Modellering van een griepepidemie in Nederland

Transcriptie

1 Modellering van een griepepidemie in Nederland Naam: Adilson Morais 12 december 27 Studentennummer: Opleiding: Technische Wiskunde 1

2 Inhoudsopgave Samenvatting Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofdstuk 2: Wiskundige modellen 2.1 Eenvoudig singlecitymodel 2.2 Singlecity 2.3 Multicity Hoofdstuk 3: Resultaten 3.1 Epidemie in kaart 3.2 Beperking griepepidemie Hoofdstuk 4: Discussie en conclusie Literatuurverwijzing Bijlage: Matlabcodes 2

3 Samenvatting In dit bachelorproject wordt de verspreiding van een griepepidemie in Nederland gemodelleerd worden. Ten eerste worden enkele wiskundige modellen opgesteld, waarbij het ene model een verbetering is van het vorige. Deze modellen leveren beginwaarde problemen op die numeriek worden opgelost. Hierbij wordt gebruik worden gemaakt van enkele bekende numerieke tijdsintegraties. Vervolgens brengen we de verspreiding van een griepepidemie in Nederland in kaart en aan de hand hiervan wordt nagegaan of de oplossing goed overeenkomt met de realiteit. Tenslotte wordt nog een praktische toepassing bekeken, zoals een manier om een griepepidemie tegen te gaan. 3

4 1 Inleiding Elk jaar komt het voor dat mensen om ons heen de griep hebben. Van een epidemie is pas sprake, wanneer meer dan 6 op de 1. mensen de griep hebben. De kans op besmetting neemt in dit geval behoorlijk toe. Jonge mensen komen in het algemeen wel over een griepje heen. Voor oudere mensen, echter, kan een griep fataal zijn. Daarom worden deze mensen vaak ingeënt tegen de griep met een vaccin. Een groot probleem is hier dat een griepvirus muteert, dit maakt dat voor iedere griepepidemie een ander vaccin nodig is om de mensen zo goed mogelijk te beschermen tegen de opkomende griepgolf. Om te bepalen wanneer en hoeveel vaccins op welke plaats in Nederland er nodig zijn, is het kennen van de voortplanting van de griepgolf van groot belang. In dit bachelorproject zal bezig worden gehouden met de verspreiding van een griepepidemie door Nederland. Eenmaal uitgebroken in een bepaalde stad is het van belang om te weten hoe deze ziekte zich verder verspreidt naar andere steden in het land. Het is eveneens belangrijk om te weten wanneer de epidemie ten einde komt. Om de doelstellingen te kunnen realiseren is, stellen we eerst wiskundige SIRP (Susceptible, Infected, Recovered, Partially susceptible) modellen op die de griepepidemie zo goed mogelijk beschrijven. Hierbij is gebruik gemaakt van de modellen van James Hyman en Tara LaForce. In de literatuur worden ook nog andere modellen besproken, zoals het multi-species SEIR-model, een SIR-model met diffusie, een SIS-model, een SIRS-model met vaccinatie en een SIR-model. Deze andere modellen worden besproken in de genoemde artikelen hieronder. Voor meer informatie over de artikelen zie de literatuurverwijzing achterin. Modeling the spread of influenza among cities. An S-I-R model for epidemics with diffusion to avoid infection and overcrowding. A multi-city epidemic model. Global results for an epidemic model with vaccination that exhibits backward bifurcation. A multi-species epidemic model with spatial dynamics. Differential susceptibility epidemic models. Elk van de SIRP modellen proberen we analytisch al dan niet numeriek op te lossen. Vervolgens proberen we aan de hand van het beste model de griepepidemie in kaart te brengen voor Nederland. Hierna wordt uitgezocht hoe de verspreiding van de griep beperkt kan worden. Er zal een manier gevonden moeten worden om deze griep zoveel mogelijk tegen te gaan. Tenslotte zullen we een conclusie trekken betreffend het wiskundig model en bekijken we ook de mogelijkheid of de modellen voor verbetering vatbaar zijn. 4

5 2 Wiskundige modellen 2.1 Eenvoudig singlecitymodel Om de verspreiding van een griepepidemie te vertalen naar een wiskundig model moeten eerst enkele aannames worden opgesteld. De volgende aannames in dit model zijn voldoende om een eenvoudige verspreiding van griep onder een bevolking te beschrijven: De griepepidemie wordt bekeken voor één enkele stad. De bevolking in deze stad is te onderscheiden in drie verschillende groepen. Het aantal besmetbare mensen S, het aantal geïnfecteerden I en het aantal genezen mensen R. De totale bevolking N wordt hierdoor gegeven door N = S + I + R. Er wordt geen sterfte of geboorte betrokken in dit model. Elk persoon doorloopt de groepen in de volgende volgorde: S I R. De verspreiding van een griepepidemie door een mensengemeenschap is goed te beschrijven door te kijken hoe het aantal mensen uit de verschillende groepen S, I en R verandert in de loop van de tijd. Om dus te bekijken hoe een epidemie zich ontwikkelt in deze populatie, hebben we hierbij de aantallen besmetbare, geïnfecteerde en genezen mensen nodig op t =. De verandering van het aantal mensen in ieder groep wordt met name beïnvloed door de snelheid waarmee iemand geïnfecteerd en genezen wordt. Voor elke groep is het nu mogelijk een differentiaalvergelijking op te stellen. Dit geeft totaal drie differentiaalvergelijkingen die in een stelsel weergegeven kunnen worden. Het stelsel ziet er als volgt uit: Het aantal gezonde/besmetbare mensen S kan alleen maar afnemen. Er is aangenomen dat deze afname evenredig is met het aantal besmetbare mensen per 2 : ds dt = λs. Het aantal geïnfecteerden I in de stad neemt in het begin toe om vervolgens af te nemen aangezien de griepepidemie ten einde komt. Ook hier is aangenomen dat de toename van het aantal gezonde mensen en afname door genezen mensen evenredig is met het aantal geïnfecteerde mensen per 2 : di dt = λs αi. Het aantal genezen mensen R kan alleen maar toenemen in de loop van de tijd totdat de griepepidemie ten einde komt. De toename is aangenomen evenredig te zijn met het aantal resistente mensen per 2 : dr dt = αi. 5

6 Waarbij in dit stelsel λ, α > is. Hierbij staat λ voor de snelheid waarmee iemand wordt geïnfecteerd, α voor de snelheid waarmee iemand genezen wordt. 6

7 Oplossing eenvoudig model Dit eenvoudig singlecitymodel kan analytisch opgelost worden met gegeven beginvoorwaarde. Stel dat de beginvoorwaarde als volgt genomen wordt: S() = S, I() = I en R() = R. De totale bevolking is vervolgens gelijk aan N = S + I + R. De exacte oplossing voor het eenvoudig model ziet er dan als volgt uit: S(t) = S e λt, I(t) = S e λt (S I )e αt, (1) R(t) = (S I + N)e λt + (S I )e αt + N. De plot van de oplossing voor een stad met 1. gezonde en 2 zieke mensen is hieronder te zien: aantal 6 4 S 2 I R N t in dagen Figuur 1: Exacte oplossing voor λ = 1 en α = 2 In figuur 1 is duidelijk te zien hoe de samenstelling is van de bevolking per dag, waarbij de totale populatie N constant blijft. We verwachten dat na voldoende grote tijd er geen zieke en besmetbare mensen meer zijn. Iedereen is dan resistent geworden en dit zien we inderdaad voorspeld worden door het model. Dit is ook wel de evenwichtstoestand van het stelsel differentiaalvergelijkingen. 7

8 De evenwichtsoplossing van bovenstaande oplossing kan bepaald worden door voor elk functie, t naar oneindig te laten lopen. Namelijk lim t S(t) =, lim t I(t) = en lim t R(t) = N. Dus S =, I = en R = N is de evenwichtsoplossing. Dit komt inderdaad overeen met de verwachtingen. Een andere mogelijkheid is door elke vergelijking in het stelsel gelijk aan nul te stellen. Door dit probleem op te lossen komen we uit op dezelfde evenwichtsoplossing, alleen is dan nog niet bekend of het evenwicht al dan niet stabiel is. Uit figuur 1 kan worden afgeleid dat we met een stabiele evenwichtsoplossing te maken hebben. Of we leiden dit af uit het feit dat de limieten bestaan van de functies in (1). Door de eigenwaarden te bepalen van het eenvoudig singlecity stelsel kunnen we deze conclusie bevestigen. De eigenwaarden ν van het stelsel y = Ay, met A = λ λ α α zijn ν 1 = λ, ν 2 = α en ν 3 =. Uit de analyse van differentiaalvergelijkingen is bekend dat als alle eigenwaarden niet-positief zijn, dat het evenwichtspunt dan stabiel is. Omdat zowel λ als α postief is, is er sprake van stabiliteit van de evenwichtsoplossing. Interessant om uit te rekenen is het tijdtip waarop het maximaal aantal geïnfecteerden wordt bereikt in deze populatie. Dit bereiken we door I (t max ) = op te lossen. Het geeft de volgende oplossing voor t max : t max = 1 λ α ln( λs ). (2) α(s I ) Voor de eerder gekozen beginvoorwaarden en λ = 1 en α = 2 is het tijdstip waarop het maximum wordt bereikt gelijk aan(zie ook figuur 1): t max = ln( 1 18 ) = ln(18 ), 6 dagen. 1 Als de uitgerekende t max ingevuld wordt in I(t) uit (1) geeft dit het maximum aantal zieken in de populatie. Als we goed naar vergelijking (2) kijken, kunnen we een eis afleiden waar het model in ieder geval aan moet voldoen om een maximum in het aantal zieken voor t > te hebben. Aangezien de logaritme van een negatief getal niet bestaat, komt uit vergelijking (2) voort dat S > en S I, aangezien λ, α >. Dus de eis is dat S > I om singulariteit te vermijden. 8

9 2.2 Singlecity Het eenvoudig singlecity model wordt verbeterd om een realistischere beschrijving van de verspreiding van de griepepidemie te realiseren. Hierbij zullen de aannames van het vorig model zowel worden aangescherpt als uitgebreid: Er komt een nieuwe groep bij, omdat de weerstand van genezen mensen kan verzwakken waardoor ze weer ziek kunnen worden. Deze groep, die niet volledig besmetbaar is, wordt de gedeeltelijk besmetbare mensen P genoemd. De totale bevolking N wordt nu gegeven door N = S + I + R + P. De verschillende groepen zijn homogeen verdeeld door de stad. Er wordt geen geboorte betrokken in dit aangepaste model. Er treedt wel sterfte op, maar niet veroorzaakt door de griep zelf. Zowel de gedeeltelijk besmetbare als besmetbare mensen kunnen geïnfecteerd raken. En dus zal elk persoon de groepen in de volgende volgorde doorlopen: S I R P S of in de volgorde S I R P I R P S. Aan de hand van deze volgorde kunnen de nieuwe vergelijkingen afgeleid worden. De verandering in S wordt bepaald door mensen die ziek worden en gedeeltelijk besmetbare mensen die besmet worden. De verandering in I wordt bepaald door zowel volledig als gedeeltelijk gezonde mensen die ziek worden en door zieken die genezen. De verandering in R wordt bepaald door zieken die genezen en door genezen mensen die weer gedeeltelijk besmetbaar raken. De verandering in P wordt bepaald door genezen personen die gedeeltelijk besmet raken en door mensen in P die of besmetbaar of weer ziek worden. In alle gevallen zullen sommigen in de groep overlijden. Het stelsel ziet er nu als volgt uit: ds dt = λs S + η P P + µ(s S), di dt = λs S + λ P P αi µi, dr dt = αi ηr R µr, (3) dp dt = ηr R η P P λ P P µp. Waarbij λ S = β S r I N, λp = β P r I N. Hierbij staat λs /λ P voor de snelheid waarmee iemand uit S/P wordt geinfecteerd, α voor de snelheid waarmee iemand genezen wordt, r voor het gemiddeld aantal contacten per persoon per tijdseenheid(dagen), η P voor de snelheid om van een gedeeltelijk besmetbare een 9

10 volledig besmetbaar individu te worden, η R voor de snelheid om van een resistente persoon gedeeltelijk besmetbaar te worden en µ voor de snelheid waarmee mensen sterven in afwezigheid van infectie. Verder wordt aangenomen dat β S > β P, waarbij β de besmetbaarheid is van een persoon. Deze aanname is gemotiveerd doordat een besmetbaar persoon sneller griep krijgt dan een gedeeltelijk besmetbaar individu. Let op dat λ S, λ P en N niet langer constant zijn. Oplossing Singlecity De oplossing voor bovenstaand stelsel differentiaalvergelijking is in tegenstelling tot het eenvoudig model niet analytisch op te lossen. Daarom zal er gebruik worden gemaakt van een numerieke oplosmethode. Toepassing van Euler voorwaarts op de eerste vergelijking met tijdstap h levert: S n+1 = S n + h( ds n dt ) = S n + h( λ S S n + η P P n + µ(s S n )) De overige drie vergelijkingen worden op dezelfde manier toegepast. Om na te gaan of stelsel (3) al dan niet stabiel is, zullen de eigenwaarden van de Jacobiaan matrix bepaald moeten worden. De Jacobiaan voor het singlecity stelsel ziet als volgt uit: J(p) = µ o η P (α + µ) α (η R + µ) η R (η P + µ) Hier is p de evenwichtsoplossing van (3). We kunnen ervan uitgaan dat p = (,,N,). Later zullen we zien dat dit inderdaad het geval is. Als de vergelijking det(j(p) Iν) = opgelost wordt, krijgen we voor de eigenwaarden ν de waarden: ν 1 = µ, ν 2 = (α + µ), ν 3 = (η R + µ), ν 4 = (η P + µ). Aangezien de verschillende parameters α, µ, η R en η P allen positief zijn, leiden we hieruit af dat de eigenwaarden van de Jacobiaan negatief zijn. Uit de analyse van differentiaalvergelijkingen is bekend dat als alle eigenwaarden van een stelsel kleiner zijn dan nul, dat dan het stelsel stabiel is. Dus het singelcity stelsel is stabiel. De evenwichtsoplossing p = (S,I,R,P) = (,,N,) is in dit geval asymptotisch stabiel. Bij gebruik van bijvoorbeeld Euler achterwaarts moeten we voor ieder tijdstip een niet-lineaire stelsel vergelijkingen op lossen. Dus deze oplosmethode is niet erg handig om toe te passen. Aangezien de oplossing toch stabiel is, is het ook niet nodig deze methode te gebruiken en volstaat Euler voorwaarts. Omdat h > en ν < volgt hieruit dat h 2 ν. Vullen we hierin de grootste eigenwaarde in dan kunnen we bepalen voor welke stapgrootte h het stelsel stabiel 2 is: h (α+µ). Voor de bekende parameters is h... 1

11 Nemen we voor de stapgrootte h = 1 2, dan is het mogelijk om met behulp van Matlab de numerieke oplossing uit te rekenen. Voor S = 1., I = 5, R = 1 en P = 35 komt de volgende oplossing uit: 12 1 aantal S I R P N t in dagen Figuur 2: Numerieke oplossing voor één stad Voor de simulatie is gebruik gemaakt van de volgende waarden voor de parameters: β S =, 16, β P =, 55 6, r = 1, α =, 16, µ = 8, , ηp = en η R = We zien in figuur 2 de evenwichtswaarden terug uit het eenvoudig singlecity model. Het aantal (gedeeltelijk) besmetbare mensen neemt geleidelijk af naar nul, terwijl het aantal geïnfecteerden eerst toe neemt voordat het ook afneemt naar nul. Tevens is er te zien dat het aantal genezen mensen toeneemt naar N, wat wil zeggen dat iedereen zal genezen volgens het model. 11

12 2.3 Multicity Nu zal het uiteindelijke model, het Multicity model, bekeken worden. Dit model is een uitgebreide versie van het Singlecity model, waarin migratie van mensen aan bod komt. Er gelden dezelfde aannames als voor Singlecity. Eén extra aanname komt erbij en dat is dat we een systeem beschouwen met n steden waarin de mensen kunnen reizen van stad naar stad. Voordat er gekeken wordt naar het nieuwe model, zal er een migratiematrix M geïntroduceerd worden. Deze matrix vertelt hoeveel mensen van een bepaalde stad naar een andere stad reizen: M = m m 1n m n1... m nn Zo geeft element m ij aan hoeveel mensen per tijdseenheid reizen van stad i naar stad j. Omdat er is aangenomen dat de simulatie voor korte tijd gebruikt wordt is de migratiematrix in dit model constant. Dus de migratiematrix M is onafhankelijk van de tijd. De diagonale termen m ii, de niet-reizigers, komen in de vergelijkingen hieronder niet terug en zijn daarom gelijk aan nul. In elk stad wordt het Singlecity model toegepast. En er wordt aangenomen dat de verschillende groepen in de bevolking met dezelfde snelheid reizen. Dus bijvoorbeeld het aantal zieke mensen dat stad 2 in komt vanuit stad 1 wordt gegeven door m 12 ( I1 N 1 ). Hierbij is I1 N 1 de fractie zieke mensen in stad 1 dat besmetbaar is. Voor elke vergelijking zullen twee somtermen toegevoegd worden die aangeven hoeveel mensen uit een groep stad k verlaten en hoeveel uit diezelfde groep deze stad k binnenkomen. Het stelsel ziet er voor stad k als volgt uit:. ds k dt = λ S k S k + η P P k + µ(s k S k ) + n j=1 m jk S j N j n j=1 m kj S k N k, di k dt = λs k S k + λ P k P k αi k µi k + dr k dt dp k dt = αi k η R R k µr k + n j=1 n j=1 m jk R j N j = η R R k η P P k λ P k P k µp k + Waarbij λ S k = βs r I k N k, λ P k = βp r I k N k. m jk I j N j n j=1 n j=1 n j=1 m kj I k N k, m kj R k N k, (4) m jk P j N j n j=1 m kj P k N k. 12

13 Verder wordt aangenomen dat β S > β P, waarbij β de besmetbaarheid is van een persoon. Ook hier zijn λ S, λ P en N k niet constant. Oplossing Multicity Ook hier zal met een numerieke tijdsintegratie een plot verkregen worden aangezien ook dit stelsel geen analytische oplossing heeft. Eerst is met behulp van Euler voorwaarts een oplossing gevonden voor twee steden. Toepassing hiervan op bijvoorbeeld de tweede vergelijking, met tijdstapgrootte h, levert: I n k = I n k + h( din k dt ) = I n k + h(λ S k S n k + λ P k P n k αi n k µi n k + c j=1 m jk I n j N n j c j=1 Ik n m kj Nk n ) De overige drie vergelijkingen worden ook op dezelfde manier toegepast. Ook de Jacobiaan matrix van stelsel (4) geeft negatieve eigenwaarden. Dus het stelsel voor het multicity model is stabiel en kunnen we dezelde waarde nemen voor de stapgrootte h. Nu is het mogelijk om met behulp van Matlab de numerieke oplossing uit te rekenen. Voor een stad met 13. inwoners, waaronder 5 volledig en gedeeltelijk zieke mensen, en een andere stad met 2. inwoners ziet de oplossing er als volgt uit: 2.5 x aantal 1 S.5 I R P N t in dagen Figuur 3: Numerieke oplossing voor twee steden 13

14 Als er nu enkele aanpassingen gedaan wordt aan de matlabcode, dan kan er voor een willekeurig aantal steden een plot gekregen worden. Zo is hieronder een voorbeeld te zien in het geval van vier steden: 2.5 x 14 2 aantal S I R P N t in dagen Figuur 4: Numerieke oplossing voor vier steden Ook hier gebruiken we voor beide simulaties dezelfde waarden voor de parameters als in het singlecity geval. In de grafieken 3 en 4 zijn duidelijk de evenwichtstoestanden af te lezen: S =, I =, P = en R = N, zoals verwacht wordt. 14

15 3 Resultaten 3.1 Epidemie in kaart Vanaf dit punt werken we verder aan het Multicitymodel. Zoals we weten geeft de oplossing van het multicitymodel weer hoe de griepepidemie zich ontwikkelt over alle steden. Nu we beschikken over deze informatie kunnen we de verspeiding van griep in kaart brengen voor Nederland. Hierbij nemen we parameters aan die van toepassing zijn voor dit land, zoals het aantal inwoners per stad en getallen die bepalend zijn voor de griepverspreiding. Hieronder zal een beschrijving gegeven worden van de manier van aanpak. We beschouwen een rechthoek die over n punten bestaat. Hierin stellen de punten in dit rechhoekig rooster de steden/stedelijke gebieden voor. Aangezien we Nederland in dit rechthoek proberen te plotten zullen sommige punten de zee voorstellen. Er zal geprobeerd worden om Nederland zo nauwkeurig mogelijk weer te geven. Eerst nemen we een rechthoek van 1 bij 1, waarbij we uitgaan van een homogene verdeling van de populatie. Zetten we de populatie uit in een plot dan geven we bijvoorbeeld de steden waarde N = 1 en de zee waarde N =. Nederland ziet er aan de hand van een contourplot dan als volgt uit: Figuur 5: Nederland in kaart 15

16 De oplossing van het multicitymodel proberen we in de kaart van Nederland weer te geven. We zijn met name geïnteresseerd in de verspreiding van de griep, dus zal het aantal geïnfecteerden geplot worden in het rechthoekig rooster. Als beginvoorwaarde wordt het aantal inwoners in de steden genomen en het aantal zieken in de stad van griepuitbraak. We gaan ervan uit dat de epidemie uitbreekt in Zeeland. Verder nemen we aan dat mensen over de grond reizen en niet door de lucht. Reizigers kunnen dus vanuit stad (i,i) alleen naar de omliggende steden toe: (i,i+m-1) (i,i-1) (i,i+m) (i,i+m+1) (i,i+1) (i,i-m-1) (i,i-m) (i,i-m+1) Hierbij stelt het middelste punt stad (i,i) voor. Dit heeft tot gevolg dat er minder gegevens hoeven te worden ingevuld in de migratiematrix M. Voor elke rij in matrix M zijn er hoogstens acht waarden ongelijk aan nul ingevuld, waardoor de matrix uit acht subdiagonalen bestaat. 16

17 Voor verschillende tijdstippen t wordt er een plot gemaakt om een beeld te krijgen over hoe een epidemie zich verspreidt over Nederland met 16,38 miljoen inwoners. In Zeeland, waar de griep uitbreekt, zijn er 7 gevallen van griep gesignaleerd. Aangezien er ongeveer 17.6 inwoners zijn in Zeeland is er sprake van een griepepidemie. Vanaf dit punt maken we bebruik van een betere tijdsintegratie met een hogere nauwkeurigheid, namelijk Modified Euler. In de figuren 6 t/m 9 is de verspreiding van de griepepidemie te zien. Hierin zijn de grieppercentages I N uitgezet voor alle steden. Na 14 dagen Figuur 6: griepepidemie na 14 dagen Na 18 dagen Figuur 7: griepepidemie na 18 dagen 17

18 Na 3 dagen Figuur 8: griepepidemie na 3 dagen Na 5 dagen Figuur 9: griepepidemie na 5 dagen 18

19 De griepepidemie breekt uit in het zuidwesten van Nederland en in figuur 6 is te zien dat na ongeveer viertien dagen de griepepidemie snel is doorgetrokken richting het noordoosten van Nederland. Ongeveer vier dagen later zit de griepepidemie op het hoogtepunt. De grieppercentages komen tot een maximum. In figuur 8 kunnen we zien dat het percentage geïnfecteerden aan het afnemen is over alle steden in Nederland. Vijftig dagen na de griepuitbraak zijn de percentages aanzienlijk verminderd en mag men verwachten dat de griepepidemie aan haar einde komt. De resultaten komen overeen met de werkelijkheid. De griep breekt uit in het zuiden van het land en trekt zich snel door richting het noorden. Eenmaal als heel Nederland in de greep zit van een griepepidemie, begint na verloop van tijd het aantal griepgevallen af te nemen. Uiteindelijk, na vijftig dagen, verwacht men een einde aan de epidemie in Nederland. Precies wat we kunnen verwachten in werkelijkheid. 3.2 Beperking griepepidemie Nu we eenmaal weten hoe de griepepidemie zich ontwikkelt in Nederland, proberen we uit te zoeken hoe deze verspreiding kan worden beperkt. Het is ingewikkeld om een epidemie te verkomen, aangezien een griepvirus muteert. Maar het moet mogelijk zijn om het aantal geïnfecteerden over alle steden in Nederland terug te dringen. Kijkend naar de betekenissen van de parameters, dan lijkt het logisch dat een griepepidemie voornamelijk beïnvloed wordt door α(snelheid waarmee iemand genezen wordt), r(het gemiddeld aantal contacten dat per persoon per tijdseenheid) en β S (besmetbaarheid van een gezond persoon). De overige parameters hebben een geringe invloed. Daarom gaan we bekijken hoe een verandering in deze parameters invloed heeft op het aantal griepgevallen. 19

20 In de praktijk wordt jaarlijks gebruik gemaakt van vaccinaties. Ook hier zullen we kijken wat voor gevolgen dit heeft voor een griepepidemie. We nemen aan dat er wordt gevaccinneerd voordat de griepepidemie het hoogtepunt bereikt. Vaccinatie zorgt ervoor dat men weerbaarder is tegen de griep en dus minder besmetbaar. Dit heeft dus tot gevolg dat de waarde voor β S naar verhouding enorm afneemt. Als we aannemen dat een gezond persoon na vaccinatie 9 procent minder besmetbaar is dan is βvac S =, 1 β S. Wordt er na viertien dagen gevaccineerd in bijvoorbeeld het Rijnmond gebied dan ziet de verandering voor deze regio als volgt uit. We nemen aan dat 1 procent van de bevolking in dit gebied een vaccin krijgt toegediend. 4.5 x aantal I t in dagen Figuur 1: Verandering bij vaccinatie Hierin stelt de rode grafiek de situatie voor bij geen vaccinatie en de blauwe grafiek de situatie als er wel gevaccineerd is. Het aantal geïnfecteerden wordt duidelijk teruggedrongen zoals men verwacht. 2

21 Het is ook mogelijk gedurende een griepepidemie zo min mogelijk contact te hebben met andere inwoners uit hetzelfde gebied. Bijvoorbeeld door zoveel mogelijk thuis te blijven. Als we de waarde r verlagen krijgen we voor het Rijnmond gebied de volgende verandering te zien: 4.5 x aantal I t in dagen Figuur 11: Verandering bij minder contact Hierin stelt de rode grafiek de normale situatie voor en de blauwe grafiek de situatie als er minder contact is. Het aantal geïnfecteerden wordt ook hier teruggedrongen, maar minder dan bij vaccinatie. 21

22 Een andere manier om een griepepidemie te beperken is als een ziek persoon ervoor zorgt dat hij of zij sneller geneest. Dit kan door bijvoorbeeld medicijnen in te nemen. Als iemand eenmaal eerder geneest, dan is de kans groter dat deze persoon veel minder andere mensen besmet met de griep. Het innemen van medicijnen kan de waarde voor α verhogen met bijvoorbeeld 25 procent. De verandering in het Rijnmond gebied is in figuur 12 te zien: 4.5 x aantal I t in dagen Figuur 12: Verandering bij een snellere genezing Hierin stelt de rode grafiek de situatie voor als er geen gebruik wordt gemaakt van medicijnen. De blauwe grafiek stelt de situatie voor als er wel medicijnen gebruikt is. Het aantal geïnfecteerden neemt hier ook af, maar minder dan bij vaccinatie. Wat we ook terugzien is dat bij een snellere genezing, dus een grotere α, de griepepidemie iets eerder uitdooft. 22

23 Het beste resultaat wordt bereikt als alle drie de gevallen worden gecombineerd. Het aantal griepgevallen wordt aanzienlijk teuggedrongen. Zie figuur 13 voor een verandering in het Rijnmond gebied: 4.5 x aantal I t in dagen Figuur 13: Verandering bij combinatie Hieren stelt de rode grafiek de normale situatie voor en de blauwe grafiek de situatie als alle drie de gevallen wordt toegepast om griepverspreiding te beperken. Dit levert een aanzienlijke vermindering van het aantal griepgevallen in het Rijnmond gebied. 23

24 We kunnen concluderen dat verandering van de drie besproken parameters inderdaad invloed heeft op het aantal griepgevallen. En dit geldt voor alle plaatsen in Nederland. Het is niet mogelijk een griepepidemie te voorkomen, maar als het eenmaal is uitgebroken dan kan wel worden voorkomen dat de situatie verernstigt. In de praktijk is het ingewikkeld om invloed uit te oefenen op minder contacten en een snellere genezing. Daarom bekijken we de verspreiding van een griepepidemie als alleen vaccinatie wordt toegepast. Hieronder zien we het resultaat over heel Nederland: Na 14 dagen Figuur 14: griepepidemie na 14 dagen Na 18 dagen Figuur 15: griepepidemie na 18 dagen 24

25 Na 3 dagen Figuur 16: griepepidemie na 3 dagen Na 5 dagen Figuur 17: griepepidemie na 5 dagen We zien inderdaad dat de grieppercentages in de figuren 14 t/m 16 veel lager zijn dan die in de figuren 6 t/m 8. Vaccinatie is de beste methode om een griepepidemie tegen te gaan. 25

26 4 Discussie en conclusie Aan de hand van de resultaten hebben we gezien dat het multicity SIRP-model de verspreiding van de griepepidemie in Nederland heel goed beschrijft. De resultaten die we gezien hebben kunnen we ook verwachten in werkelijkheid. Zowel bij de verspreiding ervan als bij het tegengaan van griep. Maar het genoemde SIRP-model kan wel op sommige punten verbeterd worden. Zo zou men wel sterfte, veroorzaakt door griep, in het model kunnen betrekken. Er zou tevens rekening gehouden kunnen worden met geboorte. De migratiematrix kan misschien wel afhangen van de tijd, waar het hier constant werd gehouden. Volgens de migratiematrix is het mogelijk om naar alle steden te kunnen reizen, terwijl in dit project alleen de steden eromheen mogelijk waren. Wat betreft de parameters kunnen er ook twijfels over zijn. Want hier werd aangenomen dat de parameters voor ieder persoon gelijk is, terwijl dat in werkelijkheid niet het geval is. De snelheid van infectie en genezing hangt namelijk per persoon af. Ook een andere tijdsintegratie zou gebruikt kunnen worden om een hogere nauwkeurigheid te bereiken in de oplossing, zoals de vierde orde methode van Runge-Kutta. Dit alles geeft aan dat er genoeg te veranderen is in het SIRP-model, maar niet alles blijkt mogelijk te zijn om in het model te betrekken. 26

27 Literatuurverwijzing griepmeting.nl cbs.nl (centraal bureau voor statistiek): bevolkingsdichtheid rivm.nl (rijksinstituut voor volksgezondheid en milieu) wikipedia: griepepidemie Modeling the spread of influenza among cities van James Hyman en Tara LaForce, 2 mei 23. An S-I-R model for epidemics with diffusion to avoid infection and overcrowding van Douglas Meade en Fabio Milner. A multi-city epidemic model van Julien Arino en P van den Driessche,23. Global results for an epidemic model with vaccination that exhibits backward bifurcation van Julien Arino, C. MCCluskey en P van den Driessche, 23. A multi-species epidemic model with spatial dynamics van Julien Arino, Joy Miller en P van den Driessche, 18 maart 25. Differential susceptibility epidemic models van James Hyman en Jia Li, 2 december