoemde inputs. Om een m.file aan te roepen in de functie zelf, is het nodig om voor de naam van de m.file te typen, dus bijvoorbeeld: 1 dde23 (@dd1, [ 0, 9 ] )

25 2.2. DDE S IN MATLAB 13 Voor deze in Matlab geïntegreerde functie hoeft geen stapgrootte meegegeven te worden. Dit is wel mogelijk door in de syntax ook options toe te voegen. Wordt er geen stapgrootte meegegeven, dan bepaalt dde23 zelf de beste stapgrootte h. Options (ddeset) heeft een aantal categorieën van eigenschappen: error control, solver output, step size, event location en discontinuities. InitialStep stelt een bovengrens voor de grootte van de eerste stapgrootte die dde23 probeert. Als er geen bovengrens gegeven wordt zal de oplosser een initial step kiezen aan de hand van de richtingscoëfficiënt van de oplossing op de begintijd tspan(1). De initial step size is beperkt bij de kleinste delay τ [10] Beschrijving van code 1 en code 2 In het vervolg van dit verslag zal er gesproken worden over code 1 en code 2 en daarom zullen deze hier kort uitgelegd worden. Het gaat hier om de implementatie van Modified Euler (Runge- Kutta 2) voor DDE s. Dit is namelijk op twee manieren geïmplementeerd. code 1 Code 1 is gemaakt op dezelfde manier zoals ook bijvoorbeeld Euler Voorwaarts en Euler Achterwaarts gemaakt worden. Voor de testvergelijking y (t) = λy(t) + µy(t τ) ziet code 1 er als volgt uit: 1 t ( k+(1+stap ) )=t ( k+stap ) +h ; 2 y ( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) + h f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) 3 w( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) +h/2 ( f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) + f ( y ( k+(1+ stap ) ),w( k+1), lambda,mu) ) ; waarbij t(1 + stap) = 0, y(1 + stap) = y 0, w(1 + stap) = y 0. Dit zijn de waardes die worden aangenomen op tijdstip t met stap= τ/h een positief reëel getal, welke dus weergeeft hoeveel componenten er in de vectoren t, y en w voorkomen Deze geven aan wat er gebeurt op t t 0 = 0. Met deze code (code 1) wordt er gewerkt in de volgende paragraaf. Hier is eenvoudig te zien dat de predictor en corrector van Modified Euler overeen komen met de code 1. code 2 Om code 1 van Modified Euler naar Runge-Kutta 4 aan te passen is wat lastiger. Vandaar dat deze code 1 achterwege gelaten is en de wat algemenere code 2 geintroduceerd wordt. Deze code is gebaseerd op de code achter de Mackey-Glass time series generator [11]. Bij deze code wordt allereerst een vector met de history gemaakt. Ook staat er in een Matlab function file met de desbetreffende functie f uit y (t) = f(t, y(t), y(t τ)). De delayterm y(t τ) wordt hieronder weergegeven als y_t_tau en zijn waarde op alle tijdstippen wordt bepaald aan de hand van de history vector. De volgende tijdstap t + h wordt berekend aan de hand van de volgende functie in Matlab: 1 f u n c t i o n MEDDE2c = MEDDE2c( y t, y t tau, h, lambda, mu) 2 3 k1 = h f ( y t, y t tau, lambda, mu) ; 4 k2 = h f ( y t+k1, y t tau, lambda,mu) ; 5 6 MEDDE2c= y t+ 1/2 ( k1+k2 ) ;

26 14 HOOFDSTUK 2. DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS 7 end Hierin komt duidelijk het gebruik van k i voor 0 < i 2 naar voren voor Modified Euler en is te zien dat dit makkelijk aan te passen is naar Runge Kutta 4, waarbij gebruik gemaakt wordt van k i met 0 < i Interpretatie Runge-Kutta voor DDE s Zoals in de vorige paragraaf staat aangegeven, volgt hier meer over code 1; hoe Runge-Kutta 2 voor DDE s zou kunnen worden geinterpreteerd. Het is namelijk bij ODE s al zo dat de corrector ook afhangt van de predictor. Hierbij is de vraag of het achterlopend argument uit de predictor gehaald moet worden om de corrector te berekenen of niet Runge-Kutta 2 De Modified Euler methode, oftewel de Runge-Kutta 2 methode voor ODE s bestaat uit de volgende stappen: predictor: w n+1 = w n + hf(t n, w n ) corrector: w n+1 = w n + h 2 [f(t n, w n ) + f(t n+1, w n+1 )] (2.6) Dus gegeven is w n (uitgerekend in de vorige stap) kun je de predictor wn+1 uitrekenen, waarna het resultaat ingevuld wordt in de corrector. Hiermee is een geheel expliciete formule ontstaan. Als we nu deze methode willen beschrijven voor DDE s, hoe zien de predictor en corrector er dan uit? Hieronder worden twee verschillende interpretaties weergegeven en vergeleken met elkaar en met de Runge-Kutta 4 methode. Hieronder zijn twee interpretaties voor Modified Euler voor DDE s weergegeven. In de eerste interpretatie staat er w n τ/h+1 in de corrector (zonder ster), terwijl in de tweede interpretatie wn τ/h+1 in de corrector staat (met ster): en predictor: wn+1 = w n + hf(t n, w n, w n τ/h ) corrector: w n+1 = w n + h 2 [f(t n, w n, w n τ/h ) + f(t n, wn+1, w n (τ/h)+1)] (2.7) predictor: w n+1 = w n + hf(t n, w n, w n τ/h ) corrector: w n+1 = w n + h 2 [f(t n, w n, w n τ/h ) + f(t n, w n+1, w n (τ/h)+1 )] (2.8) Beide methoden zijn met Matlab gemodelleerd met stapgrootte h = 0.1 op het interval [0, 20] voor de DDE { y (t) = 0.5y(t) y(t 1) t 0 (2.9) S(t) = t + 1 t 0. In figuur (2.2) is het resultaat te vinden als de grafieken code 1 met ster en code 1 zonder ster. De Matlabcodes zijn te vinden in Bijlage A.

27 2.3. INTERPRETATIE RUNGE-KUTTA VOOR DDE S 15 1 Modified Euler op DDE (tau=1) interpretatie 1 (zonder ster) interpretatie 2 (met ster) y(t) t Figuur 2.2: Runge-Kutta 2 interpretaties 1 en 2 vergeleken, h = 0.1 Er is zo goed als geen verschil te zien tussen de twee interpretaties, daarom nemen we een grotere stapgrootte. Er is nu duidelijk dat er verschil is tussen de twee interpretaties, maar niet welke nauwkeuriger is. Om hier meer inzicht in te krijgen kan er een vergelijking gemaakt worden met Runge-Kutta 4. Zeker bij grotere tijdstappen hoort Runge-Kutta 4 nauwkeuriger te zijn omdat de fout O(h 4 ) is, terwijl de fout bij Runge-Kutta 2 O(h 2 ) is. 1 Modified Euler op DDE (tau=1) interpretatie 1 (zonder ster) interpretatie 2 (met ster) dd23 (RK4) y(t) t Figuur 2.3: Runge-Kutta 2 interpretaties 1 en 2 vergeleken, h = 0.5 Uit het figuur blijkt dat de eerste interpretatie (zonder ster) dichter bij de meer nauwkeurige

28 16 HOOFDSTUK 2. DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS Runge-Kutta 4 methode ligt en heeft daarom de voorkeur boven de tweede interpretatie (met ster) voor Modified Euler. Dus in code 1 is het beter om te schrijven, dan om f(y(k+(1+stap)),w(k+1),lambda,mu) f(y(k+(1+stap)),y(k+1),lambda,mu) te schrijven in het tweede deel van de corrector Runge-Kutta 4 In paragraaf (2.2.1) is al genoemd dat dde23 gebaseerd is op expliciete Runge Kutta methodes. In deze paragraaf vergelijken we een zelf geïmplementeerde Runge-Kutta 4 methode met dde23. De bijbehorende code is te vinden in Bijlage A RK4 vs dde23 RK4 dde RK4 vs dde23 RK4 dde y(t) y(t) t t (a) h = 0.01 (b) h = 0.1 Figuur 2.4: Runge-Kutta 4 en dde23 vergeleken De licht- en donkerblauwe grafiek laten respectievelijk RK4 en dde23 zien voor de numerieke oplossing van de vergelijking y (t) = y(t) + y(t τ), met beginfunctie φ(t) = 1, τ = 1. In 2.4a met stapgrootte h = 0.01 en in 2.4b met stapgrootte h = 0.1 voor Runge-Kutta 4. Er is een klein verschil te zien tussen Runge-Kutta 4 en dde23 bij beide stapgroottes. Dit verschil kan verklaard worden door de onbekende stapgrootte h van de dde23 methode. Wel is uit de figuren te concluderen dat de stapgrootte voor het oplossen van dit stelsel DDE s dichter bij 0.01 ligt dan bij 0.1.

29 Hoofdstuk 3 Stabiliteit In dit hoofdstuk zullen eerst een aantal definities genoemd worden die al bekend zijn van de stabiliteitstheorie van ODE s, zoals onder andere dempend en asymptotisch stabiel. Dit zal gedaan worden voor standaard niet lineaire DDE s, daarna zal uitgebreider gekeken worden naar de klassen van lineaire scalar testvergelijkingen. Hierop wordt dan ook de theorie toegepast. Voor de testvergelijking y (t) = λy(t) + µy(t τ) is er ook een omschrijving van de stabiliteitsgebied. Dit is voor een vaste τ en voor zowel reële als imaginaire waarden van λ en µ. 3.1 Stabiliteitsanalyse van DDE s Er is een stabiliteitsanalyse voor vergelijkingen als y (t) = f(t, y(t), u(t)), waarbij de forcing term u(t) gesubstitueerd is door y(t τ). De resultaten zijn verkregen door middel van de method of steps. Een voordeel van deze aanpak is dat vergelijkingen met een variabele delay τ = τ(t) kunnen worden aangepakt. Deze moeten dan wel voldoen aan de volgende hypothesen ([12], p249): (H1) Er bestaat een constante τ 0 > 0 zodanig dat τ(t) τ 0 voor alle t t 0. (H2) lim t t τ(t) =. (H3) Er bestaat een constante τ 1 > 0 zodanig dat τ(t) τ 1 voor alle t t 0. (H4) t τ(t) is een strikt stijgende functie voor alle t 0. Onder hypothese (H1), zal de afstand tussen een discontinu punt en het vorige punt ten minste τ 0 zijn. Dus op een begrensd interval [t 0, t f ] zal het aantal discontinue punten eindig zijn. Als (H3) geldt dan kan er gezegd worden dat het model een fading memory heeft. Dus dat om een DDE te integreren het voldoende is om een eindige vector van de laatste history te hebben. Hypothese (H2) kan grofweg gezien worden als dat τ(t) niet oneindig is. Dus uiteindelijk, wanneer t naar oneindig gaat, zal de benadering niet meer afhangen van wat er voor t = t 0 gebeurt Niet-lineaire DDE s Beschouw het stelsel van DDE s { y (t) = f(t, y(t), y(t τ(t))), t t 0, y(t) = φ(t), t t 0, (3.1) 17

30 18 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT die voldoen aan (H1). Beschouw nu een ander stelsel { ỹ (t) = f(t, ỹ(t), ỹ(t τ(t))), t t 0, ỹ(t) = φ(t), t t 0, (3.2) welke dezelfde functie f heeft, maar een andere beginfunctie φ(t) heeft. Definieer nu: δy(t) = ỹ(t) y(t) en δφ = φ(t) φ(t). Een stelsel DDE s (3.1) heet dempend als voor elke beginfunctie φ(t) voldaan wordt aan δy(t) max x t 0 δφ(x), t t 0. (3.3) Een stelsel DDE s (3.1) heet asymptotisch stabiel als voor elke beginfunctie φ(t) voldaan wordt aan lim δy(t) = 0 (3.4) t Voordat we dit kunnen toepassen, introduceren we eerst de betekenis van X(t) en Y (t), welke in de volgende alinea voor het eerst aan bod zullen komen. Beschouw een ODE { y (t) = f(t, y(t), u(t)), t t 0, y(t 0 ) = y 0, t t 0, (3.5) Hierbij is u(t) de forcing term. Dit is dus (3.1) waarbij y(t τ) vervangen is door de forcing term. Gegeven een inproduct, in C d en de bijbehorende norm, beschouw de stelsels van DDE s zoals (3.5) en (3.2). X(t) en Y (t) zijn continue functies die voldoen aan ([12], p234): en Als Y (t) Re( f(t, y 1, x) f(t, y 2, x), y 1 y 2 ) sup x,y 1 y 2 y 1 y 2 2 X(t) f(t, y, x 1 ) f(t, y, x 2 ) sup y,x 1 x 2 x 1 x 2 2 Y (t) + X(t) 0, t t 0 (3.6) dan is het stelsel (3.1) dempend (m.a.w. (3.3) geldt) voor alle beginfuncties φ(t) en voor alle delays τ(t) die voldoen aan (H1). Als er geldt dat Y (t) Y 0 < 0 voor t t 0, en voor een positieve reële R < 1 geldt dat R Y (t) + X(t) 0 (3.7) dan is het stelsel DDE s naast dempend ook asymptotisch stabiel voor alle beginfuncties φ(t) en voor alle delays τ(t) die voldoen aan (H1) en (H2). Als er ook voldaan is aan (H3), dan convergeert de verstoring sneller naar 0 dan e α(t t 0) voor een α > 0.

31 3.1. STABILITEITSANALYSE VAN DDE S 19 Om de abstracte weergave van X en Y te verduidelijken, neem dan eens f(t, y, u) een scalar en een functie in R. Dan is Y (t) sup (f(t, y 1, x) f(t, y 2, x))(y 1 y 2 ) (y 1 y 2 ) 2 = sup f(t, y 1, x) f(t, y 2, x) = max f y 1 y 2 y. Op dezelfde manier volgt dat X(t) max f x Lineaire scalar testvergelijking We onderscheiden de lineaire testvergelijkingen door lineaire DDE s met variabele coëfficiënten: { y (t) = λ(t)y(t) + µ(t)y(t τ(t)) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0 (3.8) en lineaire DDE s met constante coëfficiënten: { y (t) = λy(t) + µy(t τ(t)) t t 0 y(t) = φ(t) t t 0. (3.9) Als er nu naast constante coëfficiënten ook een constante delay τ is, dan is (3.6) te schrijven als Re(λ(t)) + µ(t) 0, t t 0 voor vergelijking (3.8) en als Re(λ) + µ 0 voor vergelijking (3.9) en (3.7) is te schrijven als voor vergelijking (3.8). R Re(λ(t)) + µ(t) 0, t t 0 Sterker nog, als λ en µ constante coëfficiënten zijn, zoals vergelijking (3.9), dan kunnen we (3.7) schrijven als Re(λ) + µ < 0 ([12], p255). Door lineairiteit kunnen we zonder restricties de vergelijkingen (3.8) en (3.9) vergelijken met respectievelijk en { ỹ (t) = λ(t)ỹ(t) + µ(t)ỹ(t τ(t)) t t 0 ỹ(t) = 0 t t 0 (3.10) { ỹ (t) = λỹ(t) + µỹ(t τ(t)) t t 0 ỹ(t) = 0 t t 0. (3.11) Merk op dat de oplossingen hiervan gelijk zijn aan ỹ(t) 0. Daarom is 3.3 te schrijven als y(t) max x t 0 φ(x), t t 0 (3.12)

32 20 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT en 3.4 als lim y(t) = 0. (3.13) t Om de voorwaarde Re(λ(t)) + µ(t) 0 intuïtief te verduidelijken, koppelen we deze theorie terug naar ODE s. Hiervoor weten we dat y (t) = λy(t) stabiel is als λ 0. Beschouw nu de DDE (3.8) en laat τ 0. Dan volgt uit: τ 0 == y (t) = λy(t) + µy(t τ) y (t) = λy(t) + µy(t) y (t) = (λ + µ)y(t), dat λ + µ 0 voor stabiliteit. Nu bekijken we of de bovenstaande theorie klopt voor de DDE s van Figuur 2.1. De drie figuren geven de oplossing van lineaire scalar testvergelijkingen weer waarbij φ(t) = t + 1. Hierbij is τ = 1 constant. Bij 2.1a geldt: Re(λ(t)) + µ(t) = Re(λ) + µ = = 0.5 0, t t 0. en dus is het stelsel niet dempend. Dit komt overeen met het figuur. Voor 2.1b en 2.1c geldt respectievelijk: Re(λ) + µ = = 1 < 0 en Re(λ) + µ = = 1.5 > 0. Dus het stelsel DDE bijbehorend bij (2.1b) is niet alleen dempend voor elke beginfunctie, maar ook asymptotisch stabiel. Dit is terug te zien in het bijbehorende figuur. Alleen voor het laatste geval zien we dat deze niet voldoet aan de voorwaarde. Dit wordt geevalueerd en uitgelegd in subparagraaf Samenvattend: Als de coëfficiënten van de vergelijkingen (3.8) en (3.9) voldoen aan respectievelijk Re(λ(t)) + µ(t) 0, t t 0 en Re(λ) + µ 0 (3.14) dan is de vergelijking dempend voor elke beginfunctie φ(t) en voor alle delays τ(t) die voldoen aan (H1). Als de coefficienten van (3.8) voldoen aan Re(λ(t)) Λ 0 < 0 en R Re(λ(t)) + µ(t) 0 voor een niet-negatief reeel getal R < 1, en al de coefficienten van (3.9) voldoen aan Re(λ) + µ < 0 (3.15) dan is de oplossing y(t) asymptotisch stabiel voor elke beginfunctie φ(t) als aan (H1) en (H3) is voldaan. Naast deze theorie kan voor een constante delay in het stelsel { y (t) = λy(t) + µy(t τ), t t 0, y(t) = φ(t), t t 0, (3.16) de stabiliteitsanalyse gedaan worden aan de hand van het bestuderen van de oplossingen ζ van de karakteristieke vergelijking ζ λ µe τζ = 0.

33 3.1. STABILITEITSANALYSE VAN DDE S 21 Hierbij heb je een asymptotisch stabiliteitsgebied S τ van (3.16). Dit gebied S τ is gedefinieerd als een verzameling paren (λ, µ) zo dat de bijbehorende oplossing asymptotisch stabiel is voor elke φ(t) en voor elke vaste τ. De analyse van dit stabiliteitsgebied S τ is uitgebreid onderzocht door Guglielmi en Hairer [17] en Maset [18] voor reële en complexe λ en µ. Voor het INCAS 3 model zal het gaan om de reële λ en µ. Dit is de reden dat de omschrijving van het asymptotisch stabiliteitsgebied S τ voor imaginaire coëfficiënten achterwege gelaten zal worden Asymptotisch stabiliteitsgebied S τ voor reële coëfficiënten Een uitgebreide analyse van de karakteristieke vergelijking ζ λ µe τζ = 0 met een vaste waarde voor τ heeft geleid naar een stabiliteitsgebied die groter is dan alleen de kegel λ + µ < 0. Hayes [19] heeft gevonden dat het gebied van asymptotische stabiliteit gegeven wordt door een verzameling paren (λ, µ) zo dat λ < µ en µ 2 λ 2 < 1 ( λ ) τ arccos µ Figuur 3.1: Asymptotische stabiliteitsgebied S τ van vergelijking (3.8) met constante delay τ in het reele (λ, µ)-vlak ([12], p259). Beschouw het voorbeeld { y (t) = 1 2y(t) y(t 1), t 0, y(t) = φ(t) = t + 1, 1 t 0, (3.17) en merk op dat λ = 1 2, µ = 1 en τ = 1. De oplossing y(t) is asymptotisch stabiel en gaat naar 0, terwijl Re(λ) + µ = = 3 2 0, wat de voorwaarde voor asymptotische stabiliteit (3.15) tegenspreekt. Hieruit kunnen we concluderen dat Re(λ) + µ < 0 niet nodig is voor

34 22 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT asymptotische stabiliteit voor een vaste, constante delay τ. Echter, als we τ naar oneindig laten lopen, dan kan voor µ, λ R het gebied S τ beschreven worden door de voorwaarde λ µ < λ. Deze voorwaarde is iets zwakker dan (3.15), maar is nodig voor de asymptotische stabiliteit voor alle constante delays τ. Dus voor y (t) = λy(t) + µy(t τ) met µ, λ R geldt dat: lim t y(t) = 0 voor alle constante delays τ dan en slechts dan als λ µ < λ. Dit impliceert (λ, µ) S τ wat geldt dan en slechts dan als lim t y(t) = 0 voor alle vaste constante delay τ. Voor µ, λ C is dit: lim t y(t) = 0 voor alle constante delays τ dan en slechts dan als Re(λ) < µ of λ R, µ = λ, λ + µ 0. Dit impliceert (λ, µ) S τ wat geldt dan en slechts dan als lim t y(t) = 0 voor alle vaste constante delay τ. Matlabresultaten bij stabiliteitsgebied S τ Allereerst bekijken we een simpel triviaal geval, waarbij λ < 0. We weten hiervan van de theorie van ODE s dat de oplossing stabiel is. Neem λ = 1 2, µ = 1 2. Dit paar (λ, µ) valt binnen het gebied λ µ < λ, dus zou voor elke τ stabiel moeten zijn. De figuren zijn allemaal gebaseerd op Runge-Kutta 4, in het RK4script.m file. (a) τ = 1 (b) τ = 5 (c) τ = 20 (d) τ = 100 Al deze paren zien er stabiel uit, ze dempen uit naar een waarde. en µ = 1. Dit paar ligt namelijk niet in het stabiliteits- We bekijken nu een randgeval λ = 1 2 gebied voor alle τ.

35 3.2. STABILITEITSANALYSE VAN RUNGE-KUTTA METHODEN VOOR DDE S 23 (a) τ = 1 (b) τ = 1.2 (c) τ = 1.3 (d) τ = 2 Zoals te zien is gaat het voor τ = 1.2 nog goed, maar voor τ = 1.3 niet meer. Ergens tussen deze twee getallen ligt het grensgeval, welke precies berekend zou kunnen worden aan de hand van de formule die gegeven is aan het begin van deze paragraaf om het stabiliteitsgebied mee uit te rekenen. 3.2 Stabiliteitsanalyse van Runge-Kutta methoden voor DDE s In deze paragraaf zal de stabiliteit van Runge-Kutta methoden voor DDE s geanalyseerd worden en geïmplementeerd met de standaard aanpak. Voor de meest simpele testvergelijking y (t) = λy(t) + µy(t τ) wordt er gekeken naar de generalisatie van het concept van A-stabiliteit voor ODE s. Dit is interessant voor bijvoorbeeld de asymptotische stabiliteit of de demping, die voor DDE s niet noodzakelijkerwijs allebei gelden. Ook wordt er onderscheid gemaakt in het wel of niet eisen dat de stapgrootte h een meervoud van de delay τ is. Zodra we willen kijken welke methoden stabiel zijn voor alle delays (delay independent stability) of voor vaste delays (delay dependent stability). Daarvoor wordt y (t) = λ(t)y(t) + µ(t)y(t τ) bestudeerd, welke leidt naar een generalisatie van het concept van AN-stabiliteit voor ODE s en y (t) = f(t, y(t), y(t τ) naar BN-stabiliteit voor ODE s. Voor dit project is het relevant om te kijken naar A-stabiliteit en de iets sterkere variant P- stabiliteit. De andere soorten stabiliteiten worden voor nu achterwege gelaten.

36 24 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT Lineaire groei De concepten van stabiliteit en fouten in de numerieke integratie voor DDE s zijn weer gebaseerd op die van de ODE s. Voor DDE s van de vorm: { y (t) = f(t, y(t), y(t τ(t))), t 0 t t f (3.18) y(t) = φ(t), t t 0, moet de fout beperkt blijven, en dus niet constant groeien, op het interval [t 0, t f ] van een verzameling = {t 0, t 1,..., t n,..., t N = t f } met een zo groot mogelijke stapgrootte. Neem aan dat op het interval [t n, t n+1 ] de éénstapsmethode wordt gebruikt (standaard aanpak), welke een discrete benadering y n+1 en een continue benadering η(t n + θh n+1 ) met 0 θ 1 geeft voor het lokale probleem { w n+1 (t) = f(t, w n+1 (t), x(t τ(t))), t n t t n+1, (3.19) w n+1 = η(t n ), met φ(s), s t 0, x(s) = η(s), t 0 s t n, w n+1 (s), t n s t n+1. Beschouw daarnaast een ander lokaal probleem { z n+1 (t) = f(t, z n+1 (t), u(t τ(t))), t n t t n+1, met z n+1 = y(t n ), φ(s), s t 0, u(s) = y(s), t 0 s t n, z n+1 (s), t n s t n+1, (3.20) en merk op dat z n+1 y(t) de oplossing van (3.18) is. Schrijf z n+1 en ζ n+1 (t n + θh n+1 ) met 0 θ 1, als respectievelijk de discrete en continue benaderingen van (3.20). Ter verduidelijking, bekijk het onderstaande figuur: Figuur 3.4: Discrete en continue benadering Er wordt telkens gekeken op een interval [t n, t n+1 ] voor n = 0,..., n 1. De discrete numerieke benadering heeft dus alleen waarden y n en y n+1 in respectievelijk t n en t n+1. Dit is het verschil met de continue numerieke benadering, welke ook op alle tussenliggende punten een

37 3.2. STABILITEITSANALYSE VAN RUNGE-KUTTA METHODEN VOOR DDE S 25 benadering heeft. Merk op dat (3.19) en (3.20) van elkaar verschillen met fout y(t n ) y n in de beginwaarde en met de fout y(t τ(t)) η(t τ(t)) in de forcing term voor sommige t τ(t) < t n. Dit is de reden dat het nodig is om ook naar de maximale uniforme globale fout E n = max 0 t t n y(t) η(t) te kijken, in plaats van alleen de maximale discrete globale fout e n = max 0 i n y(t i) y i. Bij e n wordt er gekeken naar de maximale fout y i y(t i ) voor i = 1,..., n dus alle discrete waarden. Bij E n wordt er gekeken naar de continue benaderingen, dus de maximale fout kan ook op een tijdstip zijn tussen de discrete punten in. Een grafische weergave van e n en E n is te zien in het volgende figuur: (a) e n (b) E n Er zijn nu twee aanpakken om deze fouten onder controle te houden, dus twee verschillende eisen voor stabiliteit. De tweede aanpak welke een sterkere stabiliteitsvoorwaarde heeft, wordt hier niet behandeld, maar is terug te lezen in [12]. De aanpak die wel interessant is, is de stabiliteitsvoorwaarde voor de uniform doorgegeven fout ( uniform propagated error ): voor alle n = 0, 1,..., N 1. max ζ n+1 (t) η(t) E n (3.21) t n t t n+1 Wat hier eigenlijk staat is dus max ζ n+1 (t) η(t) max y(t) η(t), t n t t n+1 0 t t n wat volgt uit de volgende driehoeksongelijkheid: max y(t) η(t) t n t t n+1 max y(t) ζ n+1 (t) + max ζ n+1 (t) η(t) t n t t n+1 t n t t n+1

38 26 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT Ook te zien in onderstaand figuur, waarbij w i met i = 0, 1, 2... precies de benadering η(t) voorstelt, y(t) de exacte oplossing is en het lijntje ertussen ζ. Er staat dus dat de afstand tussen η en ζ maximaal de maximale afstand tussen y en η is. Figuur 3.6: Uniform propagated error Er zijn twee mogelijke afkomsten van de fout, namelijk de fout in de beginwaarde: y(t n ) y n en de fout in de forcingterm: y(s) η(s). Dit betekent dat bij de numerieke methode die is toegepast op (3.19), de effecten van kleine verstoringen in de beginwaarde en de forcing term beperkt moeten blijven. Met andere woorden, de instabiliteit die vergelijkbaar is met de stijfheid van ODE s kan ook voortkomen van verstoringen in de laatste waarden van de benadering van de oplossing. Dus het gebruik van een methode die wel dempend is voor ODE s hoeft niet te betekenen dat deze voldoet aan de stabiliteitsvoorwaarde (3.21) voor DDE s. Om dit te verduidelijken, beschouw de vergelijking { y (t) = 50y(t) + 45y(t τ) t 0 (3.22) y(t) = 1, t 0. Op basis van de stelling (3.14), is de vergelijking dempend voor elke τ 0. Beschouw nu de midpuntregel, welke A-stabiel is. Dit betekent dat deze dempend is voor elke stapgroote en voor elk paar stabiele constante coefficienten van een lineaire scalar testvergelijking zoals (3.22) met τ = 0. Het blijkt dat, in het algemeen, de oplossing verkregen door de integratie van de vergelijking (3.22) met de midpuntregel en gebruikmakend van lineaire interpolatie, niet voldoet aan voorwaarde (3.21). De fout neemt sneller toe dan lineair, met betrekking tot de lengte van het integratieinterval. Dit is te zien in onderstand figuur, waar (3.22), met τ = 1 geintegreerd is met stapgrootte h = Wel blijkt dat de DDE dempend is als de stapgrootte voldoende klein is A-stabiliteit van DDE s Neem voor de generalisatie van de ODE testvergelijking y (t) = λy(t), y(t 0 ) = y 0, de testvergelijking voor DDE: { y (t) = λy(t) + µy(t τ) t t 0 (3.23) y(t) = φ(t), t t 0,

39 3.2. STABILITEITSANALYSE VAN RUNGE-KUTTA METHODEN VOOR DDE S 27 Figuur 3.7: Exacte en numerieke oplossing voor τ = 1 met de midpuntregel, h = 0.15 ([12], p295). waar λ, µ C en τ is constant. Dit is de meest eenvoudige testvergelijking om het concept A-stabiliteit voor DDE s te introduceren. In (3.1) zijn al een aantal termen m.b.t. stabiliteit (demping, asymptotisch stabiel) behandeld. We hebben gezien dat, voor (3.23), Re(λ) + µ 0 (3.24) de klasse van vergelijkingen karakteriseert die voldoen aan de dempende eigenschap y(t) max x t 0 φ(x), t t 0, voor elke vaste waarde van de delay τ. Omdat (3.24) niet van τ afhangt, geldt het dus ook voor alle delays. Daarnaast hebben we gezien dat de sterkere voorwaarde Re(λ) + µ < 0 (3.25) de klasse van vergelijkingen karakteriseert die voldoen aan de asymptotisch stabiliteit eigenschap voor alle delays τ voor alle beginfuncties φ(t). lim y(t) = 0 t Echter geldt dat er asymptotische stabiliteit is van (3.23) voor vaste waarden van τ dan en slechts dan als λ en µ in S τ liggen. Daarom vragen we ons af of er door de numerieke methode de asymptotische stabiliteit behouden blijft en/of de dempende eigenschap y n max x t0 φ(x) blijft gelden. Voor de eigenschappen van asymptotische stabiliteit van een numerieke methode voor DDE s, heeft Barwell [16] definities gegeven voor GP- en P-stabiliteit. Er geldt dat GPstabiliteit P-stabiliteit impliceert. In de volgende paragraaf zal de P-stabiliteit aan bod komen.

40 28 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT P-stabiliteit van DDE s Het P-stabiliteitsgebied van een numerieke methode voor DDE s is een verzamling S P van paren complexe getallen (α, β), α = hλ, β = hµ, zo dat de discrete numerieke oplossing {y n } n 0 van (3.23) voldoet aan lim y n = 0, (3.26) n voor alle constante delays τ en beginfuncties φ(t). Hierbij is h een constante stapgrootte, waarvoor geldt dat: h = τ, m 1. (3.27) m Een numerieke methode voor DDE s is P-stabiel als S P {(α, β) C 2 : Re(α) + β < 0}. Met andere woorden, een numerieke methode is P-stabiel als, voor elke stapgrootte h die voldoet aan (3.27), de asymptotische stabiliteit van (3.23) behouden blijft wanneer Re(λ) < µ, dus wanneer (3.23) asymptotisch stabiel is voor alle delays τ. Het P- contractivity gebied van een numerieke methode voor DDE s is de verzameling C P van paren complexe getallen (α, β), α = hλ, β = hµ, zodat de discrete numerieke oplossing {y n } n 0 voldoet aan y n max x t 0 φ(x), n 0 (3.28) voor alle constante delays τ en beginfuncties φ(t). Hierbij is h de constante stapgrootte, die voldoet aan (3.27). Een numerieke methode voor DDE s is P- contractive als C P {(α, β) C 2 : Re(α) + β 0} Matlabresultaten bij stabiliteitsanalyse van Runge-Kutta 4 Beschouw weer het stelsel (2.9): { y (t) = 0.5y(t) y(t 1) t 0 S(t) = t + 1 t 0. (3.29) aangezien moet gelden dat h = τ m, kiezen we h 0.1, 0.25, 0.5 en 1.

41 3.2. STABILITEITSANALYSE VAN RUNGE-KUTTA METHODEN VOOR DDE S 29 (a) h = 0.1 (b) h = 0.25 (c) h = 0.5 (d) h = 1 Deze figuren kloppen met de theorie, want het paar (α = hλ, β = hµ) voldoet aan de voorwaarden om in het stabiliteitsgebied S τ te liggen voor alle bovenstaande waarden voor h. Nemen we nu een andere τ, bijvoorbeeld τ = 4, dan zien we dat bij h = 0.1 niet voldaan wordt aan de voorwaarden en ook dat de oplossing niet stabiel is: Figuur 3.9: τ = 4, h = 0.1 Als we nu een stapgrootte nemen die klein genoeg is, dan zal naar verwachting het paar (α, β) weer in het stabiliteitsgebied liggen. Bij stapgrootte h = 0.01 voldoet het paar aan de voorwaarden voor het stabileitsgebied S τ, maar de numerieke oplossing ziet er als volgt uit:

42 30 HOOFDSTUK 3. STABILITEIT Figuur 3.10: τ = 4, h = 0.01 Hieruit kunnen we dus concluderen dat voor deze λ en µ geen paar (α, β) is, omdat niet voor alle stapgroottes de asymptotische stabiliteit behouden blijft. Dus voor Runge-Kutta 4 zitten deze paren niet in het stabiliteitsgebied S p.

43 Hoofdstuk 4 Het model van INCAS Uitleg van het model in Matlab INCAS 3 heeft een Matlabprogramma, gebaseerd op een publicatie van van den Raadt [13], geschreven, namelijk cochleogram_dimensionless_rk4.m. Dit is de uitbreiding op cochleogram_dimensionless.m, welke nog niet de delay term τ bevatte (dit was het Matlabprogramma gebruikt door K. Lindenberg [2]). Het is belangrijk om te begrijpen wat het Matlabprogramma precies doet en dus staat in deze paragraaf een korte handleiding die daartoe helpt. Sommige commentaarregels van het programma verwijzen naar de FORTRAN code. Dit is een eerdere/oudere implementatie van het model Deel 1 - Implementatie van Runge-Kutta 4 Omdat we willen kijken naar de stabiliteit van Runge-Kutta 4, staat dit gedeelte van het programma eerst uitgelegd. 1 % compute g, g 0 on p24 ; 0 u t i l d e ( 1 ) = u 0 t i l d e, y t i l d e ( 1 ) = y 0 t i l d e, g i on p36, part with y t e r i s only in FORTRAN 77 code ; y t e r w i l l remain zero 2 g = [ ( n t ˆ2 Z s /m s ) ( s s t / s t ) ( t 0 h a t u t i l d e ( 1 )+omega rm/ d e l t a t 0 h a t ˆ2 y t i l d e ( 1 ) ) ;... 3 d p r o f. d. u t i l d e ( 2 : end )+s. y t i l d e ( 2 : end )+c p r o f. s. y t e r ] ; In g(1) staat g 0 : g 0 = n2 t Z s m s SST S t (ˆt 0 ũ 0 + ω rm δ ˆt 2 0ỹ 0 ) waarbij m s = 0.5kg/m 2 en S ST = m 2 de oppervlakte van de stapes, het laatste van de drie gehoorbeentjes, waarvan de voetplaat gekoppeld is aan de cochlea. Dit is het oppervlak dat de beweging overbrengt naar de cochlea. S t = is de oppervlakte van het trommelvlies en n t = 30 de transformatie factor met betrekking tot het middenoor. Deze factor komt in de uitdrukking voor omdat y 0 en u 0 worden gedefinieerd aan de buitenkant van het middenoor.z s = 415Ns/m 2 is de acoustische impedantie van lucht, ˆt 0 = de normalisatie van de tijd, ω rm = 2π2000 de resonantiefrequenties van het middenoor en δ = 1/Q = 2.5, waarbij Q de kwaliteitsfactor is van de resonantie. 31

44 32 HOOFDSTUK 4. HET MODEL VAN INCAS 3 In de vector g is g(i) voor 1 < i < N deels hetzelfde als d(x n )ν(x n, t) + s(x n )ζ(x n, t) wat terug te vinden is op bladzijde 4 uit Kimberley s verslag. Het verschil met Kimberley s verslag is de delayed feedback stiffness c_prof.*s.*yter. De demping en stijfheid zijn als het ware verstopt in andere variabelen. Zo is Z s eigenlijk een demping in een wat andere vorm en komt s uit de breuk ω rm /δ. De precieze uitwerking van deze vertaalslag is te vinden in het werk van van den Raadt vanaf pagina 24 [13]. Verder is op te merken dat de uitdrukking voor g(0) ook van de vorm g(t) = d(x n )ν(x n, t) s (x n )ζ(x n, t) is, alleen worden nu de waarden van demping en stijfheid van het middenoor gebruikt. Merk ook op dat de notatie in het werk van Kimberley [2], van den Raadt [13] en het Matlabprogramma verschillen: { y tilde = ζ u tilde = ν. In het volgende gedeelte van de code wordt r berekend: 1 % compute r 2 % page 2 6 ; r 0 = r ( 1 ) ; g ( 1 ) = g 0 3 r = [ alpha 0 d x 0 1 t i l d e ( P e ( timestep ) + g ( 1 ) ) ;... 4 a lpha x s quared. d x t i l d e ˆ2. g ( 2 : end ) ] ; 5 % Some m o d i f i c a t i o n in the FORTRAN code 6 r ( 2 ) = r ( 2 ) d x 0 1 t i l d e / d x t i l d e ; 7 8 % s o l v e A p h i t i l d e = r % page 25 9 p h i t i l d e = inva r ; r is een functie die van de plaats en tijd afhangt, r = r(x, t). Het representeert the next state of uncoupled oscillators. Om deze vector te bepalen is g(x, t) nodig uit de vorige stap. De matrix A geeft de relatie tussen de aangrenzende oscillatoren weer. In van den Raadt [13] is dit terug te vinden op bladzijde 26: A φ(t) = r(t) In Kimberley s verslag [2] is dit terug te vinden op bladzijde 3 in de vorm: A p(t) = b(t) De matrix A is dus bekend, evenals r, dus kan de vector φ bepaald worden. Dit gebeurt in regel 9. Er is nu genoeg informatie om Runge-Kutta 4 toe te passen, aangezien het rechterlid φ nu bekend is. 1 % Fourth o r d e r Runge Kutta method 2 % ( Diependaal, Duifhuis, Hoogstraten, Viergever [ 2 ] ). 3 % In t h i s code : u ( t ) = y ( t ), v ( t ) = u ( t ) and omega [ t, y ( t ), u ( t ) ] = 4 % [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ; 5 % p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ]. 6 f u n c t i e 1 = [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ;

45 4.1. UITLEG VAN HET MODEL IN MATLAB 33 7 p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ] ; 8 y t i l d e 1 = y t i l d e d t t i l d e u t i l d e ; 9 u t i l d e 1 = u t i l d e d t t i l d e ( f u n c t i e 1 ) ; Op bladzijde 4 van Kimberley s verslag [2] staat voor het gemak geschreven dat ν(t) = ω[t, ζ(t), ν(t)]. Dit is terug te zien in regel 3 van de code: ω[t, y(t), u(t)]. Het is een vector van lengte N + 1 die begint bij i = 0, dit is het punt waar het middenoor met het binnenoor (dus de cochlea) verbonden is. 1 < i < N zijn de punten binnen de cochlea en bij i = N bevindt zich de helicotrema. Functie 1 wordt dus gedefinieerd als de vector ω[t, y(t), u(t)]. Hiervoor moeten dus eerst g,r, φ bepaald worden. Dit kan opgevat worden als de k 1 van Runge-Kutta. Vervolgens worden ỹ en ũ opnieuw bepaald. Aangezien deze vectoren nu anders zijn, kan er ook een nieuwe schatting voor g,r en φ gevonden worden. Dit gebeurt dan in de volgende stap waar ook functie 2 uit volgt. Dit wordt herhaald tot functie 4, waarna de laatste stap van Runge-Kutta 4 toegepast kan worden: 1 % Update y and u 2 y t i l d e = y t i l d e + ( d t t i l d e /6) ( u t i l d e +2 u t i l d e 1 +2 u t i l d e 2+ u t i l d e 3 ) ; 3 u t i l d e = u t i l d e + ( d t t i l d e /6) ( f u n c t i e 1 +2 f u n c t i e 2 +2 f u n c t i e 3+ f u n c t i e 4 ) ; Deze stappen worden ook omschreven in Kimberley s verslag [2] op bladzijde 5: Het tijdsinterval [0, T ] is opgedeeld in M equidistante deelintervallen met t j = j t voor alle 0 j M. De volgende stappen worden doorlopen voor j = 1 tot j = M. 1. Bereken op tijdstip t j 1 de vectoren g en b. ( Dus g en r.) 2. Los p op uit Ap(t) = b(t). ( Dus φ uit A φ(t) = r(t).) 3. Bereken ω[t, y(t), u(t)] = Q [p(t) g(t)]. 4. Integreer de vergelijkingen ζ(t) = ν(t) en ν(t) = ω[t, y(t), u(t)] van t j 1 tot t j. (Dus integreren van ỹ en ũ.) Als voor de tijdsintegratie Runge-Kutta 4 gebruikt wordt, betekent dit dat in elke stap (predictor en corrector) de stappen 1 t/m 3 opnieuw doorlopen moeten worden omdat nieuwe schattingen voor ζ en ν zorgen voor nieuwe waarden voor g en b: { ζ(t + t) = ζ(t) [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ] ν(t + t) = ν(t) [l 1 + 2l 2 + 2l 3 + l 4 ] Deel 2 - Implementatie van de DDE Om te begrijpen hoe de delay term yter gemaakt wordt in Matlab zullen we een ander stuk code moeten bekijken. Daarna is het volledige programma in grote lijnen uitgelegd. Bekijk: 1 i f ZWEIG 2 d = d. / e p s i l o n ;

46 34 HOOFDSTUK 4. HET MODEL VAN INCAS 3 3 f r e q = s q r t ( s. / t 0 h a t ˆ2 ) /2/ pi ; 4 per = / ( f r e q dt ) ; 5 n per = f l o o r ( per + 1 ) ; 6 per = n per per ; 7 cumsum n per = cumsum( n p e r ) ; 8 ybuf = z e r o s ( sum( n per ), 1, f l o a t ) ; 9 end y t e r = z e r o s ( N, 1) ; en 1 i f ZWEIG 2 y t e r = per. ybuf ( 1 + cumsum n per ) + (1 per ). ybuf ( cumsum n per ) ; 3 ybuf = [ 0 ; ybuf ( : ) ] ; 4 ybuf ( cumsum n per n per ( 1 ) + 1 ) = y t i l d e ( 2 : end ) ; 5 end Allereerst om alles wat te versimpelen is hier een lijstje met waarden die bekend zijn, zodat er makkelijker gezien kan worden welke functie wat precies is. N = 400 dt = 0.2e 6 t_0_hat = 1e 3 x 0 hat = 35e 3 h = 1e 3 m s = 0.5 s 0 = 1e10 lambda = 300 epsilon = 5e 2 dx 01 tilde = 1/400 Er wordt dus gekeken naar de delay term yter, dus kom je terecht in de Zweig impedantie if-loop. Allereerst herschalen ze d, d is: d = epsilon*t_0_hat*sqrt(s_0/m_s)*exp(-0.5*lambda_tilde.*x_tilde(2:end)) Wat neerkomt op de vorm d = C e D x(2:end), met C,D constanten en x(2 : end) een kolomvector in de vorm: 0 d x x = 2 d x. 399 d x met d x = 1/N = In regel 2 herschalen ze d, om epsilon te verwijderen, die in de formulering van de Zweig impedantie niet voorkomt. Door epsilon uit de berekening voor de demping te elimineren kunnen de parameterwaarden uit het artikel van Zweig direct worden overgenomen. In regel 3 berekenen ze de resonantie frequentie van alle 400 oscillatoren. Deze formule is terug te vinden in van den Raadt [13]. Het is een kolomvector van lengte N = 400 want de frequentie hangt af van s, welke gedefinieerd is als s= t_0_hat^2 / m_s * s_0.*exp( - lambda_tilde.*x_tilde(2:end) ). Regel 4 is een formule die komt uit het artikel over Zweig impedantie [15]. per bevat een 1/frequentie, dus een trillingstijd. De delay in de Zweig impedantie is dus maal de lokale resonantieperiode:

47 4.1. UITLEG VAN HET MODEL IN MATLAB 35 τ(i) = 1.75 T (i). In de code is niet gebruikt, omdat uit ervaring bleek dat 1.75 een stabieler system geeft dan Merk op dat per ook weer een kolomvector is van lengte N. Uiteindelijk in regel 11 is er een buffer gecreëerd, waar alle waarden van yter in staan. Per segment is een buffer nodig waarin de waarden van yter worden bijgehouden. De lengte van de buffer is per segment verschillend (korter voor hoogfrequente segmenten en langer voor lager frequente segmenten). In de implementatie van INCAS 3 is er voor gekozen alle buffers achter elkaar te plaatsen in één array. Daarbij moeten bijgehouden worden waar elke volgende buffer begint. Daarvoor gebruiken we n_per. Om beter te begrijpen wat per en n_per zijn, bekijk Figuur 4.1. Figuur 4.1: Grafische weergave van de buffers n_per is gedefinieerd als per die naar boven afgerond wordt, dit is nodig omdat per hoogstwaarschijnlijk geen geheel getal is. Hierna wordt per opnieuw gedefinieerd als het verschil tussen per en nper. Om yter zo nauwkeurig mogelijk te bepalen is er in de INCAS 3 code voor gekozen om een interpolatie te doen op de twee waarden die aan weerszijden vanper(i) liggen. Merk op dat per(i) en n_per(i) in waarde dus hooguit 1 verschillen vanwege de afronding, dus voor de opnieuw gedefinieerde per geldt 0 per(i) < 1. Interpolatie van de laatste twee gebufferde waarden geeft een goede schatting van y(t τ) en per geeft de fractie die bij de interpolatie wordt gebruikt. n_per(i) geeft nu de lengte van de buffer (shift register) van oscillator i, wat dus gelijk is aan het aantal waardes die in de buffer gezet moet worden. In regel 7 wordt cumsum_n_per gedefinieerd als volgt: n_per(0) n_per(0) + n_per(1). 399 i=0 n_per(i) Deze vector geeft nu weer op welke plaatsen de volgende buffer begint, dit is nodig omdat in de volgende stap deze buffers van N oscillatoren in 1 kolomvector ybuf gezet worden. Dit is terug

48 36 HOOFDSTUK 4. HET MODEL VAN INCAS 3 te vinden in regel 8. Alle waarden in alle afzonderlijke buffers worden initieel op 0 gezet. Figuur 4.2: Grafische weergave van Ybuff In het tweede stukje code wordt in de tweede regel de interpolatie toegepast om yter = y(t τ) te berekenen voor elke oscillator. 1 y t e r = per. ybuf ( 1 + cumsum n per ) + (1 per ). ybuf ( cumsum n per ) ; Dit kan op deze manier omdat 0 per 1: Figuur 4.3: Grafische weergave van de interpolatie. Vervolgens worden alle waarden in de gehele buffer ybuf 1 plaats opgeschoven als volgt: ybuf(i) = ybuf(i 1). Dit heeft hetzelfde effect als wanneer alle afzonderlijke buffers worden opgeschoven. De nieuwe waarden worden op de juiste posities in de afzonderlijke buffers geplaatst in regel 4. Dit wordt herhaald totdat heel de buffer gevuld is. Als de buffer gevuld is en er wordt weer geschoven, dan worden in de buffer dus de oude waarden voor y(t τ) verwijdert die niet meer nodig zijn.

49 Hoofdstuk 5 Conclusies De opdracht van INCAS 3 bleek veel complexer te zijn dan vooraf gepland, daardoor zijn er geen concrete antwoorden op de gestelde onderzoeksvragen. Wel zijn er tussenresultaten, die in verder onderzoek kunnen worden gebruikt om wel op zoek te gaan naar concrete resultaten. Veel theorie van ODE s kan worden toegepast op DDE s of anders zo uitgebreid worden dat het kan. Zo kan een DDE met de method of steps worden opgelost. Dit houdt in dat het achterlopend argument van de DDE wordt vervangen door een functie die verkegen is door ODE s stap voor stap te integreren. Deze functie is gegeven, afhankelijk van de waarde van t door de beginfunctie of een continue extensie van de numerieke oplossing die door de methode zelf is berekend. Deze numerieke oplossing is ook bekeken. De Matlabfunctie dde23 gebruikt een corrector-predictor iteratie, zoals ook gedaan wordt in de Runge-Kutta 4 methode in het INCAS 3 model. Bij Modified Euler is de tweede term van de corrector bij ODE s f(t n+1, wn+1 ), waarbij wn+1 uit de predictor komt. Deze term voor DDE s hangt ook af van het achterlopend argument w n (τ/h)+1. Vergelijkingen met Runge-Kutta 4 hebben geleidt tot de conclusie dat het achterlopend argument niet wordt verkregen uit de predictor. Voor de stabiliteit is gekeken naar de stabiliteit van de DDE s zelf en de stabiliteit van de numerieke methode. Na de definities van dempend en asymptotische stabiliteit is gedefinieerd wanneer een DDE stabiel is voor een constante τ, namelijk als: Re(λ)+ µ < 0. Ook deze stabiliteitsvoorwaarde is terug te koppelen naar ODE s. Wanneer je een lineaire scalar testvergelijking hebt (y (t) = λy(t) + µy(t τ)), en τ gaat naar 0, dan heb je weer een ODE. Deze is (asymptotisch) stabiel wanneer λ+µ < 0, wat lijkt op de stabiliteitsvoorwaarde die hierboven genoemd is. Er bleek dat er een asymptotisch stabiele oplossing was voor een lineaire scalar testvergelijking, maar dat deze niet voldeed aan de voorwaarde die hierboven genoemd is. Daaruit konden we concluderen dat die voorwaarde niet nodig was voor de asymptotische stabiliteit voor een vaste, constante delay τ. Echter, als we het hebben over alle constante delays τ dan is deze voorwaarde wel nodig. Er zijn twee mogelijke afkomsten van de fout, namelijk de fout in de beginwaarde en de fout in de forcing term. Dit betekent dat bij de numerieke methode die is toegepast, de effecten van kleine verstoringen in de beginwaarde en de forcing term beperkt moeten blijven. Met andere woorden, de instabiliteit die vergelijkbaar is met de stijfheid van ODE s kan ook voortkomen van verstoringen in de laatste waarden van de benadering van de oplossing. Dus het gebruik van een methode die wel dempend is voor ODE s hoeft niet te betekenen dat deze voldoet aan de stabiliteitsvoorwaarde voor de uniform propagated error: max tn t t n+1 ζ n+1 (t) η(t) E n 37

50 38 HOOFDSTUK 5. CONCLUSIES voor DDE s. Dus er is asymptotische stabiliteit van (3.23) voor vaste waarden van τ dan en slechts dan als λ en µ in S τ liggen. We wilden dat de numerieke methode de asymptotische stabiliteit en/of de dempende eigenschap zou blijven behouden. Een numerieke methode is P-stabiel als voor elke stapgrootte h = τ/m de DDE asymptotisch stabiel is voor alle delays τ. Aan de eis dat h = τ/m wordt in de INCAS 3 implementatie van de Zweig impedantie niet voldaan, hierover meer in paragraaf Voor verder onderzoek Zoals ook in Bellen en Zennaro [12] staat, zijn sommige concepten anders als je niet meer eist dat τ = k h. Bij het INCAS 3 -model zou het kunnen dat dit niet altijd het geval is, omdat dat voor elke oscillerend deeltje anders is. Nu is het ook dat de stabileit die in dit onderzoek is bekeken (A- en P-stabiliteit) wel eisen dat τ = k h. Het zou dus goed kunnen dat voor INCAS 3 naar GP-stabiliteit gekeken moet worden. Een andere mogelijkheid is de beide waarden die gebruikt worden in de interpolatie om yter uit te rekenen als afzonderlijke delay-termen te beschouwen. Dan geldt wel dat τ = k h voor elk afzonderlijk. In de Matlabcode waarin zelf de dde23 is geimplementeerd is gebruik gemaakt van de floor functie. Dit is geen probleem geweest voor de voorbeelden en resultaten in dit onderzoek, omdat we vanaf het begin hebben bedacht dat we τ precies een veelvoud van h wilde hebben. Wanneer dit dus niet zo is zou dit nog voor problemen kunnen zorgen en is het wellicht beter om dit stukje code aan te passen. Dit zou bijvoorbeeld gedaan kunnen worden door een if-loop te gebruiken en te zeggen dat: if floor(..)$\leq 10\cdot 10^{-10}$, dan doorgaan en anders aangeven dat het niet goed gaat.

51 Bijlage A Matlabcodes A.1 De functionfiles voor dde f u n c t i o n S= dd1 ( t, y, Z, lambda,mu) 3 lambda =1; 4 mu=1; 5 S=lambda y+mu Z ; 6 7 end 8 %met t=t, y i s kolomvector d i e y ( t ) benaderd 9 %en Z ( :, j ) benaderd y ( t j ) met delay j = l a g s ( j ) % 12 %gegeven f u n c t i e op t<=t f u n c t i o n S=dd1hist ( t, lambda,mu) 15 S = t +1; 16 end % %f o r t = 1:0.001:0 21 %y= t +1; 22 %p l o t ( t, y, ) 23 %hold on ; 24 %end %p l o t de o p l o s s i n g van de DDE y ( t )=lambda y ( t )+mu y ( t 1) 27 dde23 (@dd1, [ 0, 1 0 ] ) ; A.2 Modified Euler voor DDE s (code 1) 1 f u n c t i o n v= f ( y t, y t tau, lambda, mu) 2 v=lambda y t+mu y t t a u ;

52 40 BIJLAGE A. MATLABCODES 5 end A.2.1 Modified Euler voor DDE s (code 1) zonder ster 1 f u n c t i o n MEDDE2b = MEDDE2b(aT, tau, h, y0 ) 2 %Modified e u l e r 3 %d i f f e r e n t i a l equation : y ( t )= y ( t )+y ( t tau ) 4 %at =[0,aT ] i s het i n t e r v a l waarop j e numerieke o p l o s s i n g ongeveer w i l t. 5 % h i s de t i j d s t a p 6 7 lambda = 1 ; 8 mu = 1 ; 9 stap=tau /h ; 10 %i n t e r v a l k i e z e n d i e p r e c i e s t o t een veelvoud van tau l o o p t. 11 a=f l o o r (at/ tau ) ; 12 T=a tau ; 13 %#punten benadering binnen i n t e r v a l 14 n=t/h +1; %beginvoorwaarde in vectorvorm. Vaste h i s t o r y S ( t )=yo gekozen. 17 %t i j d s t i p 0 verderop in de v e c t o r zodat h i s t o r y er nog in past. 18 t (1+ stap ) =0; y(1+ stap )=y0 ; w(1+ stap )=y0 ; f o r k=1: stap %h i s t o r y in v e c t o r z e t t e n. 24 t ( k )= stap h +(k 1) h ; 25 y ( k )= t ( k ) +1; 26 w( k )= t ( k ) +1; end f o r k=1:n 31 t ( k+(1+stap ) )=t ( k+stap ) +h ; 32 y ( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) + h f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) ; 33 w( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) + h/2 ( f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) + f ( y ( k+(1+stap ) ),w( k+1), lambda,mu) ) ; 34 end p l o t ( t,w, r ) ; end A.2.2 Modified Euler voor DDE s (code 1) met ster 1 f u n c t i o n MEDDEb = MEDDEb(aT, tau, h, y0 ) 2 3 lambda =0.5; 4 mu= 1;

53 A.3. MODIFIED EULER VOOR DDE S (CODE 2) 41 5 stap=tau /h ; 6 a=f l o o r (at/ tau ) ; 7 T=a tau ; n=t/h +1; 12 t (1+ stap ) =0; y(1+ stap )=y0 ; w(1+ stap )=y0 ;%IV in vectorvorm ( t, y ) f o r k=1: stap t ( k )= stap h +(k 1) h ; 18 y ( k )= t ( k ) +1; 19 w( k )= t ( k ) +1; end f o r k=1:n t ( k+(1+stap ) )=t ( k+stap ) +h ; 26 y ( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) + h f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) ; 27 w( k+(1+stap ) )=w( k+stap ) + h /2 (( f (w( k+stap ),w( k ), lambda,mu) + f ( y ( k+(1+stap ) ), y ( k+1), lambda,mu) ) ) ; 28 end p l o t ( t,w, b ) ; end A.3 Modified Euler voor DDE s (code 2) 1 f u n c t i o n MEDDE2c = MEDDE2c( y t, y t tau, h, lambda, mu) 2 3 %d i f f e r e n t i a l equation : y ( t )= y ( t )+y ( t tau ) 4 k1 = h f ( y t, y t tau, lambda, mu) ; 5 k2 = h f ( y t+k1, y t tau, lambda,mu) ; 6 7 MEDDE2c= y t+ 1/2 ( k1+k2 ) ; 8 end 1 %RK2 2 3 %Startwaarden 4 tau =1; 5 y0 = 1 ; 6 i n t e r v a l =1; 7 lambda =1; 8 mu=1; 9

54 42 BIJLAGE A. MATLABCODES 10 %h sample n=t i j d s l e n g t e o p l o s s i n g 11 h =0.01; 12 sample n =800; time =0; 15 index =1; %l e n g t e van de v e c t o r h i s t o r y 18 h i s t o r y l e n g t h = f l o o r ( tau /h ) ; %S ( t )= t+1 21 f o r i =1: h i s t o r y l e n g t h +1, 22 t h i s t o r y ( i )= tau +(i 1) h ; 23 y h i s t o r y ( i )= t h i s t o r y ( i ) +1; 24 end % 27 %p l o t de h i s t o r y ; 28 %f i g u r e 29 %p l o t ( t h i s t o r y, y h i s t o r y, m ) ; 30 %hold on ; 31 % y t=y0 ; Y=z e r o s ( sample n +1,1) ; 36 T=z e r o s ( sample n +1,1) ; f o r i =1: sample n +1, 39 Y( i )=y t ; 40 %p r i n t e n van de waarden op e l k d i s c r e e t t i j d s t i p 41 i f (mod( i 1, i n t e r v a l ) == 0), %geen r e s t 42 disp ( s p r i n t f ( %4d %f, ( i 1)/ i n t e r v a l, y t ) ) 43 end %wanneer tau 0 i s, dan i s er geen delay term en i s het een ODE 46 i f tau == 0, 47 y t t a u =0.0; 48 e l s e 49 y t t a u = y h i s t o r y ( index ) ; 50 end %RK2 53 y t h = MEDDE2c( y t, y t tau, h, lambda, mu) ; %y ( t+h ) i f ( tau = 0), 56 y h i s t o r y ( index )=y t h ; 57 index= mod( index, h i s t o r y l e n g t h ) +1; 58 end

55 A.4. RUNGE-KUTTA 4 VOOR DDE S (CODE 2) T( i )=time ; 60 time=time+h ; 61 y t = y t h ; 62 end p l o t (T,Y, m ) ; s e t ( gca, xlim, [ 0,T( end ) ] ) ; 67 x l a b e l ( t ) ; 68 y l a b e l ( y ( t ) ) ; 69 t i t l e ( s p r i n t f ( Modified Euler op DDE ( tau=%d ), tau ) ) ; A.4 Runge-Kutta 4 voor DDE s (code 2) 1 %RK4 2 3 %Startwaarden 4 tau =2; 5 y0 = 1 ; 6 i n t e r v a l =1; 7 lambda=h 5 ; 8 mu= 10 h ; 9 10 %h sample n=t i j d s l e n g t e o p l o s s i n g 11 h =0.1; 12 sample n =300; time =0; 15 index =1; %l e n g t e van de v e c t o r h i s t o r y 18 h i s t o r y l e n g t h = f l o o r ( tau /h ) ; %S ( t )= t+1 21 f o r i =1: h i s t o r y l e n g t h +1, 22 t h i s t o r y ( i )= tau +(i 1) h 23 y h i s t o r y ( i )= 1% t h i s t o r y ( i )+1 24 end 25 % 26 %f i g u r e 27 %p l o t ( t h i s t o r y, y h i s t o r y, k ) ; 28 %hold on ; 29 % y t=y0 ; Y=z e r o s ( sample n +1,1) ; 34 T=z e r o s ( sample n +1,1) ; 35

56 44 BIJLAGE A. MATLABCODES 36 f o r i =1: sample n +1, 37 Y( i )=y t ; 38 %p r i n t e n van de waarden op e l k d i s c r e e t t i j d s t i p 39 i f (mod( i 1, i n t e r v a l ) == 0), %geen r e s t 40 disp ( s p r i n t f ( %4d %f, ( i 1)/ i n t e r v a l, y t ) ) ; 41 end %wanneer tau 0 i s, dan i s er geen delay term en i s het een ODE 44 i f tau == 0, 45 y t t a u =0.0; 46 e l s e 47 y t t a u = y h i s t o r y ( index ) ; 48 end y t h = RK4DDE( y t, y t tau, h, lambda, mu) ; i f ( tau = 0), 53 y h i s t o r y ( index )=y t h ; 54 index= mod( index, h i s t o r y l e n g t h ) +1; 55 end 56 T( i )=time ; 57 time=time+h ; 58 y t = y t h ; 59 end p l o t (T,Y, k ) ; s e t ( gca, xlim, [ tau,t( end ) ] ) ; 64 %s e t ( gca, xlim, [ 0, 2 0 ] ) ; 65 x l a b e l ( t ) ; 66 y l a b e l ( y ( t ) ) ; A.5 Niet-lineaire model met Runge-Kutta 4 1 % This implementation o f the d i m e n s i o n l e s s Cochlea model f o l l o w e d the 2 % 16/1/1991 document by Marc van den Raadt as c l o s e l y as p o s s i b l e. 3 % 4 % 19/3/2013: Added Zweig impedance i n f r a s t r u c t u r e. 5 % This f o l l o w s the FORTRAN 77 code ( from INCAS3) as c l o s e l y as p o s s i b l e. 6 % 7 % 8 % Author : Jan Stegenga 9 % Version : 0 10 % Date : 1/ 2/ % Copyright : INCAS3, The Netherlands 12 % 13 % 14 %

57 A.5. NIET-LINEAIRE MODEL MET RUNGE-KUTTA % % c l e a n up ; 18 c l c ; 19 c l e a r a l l ; 20 c l o s e a l l ; place map = f o r t r a n ; 23 LINEAR = 1 ; 24 ZWEIG = 0 ; 25 TIMESTEP = 5 0 ; % parameter l i s t found on page A4 ( van den Raadt [ 3 ] ) 29 % some parameters are e x p l a i n e d on pages A1 to A % number o f segments ( o s c i l l a t o r s ) ( e x c l u d i n g the midear and h e l i c o t r e m a ) 32 N = 400; 33 % [ s ] s i m u l a t i o n time step 34 dt = 0. 2 e 6; 35 % [ s ] time r e f e r e n c e, used to normalize the time 36 t 0 h a t = 1e 3; 37 % [m] l e n g t h r e f e r e n c e ( x ), used to normalize BM length 38 x 0 h a t = 35e 3; 39 % [m] amplitude r e f e r e n c e, 40 % used to normalize dynamic v a l u e s o f amplitude and amplitude change 41 y 0 h a t = 1e 9; 42 % [m] width s c a l a e ( page 19) 43 b = 1e 3; 44 % BM width as f u n c t i o n o f segment ( index ) = s c a l a e width 45 b BM = b ones (N, 1 ) ; 46 % [m] h e i g h t o f s c a l a e ( page 3) 47 h = 1e 3; 48 % [mˆ 2 ] c r o s s s e c t i o n a l area o f the c o c h l e a = b h 49 s s c = 1e 6; 50 % [ kg/mˆ 3 ] d e n s i t y o f c o c h l e a r f l u i d 51 rho = 1 e3 ; 52 % [ kg/mˆ 3 ] s p e c i f i e k a c o u s t i c mass o f BM 53 m s = 0. 5 ; 54 % [mˆ 2 ] area o f a segment ( stape ) 55 s s t = 3e 6; 56 % [mˆ 2 ] area o f eardrum 57 s t = 60 e 6; 58 % [ rad / s ] resonance frequency o f midear 59 omega rm = 2 pi 2000; 60 % R e c i p r o c a l o f the Q f a c t o r o f the midear 61 d e l t a = 2. 5 ; 62 % T r a n s f o r m a t i o n f a c t o r o f the midear

58 46 BIJLAGE A. MATLABCODES 63 n t = 3 0 ; 64 % [ Ns/mˆ 3 ] S p e c i f i c a c o u s t i c impedance o f a i r 65 Z s = 4 15; 66 % Parameter c r e a t e d by n o r m a l i z a t i o n on x 67 alpha squared = 4900; 68 % Parameter c r e a t e d by n o r m a l i z a t i o n on x 69 alpha x squared= alpha squared ; 70 % [ Pa ] r e f e r e n c e pressure, e q u a l s 0 db SPL 71 p r e f = 2e 5; 72 % [ Pa/m] constant f o r s p e c i f i c a c o u s t i c s t i f f n e s s 73 s 0 = 1 e10 ; 74 % [ /m] determines r e l a t i o n s h i p between frequency and l o c a t i o n ( x ) 75 lambda = 3 00; 76 % modulation f a c t o r f o r the impulse response o f a r e s o n a t o r 77 e p s i l o n = 5e 2; 78 % normalized midear segment ( stape ) length 79 d x 0 1 t i l d e = 1/400; i f place map == f o r t r a n 83 % normalized stape length, f o l l o w i n g the f77 v e r s i o n 84 d x t i l d e = (1 d x 0 1 t i l d e (h/ x 0 h a t ) ) /N; 85 % d e f i n i t i o n x t i l d e 86 x t i l d e v = [ 0, d x 0 1 t i l d e : d x t i l d e : 1 h/ x 0 h a t d x t i l d e ] ; 87 % x t i l d e has to be a column v e c t o r 88 x t i l d e = x t i l d e v ( : ) ; 89 e l s e 90 % normalized stape length, f o l l o w i n g Van den Raadt 91 d x t i l d e = 1/N; 92 x t i l d e v = 0 : d x t i l d e : 1 ; 93 % x t i l d e has to be a column v e c t o r 94 x t i l d e = x t i l d e v ( : ) ; 95 end % parameters f o r the n o n l i n e a r part o f the damping, page mu p1 tilde = 1 ; % == c h i t i l d e 99 mu p2 tilde = 1 ; % == a l h p a t i l d e 100 mu n1 tilde = 2 ; % == 2 gamma tilde 101 mu n2 tilde = 1 ; % == b e t a t i l d e ( or B t i l d e ) l a m b d a t i l d e = lambda x 0 h a t ; % page gamma = m s s t omega rm d e l t a / ( b x 0 h a t d x t i l d e n t ˆ2 Z s ) ; 106 % page 27, b BM r e p l a c e d by b 107 alpha 0 = gamma. alpha squared d x t i l d e ; % page 27

59 A.5. NIET-LINEAIRE MODEL MET RUNGE-KUTTA alpha x s quared= 2 rho b BM ( 1 : end ) x 0 h a t ˆ2 / ( m s s s c ) ; % page y t i l d e = z e r o s ( N+1, 1 ) ; % page A3, volume displacement o f BM 111 u t i l d e = z e r o s ( N+1, 1 ) ; % page A3, volume v e l o c i t y o f BM 112 p h i t i l d e = z e r o s ( N+1, 1 ) ; % page 16, d i m e n s i o n l e s s phi, 113 % phi = p r e s s u r e / s p e c i f i c mass, phi r e p l a c e s a c c e l a r a t i o n in p = m a % page 21, s p e c i f i c a c o u s t i c mass 116 m sm = ( n t ˆ2 Z s s s t ) / ( s t omega rm d e l t a ) ; 117 % page 6 and 7, g = damping u + s t i f f n e s s y > 118 % du/ dt = 1/m ( p g ), with g i s d i m e n s i o n l e s s G 119 g = z e r o s ( N+1, 1 ) ; 120 % page 25, A p h i t i l d e = r ; where r i s r e p r e s e n t s the next s t a t e o f 121 % uncoupled o s c i l l a t o r s and A i s the r e l a t i o n between neighbouring o s c i l l a t o r s 122 r = z e r o s ( N+1, 1 ) ; % stimulus parameters 125 % page 22, pure tone input : p e = p AM1 omega 1 cos ( 2 pi f 1 t ) ) 126 p AM1 = 10 p r e f ; % [ Pa ] stimulus : 20 db 127 omega 1 = 1 ; % parameter to smooth s t a r t the s i g n a l 128 f 1 = 1000; % [ Hz ] % d i m e n s i o n l e s s A c o n s t r u c t i o n % page % N+1 d i a g o n a l elements 132 A = diag ( [ ( 1 + alpha 0 d x 0 1 t i l d e ) ; (2+ alpha x s quared ( 1 :N 1) d x t i l d e ˆ2 ) ; (1+ alpha x s quared (N) d x t i l d e ˆ2+(4 x 0 h a t d x t i l d e ) /( pi h+4 x 0 h a t d x t i l d e ) ) ], 0 ) ; 135 % add N above d i a g o n a l elements 136 A = A + diag ( ones (N, 1), 1 ) ; 137 % add N below d i a g o n a l elements 138 A = A + diag ( ones (N, 1), 1 ) ; 139 % inva i s e a s i e s t way to s o l v e the equation on page inva = inv (A) ; % input c o n s t r u c t i o n 143 t = 0 : dt : ; % time 144 t t i l d e = t / t 0 h a t ; % normalized time 145 d t t i l d e = dt / t 0 h a t ; % normalized timestep 146 p e = 0.1 p AM1 randn ( s i z e ( t ) ) + p AM1 omega 1 s i n ( 2 pi f 1 t 0 h a t t t i l d e ) ; 147 % i s in f a c t in the unscaled time domain, s i n c e t = t 0 h a t t t i l d e 148 taper = exp( (4 t t i l d e ). ˆ 2 ) ; % taper, as used in the

60 48 BIJLAGE A. MATLABCODES FORTRAN code. 149 % I t prevents s t a r t u p s p u r i o u s events 150 taper ( t t i l d e >4) = 1 ; % taper 151 P e = ( t 0 h a t ˆ2/ y 0 h a t ) ( n t p e / m s ). taper ; 152 % i s s c a l e d in time and amplitude % Zweig impedance i n i t i a l i z a t i o n, uses precomputed d and s 155 d1 = ; % = aplha ( in FORTRAN 77 code ) 156 d2 = ; % = beta 157 d3 = ; % = gamma 158 d4 = ; % = d e l t a 159 i f LINEAR 160 d1 = d1+( e p s i l o n d1 ). ( exp ( 20. x t i l d e ( 2 : end ) )+exp ( 20. (1 x t i l d e ( 2 : end ) ) ) ) ; 161 % m o d i f i c a t i o n to make the model more s t a b l e, FORTRAN 162 d4 = d4. (1 exp ( 20. x t i l d e ( 2 : end ) ) exp ( 20. (1 x t i l d e ( 2 : end ) ) ) ) ; 163 % m o d i f i c a t i o n to make the model more s t a b l e, FORTRAN 164 e l s e 165 d p r o f = 1 ; %d1 ; 166 c p r o f = 1 ; %d4 ; 167 end % Van den Raadt 170 d = e p s i l o n t 0 h a t s q r t ( s 0 /m s ) exp ( 0.5 l a m b d a t i l d e. x t i l d e ( 2 : end ) ) ; 171 s = t 0 h a t ˆ2 / m s s 0. exp ( l a m b d a t i l d e. x t i l d e ( 2 : end ) ) ; i f ZWEIG 174 % implementation optimized f o r octave : 175 d = d. / e p s i l o n ; 176 % resonance frequency o f elements 177 f r e q = s q r t ( s. / t 0 h a t ˆ2 ) /2/ pi ; 178 % formula in Zweig s a r t i c l e ; g i v e s the d e l a y s r e q u i r e d in Zweig s feedback 179 per = / ( f r e q dt ) ; 180 % r oundoff ; g i v e s the l e n g th o f s h i f t r e g i s t e r per element 181 n per = f l o o r ( per + 1 ) ; 182 % per g i v e s the percentage needed to approximate c o n t r i b u t i o n i f 183 % delay ( i ) i s not i n t e g e r number o f sample times 184 per = n per per ; 185 per = per ( : ) ; 186 n per = n per ( : ) ; 187 % g i v e s much used i n d e x e s i n t o ybuf array ( a. o. edges o f s h i f t r e g i s t e r s ) 188 cumsum n per = cumsum( n p e r ) ; 189 % a l l N s h i f t r e g i s t e r s are in a s i n g l e column array 190 ybuf = z e r o s ( sum( n per ), 1, f l o a t ) ;

61 A.5. NIET-LINEAIRE MODEL MET RUNGE-KUTTA end % y t e r i s used f o r the Zweig r e l a t e d update and i s not in the van den Raadt document 194 y t e r = z e r o s ( N, 1) ; % loop through the s i m u l a t i o n 197 f i g u r e ( 1 ) ; 198 f o r timestep = 1 : l e n g t h ( p e ) % compute Zweig update and s h i f t the corresponding r e g i s t e r s ; 201 % implementation f o r octave o p t i m a l i t y ; s e e FORTRAN code 202 i f ZWEIG 203 % weighted update o f y t e r ; the feedback term 204 y t e r = per. ybuf ( 1 + cumsum n per ) + (1 per ). ybuf ( cumsum n per ) ; 205 % s h i f t r e g i s t e r : ybuf ( i ) = ybuf ( i 1), s h i f t (.. ) i s very slow 206 ybuf = [ 0 ; ybuf ( : ) ] ; 207 % i n s e r t new v a l u e s at edges o f s h i f t r e g i s t e r s 208 ybuf ( cumsum n per n per ( 1 ) + 1 ) = y t i l d e ( 2 : end ) ; 209 end %compute the n o n l i n e a r i t y c o n t r i b u t i o n s 212 i f LINEAR 213 % n o n l i n e a r i t i e s as in FORTRAN d p r o f = dnl ( u t i l d e ( 2 : end ) /100, d1, d2, d3 ) ; 215 c p r o f = c n l ( u t i l d e ( 2 : end ) /100, d2, d4 ) ; 216 end % compute g 219 % g 0 on page 2 4 ; 0 u t i l d e ( 1 ) = u 0 t i l d e, y t i l d e ( 1 ) = y 0 t i l d e 220 % g i on page 36, part with y t e r i s only in FORTRAN 77 code ; y t e r w i l l 221 % remain zero 222 g = [ ( n t ˆ2 Z s /m s ) ( s s t / s t ) ( t 0 h a t u t i l d e ( 1 )+omega rm / d e l t a t 0 h a t ˆ2 y t i l d e ( 1 ) ) ; d p r o f. d. u t i l d e ( 2 : end )+s. y t i l d e ( 2 : end )+c p r o f. s. y t e r ] ; % compute r 226 % page 2 6 ; r 0 = r ( 1 ) ; g ( 1 ) = g r = [ alpha 0 d x 0 1 t i l d e ( P e ( timestep ) + g ( 1 ) ) ; a lpha x squared. d x t i l d e ˆ2. g ( 2 : end ) ] ; 229 % Some m o d i f i c a t i o n in the FORTRAN code 230 r ( 2 ) = r ( 2 ) d x 0 1 t i l d e / d x t i l d e ; 231

62 50 BIJLAGE A. MATLABCODES 232 % s o l v e A p h i t i l d e = r % page p h i t i l d e = inva r ; % Fourth o r d e r Runge Kutta method 236 % ( Diependaal, Duifhuis, Hoogstraten, Viergever [ 2 ] ). 237 % In t h i s code : u ( t ) = y ( t ), v ( t ) = u ( t ) and omega [ t, y ( t ), u ( t ) ] = 238 % [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ; 239 % p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ]. 240 f u n c t i e 1 = [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ; 241 p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ] ; 242 y t i l d e 1 = y t i l d e d t t i l d e u t i l d e ; 243 u t i l d e 1 = u t i l d e d t t i l d e ( f u n c t i e 1 ) ; % Determine g ( again ) 246 g = [ ( n t ˆ2 Z s /m s ) ( s s t / s t ) ( t 0 h a t u t i l d e 1 ( 1 )+ omega rm/ d e l t a t 0 h a t ˆ2 y t i l d e 1 ( 1 ) ) ; d p r o f. d. u t i l d e 1 ( 2 : end )+s. y t i l d e 1 ( 2 : end )+ c p r o f. s. y t e r ] ; 248 % Determine p e ( t dt ) 249 p e = 0.1 p AM1 randn ( s i z e ( t ) )+p AM1 omega 1 s i n (2 pi f 1 t 0 h a t ( t t i l d e +0.5 d t t i l d e ) ) ; 250 P e = ( t 0 h a t ˆ2/ y 0 h a t ) ( n t p e / m s ). taper ; 251 % Determine r ( again ) 252 r = [ alpha 0 d x 0 1 t i l d e ( P e ( timestep ) + g ( 1 ) ) ; a lpha x s quared. d x t i l d e ˆ2. g ( 2 : end ) ] ; 254 r ( 2 ) = r ( 2 ) d x 0 1 t i l d e / d x t i l d e ; 255 % C a l c u l a t e p h i t i l d e 256 p h i t i l d e = inva r ; f u n c t i e 2 = [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ; 259 p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ] ; 260 y t i l d e 2 = y t i l d e d t t i l d e u t i l d e 1 ; 261 u t i l d e 2 = u t i l d e d t t i l d e ( f u n c t i e 2 ) ; % Repeat t h i s f o r g, r and p h i t i l d e 264 g = [ ( n t ˆ2 Z s /m s ) ( s s t / s t ) ( t 0 h a t u t i l d e 2 ( 1 )+omega rm/ d e l t a t 0 h a t ˆ2 y t i l d e 2 ( 1 ) ) ; d p r o f. d. u t i l d e 2 ( 2 : end )+s. y t i l d e 2 ( 2 : end )+c p r o f. s. y t e r ] ; 266 r = [ alpha 0 d x 0 1 t i l d e ( P e ( timestep ) + g ( 1 ) ) ; a lpha x s quared. d x t i l d e ˆ2. g ( 2 : end ) ] ; 268 r ( 2 ) = r ( 2 ) d x 0 1 t i l d e / d x t i l d e ; 269 p h i t i l d e = inva r ; f u n c t i e 3 = [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ;

63 A.5. NIET-LINEAIRE MODEL MET RUNGE-KUTTA p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ] ; 273 y t i l d e 3 = y t i l d e + d t t i l d e u t i l d e 2 ; 274 u t i l d e 3 = u t i l d e + d t t i l d e ( f u n c t i e 3 ) ; % Determine p e again ( t + dt ) 277 p e = 0.1 p AM1 randn ( s i z e ( t ) )+p AM1 omega 1 s i n (2 pi f 1 t 0 h a t ( t t i l d e+d t t i l d e ) ) ; 278 P e = ( t 0 h a t ˆ2/ y 0 h a t ) ( n t p e / m s ). taper ; g = [ ( n t ˆ2 Z s /m s ) ( s s t / s t ) ( t 0 h a t u t i l d e 3 ( 1 )+omega rm/ d e l t a t 0 h a t ˆ2 y t i l d e 3 ( 1 ) ) ; d p r o f. d. u t i l d e 3 ( 2 : end )+s. y t i l d e 3 ( 2 : end )+c p r o f. s. y t e r ] ; 282 r = [ alpha 0 d x 0 1 t i l d e ( P e ( timestep ) + g ( 1 ) ) ; a lpha x squared. d x t i l d e ˆ2. g ( 2 : end ) ] ; 284 r ( 2 ) = r ( 2 ) d x 0 1 t i l d e / d x t i l d e ; 285 p h i t i l d e = inva r ; 286 f u n c t i e 4 = [ ( m s / m sm ) ( p h i t i l d e ( 1 ) g ( 1 ) P e ( timestep ) ) ; 287 p h i t i l d e ( 2 : end ) g ( 2 : end ) ] ; % Update y and u 290 y t i l d e = y t i l d e + ( d t t i l d e /6) ( u t i l d e +2 u t i l d e 1 +2 u t i l d e 2+ u t i l d e 3 ) ; 291 u t i l d e = u t i l d e + ( d t t i l d e /6) ( f u n c t i e 1 +2 f u n c t i e 2 +2 f u n c t i e 3+ f u n c t i e 4 ) ; % p l o t every TIMESTEP t i m e s t e p s 294 i f rem ( timestep,timestep ) == disp ( timestep ) 296 p l o t ( x t i l d e, u t i l d e, g, x t i l d e, y t i l d e, r, x t i l d e ( 2 : end ), yter, k ) ; 297 t i t l e ( s p r i n t f ( p r o g r e s s %.2 f steps, t t i l d e = %.2 f, timestep, t t i l d e ( timestep ) ) ) ; 298 a x i s ( [ ] ) ; 299 %a x i s ( [ I n f I n f ] ) ; 300 %a x i s ( [ min ( P e ) 0.02 max( P e ) ] ) ; 301 drawnow ; 302 end end %f o r 305 disp ( end ) ;

64

65 Bijlage B Projectvoorstel INCAS 3 Stability analysis in a model of the human inner ear Project proposal In the 1980 s a computational (numerical) model of the human inner ear was developed in a cooperation between departments of Biophysics and Applied Mathematics at the RuG. This model consists of a number ( ) individual sections behaving as harmonic oscillators, where the excitation ζ is governed bij an equation of motion of the shape: p = m ζ + d ζ + sζ where m is the mass of the section, s is a stiffness restoring the section to its resting position and d a damping term. The driving force is represented bij p and is a fluid pressure. All oscillators are coupled via an incompressible and inviscid fluid, and the values of s en d vary with the location of the oscillator. An equation 2 p x 2 + 2ρb BM A ζ = 0 follows from conservation of mass in the fluid, where A is a surface area of a fluid channel, ρ the fluid density and b BM the width of an oscillator. The two equations are combined to 2 x 2 {m ζ + d ζ + sζ} + 2ρb BM A ζ = 0 a second order differential equation in time and place. Using a central difference for the derivatives in place a system of coupled second order differential equations in time results. p = m ζ + d ζ + sζ and g = d ζ + sζ p xx + 2ρb BM A (p g) = 0 or p xx + 2ρb BM A p = 2ρb BM A g p(x x) 2p(x) + p(x + x) p xx = x 2, γ = 2ρb BM A x2, Ap = Bg γ γ A = γ γ 1..., B = γ γ γ... γ

66 54 BIJLAGE B. PROJECTVOORSTEL INCAS 3 This is solved using a Runge-Kutta 4 time integration method, where in each step the coupling is resolved by a Gauss elimination of the equation Ap = Bg. The Runge-Kutta 4 method was chosen on the basis of its stability region. It can be shown that the stability of the RK4 for a single oscillator is governed by: R(µ) = 1 + µ µ µ µ4 This function is shown here. It can be seen that a substantial portion of the imaginary axis falls within the stable region. This is important since the object of implementation was to study limit cycle oscillations for very small and even negative values of the damping d. For this model a stability analysis was carried out by Kimberley Lindenberg (see Kimberley s report), showing the RK4 time integration method to be more stable than a Modified Sielecki method. However, contrary to what was suggested in the literature, the increased stability did not warrant the larger computational effort required for RK4. new project: By the end of the 1990s an important alteration was made to the equation of motion of the individual oscillators. Analysis of measurements of the excitation inside the real inner and inverse modelling led to the equation: p = m ζ + d ζ + sζ + s ζ t τ where the damping d has a negative value and the term s ζ t τ is a delayed feedback stiffness which serves to stabilize the otherwise unstable system of equations. Attempts to implement this function in the numerical model led to severe stability issues and a preliminary stability analysis (see attached document on Impedance) led to the conclusion that each individual oscillator in a model with this equation of motion is unstable, but linking it to neighbouring oscillators provides stability. Therefore all oscillators in the model are stabilized except the ones at the ends, which have no neighbours. A simple adaptation at both ends solved the stability problem. The model with the negative damping and feedback stiffness has since been used effectively to model various physiological and psychophysical data. Plans are developed to use this model in an extensive study of the effects of damage to oscillators in the inner ear. This brings up several questions: if neighbouring sections have altered mechanics, when do they stop having their stabilizing influence? what are the most efficient choices for the discretization (in both x and t) which still lead to a stable (numerical) model? The methods developed by Kimberley Lindenberg will serve as a starting point, but special attention will be required for the treatment of the delayed stiffness term.