Het drie-reservoirs probleem

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het drie-reservoirs probleem"

Transcriptie

1 Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen ( ) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01

2 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling De doelstelling Plan van aanpak Uitwerking Aannames Modellen met twee reservoirs Één pijpleiding Twee stukken pijp Drie stukken pijp Het drie-reservoirs probleem Laminaire stroming Turbulente stroming Conclusie 11 5 Bijlagen Moody-diagram Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (laminair) Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (turbulent)

3 1 Samenvatting Het doel van dit project is onderzoeken hoe snel en in welke richting water stroomt in een systeem van drie verschillende open reservoirs die verbonden zijn door 3 buizen die samenkomen in een knooppunt. Voor dit onderzocht kan worden, zal er eerst gekeken worden naar drie simpelere systemen met reservoirs die verbonden zijn door respectievelijk 1, en 3 in serie geschakelde buizen. Er zal onderscheid gemaakt moeten worden tussen twee mogelijke situaties: een systeem met laminaire stromingen, die voorkomen bij kleinschalige systemen zoals bijvoorbeeld in nano-buisjes, of een systeem met turbulente stromingen, die voorkomen bij grotere systemen zoals bijvoorbeeld onderling verbonden stuwmeren. Het zal blijken dat een probleem met enkel laminaire stroming veel gemakkelijker op te lossen valt dan een met turbulente stromingen, maar beide zijn oplosbaar. Het water zal altijd van hogere naar lagere druk stromen, en dus is de stromingsrichting en -snelheid in de buis aan het middelste reservoir afhankelijk van de druk in het knooppunt. Inleiding.1 De probleemstelling Het probleem dat in dit verslag uitgewerkt wordt, is het zogeheten drie-reservoirs probleem. Dit is een klassiek voorbeeld in de vloeistofmechanica. Het betreft drie reservoirs (bijvoorbeeld stuwmeren of grote watertanks of misschien wel een systeem van nanobuisjes) die met elkaar verbonden zijn via een drietal pijpleidingen die samenkomen in een knooppunt, zoals geïllustreerd in figuur 1. De vraag bij dit probleem luidt: in welke richting en hoe snel stroomt het water in elk van de buizen? Figuur 1: Een schets van het drie-reservoirs probleem. De doelstelling Het water kan bijvoorbeeld van de twee hoger gelegen tanks naar de laagst gelegen tank stromen, of van het hoogstgelegen reservoir naar de twee lager gelegen reservoirs. In een bijzonder geval kan er zelfs helemaal geen water stromen naar het in het midden gelegen reservoir! Het

4 doel van dit project is om met behulp van de basisprincipes van de vloeistofmechanica de stroomrichting en -snelheid van het water te bepalen..3 Plan van aanpak Het probleem wordt als volgt aangepakt. Op de eerste plaats worden enkele aannames gemaakt om met een simpeler en dus meer hanteerbaar model te kunnen werken. Met deze aannames wordt vervolgens gekeken naar het meest basale model waaruit dit probleem is opgebouwd: twee reservoirs met verschillende waterniveaus, verbonden door één stuk pijp. Daarna wordt dit basismodel uitgebreid door, in plaats van één stuk pijp, twee stukken te nemen met verschillende diameter en lengte. Na dit te hebben uitgewerkt, wordt aan dít uitgebreide model een pijp toegevoegd van nog een andere diameter en lengte. Met bovengenoemde modellen uitgewerkt, kan ten slotte het echte probleem worden uitgewerkt via een relatief makkelijke weg. 3 Uitwerking 3.1 Aannames Er worden nu enkele aannames gemaakt die de modellen versimpelen bij het uitwerken. Allereerst wordt aangenomen dat de reservoirs aan de bovenzijde open zijn. Ook wordt aangenomen dat ze zó groot zijn dat het hoogteverschil ten gevolge van de water in- of uitstroom niet significant is. Met andere woorden wordt dus aangenomen dat het waterniveau in de reservoirs constant is. Nog een aanname is dat de buizen altijd geheel gevuld zijn met water en dat dit water niet samendrukbaar is, waardoor de instroom aan de ene kant van een buis altijd gelijk is aan de uitstroom aan de andere kant van diezelfde buis. Verder wordt er van uitgegaan dat water altijd stroomt van hoge naar lage druk. Als laatste worden de reservoirs voor het gemak van het hoogste naar het laagste waterniveau genummerd (dit betekent ook dat de druk van ieder reservoir van hoog naar laag genummerd is; dit wordt in de volgende paragraaf uitgelegd). 3. Modellen met twee reservoirs 3..1 Één pijpleiding Nu kan er gekeken worden naar het basismodel: Twee reservoirs met verschillende waterniveaus h 1 en h (h 1 > h ) verbonden door één stuk pijp. Dit model is weergegeven in figuur. De parameters L en D geven de lengte respectievelijk diameter van de buis. Omdat er is aangenomen dat het niveau van het water in beide reservoirs constant is, kan nu de formule voor de hydrostatische druk worden toegepast om de druk te berekenen in de aanknopingspunten van de buis aan elk van de reservoirs (p 1 en p ): p i = p 0 + ρgh (1) Hierin is p i de druk in het aanknopingspunt van het i-de reservoir met zijn buis, p 0 de luchtdruk boven het reservoir (dus hier de atmosferische druk), ρ de dichtheid van de vloeistof (in dit geval de dichtheid van water: 998 kg/m 3 ), g de gravitatiekracht (ongeveer 9,81 m/s ) en h de hoogte van het wateroppervlak ten opzichte van het punt waar de druk berekend 3

5 L h 1 D h p 1 p Figuur : Basismodel met twee reservoirs, verbonden door één pijpleiding wordt. Omdat de h constant wordt genomen, staan in het rechterlid alleen constante factoren. Daarmee is de druk in het betreffende punt dus ook constant. Daarnaast is aangenomen dat de hoogte van het wateroppervlak in het tweede reservoir lager is dan de hoogte in het eerste reservoir, waardoor ook p < p 1 en er dus een drukverlies optreedt in de buis tussen de reservoirs. Dit is het gevolg van de wrijvingskracht die het oppervlak van de buis uitoefent op het stromende water. De grootte van deze wrijving wordt beschreven door de Darcy-Weisbach vergelijking. In deze formule is: p = f ρ L D v () p het drukverlies ten gevolge van de wrijving in de buis [Pa] f de dimensieloze Darcy-wrijvingscoëfficiënt (verdere uitleg volgt) L de lengte van de buis in meter [m] D de diameter van de buis in meter [m] v de gemiddelde stroomsnelheid van het water [m/s] De Darcy-wrijvingscoëfficiënt in deze formule is een corrigerende constante die afhankelijk is van het zogeheten Reynolds getal. Dit dimensieloze getal, Re, is van groot belang bij het oplossen van dit probleem. Het bepaalt namelijk het omslagpunt tussen een laminaire en turbulente stroming, afhankelijk van de stroomsnelheid. Laminair wil zeggen dat de stroming gelaagd is, oftewel dat alle deeltjes (bij benadering) parallel aan elkaar bewegen. Bij een turbulente stroming kan er ook een stroming plaatsvinden die loodrecht op de stroming staat. Wat van belang is bij deze verschillende stromingen, is dat de formule voor de Darcywrijvingscoëfficiënt afhangt van het type stroming en deze formule betrekkelijk makkelijk wordt bij een laminaire stroming. 4

6 Laminaire stroming Bij een laminaire stroming is de coëfficiënt namelijk te benaderen met f 64/Re. de formule voor het getal van Reynold is deze constante dan uit te rekenen: Met Re = ρ L v η De nieuwe parameter, η, is de viscositeit van de vloeistof waarvan het Reynoldsgetal berekend wordt. In dit geval is dat dus de viscositeit van water, welke 1, 0 is. Als nu de f gesubstitueerd wordt in de Darcy-Weisbachvergelijking, dan rolt daar na kort omschrijfwerk de volgende lineaire formule voor de stroomsnelheid uit: v = 1 D p (3) 3 Deze formule is vrij gemakkelijk te hanteren voor het drie-reservoirs probleem en wordt daarom niet verder uitgewerkt voor de andere modellen met twee reservoirs. Turbulente stroming Voor het geval van een turbulente stroming is er geen uitdrukking voor de wrijvingscoëfficiënt zoals die in het laminaire geval bestaat. Wel kan de coëfficiënt worden opgezocht in het zogeheten Moody-diagram (zie de bijlagen, paragraaf 5.1). In dit diagram staat de Darcywrijvingscoëfficiënt uitgedrukt tegenover het Reynoldsgetal voor buizen met verschillende ruwheden van het oppervlak van de buis. Het probleem is echter dat voor het vinden van het Reynoldsgetal de stroomsnelheid nodig is, terwijl deze juist een onbekende is die uitgerekend moet worden. Dit brengt veel complicaties met zich mee en daarom wordt f in het geval dat deze stroming optreedt als constante in de vergelijking gelaten. Door het ontbreken van een mooie uitdrukking voor f, blijft de stroomsnelheid in de Darcy-Weisbach (D-W) vergelijking kwadratisch. Dit is een stuk lastiger rekenen, maar aangezien het de enige onbekende is, is deze vergelijking nog vrij recht toe, recht aan op te lossen. Vrijschrijven van de v in de D-W vergelijking levert in dit geval namelijk: D p v = f ρ L Voor beide gevallen is de stroomsnelheid in de buis nu berekend voor dit model. Nu wordt voor een beter begrip van het geval van turbulente stroming dit model uitgebreid naar een model waarin de twee reservoirs verbonden zijn door twee in serie geschakelde buizen. 3.. Twee stukken pijp Een schematische weergave van dit model is hieronder weergegeven in figuur 3. De twee buizen kunnen in lengte en diameter van elkaar verschillen en hebben dus verschillende parameters in de vergelijking. De buizen worden van links naar rechts gedefinieerd als buis 1 en buis. Zoals ook te zien is in de figuur, definiëren we nu ook een druk p m op het aansluitingspunt van de ene buis op de andere. Vanwege de continuïteit van de druk is p m1 (de druk bij p m in het punt dat nog nét in buis 1 ligt) nagenoeg gelijk aan p m. Met andere woorden is 5

7 L 1 L h 1 D 1 D h p 1 p m p Figuur 3: Eerste uitbreiding: twee reservoirs, verbonden door twee pijpleidingen p m dezelfde variabele in beide buizen. Dus kan nu voor beide buizen een D-W vergelijking worden opgesteld, afhankelijk van dezelfde p m. p 1 p m = f 1 ρ L1 v 1 D 1 p m p = f ρ L v D Het probleem is nu wel dat er sprake is van drie onbekenden: v 1, v en p m. Dat terwijl er slechts twee vergelijkingen (namelijk de bovengenoemde) zijn. Dit is op te lossen door gebruik te maken van de aannames dat de buizen volledig gevuld zijn met water en dat het water niet samendrukbaar is. Hierdoor is het mogelijk gebruik te maken van de regel dat de instroom in buis 1 gelijk is aan de uitstroom in buis : πr in v in = πr uit v uit (4) Invullen van deze vergelijking levert de derde en laatste vergelijking om het stelsel op te lossen: ( D 1 ) πv 1 = ( D ) πv Door de eerste en tweede vergelijking bij elkaar op te tellen, ontstaat een vergelijking die alleen afhangt van v 1 en v. p 1 p m + p m p = p 1 p = f 1 ρ L1 v 1 D 1 + f ρ L v D Met deze vergelijking en de derde vergelijking kunnen nu de v 1 en v berekend worden. Het berekenen van p m wordt hier buiten beschouwing gelaten. Deze variabele wordt hier en in het volgende model slechts gebruikt als tussenvariabele om de snelheden in de verschillende buizen te berekenen. De uitdrukkingen voor de twee snelheden worden gegeven door: v = v 1 = D v D 5 1 D (p 1 p ) ρ(f 1 L 1 D 5 + f L D 5 1 ) 6

8 3..3 Drie stukken pijp Nu de situatie met twee reservoirs verbonden door twee verschillende, in serie geschakelde pijpstukken helemaal onder de knie is, is het tijd om de situatie nog verder uit te breiden naar drie in serie geschakelde buizen. Nu er drie buizen zijn, zijn er twee knooppunten waar L 1 L L 3 h 1 D D 1 D 3 h p 1 p m1 p m p Figuur 4: Tweede uitbreiding: twee reservoirs, drie stukken pijp de druk onbekend is en drie onbekende snelheden die berekend moeten worden. Wederom zijn de snelheden uit te rekenen met behulp van de D-W vergelijking: p 1 p m1 = f 1 ρ L1 v 1 D 1 p m1 p m = f ρ L v D p m p = f 3 ρ L3 v 3 D 3 Door deze formules bij elkaar op te tellen, wordt de volgende formule verkregen: (p 1 p m1 ) + (p m1 p m ) + (p m p ) = p 1 p = ρf 1L 1 D 1 v 1 + ρf L D v + ρf 3L 3 D 3 v 3 Echter zijn er nu nog twee onbekenden teveel aangezien er op dit moment maar één vergelijking is met drie onbekenden. Om dit op te lossen, kan er weer gebruik gemaakt worden van het feit dat er, volgens gemaakte aannames, altijd even veel water de pijp in stroomt als er uit stroomt. Hieruit zal dus weer volgen: ( D 1 ) πv 1 = ( D ) πv ( D ) πv = ( D 3 ) πv 3 7

9 Nu zijn er 3 vergelijkingen met 3 onbekenden en dit is een stelsel dat prima op te lossen is: (p 1 p ) (D 1 D v 1 = 5 D 5 3 ) ρ (D 5 1 D 5 f 3 L 3 + D 5 1 D 5 3 f L + D 5 D 5 3 f 1 L 1 ) 3.3 Het drie-reservoirs probleem v = D 1 D v 1 v 3 = D 1 D 3 v 1 Met bovenstaande modellen wordt nu gekeken naar het oorspronkelijke probleem, het driereservoirs probleem. Zoals bij het basismodel al verteld is, wordt dit probleem op twee manieren opgelost. Met de eerste manier wordt er vanuit gegaan dat er sprake is van een laminair stromend systeem; via de tweede manier wordt het tegengestelde aangenomen, namelijk dat het systeem een turbulente stroming heeft. Ook is genoemd dat er sprake is van een omslagpunt (eerder een omslagtraject) afhankelijk van het Reynoldsgetal waar de stroming van laminair verandert naar een turbulente stroming. De stroming is namelijk: laminair, als Re < 300 turbulent, als Re > 3500 óf laminair óf turbulent, afhankelijk van verschillende factoren, als 300 < Re < 3500 p 3 h 3 h 1 h p 1 p m p Figuur 5: Het drie-reservoirs probleem 8

10 Ook hier kan iedere buis vanuit het reservoir naar het knooppunt m een verschillende diameter en lengte hebben. Verder zal het water altijd van het hoogst gelegen reservoir naar het laagst gelegen reservoir stromen, dus van reservoir 1 naar reservoir 3. Wat bepaald moet worden is welke richting het water uit stroomt en met welke snelheid. Hiervoor wordt er onderscheid gemaakt tussen drie gevallen: p m < p p m = p p m > p De gevallen van laminaire en turbulente stroming worden hieronder apart bekeken Laminaire stroming Als eerst wordt er gekeken naar het laminaire geval. Omdat de wrijvingsfactor voor een laminaire stroming het probleem lineair maakt, is het relatief eenvoudig op te lossen. De uitdrukking voor de druk in het knooppunt m, p m, is voor ieder van de drie bovengenoemde gevallen gelijk. Een bewijs hiervoor is terug te vinden in de bijlagen onder paragraaf 5.. Ook is in deze bijlage deze algemene uitdrukking terug te vinden, maar wordt voor de volledigheid ook hier nog een keer weergegeven: p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D D3 + D3 3 (5) De formules voor de stroomsnelheden v 1 en v 3 staan ook vast, aangezien het water altijd van reservoir 1 wegstroomt en naar reservoir 3 toe stroomt. Deze zijn: v 1 = D 1(p 1 p m ) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 Deze uitdrukkingen zijn gevonden door voor de p in vergelijking (3) het verschil tussen de druk van het betreffende reservoir en van het knooppunt te nemen. Dit kan ook worden toegepast op de stroomsnelheid v, alleen is deze stroomsnelheid afhankelijk van de grootte van p m, dus moet er een onderscheid van gevallen gemaakt worden: D (p p m ) voor p m < p 3 v = D (p m p ) voor p m > p 3 0 voor p m = p Voor het geval van een laminaire stroming is nu een uitdrukking gevonden voor alle onbekenden. 9

11 3.3. Turbulente stroming Wanneer er sprake is van een systeem met turbulente stromingen in plaats van laminaire stromingen, zal het probleem een stuk moeilijker op te lossen zijn doordat er niet meer alleen maar lineaire vergelijkingen zijn. Net als in het geval van laminaire stroming, is er voor elk van de drie situaties die genoemd zijn aan het begin van dit paragraaf ( 3.3) dezelfde uitdrukking te vinden voor de druk in knooppunt m, p m. Het bewijs hiervoor is te vinden in de Bijlagen ( 5.3), waar ook de uitdrukking voor p m te vinden is voor turbulente stroming. De formules voor de snelheden v 1 en v staan ook weer vast omdat het water altijd van reservoir 1 af zal stromen en naar reservoir 3 toe. Deze formules zijn vrij eenvoudig af te leiden uit de D-W vergelijking: p 1 p m = f 1L 1 ρ v D 1 (p 1 p m ) 1 v 1 = D 1 f 1 L 1 ρ p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v 3 v 3 = D 3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ Op dezelfde manier is de snelheid in buis ook eenvoudig uit te drukken. Echter is deze uitdrukking wel verschillend voor verschillende stromingsrichtingen van het water, oftewel: hij is afhankelijk van p m : D (p p m ) voor p m < p f L ρ v = D (p m p ) voor p m > p f L ρ 0 voor p m = p Hiermee is een uitdrukking gevonden voor alle onbekenden in het geval van een systeem met turbulente stromingen. 10

12 4 Conclusie Het drie-reservoirs probleem kent twee oplossingen: een oplossing voor een situatie met laminaire stromingen en een oplossing voor een situatie met turbulente stromingen. Wanneer er op zeer kleine schaal gewerkt wordt (nanobuisjes, etc.), zal de oplossing van het probleem vrij simpel zijn doordat het dan om laminaire stromingen gaat. Wanneer het echter gaat om een grotere schaal, neem bijvoorbeeld een systeem met 3 stuwmeren, dan is de oplossing een stuk ingewikkelder, maar nog steeds oplosbaar met behulp van een rekenprogramma. Waarheen het water zal gaan stromen is voornamelijk afhankelijk van de druk in het middelste reservoir. Is deze druk namelijk hoger dan die in het knooppunt van de drie buizen, dan zal het water van de hoogste twee naar het laagste reservoir stromen en wanneer de druk in het middelste reservoir lager is dan die van het knooppunt, dan zal het water dus van het hoogste naar de laagste twee reservoirs stromen. Het omslagpunt zal logischerwijs liggen bij een drukverschil van nul tussen het middelste reservoir en het knooppunt. In die situatie zal het water alleen van het hoogste naar het laagste reservoir stromen. De snelheid van het water in elk van de buizen is afhankelijk van de dichtheid van het water, de doorsnede en de lengte van de buizen en van de Darcy-wrijvingscoëfficiënt (die o.a. afhankelijk is van de ruwheid van de buis). 11

13 5 Bijlagen 5.1 Moody-diagram Figuur 6: Moody-diagram om de Darcy-wrijvingscoëfficiënt op te zoeken; Bron: Wikipedia 5. Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (laminair) Het geval dat p m p Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen (met de laminaire wrijvingsfactor gesubstitueerd): p 1 p m = 3 v 1 D 1 p p m = 3 v D p m p 3 = 3 v 3 D 3 v 1 = D 1(p 1 p m) 3 v = D (p p m) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dus door toepassing van formule (4) levert dit de vergelijking: v 1 A 1 + v A = v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 + v π 4 D = v 3 π v 1 + v D = v 3 D3 4 D 3 [ 1 ] D3 D v 1 = v 3 v [ ] 1

14 Invullen van de vergelijkingen van [ 1 ] in de vergelijking van [ ] geeft een formule voor p m, uitgedrukt in enkel de parameters: D 1 (p 1 p m ) 3 = D3 3 (p m p 3 ) 3D 1 D3 (p p m ) 3D 1 D 3 1p 1 D 3 1p m = D 3 3p m D 3 3p 3 D 3 p + D 3 p m D 3 1p m D 3 p m D 3 3p m = D 3 1p 1 D 3 p D 3 3p 3 p m (D D 3 + D 3 3) = D 3 1p 1 + D 3 p + D 3 3p 3 p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D D3 + D3 3 Het geval dat p m > p Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen (ook hier met de laminaire wrijvingsfactor gesubstitueerd): p 1 p m = 3 v 1 D 1 p m p = 3 v D p m p 3 = 3 v 3 D 3 v 1 = D 1(p 1 p m) 3 v = D (p m p ) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 = v A + v 3 A 3 v 1 D 1 = v D + v 3 D 3 [ 1 ] D D3 v 1 = v + v 3 [ ] Invullen van de vergelijkingen van [ 1 ] in de vergelijking van [ ] geeft een formule voor p m, uitgedrukt in enkel de bekende parameters: D 1 (p 1 p m ) 3 = D3 (p m p ) 3D 1 + D3 3 (p m p 3 ) 3D 1 D 3 1p 1 D 3 1p m = D 3 p m D 3 p + D 3 3p m D 3 3p 3 D 3 1p m D 3 p m D 3 3p m = D 3 1p 1 D 3 p D 3 3p 3 p m (D D 3 + D 3 3) = D 3 1p 1 + D 3 p + D 3 3p 3 p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D D3 + D3 3 Resultaat Uit de uitwerking van beide gevallen blijkt dat de uitdrukking voor p m in alle gevallen gelijk is. Als de parameters bekend zijn, kan de hierboven gevonden uitdrukking worden ingevuld en gekeken worden van welk geval er sprake is. 13

15 5.3 Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (turbulent) Het geval dat p m p De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 + v A = v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 + v π 4 D = v 3 π v 1 + v D = v 3 D3 4 D 3 D3 D v 1 = v 3 v [ 1 ] Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen: p 1 p m = f 1L 1 ρ D 1 v1 v 1 = p p m = f L ρ D v v = p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v3 v 3 = (p 1 p m) f 1 L 1 ρ D (p p m) f L ρ D3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ [ ] Invullen van de formules uit [] in de vergelijking van [1] levert: 5(p 1 p m ) D 5 + (p p m ) D3 5 = (p m p 3 ) f 1 L 1 ρ f L ρ f 3 L 3 ρ Deze formule oplossen met behulp van het rekenprogramma Mathematica levert dan de oplossing voor p m : De keuze voor + of voor het wortelteken hangt af van alle gekozen parameters. Wanneer men deze formule gebruikt om p m te berekenen, dient men eerst voor het minteken te kiezen. Wanneer de uitkomst van p m dan negatief blijkt te zijn, weet men dat er een plusteken gebruikt had moeten worden. 14

16 Het geval dat p m > p De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 = v A + v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 = v π 4 D + v 3 π v 1 = v D + v 3 D3 4 D 3 D D3 v 1 = v + v 3 [ 1 ] Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen: p 1 p m = f 1L 1 ρ D 1 v1 v 1 = p m p = f L ρ D v v = p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v3 v 3 = (p 1 p m) f 1 L 1 ρ D (p m p ) f L ρ D3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ [ ] Invullen van de formules uit [] in de vergelijking van [1] levert: 5(p 1 p m ) D 5 = (p m p ) D3 5 + (p m p 3 ) f 1 L 1 ρ f L ρ f 3 L 3 ρ Deze formule oplossen met behulp van het rekenprogramma Mathematica levert dan de oplossing voor p m : De keuze voor een plus- of minteken is wederom afhankelijk van de ingevulde parameters. Resultaat De gevonden oplossingen voor p m in het geval dat p m > p en het geval dat p m p zijn gelijk aan elkaar. Hieruit valt dus te concluderen dat door invullen van de parameters, bepaald kan worden van welke situatie er sprake is. 15

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

De hevel. Rik Schepens 0772841. Rob Wu 0787817 23 maart 2012. Modelleren A Vakcode: 2WH01. Begeleider: Arris Tijsseling

De hevel. Rik Schepens 0772841. Rob Wu 0787817 23 maart 2012. Modelleren A Vakcode: 2WH01. Begeleider: Arris Tijsseling De hevel Rik Schepens 0772841 Rob Wu 0787817 23 maart 2012 Begeleider: Arris Tijsseling Modelleren A Vakcode: 2WH01 Inhoudsopgave Samenvatting 1 1 Inleiding 1 2 Theorie 2 3 Model 3 4 Resultaten en conclusie

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Aventuri met Bernoulli De wet van Bernoulli toegepast

Aventuri met Bernoulli De wet van Bernoulli toegepast Inleiding l in de 18e eeuw bedacht Daniel Bernoulli het natuurkundige principe om te vliegen. De wet van Bernoulli is de wet van behoud van energie voor een sterk vereenvoudigde situatie waarin alleen

Nadere informatie

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld?

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld? 5. Stromingsleer De belangrijkste vergelijking in de stromingsleer is de continuïteitsvergelijking. Deze is de vertaling van de wet van behoud van massa: wat er aan massa een leiding instroomt moet er

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005 Uitwerking tentamen Stroming 5 juli 005 Opgave Hydrostatica : Manometer ρ A = 890 kg/m3 g= 9.8 m/s ρ B = 590 kg/m3 ρ ZUIGER = 700 kg/m3 D ZUIGER = m ha= 30 m hb= 5 m pb= 50000 Pa (overdruk) Vraag : Hoogte

Nadere informatie

Naam:... Studentnr:...

Naam:... Studentnr:... Naam:...... Studentnr:..... FACULTEIT CONSTRUERENDE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN WATERBEHEER Tentamen : Stroming Examinator: J.S. Ribberink Vakcode : 401 Datum : vrijdag 15 juli 005 Tijd : 13.30 17.00 uur

Nadere informatie

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige Hoofdstuk 3 Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper

Nadere informatie

Meteorologie en Luchtkwaliteit

Meteorologie en Luchtkwaliteit EXAMEN Meteorologie en Luchtkwaliteit 0 december 001, 14.00-17:00 uur E E R S T D I T L E Z E N!! 1. Vermeld duidelijk je NAAM, REGISTRATIENUMMER, JAAR VAN AANKOMST en STUDIERICHTING in de linkerbovenhoek

Nadere informatie

Om nu te berekenen hoeveel koelwater er per uur door een leiding stroomt, heb je een vergelijking of formule nodig. Je gebruikt de volgende formule:

Om nu te berekenen hoeveel koelwater er per uur door een leiding stroomt, heb je een vergelijking of formule nodig. Je gebruikt de volgende formule: Een vergelijking (1) In je dagelijkse werk reken je onbewust vaak met behulp van vergelijkingen of formules. Stel je voor dat je graag wilt weten hoeveel koelwater er per uur door een leiding stroomt.

Nadere informatie

Vallen Wat houdt je tegen?

Vallen Wat houdt je tegen? Wat houdt je tegen? Inleiding Stroming speelt een grote rol in vele processen. Of we het nu hebben over vliegtuigbouw, de stroming van bloed door onze aderen, formule 1 racing, het zwemmen van vissen of

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009,

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009, Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) 544 6 april 009,.0 7.00 AANWIJZINGEN Geef duidelijke toelichtingen bij de stappen die je neemt en noem eventuele aannames. Bekritiseer je uitkomsten als

Nadere informatie

Theorie windmodellen 15.1

Theorie windmodellen 15.1 Theorie windmodellen 15.1 15 THEORIE WINDMODELLEN 15.1 Inleiding Doordat er drukverschillen zijn in de atmosfeer waait er wind. Tengevolge van horizontale drukverschillen zal een luchtbeweging willen ontstaan

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen

Nadere informatie

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 tentamen Wie minimum 10/20 heeft behaald op het tentamen is vrijgesteld van het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen Druk in een vloeistof In de figuur

Nadere informatie

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende

Nadere informatie

WATERWERKBLAD. BEREKENINGSGRONDSLAGEN en tabellen voor het bepalen van drukverliezen in buizen

WATERWERKBLAD. BEREKENINGSGRONDSLAGEN en tabellen voor het bepalen van drukverliezen in buizen WATERWERKBLAD BEREKENINGSGRONDSLAGEN en tabellen voor het bepalen van drukverliezen in buizen WB 2.1 G DATUM: OKT 2011 Auteursrechten voorbehouden In dit werkblad wordt aangegeven op welke wijze drukverliezen

Nadere informatie

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Samenvatting Dit verslag gaat over of een simulatie uitgevoerd in Open FOAM voldoende nauwkeurigheid bied en tevens uitvoerbaar is op een gewone computer. Er

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer

Nadere informatie

Viscositeit. par. 1 Inleiding

Viscositeit. par. 1 Inleiding Viscositeit par. 1 Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit

Nadere informatie

( ) ( ) en vloeistof met dichtheid = 891 kg/m 3 stroomt door een ronde uis met een bocht met diameters

( ) ( ) en vloeistof met dichtheid = 891 kg/m 3 stroomt door een ronde uis met een bocht met diameters Vraagstuk 1 Een verticale vlakke plaat heeft in het midden een rond gat met een scherpe rand. Een water straal met snelheid V en diameter D spuit op de plaat waarbij de centerlijn van de straal samenvalt

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS 1 24 APRIL 2013 11:00 12:45 uur MECHANICA 1 Blok en veer. (5 punten) Een blok van 3,0 kg glijdt over een wrijvingsloos tafelblad met een snelheid van 8,0 m/s

Nadere informatie

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

Week 5 Convectie nader bekeken

Week 5 Convectie nader bekeken Wee 5 Convectie nader beeen ogeschool Wertuigbouwunde/E52/'03-'04/ wee5 1 Convectie nader beeen Onderscheid in beschrijvingswijze voor enerzijds geleiding/straling en anderzijds convectie Bij convectie

Nadere informatie

Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld: (,p,v) aan.

Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld: (,p,v) aan. Hydrodynamica Vloeistof bewegingsleer Leer van beweging van vloeistoffen (en gassen) Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld:

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 30 juni 2014 tijd: 9.00-12.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar mee.

Nadere informatie

Viscositeit. par. 1 Inleiding

Viscositeit. par. 1 Inleiding Viscositeit par. 1 Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit

Nadere informatie

De kinematische viscositeit gebruikt de dynamische viscositeit om het reynoldsgetal te bepalen van een object. De formule hiervoor is:

De kinematische viscositeit gebruikt de dynamische viscositeit om het reynoldsgetal te bepalen van een object. De formule hiervoor is: Theoretisch kader In dit deel van het verslag wordt er gekeken naar de benodigde informatie om het proces goed te doorlopen. Deze informatie zal voornamelijk betrekking hebben op de aerodynamica wetten

Nadere informatie

D h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal.

D h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal. 12 De hoekafstand In een vlak, statisch, niet expanderend heelal kan men voor een object met afmeting d op grote afstand D (zodat D d) de hoek i berekenen waaronder men het object aan de hemel ziet. Deze

Nadere informatie

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets 07-0 versie C Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- 07-0-versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER!

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2008-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2008-I Eindexamen natuurkunde - compex havo 008-I Beoordelingsmodel Opgave Lensverwarming maximumscore 3 voorbeeld van een antwoord: De schakeling bestaat uit twee parallelle takken van twee in serie geschakelde

Nadere informatie

Tentamen Meten aan Water CT3412 (-MI) Donderdag 8 december :00-12:00 uur

Tentamen Meten aan Water CT3412 (-MI) Donderdag 8 december :00-12:00 uur Tentamen Meten aan Water CT3412 (-MI) Donderdag 8 december 2011 9:00-12:00 uur Maak elke opgave op een apart nieuw vel voorzien van naam en studienummer! 1. LYSIMETER (25%) Maurits berekent met de Penman-Monteith

Nadere informatie

Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde. Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard

Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde. Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard October 23, 29 Een woord vooraf Na aanleiding van het gesprek met het ingenieursbureau Wiskens&co hebben

Nadere informatie

SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar...

SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar... TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op dinsdag 17 april 1, 9.-1. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 10 juni 09 tijd: 9.00-12.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar mee.

Nadere informatie

Gassnelheid en volume metingen. Deze code van goede meetpraktijk beschrijft de toegepaste. werkwijze bij de meting voor gassnelheid en volume

Gassnelheid en volume metingen. Deze code van goede meetpraktijk beschrijft de toegepaste. werkwijze bij de meting voor gassnelheid en volume Code van goede meetpraktijk van de VKL (Vereniging Kwaliteit Luchtmetingen) Wat doet de VKL? De Vereniging Kwaliteit Luchtmetingen (VKL) heeft ten doel, binnen de kaders van de Europese en Nationale wet-

Nadere informatie

Samenvatting snelheden en 6.1 6.3

Samenvatting snelheden en 6.1 6.3 Samenvatting snelheden en 6.1 6.3 Boekje snelheden en bewegen Een beweging kan je op verschillende manieren vastleggen: Fotograferen met tussenpozen, elke foto is een gedeelte van een beweging Stroboscopische

Nadere informatie

5 Weerstand. 5.1 Introductie

5 Weerstand. 5.1 Introductie 5 Weerstand 5.1 Introductie I n l e i d i n g In deze paragraaf ga je verschillende soorten weerstanden bestuderen waarvan je de weerstandswaarde kunt variëren. De weerstand van een metaaldraad blijkt

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Opgave 1 Afdaling. Opgave 2 Fietser

Opgave 1 Afdaling. Opgave 2 Fietser Opgave 1 Afdaling Een skiër daalt een 1500 m lange helling af, het hoogteverschil is 300 m. De massa van de skiër, inclusief de uitrusting, is 86 kg. De wrijvingskracht met de sneeuw is gemiddeld 4,5%

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

NETWERKEN EN DE WETTEN VAN KIRCHHOFF

NETWERKEN EN DE WETTEN VAN KIRCHHOFF NETWERKEN EN DE WETTEN VN KIRCHHOFF 1. Doelstelling van de proef Het doel van deze proef is het bepalen van de klemspanning van een spanningsbron, de waarden van de beveiligingsweerstanden en de inwendige

Nadere informatie

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Deze online uitgave mag, onder duidelijke bronvermelding, vrij gebruikt worden voor

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio Utrecht

De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio Utrecht De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten voorbehouden. Niets uit

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 7 april 2014 tijd: 9.00-12.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar mee.

Nadere informatie

De hoogte tijd grafiek is ook gegeven. d. Bepaal met deze grafiek de grootste snelheid van de vuurpijl.

De hoogte tijd grafiek is ook gegeven. d. Bepaal met deze grafiek de grootste snelheid van de vuurpijl. et1-stof Havo4: havo4 A: hoofdstuk 1 t/m 4 Deze opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Bij het et krijg je in 1 minuten ongeveer deelvragen. Oefen-examentoets et-1 havo 4 1/11 1. Een lancering.

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 21 juni 2010 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar

Nadere informatie

ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO

ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO versie december 2014 INHOUDSOPGAVE 1. Vooraf 2. Wat is een buffer? 3. Hoe werkt een buffer? 4. Geconjugeerd zuur/base-paar 5. De ph van een buffer De volgende

Nadere informatie

Bionica en Zwemmen. Weerstand in water. J.J. Videler Brakel 28 maart 2009

Bionica en Zwemmen. Weerstand in water. J.J. Videler Brakel 28 maart 2009 Bionica en Zwemmen Weerstand in water J.J. Videler Brakel 28 maart 2009 1 Krachtenspel op een zwemmer Onder water! Archimedes kracht Stuwkracht Opdrijfpunt Zwaartepunt Weerstand (Orde van grootte 100 N)

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen 1. Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid en dnamische viscositeit

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Glas persen door een mal

Glas persen door een mal Glas persen door een mal Jeroen Wessels 778324 Ruben Kwant 78949 2 juni 212 1 Samenvatting Een glasfabriek maakt glazen jampotjes. Ze willen de productie van jampotjes graag vergroten. Glas is stroperig

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt 1 scorepunt toegekend.

Vraag Antwoord Scores. Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt 1 scorepunt toegekend. Beoordelingsmodel Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Opgave SPECT-CT-scan B maximumscore 3 antwoord: 99 99 Mo Tc + 0 e + ( γ) of 99 99 Mo Tc + e + ( γ ) 4 43 het elektron

Nadere informatie

Thermodynamica. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Thermodynamica. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Thermodynamica Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2009-2010 Inhoudsopgave Eerste hoofdwet - deel 1 3 Oefening 1.1......................................

Nadere informatie

- KLAS 5. a) Bereken de hellingshoek met de horizontaal. (2p) Heb je bij a) geen antwoord gevonden, reken dan verder met een hellingshoek van 15.

- KLAS 5. a) Bereken de hellingshoek met de horizontaal. (2p) Heb je bij a) geen antwoord gevonden, reken dan verder met een hellingshoek van 15. NATUURKUNDE - KLAS 5 PROEFWERK H6 22-12-10 Het proefwerk bestaat uit 3 opgaven met in totaal 31 punten. Gebruik van BINAS en grafische rekenmachine is toegestaan. Opgave 1: De helling af (16p) Een wielrenner

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Zuid- en Oost-Gelderland

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Zuid- en Oost-Gelderland De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio Zuid- en Oost-Gelderland datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale

Nadere informatie

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters Basics flowmetingen De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters Thermische Flowmeters (in-line & by-pass principe) Thermische massa flowmeter

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Limburg

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Limburg De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio Limburg datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten voorbehouden. Niets

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Drenthe / Overijssel

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Drenthe / Overijssel De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio Drenthe / Overijssel datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten voorbehouden.

Nadere informatie

Vloeistofmechanica voor de afvalwaterketen

Vloeistofmechanica voor de afvalwaterketen Vloeistofmechanica voor de afvalwaterketen Lesboek Nieuwegein, 2012 w w w. w a t e r o p l e i d i n g e n. n l Stichting Wateropleidingen, september 2012 Groningenhaven 7 3433 PE Nieuwegein Versie 2.1

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Meerzone luchtstroomodellen

Meerzone luchtstroomodellen luchtstroommodellen Meerzone luchtstroomodellen Kennisbank Bouwfysica Auteur: Ruud van Herpen MSc. 1 Principe van een meerzone luchtstroommodel Inzicht in de druk- en volumestroomverdeling binnen een bouwwerk

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Rotterdam / Rijnmond

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Rotterdam / Rijnmond De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio / datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten voorbehouden. Niets uit

Nadere informatie

Elektrische stroomnetwerken

Elektrische stroomnetwerken ntroductieweek Faculteit Bewegings- en evalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Elektrische stroomnetwerken Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties. Anne Buijsrogge en Corine Laan

Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties. Anne Buijsrogge en Corine Laan Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties Anne Buijsrogge en Corine Laan 23 oktober 2009 1 Vragen uit het lab Als je chemische mengsels wilt maken, kunnen daar een hoop vragen bij opkomen Hoe

Nadere informatie

Bionica voor de jachtbouw

Bionica voor de jachtbouw Bionica voor de jachtbouw Leren van de natuur J.J. Videler Heerenveen, 19 april 2011 1 Krachtenspel op een schip Archimedes kracht Waterverplaatsing Opdrijfpunt Stuwkracht Zwaartepunt Weerstand Golfweerstand

Nadere informatie

5 Stromingsleer. 5.1 Inleiding

5 Stromingsleer. 5.1 Inleiding 190 5 Stromingsleer 5.1 Inleiding In hoofdstuk 1 zijn balansen geïntroduceerd; deze bleken daar, en ook later in de volgende hoofdstukken, uitermate handig bij het oplossen van allerlei transportproblemen.

Nadere informatie

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Haaglanden en Rijn Gouwe

De arbeidsmarkt voor leraren po Regio Haaglanden en Rijn Gouwe De arbeidsmarkt voor leraren po 2015-2020 Regio en datum 16 maart 2015 auteurs dr. Hendri Adriaens dr.ir. Peter Fontein drs. Marcia den Uijl CentERdata, Tilburg, 2015 Alle rechten voorbehouden. Niets uit

Nadere informatie

Bepaling van het verschil tussen betaalde rente en de rente die betaald zou zijn als er geen sprake was van overwinsten

Bepaling van het verschil tussen betaalde rente en de rente die betaald zou zijn als er geen sprake was van overwinsten Verantwoording Renteschade Calculator Actie Hypotheekrente Badhoevedorp, oktober 2016 Versie: 2.0 Uitleg en Verantwoording De calculator bestaat uit twee stappen: Bepaling van het verschil tussen betaalde

Nadere informatie

De toets levert 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave 3(f) is een bonusvraag voor 2 extra punten.

De toets levert 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave 3(f) is een bonusvraag voor 2 extra punten. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Herkansingstoets Toegepaste Natuurwetenschappen voor W (3NCB1) Zaterdag 12 april 2014, 9.00 12.00 uur. De toets

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Voorblad bij Tentamen

Voorblad bij Tentamen Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Inleiding Werktuigbouwkunde Vakcode: 4GA01 Datum: 30-10-2015 Begintijd: 9:00 Eindtijd: 10:30 Aantal pagina s:

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte.

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte. 1 Materie en warmte Onderwerpen - Temperatuur en warmte. - Verschillende temperatuurschalen - Berekening hoeveelheid warmte t.o.v. bepaalde temperatuur. - Thermische geleidbaarheid van een stof. - Warmteweerstand

Nadere informatie

Bloedsomloop. 1 Inleiding. 2 Meetopstelling. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding

Bloedsomloop. 1 Inleiding. 2 Meetopstelling. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding Bloedsomloop 1 Inleiding Het menselijk lichaam bestaat uit een zeer groot aantal cellen. Elke cel heeft voedingsstoffen en zuurstof nodig. Elke cel

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten) Q2-1 Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten) Neem voor het begin van deze opgave de algemene instructies uit de aparte enveloppe door! Inleiding Bistabiele niet-lineaire halfgeleider

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie