MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.
|
|
|
- Lotte de Wit
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten We zullen 3 soorten kostenberekeningen bekijken: 1. Totale verwachte kosten over eindige horizon 2. Lange-termijn verwachte kosten per periode 3. Totale verwachte kosten over oneindige horizon (alleen mogelijk als er alleen kosten in doorgangstoestanden zijn) 1/25
2 Totale verwachte kosten over eindige horizon Stel dat iedere periode dat de Markov keten zich in toestand i bevindt dit verwachet kosten c(i) met zich meebrengt. Wat zijn de totale verwachte kosten over de tijdspanne {0, 1,..., n}? Definiëer g(i, n): totale verwachte kosten over tijdspanne {0, 1,..., n} bij start in toestand i. Dan geldt g(i, n) = N m i,j (n)c(j). j=1 2/25
3 Met de notatie hebben we dus g(n) = g(1, n) g(2, n). g(n, n), c = g(n) = M(n) c. c(1) c(2). c(n) Conclusie: Als we de matrix van occupatietijden M(n) en de vector van kosten per periode c kennen, dan kunnen we de vector van totale verwachte kosten over een eindige horizon g(n) uitrekenen. 3/25
4 Voorbeeld: Voorraadmodel uit Example 2.4. Toestandsruimte: S = {2, 3, 4, 5} Overgangsmatrix: P = Stel voorraadkosten in toestand i: 50 i. Dan totale verwachte voorraadkosten over tijdspanne {0, 1, 2,..., 10} g(10) = 2229, /25
5 Lange-termijn verwachte kosten per periode Als n dan gaan de totale verwachte kosten over de tijdspanne {0, 1,..., n} vaak ook naar oneindig. Daarom kijken we bij lange-termijn kostenberekeningen meestal naar de verwachte kosten per peiode: Stelling: g(i) = lim n g(i, n) n + 1. Voor een irreducibele Markov keten met occupatie verdeling ˆπ geldt g(i) = g = N ˆπ j c(j). Merk op dat voor een irreducibele Markov keten de lange-termijn verwachte kosten per periode dus niet van de begintoestand afhangen. j=1 5/25
6 Voorbeeld: Personeelsplanningmodel uit Example 2.6. Toestandsruimte: S = {1, 2, 3, 4} Overgangsmatrix: P = Stel salariskosten in toestanden 1,2,3,4: 400,600,800,1000 Dan is de occuptie verdeling ˆπ = [0.273, 0.455, 0.182, 0.091] en de lange-termijn verwachte salariskosten per werknemer zijn N ˆπ j c(j) = j=1 6/25
7 Totale verwachte kosten over oneindige horizon Als er alleen kosten in doorgangstoestanden gemaakt worden gaan de totale verwachte kosten niet naar oneindig als n. Hoe berekenen we in dat geval g(i) = lim n g(i, n)? Stel A de verzameling van toestanden in eindklassen en dus S \ A de verzameling van doorgangstoestanden. Door te kijken wat er in de eerste stap met de Markov keten gebeurt kan je laten zien dat g(i) = c(i) + p i,j g(j), i S \ A. j S\A Dit stelsel vergelijkingen kan vervolgens opgelost worden. 7/25
8 Voorbeeld rijbewijsmodel Toestandsruimte:{T 1, T 2, P 1, P 2, P 3, P 4, G, M} Overgangsmatrix: P = Transitiediagram: zie aparte slide /25
9 Wat stellen de verschillende toestanden voor? T 1, T 2 : theorie-examens (1e + 2e keer) P 1, P 2, P 3, P 4 : praktijk-examens (1e,2e,3e, 4e keer) G: Weg met rijbewijs (Geslaagd) M: Weg zonder rijbewijs (Mislukt) kosten theorie-examen: 45 euro per keer, kosten praktijk-examen: 90 euro per keer. Vraag: Wat zijn de totale verwachte kosten over een oneindige horizon? 9/25
10 Laat g(i) de totale verwachte kosten over een oneindige horizon zijn bij start in toestand i. Dan geldt en dus g(t 1 ) = g(t 2 ) g(p 1 ), g(t 2 ) = 45 + g(p 1 ), g(p 1 ) = g(p 2 ), g(p 2 ) = g(p 3 ), g(p 3 ) = g(p 4 ), g(p 4 ) = g(p 4 ). g(p 4 ) = 120, g(p 3 ) = 156, g(p 2 ) = 207 g(p 1 ) = 276.3, g(t 2 ) = g(t 1 ) = /25
11 Tijd tot je voor het eerst in bepaalde toestanden komt (First passage times) In het voorafgaande hebben we twee keer gezien dat je een grootheid kan berekenen met behulp van een zogenaamde "first-step analysis": stel een stelsel vergelijkingen op door te kijken naar wat in de eerste tijdstap met de Markov keten gebeurt. Berekening van de kans dat je in een bepaalde eindklasse terecht komt bij een reducibele Markov keten. Berekening van de totale verwachte kosten over een oneindige horizon bij een reducibele Markov keten met alleen kosten in de doorgangstoestanden. Deze zelfde techniek zullen we nu toepassen om de verwachte tijd uit te rekenen tot een Markov keten voor het eerst in bepaalde toestanden terecht komt. 11/25
12 Laat A een deelverzameling van de toestandsruimte zijn en definieer m i (A) als de verwachte tijd totdat de Markov keten voor het eerst in deelverzameling A komt bij start in toestand i. Dan geldt natuurlijk m i (A) = 0 als i A en verder m i (A) = 1 + p i,j m j (A), i / A. j S\A Dit levert wederom een stelsel vergelijkingen op waarmee de grootheden m i (A) voor i / A opgelost kunnen worden. 12/25
13 Voorbeeld: Personeelsplanning probleem Bereken de verwachte tijd dat een werknemer in het bedrijf werkzaam is. Markov model voor 1 specifieke werknemer: Toestandsruimte S = {1, 2, 3, 4, weg} Overgangsmatrix P = /25
14 Laat nu A = {weg} en dus S \ A = {1, 2, 3, 4}. De grootheden m i (A) voldoen nu aan de vergelijkingen m 1 (A) = m 1 (A) m 2 (A) m 2 (A) = m 2 (A) m 3 (A) m 3 (A) = m 3 (A) m 4 (A) m 4 (A) = m 4 (A) De oplossing van dit stelsel vergelijkingen wordt gegeven door m 4 (A) = 100, m 3 (A) = 60, m 2 (A) = 88.89, m 1 (A) = Kennelijk blijft een werknemer gemiddeld weken (is ongeveer 1.4 jaar) werkzaam in het bedrijf. 14/25
15 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning model. In het personeelsplanning model hebben we tot nu toe aangenomen dat het totaal aantal werknemers constant is. Elke keer als een werknemer het bedrijf verlaat, wordt hij of zij onmiddellijk opgevolgd door een nieuwe werknemer. Met behulp van de tot nu toe geleerde theorie over Markov ketens zijn we voor deze situatie in staat om zowel het korte-termijn als het lange-termijn gedrag van het aantal werknemers in de verschillende salarisschalen te bepalen. 15/25
16 Voorbeeld: Personeelsplanning model Overgangsmatrix P = Stel er zijn 100 werknemers en aan het begin van week 1 zitten daarvan 50 in schaal 1, 25 in schaal in schaal 2, 15 in schaal 3 en 10 schaal 4. Wat verwacht je dan aan het begin van week 5, 11 en 100? Wat verwacht je op de lange termijn? 16/25
17 We hebben en dus a (0) = [0.50, 0.25, 0.15, 0.10] a (4) = a (0) P 4 = [0.466, 0.289, 0.146, 0.099], a (10) = a (0) P 10 = [0.424, 0.336, 0.143, 0.098], a (99) = a (0) P 99 = [0.274, 0.461, 0.177, 0.088]. Hiermee kunnen de verwachte aantallen werknemers in de verschillende schalen in week 5, 11 en 100 uitgerekend worden. De unieke genormaliseerde oplossing van het stelsel vergelijkingen π = πp wordt gegeven door π = [0.273, 0.454, 0.182, 0.091]. Op den lange duur verwachten we dus ruim 27 werknemers in schaal 1, 45 in schaal 2, 18 in schaal 3 en 9 in schaal 4. 17/25
18 In veel toepassingen is de aanname dat het aantal personen in de groep constant is in de loop van de tijd niet realistisch. Het vertrekproces van personen uit de groep enerzijds en het aankomstproces van nieuwe personen in de groep is soms zelfs geheel onafhankelijk van elkaar. Voorbeeld: Het aantal personen dat een autoverzekering bij een bepaalde verzekeringsmaatschappij heeft afgesloten. (De verschillende schalen stellen hier de verschillende trappen in de bonus-malus ladder van de verzekering voor.) Hoe berekenen we in dit soort situaties grootheden als het verwachte aantal personen op een bepaald tijdstip in de verschillende schalen (korte-termijn gedrag)? het verwachte aantal personen op den lange duur in de verschillende schalen (lange-termijn gedrag)? 18/25
19 Stel we hebben een groep personen, waarvan het gedrag van ieder persoon afzonderlijk beschreven wordt door een Markov keten met toestandsruimte S = {0, 1, 2,..., N} en overgangsmatrix P. Toestand 0 stelt de situatie voor dat de persoon het systeem verlaten heeft. Q is het deel van de overgangsmatrix dat correspondeert met overgangen van de toestanden {1, 2,..., N} naar de toestanden {1, 2,..., N}. Merk op dat Q een sub-stochastische matrix is, d.w.z. een matrix waarvoor geldt dat q i,j 0 voor alle i en j en N j=1 q i,j 1 voor alle i. 19/25
20 Voorbeeld: Personeelsplanning model (model voor 1 werknemer) Toestandsruimte S = {0, 1, 2, 3, 4} Overgangsmatrix P = Q = /25
21 Notatie: Korte-termijn gedrag r (n) i : Het verwachte aantal nieuwe personen, recruten genaamd, die van buiten op tijdstp n de groep binnenkomen in toestand i. s (n) i : Het verwachte totaal aantal personen op tijdstip n in de groep in toestand i. Als we met r (n) en s (n) de liggende vectoren r (n) = [r (n) 1, r (n) 2,..., r (n) N ], noteren, dan hebben we s (n) = [s (n) 1, s (n) 2,..., s (n) N ], s (n) = r (n) + s (n 1) Q Conclusie: Als we de beginvector s (0) en de vectoren van aantallen recruten op de verschillende tijdstippen r (1), r (2), r (3),... kennen, kunnen we de vectoren s (1), s (2), s (3),... uitrekenen. 21/25
22 Voorbeeld: Markov keten met toestandsruimte S = {0, 1, 2, 3, 4} en overgangsmatrix P = Neem verder aan dat s (0) = [10, 10, 10, 10] en r (n) = [10, 0, 0, 0] voor alle n. s (1) = [10, 0, 0, 0] + [10, 10, 10, 10] = [16, 9, 9.5, 11] /25
23 s (2) = [10, 0, 0, 0] + [16, 9, 9.5, 11] = [19.6, 9.5, 8.9, 11.8]. s (3) = [10, 0, 0, 0] + [19.6, 9.5, 8.9, 11.8] = [21.76, 10.57, 8.61, 12.40] Enzovoorts. 23/25
24 Lange-termijn gedrag In het geval dat het verwachte aantal recruten tijdhomogeen is, d.w.z. r (n) = r voor alle n, dan kunnen we ook het verwachte aantal personen op den lange duur in de verschillende toestanden uitrekenen. In dit geval geldt voor s = lim n s (n) dat en dus dat waarbij I de identiteitsmatrix is. s = r + s Q, s = r (I Q) 1 Opmerking: Dat de inverse van de matrix I Q bestaat volgt uit het feit dat de matrix Q sub-stochastisch is. 24/25
25 Vervolg voorbeeld: In het voorbeeld geldt r (n) = r = [10, 0, 0, 0] voor alle n en I Q = en dus = s = lim s (n) = [10, 0, 0, 0] n = [25, 16.67, 13.89, 27, 78] [25, 17, 14, 28]. 1 25/25
P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:
LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4
Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.
LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing
0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99
COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,
INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:
Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};
S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson
Q is het deel van de overgangsmatrix dat correspondeert met overgangen
COHORTE MODELLEN Stel we hebben een groep personen, waarvan het gedrag van ieder persoon afzonderlijk beschreven wordt door een Markov keten met toestandsruimte S = {0, 1, 2,..., N} en overgangsmatrix
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over limietgedrag van continue-tijd Markov ketens. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S = {1, 2,..., N}
Vragen die je wilt beantwoorden zijn:
Net als bij een discrete-tijd Markov keten is men bij de bestudering van een continue-tijd Markov keten zowel geïnteresseerd in het korte-termijn gedrag als in het lange-termijn gedrag. Vragen die je wilt
Definitie van continue-tijd Markov keten:
Definitie van continue-tijd Markov keten: Een stochastisch proces {X(t), t 0} met toestandsruimte S heet een continue-tijd Markov keten (CTMC) als voor alle i en j in S en voor alle tijden s, t 0 geldt
Definitie van continue-tijd Markov keten:
Definitie van continue-tijd Markov keten: Een stochastisch proces {X(t), t 0} met toestandsruimte S heet een continue-tijd Markov keten (CTMC) als voor alle i en j in S en voor alle tijden s, t 0 geldt
p j r j = LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren.
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S
Deel 2 van Wiskunde 2
Deel 2 van Wiskunde 2 Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Jacques Resing Thu 1+2 Aud 1+4 Jacques Resing Werkcollege Tue 7+8 Aud 6+15 Jacques Resing Instructie
NETWERKEN VAN WACHTRIJEN
NETWERKEN VAN WACHTRIJEN Tot nog toe keken we naar wachtrijmodellen bestaande uit 1 station. Klanten komen aan bij het station,... staan (al dan niet) een tijdje in de wachtrij,... worden bediend door
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN?
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN? KARMA DAJANI In deze lezing gaan we over een bijzonder model in kansrekening spreken Maar eerst een paar woorden vooraf Wat doen we
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i).
MARKOV PROCESSEN Continue-tijd Markov ketens (CTMCs) In de voorafgaande colleges hebben we uitgebreid gekeken naar discrete-tijd Markov ketens (DTMCs). Definitie van discrete-tijd Markov keten: Een stochastisch
S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 3 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Oerations Management (15388) S1 S2 Ack X ms X ms S 24 ms R1 R2 R3 L1 L2 1 ms 1 ms D Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Ravelijn H 219 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/15388/15388.html
De dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
WACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
WACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Oerations Management (153088) S1 S2 Ack X ms X ms S0 240 ms R1 R2 R3 L1 L2 10 ms 10 ms D0 Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Citadel 125 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219
We zullen de volgende modellen bekijken: Het M/M/ model 1/14
De analyse en resultaten van de voorgaande twee modellen (het M/M/1/K model en het M/M/1 model) kunnen uitgebreid worden naar modellen met meerdere bediendes. We zullen de volgende modellen bekijken: Het
Toepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
13 Hidden Markov Modellen.
3 Hidden Markov Modellen. 3. Inleiding. In dit Hoofdstuk bekijken we Markov modellen waarvan we de toestanden niet met zekerheid kunnen waarnemen. In plaats daarvan gaan we ervan uit dat toestand i met
Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.
Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie Beschrijving Iedereen van ons heeft al tijd gespendeerd in een wachtrij: b.v. aanschuiven in de Alma restaurants. In dit hoofdstuk onwikkelen we mathematische modellen voor
De basiselementen van Markov-ketens zijn:
Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van bijlessen en trainingen in de exacte vakken, van VMBO tot universiteit. Zowel voor individuele
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Migrerende euromunten
Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 2 juni 2014; 18:30-20:30 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)
Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Classificatie van Markovbeslissingsketens
Classificatie van Markovbeslissingsketens Complexiteit van het multichainclassificatieprobleem Wendy Ellens 21 augustus 2008 Bachelorscriptie, Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Begeleider: Prof.
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Opgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Vrije Universiteit Amsterdam Opleiding Wiskunde - Bachelorscriptie. Vernieuwingsrijen. Arno E. Weber. studentnummer:
Vrije Universiteit Amsterdam Opleiding Wiskunde - Bachelorscriptie Vernieuwingsrijen Arno E. Weber studentnummer: 1275437 email: aeweber@cs.vu.nl augustus 2004 Inhoudsopgave Voorwoord iii 1 Inleiding
Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur
Monitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368)
Publieke Database Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Technische Universiteit Eindhoven Faculteit: Technische Wiskunde & Informatica 28 augustus 2002 Inhoudsopgave
Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
De partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Tentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Stelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Toepassingen op matrices - Opgave
Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale
Lineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 M/M/1/N Afsluiti.
11 juni 2013 Maartje van de Vrugt, CHOIR Wat is het belang van wachtrijtheorie? Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 Evenwichtskansen Wachtrij
Stochastische spelen. Christian Hutter. Bachelorscriptie - Voorjaar 2005
Stochastische spelen Christian Hutter Bachelorscriptie - Voorjaar 2005 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Markov Beslissings theorie 4 2.1 Sommeerbare Markov beslissings processen.......... 4 2.1.1 Verdiscontering......................
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
De dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 25 maart 2014; 12:00-14:00 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Monte Carlo Markov-ketens
Monte Carlo Markov-ketens Mark Plomp 17 juli 2011 Bachelorscriptie Begeleider: dr. Bas Kleijn 2/3 B A 1/3 1/2 1/4 1 C D 1 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben
Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
R1 L1 R2 S0 Stochastische Modellen in Operations Management (153088) 240 ms 10 ms Ack Internet Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem
Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem Erik Jongsma 5 Seminar Computational Algorithms Leiden University september Introductie Abstract Quantum-computing is een onderwerp binnen de informatica
Modellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte
Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
o Dit tentamen bestaat uit vier opgaven o Beantwoord de opgaven 1 en 2 enerzijds, en de opgaven 3 en 4 anderzijds op aparte vellen papier
Toets Stochastic Models (theorie) Maandag 22 rnei 2OL7 van 8.45-1-1-.45 uur Onderdeel van de modules: o Modelling and analysis of stochastic processes for MATH (20L400434) o Modelling and analysis of stochastic
VU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Wachtrijtheorie op verkeersmodellen
Wachtrijtheorie op verkeersmodellen Jan Jelle de Wit 20 juli 202 Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. R. Núñez Queija KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine
Lineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten