Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 M/M/1/N Afsluiti.

Transcriptie

1 11 juni 2013

2 Maartje van de Vrugt, CHOIR Wat is het belang van wachtrijtheorie?

3 Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 Evenwichtskansen Wachtrij en wachttijden De economische kant M/M/1/N Evenwichtskansen Wachtrij en wachttijden Afsluiting

4 Figuur : Wachtrijsysteem

5 Aankomstproces en Verwerkingsproces Capaciteit A B S N-notatie Wij behandelen: A en B exponentieel verdeeld

6 Waarom exponentieel verdeeld logisch? Van Poissonverdeling naar exponentiële verdeling

7 Poissonverdeling Situaties waarin bepaalde voorvallen zich met enige regelmaat voordoen. Hierbij wordt uitgegaan van een gegeven tijdsinterval, volume, afstand, oppervlakte et cetera.

8 Figuur : Regen

9 Figuur : Callcenter

10 Figuur : Winkel

11 Figuur : Rij voor winkel

12 Figuur : Kansfunctie

13 Gemiddelde aantal voorvallen is evenredig met lengte tijdsinterval. Voorbeeld: Per uur gemiddeld zes klanten; per twee uur gemiddeld twaalf klanten. Dus het gemiddelde aantal voorvallen is λτ, wordt afgekort als α.

14 Formule Poissonverdeling Als X stochastische variabele voor het aantal voorvallen, kans op k voorvallen is: P(X = k) = αk k! e α

15 Poissonverdeling in de werkelijkheid: k n(k) α = 1 ( ) =

16 Poissonverdeling in de werkelijkheid vergeleken met theorie: k n(k) 200 P(X = k)

17 Poisson: aantal voorvallen per tijdseenheid Nu in plaats daarvan: tijdsduur tussen twee voorvallen Voorbeeld: in een uur nul voorvallen, dan tijd tussen twee voorvallen groter dan een uur P(T > t) = P(X = 0) = µt0 0! e µt = e µt P(T t) = 1 P(T > t) = 1 e µt Dit is de negatief-exponentiële verdeling met parameter µ.

18 Poissonverdeling: gemiddeld aantal klanten per tijdseenheid Negatief exponentiële verdeling: gemiddelde tijdsduur tussen twee klanten Zowel voor aankomstproces (λ) als voor verwerkingsproces (µ)

19 Overgangsdiagram Het overgangsdiagram geeft aan in welke toestanden een systeem zich kan bevinden en met welke snelheid een systeem in een bepaalde toestand overgaat. Figuur : Overgangsdiagram

20 Voorbeeld: Informatiebalie met maximaal drie wachtenden. Er komen gemiddeld vier klanten per uur binnen. Elke klant gemiddeld 10 minuten aan de balie. Figuur : Informatiebalie

21 Stationaire toestanden en evenwichtskansen Evenwichtssituatie In een evenwichtssituatie zijn te toestanden waarin het systeem zich bevindt met elkaar in evenwicht. De kans dat je het systeem in een bepaalde toestand aantreft is constant.

22 Stationaire toestanden en evenwichtskansen Voorbeeld: Een autowasstraat Figuur : Autowasstraat

23 Belangrijke stochastische variabelen: L: Het aantal klanten in het systeem W : De doorgebrachte tijd van een klant in het systeem L q : Het aantal klanten in de wachtrij W q : De wachttijd

24 Stellingen van Little Bij een stationaire toestand geldt E(L) = λ E(W ) E(L q ) = λ E(W q ) En: E(W ) = E(W q ) + 1 µ

25 M/M/1 Ter herinnering: Aankomstproces en verwerkingsproces zijn negatief-exponentieel verdeeld. Er is 1 loket. Er is een oneindige capaciteit.

26 Bezettingsgraad = ρ De bezettingsgraad geeft het volgende aan: De kans dat het loket bezet is. De fractie van de tijd dat het loket bezet is. Het gemiddelde aantal klanten aan het loket.

27 Evenwichtskansen Stel P k is de kans dat het systeem in de evenwichtssituatie in de toestand k verkeert, ofwel er zijn k klanten in het systeem. We krijgen de volgende evenwichtsvergelijkingen: in uit 0 µp 1 = λp 0 λp 0 = µp 1 1 λp 0 + µp 2 = λp 1 + µp 1 λp 1 = µp 2 2 λp 1 + µp 3 = λp 2 + µp 2 λp 2 = µp k λp k 1 + µp k+1 = λp k + µp k λp k = µp k

28 Evenwichtskansen We vinden nu de volgende evenwichtskansen: P 0, P 1 = ρp 0,..., P k = ρ k P 0,... Merk op dat als P 0 bekend is, alle evenwichtskansen bekend zijn!

29 Wachtrij en wachttijden Het gemiddelde aantal klanten = E(L) E(L) = 0P 0 + 1P 1 + 2P = ρp 0 + 2ρ 2 P = ρp 0 (1 + 2ρ +...) = ρ(1 ρ)(1 + 2ρ +...) = ρ(1 + ρ + ρ ) ρ = 1 ρ λ = µ λ Met behulp van Little kunnen we nu ook E(L q ), E(W ) en E(W q ) uitrekenen.

30 Wachtrij en wachttijden Voorbeeld In een fabriek worden door de medewerkers defecte exemplaren van een bepaald apparaat van de lopende band genomen. Deze exemplaren worden vervolgens naar de afdeling kwaliteitszorg gestuurd. Gemiddeld worden 5 defecte exemplaren per uur van de band genomen. De afdeling kwaliteitszorg kan gemiddeld 8 defecte exemplaren per uur inspecteren.

31 Wachtrij en wachttijden Voorbeeld 1. Hoeveel procent van de tijd heeft de afdeling kwaliteitszorg niets te doen?

32 Wachtrij en wachttijden Voorbeeld 1. Hoeveel procent van de tijd heeft de afdeling kwaliteitszorg niets te doen? 2. Hoeveel exemplaren liggen er gemiddeld per uur klaar om geïnspecteerd te worden?

33 Wachtrij en wachttijden Voorbeeld 1. Hoeveel procent van de tijd heeft de afdeling kwaliteitszorg niets te doen? 2. Hoeveel exemplaren liggen er gemiddeld per uur klaar om geïnspecteerd te worden? 3. Wat is de kans dat er minstens 2 exemplaren gereed liggen voor inspectie?

34 Wachtrij en wachttijden Voorbeeld 1. Hoeveel procent van de tijd heeft de afdeling kwaliteitszorg niets te doen? 2. Hoeveel exemplaren liggen er gemiddeld per uur klaar om geïnspecteerd te worden? 3. Wat is de kans dat er minstens 2 exemplaren gereed liggen voor inspectie? 4. De snelheid van de lopende band wordt verdubbeld zodat er nu gemiddeld 10 defecte exemplaren per uur bij de afdeling kwaliteitszorg aankomen. Deze afdeling wordt uitgebreid en kan nu 12 exemplaren per uur inspecteren. Wat is in dit geval het antwoord op vraag 2?

35 De economische kant Tijd is geld Optimale inzet van mensen en machines berekenen. Kosten minimaal. Wachttijdoptimalisatieproblemen.

36 M/M/1/N We bekijken nu een wachtrijsysteem met beperkte capaciteit N. Dit betekent dat als er bijvoorbeeld bij de bakker N klanten zijn, de volgende die aankomt vertrekt en een andere bakkerij zoekt of later weer terugkomt.

37 Evenwichtskansen Een systeem met capaciteit N kan zich in N + 1 toestanden bevinden. Dit geeft het volgende overgangsdiagram: De evenwichtskansen zijn weer hetzelfde als bij het wachtrijsysteem met onbeperkte capaciteit. Er geldt dus in een wachtrijsyteem met capaciteit N dat: P k = ρ k P 0 met 0 k N.

38 Evenwichtskansen De blokkeerkans We noemen P N de blokkeerkans. Immers geeft P N de kans weer dat er N personen in het systeem aanwezig zijn. Dit betekent dat het systeem geblokkeerd is.

39 Evenwichtskansen De effectieve aankomstrate De effectieve aankomstrate bij een wachtrijsysteem met beperkte capaciteit is anders dan de λ die we bij een wachtrijsysteem met onbeperkte capaciteit hadden. Er geldt: λ e = λ(1 P N )

40 Evenwichtskansen De effectieve bezettingsgraad De effectieve bezettingsgraad is ook anders dan de bezettingsgraad bij een wachtrijsysteem met onbeperkte capaciteit. Er geldt nu: ρ e = λ e µ = λ(1 P N) = ρ(1 P N ) µ Merk op dat zowel de aankomstrate als de bezettingsgraad nu van de capaciteit van het systeem afhangen

41 Evenwichtskansen We vinden verder nog: P 0 = 1 ρ 1 ρ N+1 ρ e = 1 P 0

42 Wachtrij en wachttijden Somformule voor de eindige gemengde reeks: a + ar + ar ar n = a 1 r n+1 met r 1 1 r We nemen dan in ons geval dat a = P 0 ρ en r = ρ.

43 Wachtrij en wachttijden Het gemiddelde aantal klanten E(L) = 0P 0 + 1P NP N = P 0 ρ + 2ρ 2 P o +... Nρ N P 0 = P 0 ρ(1 + 2ρ + 3ρ Nρ N 1 ) = ρ 1 (N + 1)ρ N + Nρ N+1 1 ρ 1 ρ N+1

44 Wachtrij en wachttijden Hier zie je dan dat het gemiddelde aantal klanten bij een systeem met beperkte capaciteit gelijk is aan het gemiddelde aantal klanten bij een onbeperk systeem maal de factor 1 (N+1)ρN +Nρ N+1 1 ρ N+1. Er geldt dat deze factor kleinter is dan 1 en dit betekent dat het gemiddelde aantal klanten bij een wachtrijsysteem met beperkte capaciteit kleiner is dan bij een wachtrijsyssteem met onbeperkte capaciteit.

45 Wachtrij en wachttijden Ten slotte vinden we weer met behulp van de stellingen van Little dat: E(L q ) = E(L) ρ e E(W ) = E(L) λ e E(W q ) = E(L q) λ e

46 Aankomstproces en verwerkingsproces. Negatief-exponentieel verdeeld. Overgangsdiagrammen met de evenwichtskansen. Stellingen van Little. M/M/1 en M/M/1/N.